Trigonometrik tenglamalarga misollar yechish. Trigonometrik tenglamalar

Yechish usullari trigonometrik tenglamalar

Kirish 2

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari 5

Algebraik 5

Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tenglik shartidan foydalanib tenglamalarni yechish 7

Faktoring 8

Bir jinsli tenglamaga keltirish 10

Yordamchi burchakning kiritilishi 11

Mahsulotni 14 summaga aylantiring

Universal almashtirish 14

Xulosa 17

Kirish

O'ninchi sinfgacha maqsadga olib keladigan ko'plab mashqlarning harakat tartibi, qoida tariqasida, aniq belgilanadi. Masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar va tengsizliklar, kasr tenglamalari va kvadratiklarga qaytariladigan tenglamalar va boshqalar. Yuqoridagi misollarning har birini hal qilish tamoyilini batafsil tahlil qilmasdan, biz ularni muvaffaqiyatli hal qilish uchun zarur bo'lgan umumiy narsani ta'kidlaymiz.

Ko'pgina hollarda, siz qanday turdagi vazifani aniqlab olishingiz, maqsadga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz va bu harakatlarni bajarishingiz kerak. Ko'rinib turibdiki, o'quvchining tenglamalarni yechish usullarini o'zlashtirishdagi muvaffaqiyati yoki muvaffaqiyatsizligi, asosan, tenglama turini qanchalik to'g'ri aniqlay olishi va uni yechishning barcha bosqichlari ketma-ketligini eslab qolishiga bog'liq. Albatta, bu talabaning bajarish qobiliyatiga ega ekanligini nazarda tutadi bir xil o'zgarishlar va hisoblash.

Talaba trigonometrik tenglamalar bilan uchrashganda butunlay boshqacha holat yuzaga keladi. Shu bilan birga, tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunga olib keladigan harakat yo'nalishini topishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi ijobiy natija. Va bu erda talaba ikkita muammoga duch keladi. tomonidan ko'rinish tenglamalar turini aniqlash qiyin. Va turini bilmasdan, mavjud bo'lgan o'nlab formulalardan kerakli formulani tanlash deyarli mumkin emas.

Talabalarga trigonometrik tenglamalarning murakkab labirintidan o'tish yo'lini topishga yordam berish uchun ular birinchi navbatda tenglamalar bilan tanishadilar, ular yangi o'zgaruvchi kiritilgandan so'ng kvadratlarga qisqartiriladi. Keyin bir hil va ularga qisqartirilgan tenglamalarni yeching. Hamma narsa, qoida tariqasida, tenglamalar bilan tugaydi, ularni hal qilish uchun chap tomonni faktorlarga ajratish, so'ngra har bir omilni nolga tenglashtirish kerak.

Darslarda tahlil qilingan bir yarim o‘nlab tenglamalar o‘quvchining trigonometrik “dengiz”da mustaqil suzishi uchun yetarli emasligini tushungan o‘qituvchi o‘zidan yana bir qancha tavsiyalar qo‘shadi.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun biz quyidagilarni sinab ko'rishimiz kerak:

Tenglamaga kiritilgan barcha funktsiyalarni "bir xil burchaklarga" keltiring;

Tenglamani "bir xil funktsiyalar" ga keltiring;

Tenglamaning chap tomonini koeffitsientlarga ajrating va hokazo.

Ammo, trigonometrik tenglamalarning asosiy turlari va ularning yechimini topishning bir qancha tamoyillari haqidagi bilimlarga qaramay, ko'plab talabalar hali ham har bir tenglama oldida o'zlarini boshi berk ko'chada topadilar, bu esa avvalgilaridan bir oz farq qiladi. U yoki bu tenglamaga ega bo'lgan odam nimaga intilishi kerakligi, nega bitta holatda formulalarni qo'llash kerakligi noma'lumligicha qolmoqda. ikki burchak, boshqasida - yarmi, uchinchisida - qo'shish formulalari va boshqalar.

Ta'rif 1. Trigonometrik tenglama - bu trigonometrik funksiyalar belgisi ostida noma'lum bo'lgan tenglama.

Ta'rif 2. Trigonometrik tenglamaning burchaklari bir xil deyiladi, agar unga kiritilgan barcha trigonometrik funktsiyalar teng argumentlarga ega bo'lsa. Trigonometrik tenglama, agar u trigonometrik funktsiyalardan faqat bittasini o'z ichiga olsa, bir xil funktsiyalarga ega deyiladi.

