Daraja oddiy kasrdir. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish: qoida, misollar

Darsda kasrlarni ko'paytirishning yanada umumlashtirilgan versiyasi ko'rib chiqiladi - bu eksponentatsiya. Avvalo, kasrning tabiiy darajasi va kasrlar bilan o'xshash harakatlarni ko'rsatadigan misollar haqida gapiramiz. Dars boshida biz butun sonli ifodalarning tabiiy kuchiga oshirishni takrorlaymiz va bu keyingi misollarni echish uchun qanchalik foydali ekanligini ko'rib chiqamiz.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Algebraik kasrlar ustidagi arifmetik amallar

Dars: Qurilish algebraik kasr darajaga qadar

1. Kasr va butun son ifodalarini elementar misollar bilan natural darajaga ko‘tarish qoidalari

Oddiy va algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish qoidasi:

Siz butun son ifodasi darajasi bilan o'xshashlik chizishingiz va uni bir darajaga ko'tarish nimani anglatishini eslab qolishingiz mumkin:

1-misol .

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrni kuchga ko'tarish maxsus holat oldingi darsda o'rganilgan kasrlarni ko'paytirish.

2-misol. a), b) - minus yo'qoladi, chunki biz ifodani teng kuchga oshirdik.

Darajalar bilan ishlash qulayligi uchun biz tabiiy quvvatni oshirishning asosiy qoidalarini eslaymiz:

- darajalar mahsuloti;

- darajalarni taqsimlash;

Bir darajani kuchga ko'tarish;

Ishning darajasi.

3-misol. - bu bizga "Bits sonli ifodalar kuchiga ko'tarish" mavzusidan beri ma'lum, bir holatdan tashqari: u mavjud emas.

2. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun eng oddiy misollar

Misol 4. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Bir tekis quvvatga ko'tarilganda, minus yo'qoladi:

Misol 5. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Endi biz alohida jadvalsiz darhol darajani darajaga ko'tarish qoidalaridan foydalanamiz:

Endi kasrlarni bir darajaga ko'tarish, ularni ko'paytirish va bo'lish kerak bo'lgan birlashtirilgan vazifalarni ko'rib chiqing.

6-misol: Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Keyinchalik, siz kamaytirishni amalga oshirishingiz kerak. Biz buni qanday qilishimizni bir marta batafsil tasvirlab beramiz va keyin natijani darhol analogiya bilan ko'rsatamiz:. Xuddi shunday (yoki darajalarni bo'lish qoidasiga ko'ra). Bizda ... bor: .

7-misol: Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Qisqartirish yuqorida muhokama qilingan misolga o'xshash tarzda amalga oshiriladi.

8-misol: Harakatlarni bajaring.

Yechim. . IN bu misol biz ushbu usulni birlashtirish uchun kasrlarda vakolatlarni qisqartirish jarayonini yana bir bor batafsil tasvirlab berdik.

3. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun murakkabroq misollar (belgilarni hisobga olgan holda va qavs ichidagi atamalar bilan)

9-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda biz kasrlarni alohida ko'paytirishni o'tkazib yuboramiz va darhol ularni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz va uni bitta maxraj ostida yozamiz. Shu bilan birga, biz belgilarga amal qilamiz - bu holda, kasrlar teng kuchlarga ko'tariladi, shuning uchun minuslar yo'qoladi. Oxirida qisqartirishni qilaylik.

10-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda kasrlarning bo'linishi mavjud, esda tutingki, bu holda birinchi kasr ikkinchisiga ko'paytiriladi, lekin teskari.

Ko'rsatkich ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan operatsiya bo'lib, bu operatsiya sonni o'z-o'zidan bir necha marta ko'paytirish natijasidir. Formulani ifodalaymiz: a1 * a2 * ... * an = an.

Masalan, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Umuman olganda, ko'rsatkich ko'pincha matematika va fizikada turli formulalarda qo'llaniladi. Bu funktsiya to'rtta asosiydan ko'ra ko'proq ilmiy maqsadga ega: qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish.

Raqamni quvvatga ko'tarish

Raqamni quvvatga ko'tarish qiyin operatsiya emas. Bu ko'paytirish va qo'shish o'rtasidagi munosabat kabi ko'paytirish bilan bog'liq. Record an - bir-biriga ko'paytiriladigan "a" sonlarining n-sonining qisqacha yozuvi.

