Shaklning funktsiyasi , bu erda chaqiriladi kvadratik funktsiya.

Kvadrat funksiya grafigi − parabola.

Quyidagi holatlarni ko'rib chiqing:

I ISOL, KLASSIK PARABOLA

Ya'ni , ,

Qurilish uchun formulaga x qiymatlarini qo'yish orqali jadvalni to'ldiring:

Nuqtalarni belgilash (0;0); (1;1); (-1;1) va boshqalar. koordinata tekisligida (qadam qancha kichik bo'lsa, biz x qiymatlarni qabul qilamiz (bu holda, 1-qadam) va biz qanchalik ko'p x qiymat olsak, egri chiziq shunchalik silliq bo'ladi), biz parabola olamiz:

Ko'rish oson, agar , , , ya'ni holini olsak, u holda o'qqa (xo'kiz) nisbatan simmetrik parabola olinadi. Shunga o'xshash jadvalni to'ldirish orqali buni tekshirish oson:

II HOLAT, "a" BIRDAN FARQ

, , ni olsak nima bo'ladi? Parabolaning harakati qanday o'zgaradi? Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Birinchi rasmda (yuqoriga qarang) parabola uchun jadvaldagi nuqtalar (1;1), (-1;1) nuqtalar (1;4), (1;-4), ya'ni nuqtalarga aylantirilganligi aniq ko'rsatilgan. bir xil qiymatlar bilan har bir nuqtaning ordinatasi 4 ga ko'paytiriladi. Bu asl jadvalning barcha asosiy nuqtalari bilan sodir bo'ladi. 2 va 3-rasmlarda ham xuddi shunday bahslashamiz.

Va parabola "kengroq bo'lganda" parabola:

Keling, takrorlaymiz:

1)Koeffitsientning belgisi filiallarning yo'nalishi uchun javobgardir. Title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlaq qiymat koeffitsient (modul) parabolaning "kengayishi", "siqilishi" uchun javobgardir. Parabola qanchalik katta bo'lsa, qanchalik tor bo'lsa, |a| qanchalik kichik bo'lsa, parabola shunchalik keng bo'ladi.

III ISHLAB CHIQISH, "C"

Keling, o'yinga qo'yaylik (ya'ni, biz qachon ishni ko'rib chiqamiz), biz shaklning parabolalarini ko'rib chiqamiz. Belgiga qarab parabola o'q bo'ylab yuqoriga yoki pastga harakatlanishini taxmin qilish oson (siz har doim jadvalga murojaat qilishingiz mumkin):

IV HOLAT, "b" YO'Q

Parabola qachon o'qdan "yirtib tashlanadi" va nihoyat butun koordinata tekisligi bo'ylab "yuradi"? U teng bo'lishni to'xtatganda.

Bu erda parabolani qurish uchun bizga kerak uchini hisoblash formulasi: , .

Shunday qilib, bu nuqtada (nuqtadagi kabi (0; 0) yangi tizim koordinatalar) biz allaqachon bizning kuchimizda bo'lgan parabolani quramiz. Agar biz ish bilan shug'ullanadigan bo'lsak, yuqoridan biz bitta segmentni o'ngga, birini yuqoriga ajratamiz - natijada olingan nuqta bizniki (xuddi shunday, chapga bir qadam, yuqoriga ko'tarilish bizning nuqtamiz); agar biz, masalan, biz bilan shug'ullanadigan bo'lsak, yuqoridan biz bitta segmentni o'ngga, ikkitasini yuqoriga va hokazolarga ajratamiz.

Masalan, parabolaning tepasi:

Endi tushunish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, bu tepada biz parabola shabloniga ko'ra parabola quramiz, chunki bizning holatlarimizda.

Parabola qurishda uchining koordinatalarini topgandan keyin judaQuyidagi fikrlarni hisobga olish qulay:

1) parabola nuqtadan o'tishi kerak . Haqiqatan ham, formulaga x = 0 ni almashtirsak, biz buni olamiz. Ya'ni, parabolaning o'qi (oy) bilan kesishish nuqtasining ordinatasi, bu. Bizning misolimizda (yuqorida) parabola y o'qini , chunki .

