Свойства на синусите и косинусите на формулата. Основни тригонометрични идентичности

Тригонометрията е клон на математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в дните на древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. В него се обсъждат дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение в контекста на геометрията е обяснено и илюстрирано.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез съотношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъла (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинусът на ъгъла (cos α) е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъла (t g α) е отношението на противоположния катет към съседния.

Котангенсът на ъгъла (c t g α) е отношението на съседния крак към противоположния.

Тези определения са дадени за остър ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс позволяват да се изчислят стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълник.

Важно е да запомните!

Диапазонът на стойностите на синуса и косинуса: от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът на стойностите на тангенса и котангенса е цялата числова права, т.е. функциите могат да приемат всякаква стойност.

Определенията, дадени по-горе, се отнасят до остри ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на въртене, чиято стойност за разлика от острия ъгъл не е ограничена от рамки от 0 до 90 градуса. Ъгълът на въртене в градуси или радиани се изразява с произволно реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст може да се дефинират синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Представете си единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1 , 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на някакъв ъгъл α и отива в точка A 1 . Определението е дадено чрез координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на въртене

Синусът на ъгъла на завъртане α е ордината на точка A 1 (x, y). sinα = y

Косинус (cos) на ъгъла на въртене

Косинусът на ъгъла на въртене α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на въртене

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абсцис. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на въртене

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са дефинирани за всеки ъгъл на въртене. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точката след завъртането могат да бъдат определени под произволен ъгъл. Положението е различно с тангенса и котангенса. Допирателната не се дефинира, когато точката след завъртане отива в точката с нулева абсцис (0 , 1) и (0 , - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точката изчезва.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са дефинирани за всякакви ъгли α.

Тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте "синус на ъгъла на въртене α". Думите "ъгъл на въртене" просто са пропуснати, което означава, че от контекста вече е ясно за какво става дума.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на число, а не ъгъла на въртене?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число тсе нарича число, което е съответно равно на синуса, косинуса, тангенса и котангенса в традиан.

Например, синусът от 10 π е равен на синуса на ъгъла на въртене от 10 π rad.

Има и друг подход към дефиницията на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на число. Нека го разгледаме по-подробно.

Всяко реално число тточка от единичната окръжност се поставя в съответствие с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се дефинират по отношение на координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1 , 0).

положително число т

Отрицателно число тсъответства на точката, до която ще се движи началната точка, ако се движи обратно на часовниковата стрелка около окръжността и премине пътя t.

След като връзката между числото и точката на окръжността е установена, пристъпваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (sin) на числото t

Синус на число т- ордината на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото т. sin t = y

Косинус (cos) на t

Косинус на число т- абсциса на точката на единичната окръжност, съответстваща на числото т. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число т- отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото т. t g t = y x = sin t cos t

Последните дефиниции са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този раздел. Точка върху окръжност, съответстваща на число т, съвпада с точката, до която преминава началната точка след завъртане през ъгъла традиан.

Тригонометрични функции на ъглови и числови аргументи

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) съответства на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както бе споменато по-горе, е дефиниран за всички α, с изключение на α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α , cos α , t g α , c t g α са функции на ъгъла alpha или функции на ъгловия аргумент.

По същия начин може да се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Всяко реално число тсъответства на конкретна стойност на синуса или косинуса на число т. Всички числа, различни от π 2 + π · k , k ∈ Z, съответстват на стойността на допирателната. Котангенсът е дефиниран по подобен начин за всички числа с изключение на π · k , k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към данните в самото начало на дефинициите и ъгъла алфа, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са в пълно съответствие с геометричните дефиниции, дадени от съотношенията на страните на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единична окръжност, центрирана върху правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и изчертаем от получената точка A 1 (x, y) перпендикулярно на оста x. В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точка A 1 (x, y) . Дължината на крака срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като това е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъла α е равен на отношението на противоположния крак към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определението на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на дефиницията на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа лежи в диапазона от 0 до 90 градуса.

По същия начин съответствието на дефинициите може да бъде показано за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Решение на най-простите тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения от всяко ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това тригонометричният кръг отново се оказва най-добрият помощник.

Припомнете си определенията за косинус и синус.

Косинусът на ъгъла е абсцисата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане под даден ъгъл.

Синусът на ъгъла е ординатата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане под даден ъгъл.

Положителната посока на движение по тригонометричния кръг се счита за движение обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1; 0)

Използваме тези дефиниции за решаване на най-простите тригонометрични уравнения.

1. Решете уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички такива стойности на ъгъла на въртене, които съответстват на точките на окръжността, чиято ордината е равна на .