Eng ko'p eksponentsiyani ko'rib chiqing oddiy misollar murakkablarga o'tish.

Masalan, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . To'rt kvadrat (ikkinchi daraja) o'n oltiga teng. Agar siz 4 * 4 ko'paytirishni tushunmasangiz, unda ko'paytirish haqidagi maqolamizni o'qing.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Besh kubik (uchinchi darajaga) bir yuz yigirma beshga teng.

Yana bir misol: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . To'qqiz kub yetti yuz yigirma to'qqizga teng.

Ko'rsatkich formulalari

Quvvatni to'g'ri oshirish uchun siz quyidagi formulalarni eslab, bilishingiz kerak. Bunda tabiiylikdan boshqa narsa yo'q, asosiysi mohiyatni tushunishdir va keyin ular nafaqat esda qoladi, balki oson ko'rinadi.

Monomialni kuchga ko'tarish

Monomial nima? Bu har qanday miqdordagi raqamlar va o'zgaruvchilar mahsulotidir. Masalan, ikkitasi monomialdir. Va bu maqola bunday monomiallarni kuchga ko'tarish haqida.

Ko'rsatkich formulalaridan foydalanib, monomialning darajaga ko'tarilishini hisoblash qiyin bo'lmaydi.

Misol uchun, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Agar siz monomialni quvvatga ko'tarsangiz, monomialning har bir komponenti kuchga ko'tariladi.

Bir darajaga ega bo'lgan o'zgaruvchini ko'tarishda darajalar ko'paytiriladi. Masalan, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Salbiy kuchga ko'tarilish

Manfiy ko'rsatkich sonning o'zaro ko'rsatkichidir. O'zaro munosabatlar nima? Har qanday X soni uchun o'zaro 1/X dir. Bu X-1=1/X. Bu salbiy darajaning mohiyatidir.

Misolni ko'rib chiqing (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Nega bunday? Darajada minus mavjud bo'lganligi sababli, biz bu ifodani maxrajga o'tkazamiz va keyin uni uchinchi darajaga ko'taramiz. To'g'rimi?

Kasr kuchiga ko'tarish

Keling, muhokamani boshlaylik aniq misol. 43/2. 3/2 quvvat nimani anglatadi? 3 - numerator, raqamni (bu holda 4) kubga ko'tarishni anglatadi. 2 raqami maxrajdir, bu raqamning ikkinchi ildizini olishdir (bu holda 4).

Keyin 43 = 2^3 = 8 ning kvadrat ildizini olamiz. Javob: 8.

Demak, kasr darajaning maxraji 3 yoki 4 bo'lishi mumkin va cheksizgacha har qanday son bo'lishi mumkin va bu raqam darajani aniqlaydi. kvadrat ildiz dan olingan berilgan raqam. Albatta, maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas.

Ildizni kuchga ko'tarish

Agar ildiz ildizning kuchiga teng kuchga ko'tarilgan bo'lsa, unda javob radikal ifodadir. Masalan, (√x)2 = x. Va shuning uchun har qanday holatda ildiz darajasining tengligi va ildizni ko'tarish darajasi.

Agar (√x)^4. Keyin (√x)^4=x^2. Yechimni tekshirish uchun ifodani kasr darajasiga ega ifodaga aylantiramiz. Ildiz kvadrat bo'lgani uchun maxraj 2 ga teng. Va agar ildiz to'rtinchi darajaga ko'tarilsa, u holda hisoblagich 4. Biz 4/2 = 2 ni olamiz. Javob: x = 2.

Nima bo'lganda ham eng yaxshi yo'l ifodani kasr kuchiga ega ifodaga aylantirish kifoya. Agar kasr kamaytirilmasa, berilgan sonning ildizi ajratilmagan bo'lsa, bunday javob bo'ladi.

Kompleks sonni darajaga chiqarish

Kompleks son nima? Kompleks son - a + b * i formulasiga ega bo'lgan ifoda; a, b haqiqiy sonlar. i - kvadratga aylantirilganda -1 raqamini beradigan raqam.

Bir misolni ko'rib chiqing. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Raqamlarni tez va toʻgʻri qoʻshish, ayirish, koʻpaytirish, boʻlish, kvadratchalar va hatto ildiz olish usullarini oʻrganish uchun “Aqliy hisobni tezlashtiring, aqliy arifmetika emas” kursiga yoziling. 30 kun ichida siz arifmetik amallarni soddalashtirish uchun oson fokuslardan qanday foydalanishni o'rganasiz. Har bir darsda yangi texnikalar, aniq misollar va foydali vazifalar mavjud.

