Стабилност на компресирани пръти критичното напрежение формула на Ойлер. Формула на Ойлер за критична сила

Лекция 7

СТАБИЛНОСТ НА КРЕСОВАНИ ПЪРТИ

Концепцията за стабилността на компресиран прът. формула на Ойлер. Зависимостта на критичната сила от метода на фиксиране на пръта. Граници на приложимост на формулата на Ойлер. Формула на Ясински. Изчисляване на устойчивост.

Концепцията за стабилността на компресиран прът

Нека разгледаме прът с права ос, натоварен с надлъжна сила на натиск F. В зависимост от големината на силата и параметрите на пръта (материал, дължина, форма и размери на напречното сечение), неговата праволинейна равновесна форма може да бъде стабилен или нестабилен.

За да определим вида на равновесието на пръта, нека въздействаме върху него с малко напречно натоварване Q. В резултат на това пръчката ще се премести в ново равновесно положение с извита ос. Ако след прекратяване на напречното натоварване прът се върне в първоначалното си (праволинейно) положение, тогава праволинейната форма на равновесие е стабилна (фиг. 7.1а). В случай, че след прекратяване на действието на напречната сила Q пръчката не се върне в първоначалното си положение, праволинейната форма на равновесие е нестабилна (фигура 7.1b).

По този начин стабилността е способността на пръта, след известно отклонение от първоначалното си положение в резултат на действието на някакъв смущаващ товар, да се върне спонтанно в първоначалното си положение, когато това натоварване бъде прекратено. Най-малката надлъжна сила на натиск, при която праволинейната равновесна форма на пръта става нестабилна, се нарича критична сила.

Разгледаната схема на работа на централния компресиран прът е теоретична. На практика силата на натиск може да действа с известен ексцентриситет и прътът може да има известна (макар и малка) първоначална кривина. Следователно от самото начало на надлъжното натоварване на пръта се наблюдава неговото огъване. Изследванията показват, че докато силата на натиск е по-малка от критичната сила, деформациите на прътите ще бъдат малки. Когато силата се приближи до критичната стойност, отклоненията започват да се увеличават неограничено. Този критерий (неограничено увеличение на отклоненията с ограничено увеличение на силата на натиск) се приема като критерий за изкривяване.

Загубата на стабилност на еластичното равновесие възниква не само по време на компресия на пръта, но и по време на неговото усукване, огъване и по-сложни видове деформация.

формула на Ойлер

Помислете за прът с права ос, фиксиран с помощта на две шарнирни опори (фиг. 7.2). Да приемем, че надлъжната сила на натиск, действаща върху пръта, е достигнала критична стойност и прътът е огънат в равнината с най-малка твърдост. Равнината с най-малка твърдост е разположена перпендикулярно на тази главна централна ос на сечението, спрямо която аксиалният момент на инерция на сечението има минимална стойност.

(7.1)

където M е моментът на огъване; I min е минималният инерционен момент на сечението.

От фиг. 7.2 намерете момента на огъване

(7.2)

На фиг. 7.2 огъващият момент поради действието на критичната сила е положителен, а отклонението е отрицателно. За съгласуване на приетите знаци се поставя знак минус в зависимост (7.2).

Замествайки (7.2) в (7.1), за да определим функцията на отклонение, получаваме диференциалното уравнение

(7.3)

(7.4)

От курса по висша математика е известно, че решението на уравнение (7.3) има вида

където A, B са интегриращи константи.

За да определим константите на интегриране в (7.5), използваме граничните условия

За огънат прът коефициентите A и B не могат да бъдат равни на нула едновременно (в противен случай пръчката няма да бъде огъната). Така

Приравнявайки (7.6) и (7.4), намираме

(7.7)

От практическо значение е най-малката ненулева стойност на критичната сила. Следователно, замествайки n=1 в (7.7), най-накрая имаме

(7.8)

Зависимостта (7.8) се нарича формула на Ойлер.