2) simmetriya o'qi parabolalar to'g'ri chiziqdir, shuning uchun parabolaning barcha nuqtalari unga nisbatan simmetrik bo'ladi. Bizning misolimizda biz darhol (0; -2) nuqtani olamiz va simmetriya o'qiga nisbatan simmetrik parabola quramiz, biz parabola o'tadigan nuqtani olamiz (4; -2).

3) ga tenglashtirib, parabolaning o'q (ox) bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamani yechamiz. Diskriminantga qarab, biz bitta (, ), ikkita (title = "(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan berilgan) olamiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Oldingi misolda bizda diskriminantdan ildiz bor - butun son emas, uni qurishda biz ildizlarni topishning ma'nosi yo'q, lekin biz (oh) bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega bo'lishini aniq ko'ramiz. eksa (boshidan beri = "(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Keling, ishlab chiqaylik

Parabola ko'rinishida berilgan bo'lsa, uni qurish algoritmi

1) shoxlarning yo'nalishini aniqlang (a>0 - yuqoriga, a<0 – вниз)

2) , formula bo'yicha parabolaning uchining koordinatalarini toping.

3) biz parabolaning o'qi (oy) bilan kesishish nuqtasini erkin muddat orqali topamiz, parabolaning simmetriya o'qiga nisbatan berilgan nuqtaga simmetrik nuqta quramiz (ta'kidlash kerakki, bu shunday bo'ladi: bu nuqtani belgilash foydasiz, masalan, qiymat katta bo'lgani uchun ... biz bu nuqtani o'tkazib yuboramiz ...)

4) Topilgan nuqtada - parabolaning tepasida (yangi koordinatalar tizimining (0; 0) nuqtasida bo'lgani kabi) biz parabola quramiz. If title="(!LANG: QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Tenglamani yechib, parabolaning o'q (oy) bilan kesishish nuqtalarini topamiz (agar ular hali "yuzaga chiqmagan" bo'lsa).

1-misol

2-misol

Izoh 1. Agar parabola dastlab bizga ko'rinishda berilgan bo'lsa , bu erda ba'zi raqamlar (masalan, ), unda uni qurish yanada osonroq bo'ladi, chunki bizga tepaning koordinatalari allaqachon berilgan. Nega?

Keling, kvadrat trinomialni olaylik va undagi to'liq kvadratni tanlaymiz: Mana, biz , ni oldik. Biz avval parabolaning yuqori qismini, ya'ni hozir, deb atagan edik.

Misol uchun, . Biz tekislikda parabolaning yuqori qismini belgilaymiz, biz shoxlar pastga yo'naltirilganligini tushunamiz, parabola kengaytiriladi (nisbatan). Ya'ni biz 1-bosqichlarni bajaramiz; 3; 4; 5 parabolani qurish algoritmidan (yuqoriga qarang).

Izoh 2. Agar parabola shunga o'xshash ko'rinishda berilgan bo'lsa (ya'ni ikkita chiziqli omil ko'paytmasi sifatida tasvirlangan), u holda biz darhol parabolaning (x) o'qi bilan kesishish nuqtalarini ko'ramiz. Bu holda - (0;0) va (4;0). Qolganlari uchun biz qavslarni ochgan holda algoritmga muvofiq harakat qilamiz.

Parabola nima ekanligini hamma biladi. Ammo uni turli xil amaliy muammolarni hal qilishda qanday qilib to'g'ri, malakali ishlatish kerak, biz quyida tushunamiz.

Birinchidan, algebra va geometriya bu atamaga beradigan asosiy tushunchalarni belgilaylik. Hamma narsani o'ylab ko'ring mumkin bo'lgan turlari bu diagramma.

Biz ushbu funktsiyaning barcha asosiy xususiyatlarini o'rganamiz. Keling, egri chiziq (geometriya) qurish asoslarini tushunamiz. Keling, ushbu turdagi grafikning yuqori va boshqa asosiy qiymatlarini qanday topishni bilib olaylik.

Biz bilib olamiz: kerakli egri chiziq tenglama bo'yicha qanday qilib to'g'ri tuzilgan, nimaga e'tibor berish kerak. Keling, asosiysini ko'rib chiqaylik amaliy foydalanish inson hayotidagi bu noyob qadriyat.