Onlayn ko'rsatkich

Bizning kalkulyatorimiz yordamida siz sonning darajaga ko'tarilishini hisoblashingiz mumkin:

Koʻrsatkichlar darajasi 7

Hokimiyatga ko'tarilish maktab o'quvchilariga faqat ettinchi sinfdan o'tishni boshlaydi.

Ko'rsatkich ko'paytirish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan operatsiya bo'lib, bu operatsiya sonni o'z-o'zidan bir necha marta ko'paytirish natijasidir. Formulani ifodalaymiz: a1 * a2 * … * an=an .

Misol uchun, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Yechimga misollar:

Ko'rsatkich bo'yicha taqdimot

Yettinchi sinf o'quvchilari uchun mo'ljallangan eksponentsiya bo'yicha taqdimot. Taqdimot ba'zi tushunarsiz fikrlarni aniqlashtirishi mumkin, ammo bizning maqolamiz tufayli bunday fikrlar bo'lmaydi.

Natija

Biz matematikani yaxshiroq tushunish uchun aysbergning faqat uchini ko'rib chiqdik - kursimizga yoziling: Aqliy hisoblashni tezlashtiring - aqliy arifmetika emas.

Kursdan siz nafaqat soddalashtirilgan va tez ko'paytirish, qo'shish, ko'paytirish, bo'lish, foizlarni hisoblash uchun o'nlab fokuslarni o'rganasiz, balki ularni maxsus topshiriqlar va o'quv o'yinlarida ham ishlab chiqasiz! Aqliy hisoblash, shuningdek, qiziqarli muammolarni hal qilishda faol o'qitilgan juda ko'p e'tibor va konsentratsiyani talab qiladi.

Ko'rsatma

Agar manbada u oddiy kasr formatida berilgan bo'lsa, unda operatsiya ikki bosqichda bajarilishi kerak. Ularning ketma-ketligi natijaga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi - masalan, kasrning maxrajida ko'rsatilgan darajaning ildizi sonidan boshlang. Masalan, to ko'tarish daraja⅔ bu bosqichda 64 raqamini undan chiqarish kerak: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Birinchi qadamda olingan qiymatni ko'taring daraja kasrning numeratoridagi songa teng. Ushbu operatsiyaning natijasi raqamni kasrga ko'tarish natijasi bo'ladi daraja. Oldingi bosqichdagi misol uchun butun hisoblash jarayoni quyidagicha yozilishi mumkin: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Yuqorida tavsiflangan operatsiyalar ketma-ketligini aniqlashda, ildizni ajratib olish va ko'tarishda hisob-kitoblarning soddaligidan foydalaning. daraja. Misol uchun, agar u xuddi shunday talab qilingan bo'lsa daraja⅔ 8 raqamini ko'tarish uchun, keyin sakkizning kub ildizini olishdan boshlab , bo'ladi, chunki natija kasr bo'ladi. Bunday holda, 8 kvadratdan boshlash va keyin 64 ning uchinchi ildizini olish va kasr oraliq qiymatlardan qochish yaxshiroqdir: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Agar manba ma'lumotlaridagi ko'rsatkich o'nlik formatda berilgan bo'lsa, uni oddiy kasrga aylantirishdan boshlang va keyin yuqorida tavsiflangan algoritmga amal qiling. Masalan, raqamni ko'tarish uchun daraja 0,75 bu raqamni oddiy kasr ¾ ga aylantiring, so'ngra to'rtinchi ildizni chiqarib oling va natijani kubga ko'taring.

Agar hisob-kitoblarning borishi muhim bo'lmasa, faqat natija muhim bo'lsa, har qandayidan foydalaning. Bundan tashqari, u o'rnatilgan skript bo'lishi mumkin Google qidiruvi- uning yordami bilan istalgan qiymat standart Windows kalkulyatoridan foydalanishdan ham osonroq. Masalan, 15 raqamini ko'tarish uchun daraja⅗ ga boring bosh sahifa saytga o'ting va qidiruv so'rovi maydoniga 15^(3/5) kiriting. Google hisob-kitoblar natijasini so'rov yuborish tugmasini bosmasdan ham 8 belgigacha aniqlik bilan ko'rsatadi: 15 ^ (3/5) = 5.07755639.