Зависимост от критична сила

от метода на фиксиране на пръта

Формула (7.8) е получена за случай на прът, който е фиксиран с помощта на две шарнирни опори, разположени в краищата му. За други методи за фиксиране на пръта се използва обобщената формула на Ойлер за определяне на критичната сила

(7.9)

където μ е коефициентът за намаляване на дължината, като се вземе предвид методът на фиксиране на пръта.

Най-често срещаните начини за фиксиране на пръта и съответните коефициенти за намаляване на дължината са показани на фиг. 7.3.

Граници на приложимост на формулата на Ойлер. Формулата на Ясински

П При извеждането на формулата на Ойлер е използвано условието законът на Хук да е изпълнен в момента на загуба на стабилност. Напрежението в пръта в момента на изкривяване е равно на

където
- гъвкавост на пръта; A е площта на напречното сечение на пръта.

В момента на загуба на стабилност законът на Хук ще бъде изпълнен при условието

където σpc е границата на пропорционалност на материала на пръта;
- първата изключителна гъвкавост на пръчката. За стомана St3 λ pr1 = 100.

Следователно формулата на Ойлер е валидна, когато е изпълнено условие (7.10).

Ако гъвкавостта на пръта е в интервала
тогава пръчката ще загуби стабилност в областта на еластично-пластични деформации и формулата на Ойлер не може да се използва. В този случай критичната сила се определя от експерименталната формула на Ясински

където a, b са експериментални коефициенти. За стомана St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

Втората крайна гъвкавост на пръта се определя от формулата

където σ t е границата на провлачване на материала на пръта. За стомана St3 λ pr2 = 60.

Когато е изпълнено условието λ ≤ λ pr2, критичното напрежение (според Ясински) ще надвиши границата на провлачване на материала на пръта. Следователно, в този случай, за да се определи критичната сила, се използва отношението

(7.12)

AT като пример на фиг. 7.4 показва зависимостта на критичното напрежение от гъвкавостта на пръта за стомана St3.

Изчисляване на устойчивост

Анализът на стабилността се извършва с помощта на условието за стабилност

(7.13)

Допустимо напрежение при изчисляване на стабилността;

- коефициент на стабилност.

Допустимото напрежение при изчисляването на стабилността се основава на допустимото напрежение при изчисляването на компресията

(7.14)

където φ е коефициентът на изкривяване (или намаляване на основното допустимо напрежение). Този коефициент варира в рамките на 0 ≤ φ ≤ 1.

Като се има предвид това за пластмасови материали

формулите (7.13) и (7.14) предполагат

(7.15)

Стойностите на коефициента на изкривяване в зависимост от материала и гъвкавостта на пръта са дадени в справочната литература.

Най-интересно е проектното изчисление от условието за стабилност. При този вид изчисления са известни: проектната схема (коефициент μ), външната сила на натиск F, материалът (допустимо напрежение [σ]) и дължината l на пръта, формата на напречното му сечение. Необходимо е да се определят размерите на напречното сечение.

Трудността се крие във факта, че не се знае по коя формула да се определи критичното напрежение, т.к без размери на напречното сечение е невъзможно да се определи гъвкавостта на шината. Следователно изчислението се извършва по метода на последователните приближения:

1) Приемаме първоначалната стойност = 0,5. Определете площта на напречното сечение

2) По площ намираме размерите на напречното сечение.

3) Използвайки получените размери на напречното сечение, изчисляваме гъвкавостта на пръта, а чрез гъвкавостта - крайната стойност на коефициента на изкривяване .

4) Ако стойностите не съвпадат и извършете второто приближение. Началната стойност на φ във второто приближение се приема равна на
. И т.н.

Повтаряме изчисленията, докато началните и крайните стойности на коефициента φ се различават с не повече от 5%. Като отговор приемаме стойностите на размерите, получени в последното приближение.

За да се намерят критичните напрежения, е необходимо да се изчисли критичната сила, т.е. най-малката аксиална сила на натиск, която може да поддържа в равновесие леко извит компресиран прът.

За първи път този проблем е решен от академика на Петербургската академия на науките Л. Ойлер през 1744г.