Parabola nima va u nimaga o'xshaydi

Algebra: Bu atama kvadrat funktsiyaning grafigiga ishora qiladi.

Geometriya: Bu ikkinchi darajali egri chiziq bo'lib, bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega:

Kanonik parabola tenglamasi

Rasmda to'rtburchak koordinatalar tizimi (XOY), ekstremum, abscissa o'qi bo'ylab novdalar chizilgan funktsiya yo'nalishi ko'rsatilgan.

Kanonik tenglama:

y 2 \u003d 2 * p * x,

bu erda p koeffitsienti parabolaning fokus parametri (AF).

Algebrada u boshqacha yoziladi:

y = a x 2 + b x + c (taniqli naqsh: y = x 2).

Kvadrat funksiyaning xossalari va grafigi

Funktsiya simmetriya o'qi va markazga (ekstremum) ega. Ta'rif sohasi x o'qining barcha qiymatlari.

Funktsiya qiymatlari diapazoni - (-∞, M) yoki (M, +∞) egri novdalar yo'nalishiga bog'liq. Bu yerda M parametri satrning yuqori qismidagi funksiyaning qiymatini bildiradi.

Parabola shoxlari qayerga yo'naltirilganligini qanday aniqlash mumkin

Ifodadan bu turdagi egri chiziq yo'nalishini topish uchun birinchi parametr oldidagi belgini ko'rsatish kerak. algebraik ifoda. Agar a ˃ 0 bo'lsa, ular yuqoriga yo'naltiriladi. Aks holda, pastga.

Formuladan foydalanib parabolaning uchini qanday topish mumkin

Ekstremumni topish ko'plab amaliy muammolarni hal qilishda asosiy qadamdir. Albatta, siz maxsus ochishingiz mumkin onlayn kalkulyatorlar lekin buni o'zingiz qilishingiz yaxshiroq.

Uni qanday aniqlash mumkin? Maxsus formula mavjud. Agar b 0 ga teng bo'lmasa, biz ushbu nuqtaning koordinatalarini izlashimiz kerak.

Yuqorini topish uchun formulalar:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Misol.

y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 funktsiyasi mavjud. Keling, ushbu funktsiyaning uchlarini topamiz.

Bunday qator uchun:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Biz cho'qqining koordinatalarini olamiz (-2, -41).

Parabola ofset

Klassik holat - kvadratik funktsiyada y = a x 2 + b x + c, ikkinchi va uchinchi parametrlar 0, va = 1 - cho'qqi (0; 0) nuqtada bo'lganda.

Abscissa yoki ordinata o'qlari bo'ylab harakat mos ravishda b va c parametrlarining o'zgarishi bilan bog'liq. Samolyotdagi chiziqning siljishi parametr qiymatiga teng bo'lgan birliklar soni bo'yicha aniq amalga oshiriladi.

Misol.

Bizda: b = 2, c = 3.

Bu shuni anglatadiki, egri chiziqning klassik ko'rinishi abscissa o'qi bo'ylab 2 birlik segmentga va ordinat o'qi bo'ylab 3 ga siljiydi.

Kvadrat tenglama yordamida parabolani qanday qurish mumkin

Maktab o'quvchilari uchun berilgan parametrlar bo'yicha parabolani to'g'ri chizishni o'rganish muhimdir.

Ifodalar va tenglamalarni tahlil qilib, quyidagilarni ko'rishingiz mumkin:

1. Kerakli chiziqning ordinata vektori bilan kesishish nuqtasi c ga teng qiymatga ega bo'ladi.
2. Grafikning barcha nuqtalari (x o'qi bo'ylab) funktsiyaning asosiy ekstremumiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Bundan tashqari, OX bilan kesishishlarni bunday funktsiyaning diskriminantini (D) bilish orqali topish mumkin:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Buning uchun ifodani nolga tenglashtirish kerak.

Parabola ildizlarining mavjudligi natijaga bog'liq:

• D ˃ 0, keyin x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, keyin x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, u holda OX vektori bilan kesishish nuqtalari mavjud emas.