Manbalar:

kasr kuchiga qanday ko'tariladi

Daraja raqamlar maktabda algebra darslarida saralangan. Hayotda bunday operatsiya kamdan-kam hollarda amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat maydonini yoki kub hajmini hisoblashda ko'rsatkichlar qo'llaniladi, chunki uzunlik, kenglik, kub va balandlik uchun teng qiymatlar. Aks holda, eksponentatsiya ko'pincha amaliy sanoat xarakteriga ega.

Sizga kerak bo'ladi

Qog'oz, qalam, muhandislik kalkulyatori, daraja jadvallari, dasturiy mahsulotlar (masalan, Excel elektron jadval muharriri).

Ko'rsatma

Salbiy raqam bilan ishlashda siz belgilar bilan ehtiyot bo'lishingiz kerak. Shuni esda tutish kerakki, juft daraja (n) ortiqcha belgisini, toq belgisini beradi.
Misol uchun
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Har qandayidan nol daraja (n = 0). raqamlar har doim bittaga teng bo'ladi.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Agar n = 1 bo'lsa, sonni o'ziga ko'paytirish kerak emas.
iroda
7^1 = 7
329^1 = 329

Agar n = 2 bo'lsa, daraja kvadrat, n = 3 bo'lsa, daraja kub deyiladi. Birinchi o'nlikdagi raqamlardan kvadrat va kubni hisoblash juda oson. Ammo o'sish bilan raqamlar kuchga ko'tariladi va kuchning o'zi ortib borishi bilan hisob-kitoblar mashaqqatli bo'ladi. Bunday hisob-kitoblar uchun maxsus jadvallar ishlab chiqilgan. Shuningdek, maxsus muhandislik va onlayn kalkulyatorlar, dasturiy mahsulotlar mavjud. Amal qilish uchun eng oddiy dastur sifatida siz Excel elektron jadval muharriridan foydalanishingiz mumkin.

Manbalar:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Ba'zi texnik muammolarni hal qilishda hisoblash kerak bo'lishi mumkin ildiz uchinchi daraja. Ba'zan bu raqam kub ildizi deb ham ataladi. ildiz uchinchi daraja berilgan sondan kub (uchinchi daraja) berilgan raqamga teng bo'lgan bunday raqam chaqiriladi. Ya'ni, agar y ildiz uchinchi daraja sonlar x, u holda quyidagi shart bajarilishi kerak: y?=x (x y kubga teng).

Sizga kerak bo'ladi

kalkulyator yoki kompyuter

Ko'rsatma

Hisoblash uchun ildiz daraja kalkulyatordan foydalaning. Bu oddiy emas, balki muhandislik hisob-kitoblari uchun ishlatiladigan kalkulyator bo'lishi ma'qul. Biroq, bu holatda ham siz ildizni olish uchun maxsus tugmani topa olmaysiz. uchinchi daraja. Shunday qilib, raqamni bir darajaga ko'tarish uchun funktsiyadan foydalaning. Ildizni ajratib olish uchinchi daraja 1/3 (uchdan bir) kuchiga ko'tarishga to'g'ri keladi.

Raqamni 1/3 ga oshirish uchun kalkulyator klaviaturasida raqamning o'zini kiriting. Keyin "eksponentsiya" tugmasini bosing. Bunday tugma, kalkulyator turiga qarab, xy (y - ustun belgisi shaklida) kabi ko'rinishi mumkin. Ko'pgina kalkulyatorlar oddiy (o'nlik bo'lmagan) raqamlar bilan ishlash qobiliyatiga ega emasligi sababli, 1/3 raqami o'rniga uning taxminiy qiymatini yozing: 0,33. Hisob-kitoblarning aniqligini oshirish uchun "uchlik" sonini ko'paytirish kerak, masalan, 0,33333333333333 raqamini tering. Keyin "=" tugmasini bosing.

Hisoblash uchun ildiz uchinchi daraja yoqilgan bo'lsa, standart Windows kalkulyatoridan foydalaning. Jarayon yo'riqnomaning oldingi bandida tasvirlanganga to'liq o'xshaydi. Yagona narsa - eksponentatsiya tugmalari. "Kompyuter" kalkulyatorida u x ^ y ga o'xshaydi.