Обърнете внимание, че самата формулировка на проблема е различна от тази във всички разгледани по-рано раздели от курса. Ако по-рано определихме деформацията на пръта при дадени външни натоварвания, тогава тук поставяме обратната задача: като се има предвид кривината на оста на компресирания прът, е необходимо да се определи при каква стойност на аксиалната сила на натиск Ртакова изкривяване е възможно.

Помислете за прав прът с постоянно напречно сечение, шарнирно закрепен в краищата; една от опорите позволява възможност за надлъжно движение на съответния край на пръта (фиг. 3). Пренебрегваме собственото тегло на пръчката.

Фиг.3.Схема за изчисление в "проблема на Ойлер"

Натоварваме пръта с централно приложени надлъжни сили на натиск и му придаваме много лека кривина в равнината с най-малка твърдост; пръчката се държи в огънато състояние, което е възможно, тъй като .

Приема се, че деформацията на огъване на пръта е много малка, следователно, за да решим проблема, можем да използваме приблизителното диференциално уравнение за огъната ос на пръта. Избиране на началото на координатите в точка НОи посоката на координатните оси, както е показано на фиг. 3, имаме:

(1)

Направете участък от разстояние хот произхода; ординатата на извитата ос в този участък ще бъде в, а огъващият момент е

Според оригиналната схема моментът на огъване се оказва отрицателен, докато ординатите за избраната посока на оста все оказват положителни. (Ако пръчката беше извита с издутина надолу, тогава моментът би бил положителен и в- отрицателен и .)

Току-що даденото диференциално уравнение приема формата:

разделяне на двете страни на уравнението на EJи обозначавайки дроба чрез, ние я привеждаме във вида:

Общият интеграл на това уравнение има формата:

Това решение съдържа три неизвестни: константи на интегриране аи би стойност , тъй като величината на критичната сила е неизвестна за нас.

Граничните условия в краищата на пръта дават две уравнения:

в точка А в х = 0 отклонение в = 0,

AT х= 1 в = 0.

Това следва от първото условие (тъй като cos kx =1)

Така огъната ос е синусоида с уравнението

(2)

Прилагайки второто условие, ние заместваме в това уравнение

в= 0 и х = л

получаваме:

От това следва, че или аили клса равни на нула.

Ако ае равно на нула, то от уравнение (2) следва, че отклонението във всеки участък на пръта е равно на нула, т.е. прътът остава прав. Това противоречи на първоначалните предпоставки на нашето заключение. Следователно грях кл= 0 и стойността може да има следната безкрайна серия от стойности:

където е всяко цяло число.

Затова и оттогава

С други думи, натоварването, което може да поддържа леко извита пръчка в баланс, теоретично може да има редица стойности. Но тъй като е търсена и интересна от практическа гледна точка най-малката стойност на аксиалната сила на натиск, при която става възможно изкривяването, тогава трябва да се вземе.

Първият корен =0 изисква той да е равен на нула, което не отговаря на изходните данни на задачата; така че този корен трябва да бъде изхвърлен и стойността да бъде взета като най-малкия корен. Тогава получаваме израза за критичната сила:

По този начин, колкото повече точки на огъване има синусоидално извитата ос на пръта, толкова по-голяма трябва да бъде критичната сила. По-пълни изследвания показват, че формите на равновесие, дефинирани с формули (1), са нестабилни; преминават в устойчиви форми само при наличие на междинни опори в точките ATи С(Фиг. 1).

Фиг. 1

Така задачата е решена; за нашия прът най-малката критична сила се определя от формулата

а извитата ос представлява синусоида

Стойността на константата на интегриране аостана недефиниран; физическото му значение ще се разбере, ако поставим уравнението на синусоидата; тогава (т.е. в средата на дължината на пръта) ще получи стойността:

означава, а- това е отклонението на пръта в участъка в средата на дължината му. Тъй като при критичната стойност на силата Рравновесието на извит прът е възможно с различни отклонения от неговата праволинейна форма, ако само тези отклонения са малки, тогава е естествено, че отклонението еостана неопределено.