Biz parabolani qurish algoritmini olamiz:

• filiallarning yo'nalishini aniqlash;
• uchining koordinatalarini toping;
• y o'qi bilan kesishuvni toping;
• x o'qi bilan kesishgan joyni toping.

1-misol

y \u003d x 2 - 5 * x + 4 funktsiyasi berilgan. Parabola qurish kerak. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

1. a \u003d 1, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
2. ekstremum koordinatalari: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. y o'qi bilan y = 4 qiymatida kesishadi;
4. diskriminantni toping: D = 25 - 16 = 9;
5. ildizlarni qidiradi

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (o'nta).

2-misol

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 funktsiyasi uchun siz parabola qurishingiz kerak. Biz yuqoridagi algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

1. a \u003d 3, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
2. ekstremum koordinatalari: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y o'qi bilan y \u003d -1 qiymatida kesishadi;
4. diskriminantni toping: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Shunday qilib, ildizlar:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Olingan nuqtalardan siz parabola qurishingiz mumkin.

Direktriks, ekssentriklik, parabolaning fokusi

Kanonik tenglamaga asoslanib, fokus F koordinatalariga ega (p/2, 0).

AB to'g'ri chiziq direktrisa (ma'lum uzunlikdagi parabola akkordning bir turi). Uning tenglamasi x = -p/2.

Eksantriklik (doimiy) = 1.

Xulosa

Biz talabalar tahsil oladigan mavzuni ko'rib chiqdik o'rta maktab. Endi siz parabolaning kvadratik funksiyasiga qarab, uning cho'qqisini qanday topishni, shoxlari qaysi yo'nalishda yo'naltirilishini, o'qlar bo'ylab siljish bor-yo'qligini va qurilish algoritmiga ega bo'lgan holda, uning grafigini chizishingiz mumkinligini bilasiz.

The uslubiy material ma'lumot uchun mo'ljallangan va keng mavzularni qamrab oladi. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari ko'rib chiqiladi va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - Grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak. O'qish davomida oliy matematika asosiy elementar funktsiyalarning grafiklarini bilmasdan, bu qiyin bo'ladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday ko'rinishini eslash juda muhim, ba'zi funktsiyalar qiymatlarini eslab qolish. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, asosiy e'tibor, birinchi navbatda, amaliyotga - o'sha narsalarga qaratiladi. Oliy matematikaning har qanday mavzusida har qadamda tom ma'noda duch kelish kerak. Dummies uchun jadvallar? Siz shunday deyishingiz mumkin.

O'quvchilarning ommabop talabiga binoan bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqa referat mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men o'zim ham hayron bo'ldim. Ushbu abstrakt yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va nominal to'lov evaziga mavjud, demo versiyasini ko'rish mumkin. Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va biz darhol boshlaymiz:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri qurish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim talabalar tomonidan alohida daftarlarda, qafasda chiziladi. Nega sizga katakli belgilar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funktsiya grafigining har qanday chizmasi koordinata o'qlaridan boshlanadi.

Chizmalar ikki o'lchovli va uch o'lchovli.

Keling, avvalo ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqaylik Dekart koordinata tizimi:

1) Biz koordinata o'qlarini chizamiz. Eksa deyiladi x o'qi , va eksa y o'qi . Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas. O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni imzolaymiz Bosh harflar"x" va "y". Baltalarga imzo qo'yishni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish. Chizma chizishda eng qulay va keng tarqalgan masshtab: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Kamdan-kam hollarda, lekin shunday bo'ladiki, chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak

Pulemyotdan yozmang ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Chunki koordinata tekisligi Dekartning yodgorligi emas, talaba esa kaptar emas. qo'yamiz nol va eksa bo'ylab ikkita birlik. Ba'zan ning o'rniga birlik bo'lsa, boshqa qiymatlarni "aniqlash" qulay, masalan, abscissa o'qida "ikki" va ordinata o'qida "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham noyob tarzda o'rnatadi.