Agar ildiz uchinchi daraja Agar siz buni tizimli ravishda bajarishingiz kerak bo'lsa, unda MS Excel dasturidan foydalaning. Hisoblash uchun ildiz uchinchi daraja Excel-da istalgan katakchaga “=” belgisini kiriting va keyin “fx” ni tanlang - funktsiyani kiriting. Ko'rsatilgan oynada "Funksiyani tanlash" ro'yxatida "DEGREE" qatorini tanlang. OK tugmasini bosing. Yangi paydo bo'lgan oynada "Raqam" qatoriga siz chiqarmoqchi bo'lgan raqamning qiymatini kiriting. ildiz. "Daraja" qatoriga "1/3" raqamini kiriting va "OK" tugmasini bosing. Asl raqamdan kub ildizining kerakli qiymati jadvalda paydo bo'ladi.

Texnik hisob-kitoblarda va ko'plab muammolarni hal qilishda ba'zan talab qilinadi ildiz, ya'ni kubi asl soniga teng bo'lgan sonni toping. Kub ildizining qiymatini hisoblash uchun muhandislik kalkulyatori etarli. Biroq, bunday kalkulyatorda ham kub ildizini hisoblash uchun maxsus kalit yo'q. Ammo ba'zi oddiy fokuslardan foydalanib, siz bunday tugmachasiz qilishingiz mumkin.

Sizga kerak bo'ladi

muhandislik kalkulyatori yoki kompyuter

Ko'rsatma

Kalkulyator yordamida kub ildizini topish uchun muhandislik raqamini oling va unga asl raqamni kiriting. Keyin, eksponentatsiya tugmasini bosing. Endi indikator qiymatini kiriting. Bunday holda, u (nazariy jihatdan) 1/3 ga teng bo'lishi kerak. Ammo oddiy kasrlardan hatto muhandislik kalkulyatorida ham foydalanish qiyin bo'lganligi sababli, 1/3 raqamining yaxlitlangan qiymatini kiriting, ya'ni: 0,33. Keyin "=" tugmasini bosing. Kalkulyator indikatorida kerakli qiymat paydo bo'ladi. Ko'proq olish uchun aniq qiymat, ikkita uchlik emas, balki, masalan, 0,333333333333 raqamini tering.

Kompyuterda kub ildizini hisoblash uchun kalkulyator dasturini ishga tushiring. Agar mos keladigan belgi ish stolida bo'lmasa, quyidagilarni bajaring:
- "Ishga tushirish" tugmasini bosing;
- menyuning "Ishga tushirish" bandini tanlang;
- paydo bo'lgan oynada “calc” qatorini kiriting.Agar ish stolida paydo bo'ladigan kalkulyator oddiy ko'rinishga ega bo'lsa (“buxgalteriya kalkulyatori”ga o'xshasa), uni hisoblash rejimiga o'tkazing. Buni amalga oshirish uchun "Ko'rish" qatorini tanlang va "Muhandislik" bandini tanlang.Endi kub ildizini chiqarmoqchi bo'lgan raqamni kiriting. Keyin kalkulyatordagi "x^y" tugmasini bosing. Keyin, masalan, 0,33 raqamini tering. Aniqroq natijaga erishish uchun ko'rsatkichning kattaroq qiymatini yozishingiz mumkin, masalan, 0,333333333333. To'g'ri natijaga erishish uchun qavs ichiga "1/3" ko'rsatkichini kiriting. Ya'ni, "(1/3)" tugmachalarini ketma-ket bosing.

Excelda hisoblash. Dasturni o'zi ishga tushiring, "=" tugmasini bosing va "DEGREE" funksiyasini tanlang. Keyin darajaning ildizini chiqarmoqchi bo'lgan raqamni kiriting. Keyin paydo bo'lgan keyingi oynada "1/3" kasrni kiriting va "OK" tugmasini bosing.

Tegishli videolar

Manbalar:

qanday hisoblash kerak kub ildizlari

Arifmetik va algebraik masalalarni yechishda ba’zan qurish talab qilinadi kasr ichida kvadrat. Buni qilishning eng oson yo'li - qachon kasr kasr - oddiy kalkulyator etarli. Biroq, agar kasr oddiy yoki aralash, keyin bunday raqamni ko'targanda kvadrat ba'zi qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin.