В същото време тя трябва да бъде толкова малка, че да имаме право да приложим приблизителното диференциално уравнение на извитата ос, т.е., така че да е все още малко в сравнение с единицата.

След като получим стойността на критичната сила, можем веднага да намерим стойността на критичното напрежение, като разделим силата на площта на напречното сечение на пръта Ф; тъй като стойността на критичната сила е определена от разглеждането на деформациите на пръта, върху които локалното отслабване на площта на напречното сечение има изключително слаб ефект, тогава формулата за включва инерционния момент, следователно е обичайно при изчисляване на критичните напрежения, както и при съставяне на условието за стабилност, да се въведе в изчислението пълната, а не отслабена площ на напречното сечение на пръта. Тогава ще бъде равно

По този начин, ако площта на компресиран прът с такава гъвкавост беше избрана само според състоянието на якост, тогава прътът ще се срути от загубата на стабилност на праволинейна форма.

За първи път беше поставен проблемът за стабилността на компресираните пръти. Ойлер изведе изчислителна формула за критичната сила и показа, че нейната стойност зависи значително от метода на фиксиране на пръта. Идеята на метода на Ойлер е да се установят условията, при които освен праволинейната е възможна и съседна (т.е. произволно близка до оригиналната) криволинейна равновесна форма на пръта при постоянно натоварване.

Да приемем, че прав прът е шарнирно закрепен в краищата, притиснат от сила П= Пк, беше изведен от праволинейно равновесие от някаква хоризонтална сила и остана огънат след отстраняването на хоризонталната сила (фиг. 13.4). Ако отклоненията на пръта са малки, тогава приблизителното диференциално уравнение на неговата ос ще има същия вид като в случая на напречно огъване на гредата:

Комбинирайки началото на координатите с центъра на долната секция, насочваме оста вкъм отклоненията на пръта и оста х- по оста на пръта.

В теорията на изкривяването е обичайно да се счита силата на натиск за положителна. Следователно, определяйки момента на огъване в текущата секция на разглеждания прът, получаваме

Но, както следва от фиг. 13.4, с избраната посока на осите в // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси вкъм обратното, тогава знаците ще се променят едновременно ви в// и знакът минус от дясната страна на уравнение (13.2) ще остане.

Следователно уравнението на еластичната линия на пръта има формата

.

Предполагайки α 2 =Rk/EI, получаваме линейно хомогенно диференциално уравнение

,

чийто общ интеграл

Тук Аи Б- константи на интегриране, определени от условията на фиксиране на пръта, така наречените гранични или гранични условия.

Хоризонталното изместване на долния край на пръта, както се вижда от фиг. 13.4, е равно на нула, т.е. кога х=0 отклонение в=0. Това условие ще бъде изпълнено, ако Б=0. Следователно извитата ос на пръта е синусоида

.

Хоризонталното изместване на горния край на лентата също е нула, т.е

.

Постоянна А, което е максималното отклонение на пръта, не може да бъде равно на нула, откога А=0 е възможна само праволинейна форма на равновесие и търсим условие, при което е възможна и криволинейна форма на равновесие. Следователно трябва да бъде гряхα л=0. От това следва, че криволинейните равновесни форми на пръчката могат да съществуват, ако α лприема стойности π ,2π ,.нπ . Стойност α лне може да бъде равно на нула, тъй като това решение съответства на случая

Приравняване α л= нπ и заместване

получаваме

.

Изразът (13.5) се нарича формула на Ойлер. Може да се използва за изчисляване на критичната сила Rkкогато пръчката се закопчава в една от двете си основни равнини, тъй като само при това условие е валидно уравнението (13.2), а оттам и формулата (13.5).

Изкривяването на пръта се случва в посока на най-малка твърдост, ако няма специални устройства, които предотвратяват огъването на пръта в тази посока. Следователно във формулата на Ойлер е необходимо да се замести азмин- най-малкият от основните централни моменти на инерция на напречното сечение на пръта.