Chizma chizishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir.. Shunday qilib, masalan, agar vazifa cho'qqilari bilan uchburchak chizishni talab qilsa , , , keyin mashhur shkala 1 birlik = 2 katakchalar ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtaga qaraylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak va, aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki zo'rg'a sig'maydi). Shuning uchun biz darhol kichikroq shkalani tanlaymiz 1 birlik = 1 hujayra.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta daftar kataklarida 15 santimetr borligi rostmi? Daftarda o'lchagich bilan 15 santimetrni qiziqish uchun o'lchang. SSSRda, ehtimol, bu haqiqat edi ... Shunisi qiziqki, agar siz xuddi shu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Bu bema'nilikdek tuyulishi mumkin, ammo bunday vaziyatlarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday damlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stansiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda, yoki qisqa tavsiya kantselyariya tomonidan. Bugungi kunga kelib, sotuvga qo'yilgan noutbuklarning aksariyati yomon so'zlarni aytmasdan, to'liq goblindir. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Qog'ozda saqlang. Tozalash uchun nazorat ishlari Arxangelsk pulpa va qog'oz fabrikasi (18 varaq, qafas) yoki Pyaterochka daftarlaridan foydalanishni tavsiya etaman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni surtadigan yoki yirtib tashlaydigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Mening xotiramdagi yagona “raqobatbardosh” sharikli ruchka bu Erich Krause. U aniq, chiroyli va barqaror yozadi - to'liq poya bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: to'rtburchaklar koordinatalar tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektor asosi, batafsil ma'lumot koordinata choraklari haqida darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

3D korpus

Bu erda deyarli bir xil.

1) Biz koordinata o'qlarini chizamiz. Standart: o'qni qo'llash – yuqoriga yo‘naltirilgan, o‘q – o‘ngga, o‘q – pastga – chapga qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) Biz o'qlarni imzolaymiz.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa bo'ylab masshtab - boshqa o'qlar bo'ylab o'lchovdan ikki baravar kichikroq. Shuni ham yodda tutingki, to'g'ri chizilganda men eksa bo'ylab nostandart "serif" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan). Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimli - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va birlikni to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqishigacha "haykal qilish" shart emas.

Yana 3D chizmani bajarayotganda - masshtabga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalarni buzish kerak. Endi nima qilaman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excel-da tuziladi va koordinata o'qlari nuqtai nazardan noto'g'ri ko'rinadi. to'g'ri dizayn. Men barcha grafiklarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda qo'rqinchli, chunki Excel ularni aniqroq chizishni istamaydi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Lineer funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiya grafigi bevosita. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funktsiyani chizing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar , keyin

Biz boshqa nuqtani olamiz, masalan, 1.

Agar , keyin

Vazifalarni tayyorlashda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizamiz:

Chizma chizishda biz har doim grafikaga imzo chekamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash ortiqcha bo'lmaydi:

Sarlavhalarni qanday joylashtirganimga e'tibor bering, chizmani o'rganishda imzolar noaniq bo'lmasligi kerak. Bunday holda, chiziqlarning kesishish nuqtasi yonida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Misol uchun, . To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik grafigi har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiya grafigi darhol, hech qanday nuqta topilmasdan quriladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "y har doim -4 ga teng, x ning har qanday qiymati uchun."

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan berilgan. Funktsiya grafigi ham darhol quriladi. Yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning istalgan qiymati uchun 1 ga teng."

Ba'zilar so'rashadi, xo'p, nega 6-sinfni eslaysiz?! Xuddi shunday, balki shundaydir, faqat amaliyot yillarida men yoki kabi grafik yaratish vazifasidan hayratda qolgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziq chizish - chizmalarni yaratishda eng keng tarqalgan harakatdir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil muhokama qilinadi va xohlovchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat funksiya grafigi, kub funksiya grafigi, polinom grafigi

Parabola. Kvadrat funksiya grafigi () parabola. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bu shunday bo'lganini hosila haqidagi nazariy maqoladan va funktsiyaning ekstremal qismi haqidagi saboqdan bilib olish mumkin. Shu bilan birga, biz "y" ning tegishli qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, ammo, shunga qaramay, hech kim parabolaning simmetriyasini bekor qilmadi.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Bu algoritm qurilishni majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, rasm chizamiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali xususiyat aqlga keladi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar , u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi.

Agar , u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va parabola darsida olish mumkin.

Kub parabola funksiya bilan berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz

Funktsiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, rasm chizamiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbola grafigi uchun.