Biz raqamning darajasi qanday ekanligini aniqladik. Endi biz uni qanday qilib to'g'ri hisoblashni tushunishimiz kerak, ya'ni. raqamlarni kuchga ko'tarish. Ushbu materialda biz butun son, natural, kasr, ratsional va irratsional ko'rsatkich holatida darajani hisoblashning asosiy qoidalarini tahlil qilamiz. Barcha ta'riflar misollar bilan tasvirlanadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentsiya tushunchasi

Keling, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.

Ta'rif 1

Koʻrsatkich koʻtarish qandaydir sonning quvvati qiymatini hisoblashdir.

Ya'ni, "darajaning qiymatini hisoblash" va "ko'rsatkich" so'zlari bir xil ma'noni anglatadi. Shunday qilib, agar vazifa "0 , 5 raqamini beshinchi darajaga ko'taring" bo'lsa, buni "kuchning qiymatini hisoblang (0 , 5) 5" deb tushunish kerak.

Endi biz bunday hisob-kitoblarda bajarilishi kerak bo'lgan asosiy qoidalarni beramiz.

Tabiiy ko'rsatkichli sonning kuchi nima ekanligini eslang. Bazasi a va ko‘rsatkichi n bo‘lgan daraja uchun bu omillarning har biri a ga teng bo‘lgan n-sonli ko‘paytmasi bo‘ladi. Buni shunday yozish mumkin:

Darajaning qiymatini hisoblash uchun siz ko'paytirish amalini bajarishingiz kerak, ya'ni daraja asoslarini belgilangan necha marta ko'paytirishingiz kerak. Tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasining o'zi tezda ko'payish qobiliyatiga asoslangan. Keling, misollar keltiraylik.

1-misol

Shart: - 2 ni 4 ning kuchiga ko'taring.

Yechim

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Keyinchalik, biz faqat ushbu bosqichlarni bajarishimiz va 16 ni olishimiz kerak.

Keling, murakkabroq misolni olaylik.

2-misol

3 2 7 2 qiymatini hisoblang

Yechim

Ushbu yozuvni 3 2 7 · 3 2 7 sifatida qayta yozish mumkin. Oldinroq biz shartda aytib o'tilgan aralash raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ko'rib chiqdik.

Ushbu amallarni bajaring va javobni oling: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Agar topshiriq irratsional sonlarni tabiiy kuchga ko'tarish zarurligini ko'rsatsa, biz birinchi navbatda ularning asoslarini kerakli aniqlikdagi javobni olishimizga imkon beradigan raqamga yaxlitlashimiz kerak. Keling, bir misol keltiraylik.

3-misol

p sonining kvadratini bajaring.

Yechim

Avval uni yuzdan biriga yaxlitlaymiz. Keyin p 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Agar p ≈ 3 bo'lsa. 14159, keyin biz aniqroq natijaga erishamiz: p 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

E'tibor bering, amalda irratsional sonlarning kuchlarini hisoblash zarurati nisbatan kamdan-kam hollarda paydo bo'ladi. Keyin javobni quvvatning o'zi (ln 6) 3 sifatida yozishimiz yoki iloji bo'lsa o'zgartirishimiz mumkin: 5 7 = 125 5 .

Alohida-alohida, raqamning birinchi kuchi nima ekanligini ko'rsatish kerak. Bu erda siz birinchi darajaga ko'tarilgan har qanday raqam o'z-o'zidan qolishini yodda tutishingiz mumkin:

Bu yozuvdan aniq. .

Bu daraja asosiga bog'liq emas.

4-misol

Demak, (− 9) 1 = − 9 va birinchi darajaga ko‘tarilgan 7 3 7 3 ga teng bo‘lib qoladi.

Qulaylik uchun biz uchta holatni alohida tahlil qilamiz: ko'rsatkich musbat butun son bo'lsa, nol bo'lsa va salbiy butun bo'lsa.

Birinchi holda, bu tabiiy kuchga ko'tarilish bilan bir xil: axir, musbat butun sonlar natural sonlar to'plamiga tegishli. Biz yuqorida bunday darajalar bilan qanday ishlashni tasvirlab berdik.

Keling, nol quvvatga qanday qilib to'g'ri ko'tarish kerakligini ko'rib chiqaylik. Nolga teng bo'lmagan baza bilan bu hisob har doim 1 ga teng natijani beradi. Biz avvalroq a ning 0-darajasi har qanday uchun aniqlanishi mumkinligini tushuntirgan edik haqiqiy raqam, 0 ga teng emas va a 0 = 1.