Стойността на най-голямото отклонение на пръта Ав даденото решение остава недефинирано, приема се произволно, но се приема, че е малко.

Стойността на критичната сила, определена по формула (13.5), зависи от коефициента н. Нека разберем геометричния смисъл на този коефициент.

По-горе установихме, че огъната ос на пръта е синусоида, чието уравнение след заместване α =π н/лв израз (13.4) приема формата

.

Синусоиди за н=1, н=2 са показани на фиг. 13.5. Лесно е да се види, че стойността нпредставлява броя на полувълните на синусоидата, по които ще се огъне пръчката. Очевидно пръчката винаги ще се огъва според най-малкия брой полувълни, разрешени от поддържащите му устройства, тъй като според (13.5) най-малкият нсъответства на най-малката критична сила. Само тази първа критична сила има реално физическо значение.

Например прът с шарнирни краища ще се огъне веднага щом се достигне най-малката стойност на критичната сила, съответстваща на н=1, тъй като опорните устройства на този прът му позволяват да се огъва по една полувълна на синусоида. Съответстващи критични сили н=2, н\u003d 3 и повече могат да бъдат постигнати само ако има междинни опори (фиг. 13.6). За прът с шарнирни крайни опори без междинни закрепвания, първата критична сила има реално значение

.

Формулата (13.5), както следва от нейното извличане, е валидна не само за прът с шарнирни краища, но и за всеки прът, който се огъва по време на изкривяване по цял брой полувълни. Нека приложим тази формула, например, при определяне на критичната сила за прът, чиито опорни устройства позволяват само надлъжни премествания на краищата му (стойка с вградени краища). Както може да се види от фигура 13.7, броят на полувълните на извитата ос в този случай н=2 и следователно критичната сила за пръта с дадени опорни устройства

.

Да приемем, че стелаж с единият притиснат, а другият свободен край (фиг. 13.8) е притиснат от сила Р.

Ако силата П= Пк, то в допълнение към праволинейната може да съществува и криволинейна форма на баланса на стелажа (пунктирана линия на фиг. 13.8).

Диференциалното уравнение на огъната ос на стелажа в показаната на фиг. 13.8 системата от координатни оси има същия вид.

Общото решение на това уравнение е:

Подчинявайки това решение на очевидните гранични условия: г=0 при х=0 и г/ =0 при х= л, получаваме Б=0, Аα cosα л= 0.

Предполагахме, че стълбът е извит, така че стойността Ане може да бъде равно на нула. следователно, cosα л= 0. Най-малкият ненулев корен на това уравнение α л= π /2 определя първата критична сила

,

което съответства на огъването на пръта по синусоидата

.

Стойности α л=3π /2, α л=5π /2 и т.н., както е показано по-горе, отговарят на големи стойности Пки по-сложни форми на извитата ос на стелажа, които практически могат да съществуват само при наличие на междинни опори.

Като втори пример помислете за стелаж с един притиснат и втори шарнирно закрепен край (фиг. 13.9). Поради кривината на оста на пръта при П= Пкот страната на шарнирната опора възниква хоризонтална реактивна сила Р. Следователно, моментът на огъване в текущата секция на пръта

.α :

Най-малкият корен на това уравнение определя първата критична сила. Това уравнение се решава по метода на подбор. Лесно е да се повярва, че най-малкият ненулев корен на това уравнение α л= 4.493=1.43 π .

Приемане α л= 1.43 π , получаваме следния израз за критичната сила:

Тук μ =1/н- реципрочната стойност на броя на полувълните нсинусоида, по която ще се огъне пръчката. Постоянна μ се нарича коефициент на намаляване на дължината, а продуктът μ л- намалена дължина на пръта. Намалената дължина е дължината на полувълната на синусоидата, по която е огънат този прът.

Случаят на шарнирно закрепване на краищата на пръта се нарича основен случай. От горното следва, че критичната сила за всеки случай на фиксиране на пръта може да се изчисли по формулата за основния случай, когато действителната дължина на пръта се заменя в него с неговата намалена дължина μ л.