Agar chizma tuzayotganda, beparvolik tufayli grafikning asimptota bilan kesishishiga yo'l qo'ysangiz, bu KATTA xato bo'ladi.

Shuningdek, bir tomonlama chegaralar, bizga giperbola ekanligini ayting yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda o'rganamiz: , ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) cheksizgacha harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" nozik qadam bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, bu giperbolaning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik ekanligini bildiradi. Bu fakt Chizmadan ko'rinib turibdiki, bundan tashqari, uni analitik tarzda osongina tekshirish mumkin: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar , u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata kvadrantlarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar bo'lsa, giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata kvadrantlarida joylashgan.

Giperbolaning yashash joyining belgilangan qonuniyatini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish qiyin emas.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqtali qurilish usulidan foydalanamiz, shu bilan birga qiymatlarni to'liq bo'linishi uchun tanlash foydalidir:

Keling, rasm chizamiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda funktsiyaning g'alatiligi yordam beradi. Taxminan aytganda, nuqta qurish jadvalida har bir raqamga minus qo'shing, tegishli nuqtalarni qo'ying va ikkinchi novdani torting.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va parabola maqolasida topish mumkin.

Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi

Ushbu paragrafda men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda bu ko'rsatkich yuzaga keladi.

Sizga shuni eslatamanki, bu irratsional son: , bu grafikni qurishda talab qilinadi, aslida men marosimsiz quraman. Uch ball etarli bo'lishi mumkin:

Funktsiya grafigini hozircha yolg'iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Asosan, funktsiyalarning grafiklari bir xil ko'rinadi va hokazo.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funktsiyaning grafigi

bilan funksiyani ko'rib chiqing tabiiy logarifm.
Keling, chiziq chizamiz:

Agar logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni: .

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan: , asta-sekin bo'lsa-da, lekin logarifmning shoxi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: . Shunday qilib, eksa vertikal asimptota "x" o'ng tomonda nolga moyil bo'lgan funksiya grafigi uchun.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolishingizga ishonch hosil qiling: .

Asosan, logarifmning asosdagi syujeti bir xil ko'rinadi: , , (10 asosga o'nlik logarifm) va hokazo. Shu bilan birga, taglik qanchalik katta bo'lsa, diagramma tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz, men oxirgi marta qachon bunday asos bilan grafik qurganimni eslay olmayman. Ha, va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Paragrafni yakunlab, yana bir faktni aytaman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiyaikkita o'zaro teskari funktsiyalar . Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini ko'rishingiz mumkin, shunchaki u biroz boshqacha joylashgan.

Trigonometrik funksiyalarning grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qanday boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Sizga eslatib o'tamanki, "pi" irratsional son: va trigonometriyada u ko'zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy nashr davr bilan. Bu nima degani? Keling, kesishni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen: , ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni: . Funktsiya shunday cheklangan: , ya'ni barcha "o'yinlar" segmentda qat'iy o'tiradi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.

Muhim eslatmalar!
1. Agar formulalar o'rniga abrakadabrani ko'rsangiz, keshingizni tozalang. Buni brauzeringizda qanday qilish kerakligi bu erda yozilgan:
2. Maqolani o'qishni boshlashdan oldin, eng ko'p bizning navigatorimizga e'tibor bering foydali resurs uchun

Bu erda nima yozilishini tushunish uchun kvadrat funktsiya nima ekanligini va u nima bilan ovqatlanishini yaxshi bilishingiz kerak. Agar siz o'zingizni kvadratik funktsiyalarda professional deb hisoblasangiz, xush kelibsiz. Agar yo'q bo'lsa, mavzuni o'qib chiqishingiz kerak.

Keling, kichikdan boshlaylik cheklar:

1. Kvadrat funksiya umumiy shaklda (formula) qanday ko'rinishga ega?
2. Kvadrat funksiya grafigi qanday nomlanadi?
3. Etakchi koeffitsient kvadratik funktsiya grafigiga qanday ta'sir qiladi?

Agar siz ushbu savollarga darhol javob bera olsangiz, o'qishni davom eting. Agar kamida bitta savol qiyinchilik tug'dirsa, o'ting.