5-misol

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - aniqlanmagan.

Bizda faqat manfiy butun ko'rsatkichli daraja holati qoladi. Bunday darajalarni 1 a z kasr shaklida yozish mumkinligini yuqorida muhokama qildik, bu erda a har qanday son, z esa manfiy butun sondir. Biz bu kasrning maxraji musbat butun sonli oddiy darajadan boshqa narsa emasligini ko'ramiz va biz uni qanday hisoblashni allaqachon bilib oldik. Keling, topshiriqlarga misollar keltiraylik.

6-misol

3 ni -2 quvvatga ko'taring.

Yechim

Yuqoridagi ta'rifdan foydalanib, biz yozamiz: 2 - 3 = 1 2 3

Biz ushbu kasrning maxrajini hisoblaymiz va 8 ni olamiz: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Keyin javob: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7-misol

1, 43 ni -2 quvvatga ko'taring.

Yechim

Qayta shakllantirish: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kvadratni denominatorda hisoblaymiz: 1,43 1,43. O'nlik kasrlarni shu tarzda ko'paytirish mumkin:

Natijada (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 ni oldik. Biz uchun bu natijani oddiy kasr shaklida yozish qoladi, buning uchun uni 10 mingga ko'paytirish kerak (kasrlarni konvertatsiya qilish bo'yicha materialga qarang).

Javob: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Alohida holat raqamni minus birinchi darajaga ko'tarishdir. Bunday darajaning qiymati bazaning asl qiymatiga qarama-qarshi bo'lgan raqamga teng: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8-misol

Misol: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Raqamni kasr darajasiga qanday oshirish mumkin

Bunday operatsiyani bajarish uchun biz kasr ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifini esga olishimiz kerak: a m n \u003d a m n har qanday musbat a, butun m va tabiiy n uchun.

Ta'rif 2

Shunday qilib, kasr darajani hisoblash ikki bosqichda bajarilishi kerak: butun son darajasiga ko'tarish va n daraja ildizini topish.

Bizda a m n = a m n tengligi mavjud bo‘lib, u ildizlarning xossalarini hisobga olgan holda odatda a m n = a n m ko‘rinishidagi masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Bu shuni anglatadiki, agar biz a sonini kasr darajasi m / n ga ko'tarsak, unda a dan avval n-darajali ildizni chiqaramiz, keyin natijani m butun ko'rsatkichli darajaga ko'taramiz.

Keling, misol bilan tushuntiramiz.

9-misol

8 - 2 3 ni hisoblang.

Yechim

1-usul. Asosiy ta'rifga ko'ra, biz buni quyidagicha ifodalashimiz mumkin: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Endi ildiz ostidagi darajani hisoblab chiqamiz va natijadan uchinchi ildizni chiqaramiz: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2-usul. Asosiy tenglikni o'zgartiramiz: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Shundan so'ng biz 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ildizni chiqaramiz va natijani kvadratga aylantiramiz: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Biz yechimlar bir xil ekanligini ko'ramiz. Siz xohlagan tarzda foydalanishingiz mumkin.

Daraja aralash raqam yoki o'nlik kasr sifatida ifodalangan ko'rsatkichga ega bo'lgan holatlar mavjud. Hisoblash qulayligi uchun uni oddiy kasr bilan almashtirish va yuqorida ko'rsatilgandek hisoblash yaxshiroqdir.

10-misol

44,89 ni 2,5 ga ko'taring.

Yechim

Indikatorning qiymatini oddiy kasrga aylantiramiz - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Va endi biz yuqorida ko'rsatilgan barcha amallarni tartibda bajaramiz: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1010 13 501, 25107

Javob: 13501, 25107.

Kasr ko'rsatkichining soni va maxraji bo'lsa katta raqamlar, keyin bilan bunday vakolatlarni hisoblash ratsional ko'rsatkichlar- juda qiyin ish. Bu odatda kompyuter texnologiyasini talab qiladi.

Alohida, biz nol asos va kasr ko'rsatkichli daraja haqida to'xtalamiz. 0 m n ko'rinishdagi ifodaga quyidagi ma'no berilishi mumkin: agar m n > 0 bo'lsa, u holda 0 m n = 0 m n = 0 ; agar m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Raqamni irratsional kuchga qanday oshirish mumkin

Ko'rsatkichda irratsional son mavjud bo'lgan daraja qiymatini hisoblash zarurati tez-tez paydo bo'lmaydi. Amalda, vazifa odatda taxminiy qiymatni hisoblash bilan chegaralanadi (ma'lum miqdordagi o'nli kasrlargacha). Bu odatda bunday hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli kompyuterda hisoblab chiqiladi, shuning uchun biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, biz faqat asosiy qoidalarni ko'rsatamiz.