Ta'rif 3. Trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan monomialning darajasi unga kiritilgan trigonometrik funktsiyalarning darajalari yig'indisidir.

Ta'rif 4. Agar undagi barcha monomlar bir xil darajaga ega bo'lsa, tenglama bir jinsli deb ataladi. Bu daraja tenglamaning tartibi deb ataladi.

Ta'rif 5. Faqat funktsiyalarni o'z ichiga olgan trigonometrik tenglama gunoh Va cos, agar trigonometrik funktsiyalarga nisbatan barcha monomlar bir xil darajaga ega bo'lsa va trigonometrik funktsiyalarning o'zi teng burchaklarga ega bo'lsa va monomlar soni tenglama tartibidan 1 ga ko'p bo'lsa, bir jinsli deyiladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

Trigonometrik tenglamalarni yechish ikki bosqichdan iborat: tenglamaning eng oddiy shaklini olish uchun o'zgartirish va natijada olingan eng oddiy trigonometrik tenglamaning yechimi. Trigonometrik tenglamalarni yechishning ettita asosiy usuli mavjud.

I. algebraik usul. Bu usul algebradan yaxshi ma'lum. (O'zgaruvchilarni almashtirish va almashtirish usuli).

Tenglamalarni yechish.

1)

Keling, belgi bilan tanishtiramiz x=2 gunoh3 t, olamiz

Ushbu tenglamani yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:
yoki

bular. yozilishi mumkin

Belgilar mavjudligi sababli olingan eritmani yozishda daraja
yozishdan foyda yo'q.

Javob:

Belgilamoq

olamiz kvadrat tenglama
. Uning ildizlari raqamlardir
Va
. Shuning uchun bu tenglama eng oddiy trigonometrik tenglamalarga qisqaradi
Va
. Ularni hal qilib, biz buni topamiz
yoki
.

Javob:
;
.

Belgilamoq

shartni qoniqtirmaydi

anglatadi

Javob:

Tenglamaning chap tomonini aylantiramiz:

Shunday qilib, bu boshlang'ich tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

, ya'ni.

Belgilovchi
, olamiz
Ushbu kvadrat tenglamani yechishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

shartni qoniqtirmaydi

Asl tenglamaning yechimini yozamiz:

Javob:

O'zgartirish
bu tenglamani kvadrat tenglamaga qisqartiradi
. Uning ildizlari raqamlardir
Va
. Chunki
, keyin berilgan tenglama ildizlari yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

II. Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tenglik sharti yordamida tenglamalarni yechish.

lekin)
, agar

b)
, agar

ichida)
, agar

Ushbu shartlardan foydalanib, quyidagi tenglamalarning yechimini ko'rib chiqing:

6)

a) bandida aytilganlardan foydalanib, biz tenglamaning yechimi borligini aniqlaymiz, agar va faqat
.

Ushbu tenglamani yechib, topamiz
.

Bizda ikkita yechim guruhi mavjud:

.

7) tenglamani yeching:
.

b) qism shartidan foydalanib, shuni xulosa qilamiz
.

Ushbu kvadrat tenglamalarni yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:

.

8) Tenglamani yeching
.

Bu tenglamadan biz shunday xulosa chiqaramiz. Ushbu kvadrat tenglamani yechish, biz buni topamiz

.

III. Faktorizatsiya.

Biz ushbu usulni misollar bilan ko'rib chiqamiz.

9) Tenglamani yeching
.

Yechim. Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiymiz: .

Tenglamaning chap tomonidagi ifodani aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:
.

.

.

1)
2)

Chunki
Va
null qiymatini qabul qilmang

bir vaqtning o'zida, keyin ikkala qismni ham ajratamiz

uchun tenglamalar
,

Javob:

10) tenglamani yeching:

Yechim.

yoki

Javob:

11) Tenglamani yeching

Yechim:

1)
2)
3)

,

Javob:

IV. Bir jinsli tenglamaga keltirish.

Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

Uning barcha a'zolarini chap tomonga siljiting;

Barcha umumiy omillarni qavsdan chiqarib tashlang;

Barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring;

Nolga tenglashtirilgan qavslar kichikroq darajadagi bir hil tenglamani beradi, uni quyidagilarga bo'lish kerak.
(yoki
) oliy o‘quv yurtlarida;

Qabul qilingan hal qilish algebraik tenglama nisbatan
.