Shunday qilib, siz allaqachon kvadrat funktsiyani qanday boshqarishni, uning grafigini tahlil qilishni va nuqtalar bo'yicha grafikni qurishni bilasiz.

Xo'sh, bu erda: .

Keling, ular nima qilayotganini tezda ko'rib chiqaylik. imkoniyatlar.

1. Katta koeffitsient parabolaning "tikligi" yoki boshqacha qilib aytganda, uning kengligi uchun javobgardir: parabola qanchalik katta bo'lsa, torroq (tik) va kichikroq, kengroq (tekisroq) parabola.
2. Erkin muddat - parabolaning y o'qi bilan kesishish koordinatasi.
3. Va koeffitsient qandaydir tarzda parabolaning koordinatalar markazidan siljishi uchun javobgardir. Endi bu haqda batafsilroq.

Nima uchun biz doimo parabolani qurishni boshlaymiz? Uning ajralib turadigan jihati nimada?

Bu cho'qqi. Va cho'qqining koordinatalarini qanday topish mumkin, esingizdami?

Abtsissa quyidagi formula bo'yicha izlanadi:

Bu kabi: nima Ko'proq, mavzular Chapga parabolaning yuqori qismi harakatlanadi.

Tepaning ordinatasini funktsiyaga almashtirish orqali topish mumkin:

O'zingizni almashtiring va hisoblang. Nima bo'ldi?

Agar siz hamma narsani to'g'ri qilsangiz va natijada olingan ifodani iloji boricha soddalashtirsangiz, siz quyidagilarni olasiz:

Ma'lum bo'lishicha, ko'proq modul, mavzular yuqoriroq bo'ladi cho'qqi parabolalar.

Nihoyat, keling, fitnaga o'tamiz.
Eng oson yo'li - yuqoridan boshlab parabolani qurish.

Misol:

Funktsiyani chizing.

Qaror:

Birinchidan, koeffitsientlarni aniqlaymiz: .

Endi tepaning koordinatalarini hisoblaymiz:

Va endi esda tuting: bir xil etakchi koeffitsientga ega bo'lgan barcha parabolalar bir xil ko'rinadi. Shunday qilib, agar biz parabola qursak va uning uchini nuqtaga ko'chirsak, biz kerakli grafikni olamiz:

Oddiy, to'g'rimi?

Bitta savol qoldi: parabolani qanday tez chizish mumkin? Boshida cho‘qqisi bo‘lgan parabolani chizsak ham, uni nuqtama-nuqta qurishimiz kerak, bu uzoq va noqulay. Ammo barcha parabolalar bir xil ko'rinadi, ehtimol ularni chizishni tezlashtirishning bir usuli bormi?

Maktabda o‘qib yurgan paytlarimda matematika o‘qituvchim hammaga kartondan parabola shaklidagi trafaretni kesib tashlashni, tezda chizib olishlarini aytdi. Lekin siz hamma joyda stencil bilan yura olmaysiz va ularni imtihonga topshirishga ruxsat berilmaydi. Shunday qilib, biz begona narsalarni ishlatmaymiz, lekin biz naqsh izlaymiz.

Eng oddiy parabolani ko'rib chiqing. Keling, uni nuqtalar bo'yicha quramiz:

Bu erda qoida shu. Agar biz yuqoridan o'ngga (o'q bo'ylab) ga va yuqoriga (o'q bo'ylab) harakat qilsak, u holda biz parabola nuqtasiga erishamiz. Keyinchalik: agar bu nuqtadan o'ngga va yuqoriga o'tsak, biz yana parabola nuqtasiga erishamiz. Keyingi: to'g'ridan-to'g'ri va yuqoriga. Keyingisi nima? To'g'ridan-to'g'ri va yuqoriga. Va hokazo: o'ngga va keyingisiga o'ting toq raqam yuqoriga. Keyin chap novda bilan ham xuddi shunday qilamiz (axir, parabola nosimmetrik, ya'ni shoxlari bir xil ko'rinadi):

Ajoyib, bu eng yuqori koeffitsientga teng bo'lgan cho'qqidan istalgan parabolani qurishga yordam beradi. Masalan, biz parabolaning tepasi bir nuqtada ekanligini bilib oldik. Ushbu parabolani tuzing (o'zingiz, qog'ozda).