Редукционни коефициенти μ за някои стелажи са дадени на фиг. 17.10.

Концепцията за стабилност и критична сила. Изчисления за проектиране и проверка.

В конструкции и конструкции частите, които са относително дълги и тънки пръти, в които един или два размера на напречното сечение са малки в сравнение с дължината на пръта, са от голяма полза. Поведението на такива пръти под действието на аксиално натоварване на натиск се оказва коренно различно от това при компресиране на къси пръти: когато силата на натиск F достигне определена критична стойност, равна на Fcr, праволинейната форма на равновесието на дълъг прът се оказва нестабилен и при превишаване на Fcr пръчката започва интензивно да се огъва (изпъква). В този случай новото (моментно) равновесно състояние на еластичния дълг се превръща в някаква нова вече криволинейна форма. Това явление се нарича загуба на стабилност.

Ориз. 37. Загуба на стабилност

Стабилност - способността на тялото да поддържа позиция или форма на равновесие при външни влияния.

Критична сила (Fcr) - натоварване, превишаването на което причинява загуба на стабилност на първоначалната форма (положение) на тялото. Условие на стабилност:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Стабилност на компресиран прът. проблем на Ойлер.

При определяне на критичната сила, причиняваща изкривяването на компресиран прът, се приема, че прътът е идеално прав и силата F се прилага строго централно. Проблемът за критичното натоварване на компресиран прът, като се отчита възможността за съществуване на две форми на равновесие при една и съща стойност на силата, е решен от Л. Ойлер през 1744г.

Ориз. 38. Компресиран прът

Помислете за прът, подпрян на въртене в краищата, компресиран от надлъжна сила F. Да предположим, че по някаква причина прътът е получил малка кривина на оста, в резултат на което в него се появи момент на огъване M:

където y е отклонението на пръта в произволен участък с координата x.

За да определите критичната сила, можете да използвате приблизителното диференциално уравнение на еластична линия:

(26)

След извършване на трансформациите може да се види, че критичната сила ще придобие минимална стойност при n = 1 (една полувълна на синусоидата се вписва по дължината на пръта) и J = Jmin (прътът е огънат около оста с най-малък инерционен момент)

(27)

Този израз е формулата на Ойлер.

Зависимост на критичната сила от условията за фиксиране на пръта.

Формулата на Ойлер е получена за така наречения основен случай – приемайки шарнирната опора на пръта в краищата. На практика има и други случаи на закрепване на пръта. В този случай може да се получи формула за определяне на критичната сила за всеки от тези случаи, като се реши, както в предишния параграф, диференциалното уравнение на извитата ос на гредата със съответните гранични условия. Но можете да използвате по-проста техника, ако помните, че в случай на загуба на стабилност една полувълна от синусоида трябва да се побере по дължината на пръта.

Нека разгледаме някои характерни случаи на закрепване на пръта в краищата и да получим обща формула за различни видове закрепване.

Ориз. 39. Различни случаи на закрепване на пръта

Общата формула на Ойлер:

(28)

където μ·l = l pr - намалена дължина на пръта; l е действителната дължина на пръта; μ е коефициентът на намалената дължина, показващ колко пъти е необходимо да се промени дължината на пръта, така че критичната сила за този прът да стане равна на критичната сила за шарнирната греда. (Друго тълкуване на намаления коефициент на дължина: μ показва на коя част от дължината на пръта за даден тип закрепване приляга една полувълна на синусоидата в случай на изкривяване.)

Така крайното условие за стабилност приема формата

(29)

Нека разгледаме два вида изчисления за стабилност на компресирани пръти - проверка и проектиране.

Проверете изчислението

Процедурата за проверка на стабилността изглежда така:

Въз основа на известните размери и форма на напречното сечение и условията за фиксиране на пръта, ние изчисляваме гъвкавостта;

Според референтната таблица намираме коефициента на намаляване на допустимото напрежение, след което определяме допустимото напрежение за стабилност;

Сравнете максималното напрежение с допустимото напрежение на стабилност.