Misollarni ko'rib chiqing:

12) tenglamani yeching:

Yechim.

Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling
,

Belgilanish bilan tanishtirish
, ism

bu tenglamaning ildizlari:

bu yerdan 1)
2)

Javob:

13) Tenglamani yeching:

Yechim. Ikki burchakli formulalar va asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz ushbu tenglamani yarim argumentga qisqartiramiz:

O'xshash shartlarni qisqartirgandan so'ng bizda:

Bir hil oxirgi tenglamani ga bo'lish
, olamiz

tayinlayman
, kvadrat tenglamani olamiz
, ularning ildizlari raqamlardir

Shunday qilib

Ifoda
da yo'qoladi
, ya'ni. da
,
.

Tenglamaga bizning yechimimiz bu raqamlarni o'z ichiga olmaydi.

Javob:
, .

V. Yordamchi burchakning kiritilishi.

Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing

Qayerda a, b, c- koeffitsientlar, x- noma'lum.

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xususiyatlariga ega, ya'ni: ularning har birining moduli birlikdan oshmaydi va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng.

Keyin biz ularni mos ravishda belgilashimiz mumkin
(Bu yerga - yordamchi burchak) va tenglamamiz quyidagi shaklni oladi: .

Keyin

Va uning qarori

E'tibor bering, kiritilgan belgi bir-birini almashtiradi.

14) Tenglamani yeching:

Yechim. Bu yerda
, shuning uchun tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz

Javob:

15) Tenglamani yeching

Yechim. Chunki
, u holda bu tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi

Chunki
, keyin shunday burchak bor
,
(bular.
).

Bizda ... bor

Chunki
, keyin biz nihoyat olamiz:

.

E'tibor bering, shakldagi tenglama faqat va faqat agar bo'lsa, yechimga ega

16) Tenglamani yeching:

Bu tenglamani yechish uchun trigonometrik funksiyalarni bir xil argumentlar bilan guruhlaymiz

Tenglamaning ikkala tomonini ikkiga bo'ling

Biz trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mahsulotga aylantiramiz:

Javob:

VI. Mahsulotni summaga aylantiring.

Bu erda tegishli formulalar qo'llaniladi.

17) Tenglamani yeching:

Yechim. Keling, chap tomonni yig'indiga aylantiramiz:

VII.Universal almashtirish.

,

bu formulalar hamma uchun to'g'ri

O'zgartirish
universal deb ataladi.

18) Tenglamani yeching:

Yechim: almashtiring va
orqali ifodalash uchun
va belgilang
.

Ratsional tenglamani olamiz
, bu kvadratga aylantiriladi
.

Bu tenglamaning ildizlari raqamlardir
.

Shuning uchun muammo ikkita tenglamani echishga qisqartirildi
.

Biz buni topamiz
.

Qiymatni ko'rish
tekshirish - almashtirish bilan tasdiqlangan dastlabki tenglamani qanoatlantirmaydi berilgan qiymat t asl tenglamaga.

Javob:
.

Izoh. 18- tenglamani boshqa usulda yechish mumkin.

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini 5 ga bo'ling (ya'ni
):
.

Chunki
, keyin raqam bor
, nima
Va
. Shunday qilib, tenglama quyidagicha bo'ladi:
yoki
. Bu erdan biz buni topamiz
qayerda
.

19) Tenglamani yeching
.

Yechim. Funktsiyalardan beri
Va
bor eng yuqori qiymat 1 ga teng bo'lsa, ularning yig'indisi 2 ga teng bo'lsa
Va
, shu bilan birga, ya'ni
.

Javob:
.

Bu tenglamani yechishda va funksiyalarining chegaralanganligidan foydalanilgan.

Xulosa.

“Trigonometrik tenglamalar yechimlari” mavzusida ishlash har bir o‘qituvchiga quyidagi tavsiyalarga amal qilishi foydalidir:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullarini tizimlashtirish.

Tenglamani tahlil qilish bosqichlarini va u yoki bu yechim usulidan foydalanishning maqsadga muvofiqligi belgilarini o'zingiz uchun tanlang.

Usulni amalga oshirish bo'yicha faoliyatni o'z-o'zini nazorat qilish usullarini o'ylash.