Нека отбележим точка с ордината на оста y:

Начертайте хоризонтална линия, успоредна на оста x, докато се пресече с окръжността. Ще получим две точки, лежащи върху окръжност и с ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене на и радиани:

Ако напуснем точката, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан, заобиколим пълен кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан и имаща същата ордината. Тоест този ъгъл на въртене също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „завои на празен ход“, колкото искаме, връщайки се към същата точка и всички тези стойности на ъглите ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход се обозначава с буквата (или). Тъй като можем да правим тези обороти както в положителни, така и в отрицателни посоки, (или ) може да приеме всякакви цели числа.

Тоест първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

, , - набор от цели числа (1)

По същия начин, втората серия от решения има формата:

, където , . (2)

Както се досещате, тази серия от решения се основава на точката на окръжността, съответстваща на ъгъла на завъртане от .

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем този запис (тоест, четен), тогава ще получим първата серия от решения.

Ако вземем този запис (тоест нечетен), тогава ще получим втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като е абсцисата на точката на единичната окръжност, получена чрез завъртане през ъгъла, маркираме върху оста точка с абсцисата:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с окръжността. Ще получим две точки, лежащи върху окръжност и с абсциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене на и радиани. Припомнете си, че при движение по часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Записваме две серии от решения:

,

,

(Стигаме до правилната точка, като минаваме от главния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един пост:

3. Решете уравнението

Линията на допирателните минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Отбележете върху него точка с ордината, равна на 1 (търсим тангенса на чийто ъгли е 1):

Свържете тази точка с началото с права линия и маркирайте точките на пресичане на линията с единичния кръг. Точките на пресичане на правата и окръжността съответстват на ъглите на въртене на и :

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на въртене, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат в радиани един от друг, можем да запишем решението, както следва:

4. Решете уравнението

Правата на котангентите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Отбелязваме точка с абсцисата -1 на линията на котангентите:

Свържете тази точка с началото на правата линия и я продължете, докато се пресече с окръжността. Тази линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъгли на въртене на и радиани:

Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , тогава можем да напишем общото решение на това уравнение, както следва:

В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометричните функции.

Ако обаче от дясната страна на уравнението има стойност, която не е таблица, тогава ние заместваме стойността в общото решение на уравнението:

СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:

Маркирайте точки от окръжността, чиято ордината е 0:

Маркирайте една точка от окръжността, чиято ордината е равна на 1:

Отбележете една точка от окръжността, чиято ордината е равна на -1:

Тъй като е обичайно да се посочват стойностите, които са най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:

Отбележете точките на окръжността, чиято абциса е 0:

5.
Нека отбележим една точка върху окръжността, чиято абциса е равна на 1:

Отбележете една точка на окръжността, чиято абсцис е равна на -1:

И няколко по-сложни примера:

1.

Синусът е единица, ако аргументът е

Аргументът на нашия синус е , така че получаваме:

Разделете двете страни на уравнението на 3:

Отговор:

2.

Косинусът е нула, ако аргументът косинус е

Аргументът на нашия косинус е , така че получаваме:

Изразяваме , за това първо се движим надясно с противоположен знак:

Опростете дясната страна:

Разделете двете части на -2:

Обърнете внимание, че знакът пред термина не се променя, тъй като k може да приеме всякакви цели числа.

Отговор:

И в заключение, гледайте видео урока "Избор на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометричен кръг"

С това приключваме разговора за решаването на най-простите тригонометрични уравнения. Следващия път ще говорим как да го решим.

Първоначално синусът и косинусът възникват поради необходимостта от изчисляване на количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако стойността на градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко се променят дължината на тези страни, винаги остава същото.

Така бяха въведени понятията синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположния катет към хипотенузата, а косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата.

Теореми на косинусите и синусите

Но косинусите и синусите могат да се използват не само в правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл, страната на всеки триъгълник, е достатъчно да приложите теоремата за косинус и синус.

Теоремата за косинусите е доста проста: "Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни от косинуса на ъгъла между тях."

Има две интерпретации на теоремата за синусите: малка и разширена. Според малкия: "В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни." Тази теорема често се разширява поради свойството на окръжността, описана около триъгълник: "В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност."

Производни

Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функцията по отношение на промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.

Когато решавате задачи, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синуса е косинусът, а производната на косинуса е синусът, но със знак минус.

Приложение в математиката

Особено често синусите и косинусите се използват при решаване на правоъгълни триъгълници и проблеми, свързани с тях.

Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Ъглите и страните бяха лесни за оценка с помощта на теоремите за косинус и синус, разбивайки сложни форми и обекти на "прости" триъгълници. Инженерите и, често занимаващи се с изчисления на аспектното съотношение и мерките за степен, прекарват много време и усилия в изчисляване на косинусите и синусите на ъглите извън таблицата.

Тогава на помощ идват таблиците на Брадис, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на различни ъгли. В съветско време някои учители принуждаваха подопечните си да запомнят страниците на таблиците на Брадис.

Радиан - ъгловата стойност на дъгата, по дължината, равна на радиуса или 57,295779513 ° градуса.