Agar a irratsional ko'rsatkichi bilan a daraja qiymatini hisoblash kerak bo'lsa, u holda ko'rsatkichning o'nli yaqinligini olamiz va undan hisoblaymiz. Natijada taxminiy javob bo'ladi. Qanchalik aniq o'nlik yaqinlik qabul qilingan bo'lsa, javob shunchalik aniq bo'ladi. Keling, misol bilan ko'rsatamiz:

11-misol

21 ning taxminiy qiymatini hisoblang, 174367 ....

Yechim

Biz o'zimizni o'nlik taxminan a n = 1, 17 bilan cheklaymiz. Keling, ushbu raqam yordamida hisob-kitoblarni bajaramiz: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Agar, masalan, a n = 1, 1743 ga yaqinligini olsak, javob biroz aniqroq bo'ladi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Sizga kerak bo'ladi

kalkulyator, kompyuter, excel dasturi.

Ko'rsatma

O'nli kasrni ko'tarish uchun kasr ichida kvadrat, muhandislik birini oling, uning ustiga qurilayotgan tering kvadrat kasr va darajani oshirish tugmasini bosing. Ko'pgina kalkulyatorlarda bu tugma "x²" deb belgilangan. Standart Windows kalkulyatorida ko'tarilish kvadrat"x ^ 2" ga o'xshaydi. Misol uchun, kvadrat o'nlik kasr 3,14 ga teng bo'ladi: 3,14² = 9,8596.

Ko'tarish uchun kvadrat kasr kasr oddiy (buxgalteriya) kalkulyatorida bu raqamni o'zi bilan ko'paytiring. Aytgancha, kalkulyatorlarning ba'zi modellarida raqamni ko'tarish mumkin kvadrat maxsus tugma bo'lmasa ham. Shuning uchun, avvalo, ma'lum bir kalkulyator uchun ko'rsatmalarni o'qing. Ba'zan "qiyin" ko'rsatkichlar orqa qopqoqda yoki kalkulyatorda berilgan. Masalan, raqamni ko'tarish uchun ko'plab kalkulyatorlarda kvadrat shunchaki "x" va "=" tugmalarini bosing.

O'rnatish uchun kvadrat oddiy kasr (hisob va maxrajdan iborat), to ko'taring kvadrat alohida-alohida bu kasrning soni va maxraji. Ya'ni, quyidagi qoidadan foydalaning: (h / z)² = h² / z², bu erda h - kasrning soni, z - kasrning maxraji. Misol: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Agar o'rnatilgan bo'lsa kvadrat kasr- aralash (butun qism va oddiy kasrdan iborat), keyin avval uni keltiring oddiy ko'rinish. Ya'ni, quyidagi formulani qo'llang: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², bu erda ts - butun son qismi. aralash kasr.Masalan: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Agarda kvadrat(emas) kasrlar doimiy, keyin MS Exceldan foydalaning. Buni amalga oshirish uchun jadvallardan biriga quyidagi formulani kiriting: \u003d DARAJA (A2; 2), bu erda A2 - ko'tarilayotgan qiymat kiritiladigan katakning manzili. kvadrat kasr.Dasturga kirish raqami sifatida ishlov berish kerakligini aytish uchun kasr yu (ya'ni o'nli kasrga aylantirmang), oldin yozing kasr"0" raqami va "bo'sh joy" belgisi. Ya'ni, masalan, 2/3 kasrni kiritish uchun siz quyidagilarni kiritishingiz kerak: "0 2/3" (va Enter tugmasini bosing). Bunday holda, kirish satrida kiritilgan kasrning o'nli ko'rinishi ko'rsatiladi. To'g'ridan-to'g'ri kasrning qiymati va ifodasi asl shaklida saqlanib qoladi. Bundan tashqari, foydalanilganda matematik funktsiyalar, argumentlari oddiy kasrlar bo'lsa, natija ham oddiy kasr sifatida ifodalanadi. Natijada kvadrat 2/3 kasr 4/9 sifatida ifodalanadi.