Проектно изчисление

При проектното изчисление (за избор на сечение за даден товар) във формулата за изчисление има две неизвестни величини - желаната площ на напречното сечение A и неизвестният коефициент φ (тъй като φ зависи от гъвкавостта на пръта и следователно в неизвестната област А). Следователно, когато избирате раздел, обикновено е необходимо да използвате метода на последователни приближения:

Обикновено при първия опит се взема φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 и площта на напречното сечение се определя в първо приближение

Според намерената площ A1 се избира сечението и се изчислява гъвкавостта на пръта в първо приближение λ1. Знаейки λ, намерете нова стойност φ′1;

Изборът на материал и рационалната форма на секцията.

Избор на материал. Тъй като във формулата на Ойлер за всички механични характеристики е включен само модулът на Юнг, не е препоръчително да се използват високоякостни материали за повишаване на стабилността на силно гъвкавите пръти, тъй като модулът на Юнг е приблизително еднакъв за всички марки стомана.

За пръти с ниска гъвкавост е оправдано използването на висококачествени стомани, тъй като с увеличаване на границата на провлач на такива стомани критичните напрежения се увеличават, а оттам и границата на стабилност.

Иркутски държавен транспортен университет

Лаборатория № 16

по дисциплина "Сила на материалите"

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА КРИТИЧНИ СИЛИ

ЗА НАДЪЛЖНО огъване

Отдел на PM

Лаборатория № 16

Експериментално определяне на критични сили при изкривяване

Обективен:изследване на явлението изкривяване на компресиран стоманен прът в ластик

етапи. Експериментално определяне на стойностите на критичните натоварвания на компресия

пръти с различни методи на закрепване и сравняването им с теоретичните

стойности.

Общи положения

Компресираните пръти не са достатъчни за тестване на здравина според добре познатото условие:

,

където [σ] е допустимото напрежение за материала на пръта, П - сила на натиск Ф - площ на напречното сечение.

На практика инженерите се занимават с гъвкави пръти, подложени на компресия, тънки компресирани плочи, тънкостенни конструкции, чийто отказ се причинява не от загуба на носеща способност, а от загуба на стабилност.

Загубата на стабилност се разбира като загуба на първоначалната форма на равновесие.

Устойчивостта на материалите отчита стабилността на конструктивните елементи, работещи при компресия.

Помислете за дълъг тънък прът (фиг. 1), натоварен с аксиална натискна сила П .

П< П кр П > Пкр

Ориз. един.Пръчка, натоварена с аксиална натискна сила П .

За малки стойности на сила Фпръчката се компресира, като остава права. Освен това, ако прътът се отклони от това положение от малък напречен товар, тогава той ще се огъне, но когато се отстрани, прътът се връща в праволинейно състояние. Това означава, че за дадена сила П праволинейната форма на равновесие на пръта е стабилна.

Ако продължим да увеличаваме силата на натиск П , тогава при част от стойността си, праволинейната форма на равновесие става нестабилна и възниква нова форма на равновесие на пръта - криволинейна (фиг. 1, б) . Поради огъването на пръта в неговите участъци ще се появи момент на огъване, което ще причини допълнителни напрежения и пръчката може внезапно да се срути.

Кривината на дълъг прът, компресиран от надлъжна сила, се нарича изкривяване .

Най-голямата стойност на силата на натиск, при която е устойчива праволинейната форма на равновесие на пръта, се нарича критичен - П кр.

При достигане на критичното натоварване настъпва рязка качествена промяна в първоначалната форма на равновесие, което води до повреда на конструкцията. Следователно критичната сила се счита за товар на скъсване.