Градус (в геометрия) - 1/360 от окръжността или 1/90 от прав ъгъл.

π = 3,141592653589793238462… (приблизителна стойност на pi).

Косинусова таблица за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ъгъл x (в градуси)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Ъгъл x (в радиани)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Започваме нашето изучаване на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво представляват синусът и косинусът, както и тангенсът и котангенсът на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Припомнете си това прав ъгъле ъгъл равен на 90 градуса. С други думи, половината от разгънатия ъгъл.

Остър ъгъл- под 90 градуса.

Тъп ъгъл- над 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Обикновено се обозначава прав ъгъл. Имайте предвид, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. И така, страната, лежаща срещу ъгъла A, е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

ХипотенузаПравоъгълен триъгълник е страната, противоположна на правия ъгъл.

Крака- страни срещу остри ъгли.

Кракът срещу ъгъла се нарича противоположно(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи от едната страна на ъгъла, се нарича съседен.

Синусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата:

косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към хипотенузата:

Тангентаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположния крак към съседния:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към противоположния (или, еквивалентно, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните съотношения за синус, косинус, тангенс и котангенс, които са дадени по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаването на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и написали формули. Но защо имаме нужда от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е.

Ние знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки две страни в правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. И така, за ъглите - тяхното съотношение, за страните - тяхното собствено. Но какво да направите, ако в правоъгълен триъгълник са известни един ъгъл (с изключение на правилния) и едната страна, но трябва да намерите други страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на района и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат тригонометрични функции на ъгъла- дайте съотношението между партиии ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции с помощта на специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангентите на ъглите на триъгълник и една от неговите страни, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс за "добри" ъгли от до.

Обърнете внимание на двете червени чертички в таблицата. За съответните стойности на ъглите тангенсът и котангенсът не съществуват.

Нека анализираме няколко проблема по тригонометрия от задачите на Bank of FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Дотолкова доколкото , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Да намерим по питагоровата теорема.

Проблема решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и . Запомнете основните съотношения за тях наизуст!

За триъгълник с ъгли и кракът срещу ъгъла при е равен на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. В него хипотенузата е в пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест за намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! Във вариантите на изпита по математика има много задачи, при които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълника. Повече за това в следващата статия.

Разбиране на прости понятия: синус и косинуси изчисление косинус на квадрат и синус на квадрат.

Синусът и косинусът се изучават в тригонометрията (науката за триъгълниците с прав ъгъл).

Ето защо, за начало, нека си припомним основните понятия за правоъгълен триъгълник:

Хипотенуза- страната, която винаги лежи срещу правия ъгъл (ъгъл от 90 градуса). Хипотенузата е най-дългата страна на правоъгълен триъгълник.

Останалите две страни в правоъгълен триъгълник се наричат крака.

Също така не забравяйте, че трите ъгъла в триъгълника винаги се равняват на 180°.

Сега да преминем към косинус и синус на ъгъла алфа (∠α)(така че можете да извикате всеки неправ ъгъл в триъгълник или да използвате като символ х - "х", което не променя същността).

Синус на ъгъл алфа (sin ∠α)- това е отношение противоположнокрак (страната, противоположна на съответния ъгъл) към хипотенузата. Ако погледнете фигурата, тогава sin ∠ABC = AC / BC

Косинус на ъгъл алфа (cos ∠α)- поведение съседенкъм ъгъла на катета спрямо хипотенузата. Поглеждайки отново към фигурата по-горе, тогава cos ∠ABC = AB / BC

И само да ви напомня: косинусът и синусът никога няма да бъдат по-големи от едно, тъй като всеки рол е по-къс от хипотенузата (а хипотенузата е най-дългата страна на всеки триъгълник, защото най-дългата страна е разположена срещу най-големия ъгъл в триъгълника) .

Косинус на квадрат, синус на квадрат

Сега нека преминем към основните тригонометрични формули: изчисляване на косинус на квадрат и на синус на квадрат.

За да ги изчислите, трябва да запомните основната тригонометрична идентичност:

sin 2 α + cos 2 α = 1(синус квадрат плюс косинус квадрат на един ъгъл винаги е равно на единица).

От тригонометричната идентичност правим изводи за синуса:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

синус квадрат алфае равно на едно минус косинусът на двойния ъгъл алфа и всичко това се дели на две.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​От тригонометричната идентичност правим изводи за косинуса:

cos 2 α \u003d 1 - sin 2 α

или по-сложна версия на формулата: косинус квадрат алфае равно на едно плюс косинуса на двойния ъгъл алфа и също разделете всичко на две.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Тези две по-сложни формули на синус на квадрат и косинус на квадрат се наричат ​​още „намаляване на мощността за квадратите на тригонометричните функции“. Тези. беше втора степен, понижена до първа и изчисленията станаха по-удобни.