Qurilganmi?

Bu shunday bo'lishi kerak:

Endi biz olingan nuqtalarni bog'laymiz:

Hammasi shu.

Xo'sh, endi faqat parabolalarni yaratingmi?

Albatta yo'q. Endi ular bilan nima qilish kerakligini aniqlaymiz, agar.

Keling, ba'zi odatiy holatlarni ko'rib chiqaylik.

Ajoyib, biz parabolani qanday chizishni o'rgandik, endi haqiqiy funksiyalar ustida mashq qilaylik.

Shunday qilib, bunday funktsiyalarning grafiklarini tuzing:

Javoblar:

3. Yuqori: .

Katta koeffitsient kamroq bo'lsa, nima qilish kerakligini eslaysizmi?

Kasrning maxrajiga qaraymiz: u teng. Shunday qilib, biz shunday harakat qilamiz:

• o'ngga - yuqoriga
• o'ngga - yuqoriga
• o'ngga - yuqoriga

va shuningdek, chapga:

4. Yuqori: .

Oh, u bilan nima qilish kerak? Agar tepa chiziq orasida joylashgan bo'lsa, hujayralarni qanday o'lchash mumkin?

Va biz aldaymiz. Birinchidan, parabolani chizamiz va shundan keyingina uning cho'qqisini nuqtaga o'tkazamiz. Hatto emas, keling, buni yanada qiyinroq qilaylik: keling, parabolani chizamiz, keyin esa o'qlarni siljitish:- ustida pastga, a - yoqilgan to'g'ri:

Ushbu texnika har qanday parabola holatida juda qulay, buni eslang.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, biz funktsiyani ushbu shaklda ifodalashimiz mumkin:

Misol uchun: .

Bu bizga nima beradi?

Gap shundaki, () qavs ichida ayiriladi son parabola cho'qqisining abssissasi, qavs () tashqarisidagi atama esa cho'qqining ordinatasi hisoblanadi.

Bu shuni anglatadiki, parabolani qurib, siz shunchaki qilishingiz kerak o'qni chapga va o'qni pastga siljiting.

Misol: funksiya grafigini tuzamiz.

Keling, to'liq kvadratni tanlaymiz:

Qaysi raqam ayiriladi qavs ichidan? Bu (va siz o'ylamasdan qanday qaror qabul qilishingiz mumkin emas).

Shunday qilib, biz parabola quramiz:

Endi biz o'qni pastga, ya'ni yuqoriga siljitamiz:

Va endi - chapga, ya'ni o'ngga:

Hammasi shu. Bu parabolani cho'qqisi bilan boshidan nuqtaga ko'chirish bilan bir xil, faqat to'g'ri o'qni harakatlantirish egri parabolaga qaraganda ancha oson.

Endi, odatdagidek, o'zim:

Va eski o'qlarni silgi bilan o'chirishni unutmang!

kabiman javoblar Tekshirish uchun men sizga ushbu parabolalarning uchlari ordinatalarini yozaman:

Hammasi mos keldimi?

Ha bo'lsa, siz ajoyibsiz! Parabolani qanday boshqarishni bilish juda muhim va foydalidir va bu erda biz bu umuman qiyin emasligini aniqladik.

KVADRAT FUNKSIYA grafigi. ASOSIY HAQIDA QISQA

kvadratik funktsiya shaklning funksiyasi, bu yerda va har qanday sonlar (koeffitsientlar), erkin a'zo.

Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir.

Parabola tepasi:
, ya'ni. \displaystyle b qanchalik katta bo'lsa, parabolaning yuqori qismi shunchalik chapga siljiydi.
Funktsiyani almashtiring va quyidagilarni oling:
, ya'ni. \displaystyle b moduli qanchalik katta bo'lsa, parabolaning tepasi shunchalik baland bo'ladi

Erkin muddat - parabolaning y o'qi bilan kesishish koordinatasi.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Muvaffaqiyatli uchun imtihondan o'tish, institutga byudjet bo'yicha va ENG MUHIM, umrbod qabul qilish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlari bilan batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (kerak emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Bizning topshiriqlarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching -
2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!