Формули на Ойлер и Ясински

Проблемът за определяне на критичната сила на компресиран прът е решен за първи път от члена на Санкт Петербургската академия на науките Л. Ойлер през 1744 г. Формулата на Ойлер има формата

(1)

където Е – модул на еластичност на материала на пръта; Джмин- най-малкият инерционен момент на напречното сечение на пръта (тъй като огъването на пръта по време на изкривяване се случва в равнината на най-малка твърдост, т.е. напречните сечения на пръта се въртят около оста, спрямо която инерционният момент е минимална, тоест или около оста х , или около оста г );

(μ· л ) е намалената дължина на пръта, това е произведението на дължината на пръта л чрез коефициента μ, който зависи от методите за фиксиране на краищата на пръта.

Коефициент μ Наречен фактор за намаляване на дължината ; стойността му за най-често срещаните случаи на фиксиране на краищата на пръта са показани на фиг. 2:

а- двата края на пръта са шарнирни и могат да се доближават един до друг;

б- единият край е здраво захванат, другият е свободен;

в- единият край е шарнирно, другият е с "кръстосано плаващо уплътнение";

г - единият край е здраво захванат, другият има "напречно плаващо уплътнение";

д- единият край е фиксиран неподвижно, а от другия е шарнирно-подвижна опора;

д- двата края са здраво захванати, но могат да се доближат един до друг.

От тези примери се вижда, че кое μ е реципрочната стойност на броя на полувълните на еластичната линия на пръта по време на изкривяване.

Ориз. 2.Коефициент μ за най-често

възникващи случаи на фиксиране на краищата на пръта.

Нормалното напрежение в напречното сечение на компресиран прът, съответстващо на критичната стойност на силата на натиск, също се нарича критично.

Ние го дефинираме въз основа на формулата на Ойлер:

(2)

Геометричната характеристика на секцията имин, определено по формулата

Наречен радиус на въртене на сечението (по отношение на оста c Джмин). За правоъгълно сечение

Като се вземе предвид (3), формула (2) ще приеме вида:

(4)

Съотношението на намалената дължина на пръта към минималния радиус на въртене на напречното му сечение, по предложение на професора от Санкт Петербургския институт на железопътните инженери F.S. Ясински (1856-1899) се нарича гъвкавост на пръта и се обозначава с буквата λ :

Тази безразмерна величина едновременно отразява следните параметри: дължината на пръта, начина, по който е фиксирана и характеристиката на напречното сечение.

Накрая, замествайки (5) във формула (4), получаваме

При извеждането на формулата на Ойлер се приема, че материалът на пръчката е еластичен и следва закона на Хук. Следователно формулата на Ойлер може да се прилага само при напрежения, по-малки от границата на пропорционалност σ hc, тоест кога

Това условие определя границата на приложимост на формулата на Ойлер:

Количеството от дясната страна на това неравенство се нарича крайна гъвкавост :

стойността му зависи от физичните и механичните свойства на материала на пръта.

За мека стомана St. 3, за което σ hc= 200 MPa, Е = 2· 10 5 МРа:

По същия начин можете да изчислите стойността на крайната гъвкавост за други материали: за чугун λ преди= 80, за бор λ преди = 110.

Така формулата на Ойлер е приложима за пръти, чиято гъвкавост е по-голяма или равна на пределната гъвкавост, т.е.

λ ≥ λ преди

Това трябва да се разбира по следния начин: ако гъвкавостта на пръта е по-голяма от пределната гъвкавост, тогава критичната сила трябва да се определи по формулата на Ойлер.

В λ < λ предиФормулата на Ойлер за пръти не е приложима. В тези случаи, когато гъвкавостта на прътите е по-малка от ограничителната, емпиричната Формулата на Ясински :

σ кр = а – б λ , (7)

където а и б - експериментално определени коефициенти, които са постоянни за даден материал; те имат измерението на стрес.

За някаква стойност на гъвкавостта λ относнонапрежение σ кр, изчислено по формула (7), става равно на пределното напрежение на натиск, т.е. границата на провлач σ тза пластични материали или якост на натиск σ слънце- за крехки материали. Пръчки с ниска гъвкавост ( λ < λ относно) не разчитайте на стабилност, а на здравина при просто компресиране.

По този начин, в зависимост от гъвкавостта, изчисляването на компресираните пръти за стабилност се извършва по различен начин.