O'rganilgan usullarning har biri uchun "sizning" tenglamalarini tuzishni o'rganing.

Ariza № 1

Bir jinsli yoki qaytariladigan tenglamalarni yeching.

1.	Rep.
	Rep.
	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

"A olish" video kursi sizga kerak bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi muvaffaqiyatli yetkazib berish 60-65 ball uchun matematikada FOYDALANISH. 1-13-sonli barcha topshiriqlarni bajaring profil imtihoni matematika. Matematikada asosiy USE ni topshirish uchun ham javob beradi. Imtihonni 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun imtihonga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha imtihonning 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13- muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan ko'proq ball to'playdi va na yuz ball talaba, na gumanist ularsiz ishlay olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar imtihonning yechimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI Bankining vazifalaridan 1-qismning barcha tegishli vazifalari tahlil qilindi. Kurs USE-2018 talablariga to‘liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab imtihon topshiriqlari. Matnli masalalar va ehtimollar nazariyasi. Muammoni hal qilishning oddiy va esda qoladigan algoritmlari. Geometriya. Nazariya, ma'lumotnoma, USE vazifalarining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Qiziqarli fokuslar echimlar, foydali cheat varaqlari, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan - 13-topshiriqga. Tikish o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarni vizual tushuntirish. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funktsiya va hosila. Yechim uchun asos qiyin vazifalar Imtihonning 2 qismi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushuncha.

• Trigonometrik tenglamani yechish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantiring. Trigonometrik tenglamani yechish oxir-oqibat to'rtta asosiy trigonometrik tenglamani yechishga to'g'ri keladi.

Asosiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

• Asosiy trigonometrik tenglamalarning 4 turi mavjud:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Asosiy trigonometrik tenglamalarni echish birlik aylanasidagi turli x pozitsiyalarni ko'rib chiqishni, shuningdek, konversiya jadvalidan (yoki kalkulyator) foydalanishni o'z ichiga oladi.
• Misol 1. sin x = 0,866. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: 2p/3. Esda tuting: barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir, ya'ni ularning qiymatlari takrorlanadi. Masalan, sin x va cos x ning davriyligi 2pn, tg x va ctg x ning davriyligi pn ga teng. Shunday qilib, javob quyidagicha yoziladi:
• x1 = p/3 + 2pn; x2 = 2p/3 + 2pn.
• 2-misol cos x = -1/2. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = 2p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: -2p/3.
• x1 = 2p/3 + 2p; x2 = -2p/3 + 2p.
• 3-misol. tg (x - p/4) = 0.
• Javob: x \u003d p / 4 + pn.
• 4-misol. ctg 2x = 1,732.
• Javob: x \u003d p / 12 + pn.

Trigonometrik tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan o'zgartirishlar.

• Trigonometrik tenglamalarni o'zgartirish uchun algebraik o'zgarishlar qo'llaniladi (faktoring, qisqartirish bir hil a'zolar va boshqalar) va trigonometrik identifikatsiyalar.
• 5-misol. Trigonometrik identifikatsiyalar yordamida sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tenglama 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 tenglamasiga aylantiriladi. Shunday qilib, quyidagi asosiy trigonometrik tenglamalar yechish kerak: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Burchaklarni topish ma'lum qiymatlar funktsiyalari.

  • Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganishdan oldin, ma'lum funktsiyalar qiymatlaridan burchaklarni topishni o'rganishingiz kerak. Buni konversiya jadvali yoki kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin.
  • Misol: cos x = 0,732. Kalkulyator x = 42,95 daraja javob beradi. Birlik doirasi qo'shimcha burchaklarni beradi, ularning kosinasi ham 0,732 ga teng.

• Eritmani birlik doirasiga qo'ying.

  • Trigonometrik tenglamaning yechimlarini birlik doirasiga qo'yish mumkin. Trigonometrik tenglamaning birlik doiradagi yechimlari muntazam ko‘pburchakning uchlari hisoblanadi.
  • Misol: Birlik doiradagi x = p/3 + pn/2 yechimlari kvadratning uchlaridir.
  • Misol: Birlik aylanadagi x = p/4 + pn/3 yechimlari muntazam olti burchakli uchlaridir.

• Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

  • Agar berilgan trigonometrik tenglama faqat bitta bo'lsa trigonometrik funktsiya, bu tenglamani asosiy trigonometrik tenglama sifatida yeching. Agar bu tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olsa, unda bunday tenglamani echishning 2 ta usuli mavjud (uni o'zgartirish imkoniyatiga qarab).
    • 1-usul
  • Bu tenglamani quyidagi ko’rinishdagi tenglamaga aylantiring: f(x)*g(x)*h(x) = 0, bu yerda f(x), g(x), h(x) asosiy trigonometrik tenglamalar.
  • 6-misol. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Yechim. Ikki burchakli sin 2x = 2*sin x*cos x formulasidan foydalanib, sin 2x ni almashtiring.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos x = 0 va (sin x + 1) = 0.
  • 7-misol cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
  • Misol 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0.
    • 2-usul
  • Berilgan trigonometrik tenglamani faqat bitta trigonometrik funksiyadan iborat tenglamaga aylantiring. Keyin bu trigonometrik funktsiyani ba'zi bir noma'lum bilan almashtiring, masalan, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t va boshqalar).
  • 9-misol. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Yechim. IN berilgan tenglama(cos ^ 2 x) ni (1 - sin ^ 2 x) bilan almashtiring (identifikatsiyaga ko'ra). O'zgartirilgan tenglama quyidagicha ko'rinadi:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ni t bilan almashtiring. Endi tenglama: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu ikki ildizli kvadrat tenglama: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi ildiz t2 funksiya diapazonini qanoatlantirmaydi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10-misol. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Yechim. tg x ni t bilan almashtiring. Dastlabki tenglamani quyidagicha qayta yozing: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Endi t ni toping va keyin t = tg x uchun x ni toping.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

Har qanday murakkablik darajasidagi trigonometrik tenglamalarni yechish oxir-oqibat eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechishga to‘g‘ri keladi. Va bunda trigonometrik doira yana eng yaxshi yordamchi bo'lib chiqadi.

Kosinus va sinus ta'riflarini eslang.

Burchakning kosinusu - bu birlik aylanadagi nuqtaning berilgan burchak bilan aylanishiga mos keladigan absissasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).

Burchakning sinusi - birlik doiradagi nuqtaning berilgan burchak orqali aylanishga mos keladigan ordinatasi (ya'ni o'qi bo'ylab koordinatasi).

Trigonometrik doira bo'ylab harakatning ijobiy yo'nalishi soat miliga teskari harakat deb hisoblanadi. 0 daraja (yoki 0 radian) burilish koordinatalari (1; 0) bo'lgan nuqtaga to'g'ri keladi.

Biz eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun ushbu ta'riflardan foydalanamiz.

1. Tenglamani yeching

Bu tenglama ordinatasi ga teng bo'lgan aylananing nuqtalariga to'g'ri keladigan burilish burchagining barcha ana shunday qiymatlari bilan qanoatlantiriladi.

Y o'qida ordinatasi bo'lgan nuqtani belgilaymiz:

Keling, sarf qilaylik gorizontal chiziq aylana bilan kesishguncha x o'qiga parallel. Biz aylanada yotgan va ordinataga ega bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Bu nuqtalar burilish burchaklariga va radianlarga mos keladi:

Agar biz bir radianga aylanish burchagiga mos keladigan nuqtani qoldirib, to'liq aylana bo'ylab aylansak, u holda biz bir radianga aylanish burchagiga mos keladigan va bir xil ordinataga ega bo'lgan nuqtaga kelamiz. Ya'ni, bu burilish burchagi ham bizning tenglamamizni qanoatlantiradi. Biz xohlagancha "bo'sh" burilishlarni amalga oshirishimiz mumkin, xuddi shu nuqtaga qaytamiz va bu burchak qiymatlarining barchasi bizning tenglamamizni qondiradi. "Bo'sh" inqiloblar soni harf (yoki) bilan belgilanadi. Biz bu inqiloblarni ham ijobiy, ham salbiy yo'nalishda qilishimiz mumkinligi sababli (yoki ) har qanday butun son qiymatlarini olishimiz mumkin.

Ya'ni, dastlabki tenglamaning birinchi qator yechimlari quyidagi shaklga ega:

, , - butun sonlar to'plami (1)

Xuddi shunday, yechimlarning ikkinchi seriyasi quyidagi shaklga ega:

, qayerda ,. (2)

Siz taxmin qilganingizdek, bu yechimlar seriyasining burilish burchagiga mos keladigan aylananing nuqtasiga asoslanadi.

Ushbu ikkita yechim seriyasini bitta yozuvga birlashtirish mumkin:

Agar biz ushbu yozuvni (ya'ni, hatto) qabul qilsak, biz yechimlarning birinchi seriyasini olamiz.

Agar biz ushbu yozuvni (ya'ni g'alati) qabul qilsak, biz ikkinchi qator echimlarni olamiz.

2. Endi tenglamani yechamiz

Birlik aylana nuqtasining abssissasi burchakdan burish natijasida olinganligi sababli, biz o'qda nuqtani abscissa bilan belgilaymiz:

Doira bilan kesishmaguncha o'qga parallel vertikal chiziq chizing. Biz aylana ustida yotgan va abscissaga ega bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Bu nuqtalar ning aylanish burchaklariga va radianlarga mos keladi. Eslatib o'tamiz, soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanayotganda biz salbiy burilish burchagini olamiz:

Biz ikkita yechim seriyasini yozamiz:

,

,

(Biz tushamiz kerakli nuqta, asosiy to'liq doiradan ketadi, ya'ni.

Keling, ushbu ikkita seriyani bitta postga birlashtiramiz:

3. Tenglamani yeching

Tangenslar chizig'i OY o'qiga parallel bo'lgan birlik doirasining koordinatalari (1,0) bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Undagi ordinatani 1 ga teng bo'lgan nuqtani belgilang (biz qaysi burchaklar 1 bo'lgan tangensni qidiramiz):

Ushbu nuqtani koordinatali to'g'ri chiziq bilan bog'lang va chiziqning kesishish nuqtalarini birlik doira bilan belgilang. Chiziq va aylananing kesishish nuqtalari va ustidagi aylanish burchaklariga mos keladi:

Tenglamamizni qanoatlantiradigan burilish burchaklariga mos keladigan nuqtalar bir-biridan radian masofada joylashgani uchun yechimni quyidagicha yozishimiz mumkin:

4. Tenglamani yeching

Kotangentlar chizig'i birlik doiraning koordinatalari o'qga parallel bo'lgan nuqtadan o'tadi.

Kotangentlar chizig'ida abscissa -1 bilan nuqtani belgilaymiz:

Ushbu nuqtani to'g'ri chiziqning boshiga ulang va uni aylana bilan kesishguncha davom eting. Bu chiziq aylanani aylanish burchaklari va radianlariga mos keladigan nuqtalarda kesib o'tadi:

Bu nuqtalar bir-biridan teng masofa bilan ajratilganligi sababli, u holda umumiy qaror Bu tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarning yechimini ko'rsatuvchi misollarda trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlari ishlatilgan.

Ammo, agar tenglamaning o'ng tomonida jadvaldan tashqari qiymat bo'lsa, biz tenglamaning umumiy yechimidagi qiymatni almashtiramiz:

MAXSUS ECHIMLAR:

Doiradagi ordinatasi 0 ga teng nuqtalarni belgilang:

Doira ustida ordinatasi 1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilang:

Doira ustida ordinatasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilang:

Nolga yaqin qiymatlarni ko'rsatish odatiy hol bo'lganligi sababli, biz yechimni quyidagicha yozamiz:

Doira ustidagi nuqtalarni belgilang, ularning abtsissasi 0:

5.
Keling, aylananing abscissasi 1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilaymiz:

Aylanada abscissasi -1 ga teng bo'lgan bitta nuqtani belgilang:

Va yana bir nechta murakkab misollar:

1.

Sinus birga teng agar argument bo'lsa

Sinusimizning argumenti , shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

Tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'ling:

Javob:

2.

Kosinus nol agar kosinus argumenti bo'lsa

Kosinusimizning argumenti , shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

Buning uchun biz birinchi navbatda qarama-qarshi belgi bilan o'ngga harakat qilamiz:

O'ng tomonni soddalashtiring:

Ikkala qismni -2 ga bo'ling:

E'tibor bering, atama oldidagi belgi o'zgarmaydi, chunki k har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Javob:

Xulosa qilib aytganda, "Trigonometrik aylana yordamida trigonometrik tenglamada ildizlarni tanlash" video darsini tomosha qiling.

Shu bilan eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish haqidagi suhbat yakunlanadi. Keyingi safar qanday hal qilish haqida gaplashamiz.