Logarifmlarni kamaytirish uchun formulalar. Natural logarifm, ln x funksiyasi

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

b (b > 0) ning a asosi uchun logarifmi (a > 0, a ≠ 1) b olish uchun a sonini ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich.

b ning 10 ta logarifmini quyidagicha yozish mumkin jurnal (b), va e asosining logarifmi (tabiiy logarifm) - ln(b).

Ko'pincha logarifm bilan bog'liq muammolarni hal qilishda foydalaniladi:

Logarifmlarning xossalari

To'rtta asosiy bor logarifmlarning xossalari.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 va y > 0 bo‘lsin.

Xossa 1. Mahsulotning logarifmi

Mahsulotning logarifmi logarifmlar yig'indisiga teng:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

2-xossa. Bo’lakning logarifmi

Bo'limning logarifmi logarifmlar farqiga teng:

log a (x / y) = log a x – log a y

Xossa 3. Darajaning logarifmi

Darajali logarifm daraja va logarifm ko'paytmasiga teng:

Agar logarifmning asosi ko'rsatkichda bo'lsa, unda boshqa formula qo'llaniladi:

Xossa 4. Ildizning logarifmi

Bu xususiyatni daraja logarifmi xossasidan olish mumkin, chunki n-darajaning ildizi 1/n kuchiga teng:

Bir asosdagi logarifmadan boshqa asosdagi logarifmaga o'tish formulasi

Ushbu formula ko'pincha logarifmlar uchun turli vazifalarni hal qilishda ham qo'llaniladi:

Maxsus holat:

Logarifmlarni solishtirish (tengsizliklar)

Aytaylik, asoslari bir xil logarifmlar ostida 2 ta f(x) va g(x) funksiyalar mavjud va ular orasida tengsizlik belgisi mavjud:

Ularni solishtirish uchun avval a logarifmlarining asosiga qarash kerak:

• Agar a > 0 bo'lsa, f(x) > g(x) > 0 bo'ladi
• Agar 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logarifmlar bilan muammolarni qanday hal qilish mumkin: misollar

Logarifmlar bilan vazifalar 5-topshiriq va 7-topshiriqda 11-sinf uchun matematika bo'yicha USE-ga kiritilgan bo'lsa, siz bizning veb-saytimizda tegishli bo'limlarda echimlar bilan vazifalarni topishingiz mumkin. Shuningdek, logarifmli topshiriqlar matematikadan topshiriqlar bankida joylashgan. Saytdan qidirish orqali barcha misollarni topishingiz mumkin.

Logarifm nima

Logarifmlar har doim maktab matematika kursida qiyin mavzu hisoblangan. Logarifmning turli xil ta'riflari mavjud, ammo negadir ko'pchilik darsliklarda ulardan eng murakkab va baxtsizlari qo'llaniladi.

Biz logarifmni oddiy va aniq belgilaymiz. Buning uchun jadval tuzamiz:

Demak, bizda ikkita kuch bor.

Logarifmlar - xossalari, formulalari, yechish usullari

Agar siz raqamni pastki qatordan olsangiz, unda bu raqamni olish uchun ikkita ko'tarish kerak bo'lgan quvvatni osongina topishingiz mumkin. Misol uchun, 16 ni olish uchun siz ikkitadan to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Va 64 ni olish uchun siz ikkitadan oltinchi kuchga ko'tarishingiz kerak. Buni jadvaldan ko'rish mumkin.

Va endi - aslida, logarifmning ta'rifi:

x argumentining a asosi x sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuchdir.

Belgilash: log a x \u003d b, bu erda a - asos, x - argument, b - aslida logarifm nimaga teng.

Masalan, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 ning asosiy 2 logarifmi uchta, chunki 2 3 = 8). Jurnal 2 64 = 6 bo'lishi mumkin, chunki 2 6 = 64.

Sonning berilgan asosga logarifmini topish amali deyiladi. Shunday qilib, jadvalimizga yangi qator qo'shamiz:

Afsuski, barcha logarifmlar unchalik oson hisoblanmaydi. Masalan, log 2 ni topishga harakat qiling 5. 5 raqami jadvalda yo'q, lekin mantiq logarifm segmentning biron bir joyida yotishini ta'kidlaydi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: kasrdan keyingi raqamlar cheksiz yozilishi mumkin va ular hech qachon takrorlanmaydi. Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, uni shunday qoldirgan ma'qul: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikki o'zgaruvchiga (asosiy va argument) ega ifoda ekanligini tushunish muhimdir. Avvaliga ko'p odamlar asos qayerda va argument qayerda ekanligini chalkashtirib yuborishadi. Zerikarli tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun rasmga qarang:

Bizning oldimizda logarifm ta'rifidan boshqa narsa yo'q. Eslab qoling: logarifm kuchdir, unga dalil olish uchun asosni ko'tarish kerak. Bu quvvatga ko'tarilgan asosdir - rasmda u qizil rang bilan ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, tayanch har doim pastda! Men bu ajoyib qoidani o'quvchilarimga birinchi darsda aytaman - va hech qanday chalkashlik yo'q.

Logarifmlarni qanday hisoblash mumkin

Biz ta'rifni aniqladik - logarifmlarni qanday hisoblashni o'rganish qoladi, ya'ni. "log" belgisidan xalos bo'ling. Boshlash uchun ta'rifdan ikkita muhim fakt kelib chiqishini ta'kidlaymiz:

1. Argument va asos har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu logarifmning ta'rifi kichraytirilgan ratsional ko'rsatkich bilan darajani aniqlashdan kelib chiqadi.
2. Baza birlikdan farq qilishi kerak, chunki har qanday quvvat uchun birlik hali ham birlikdir. Shu sababli, "ikkitasini olish uchun qanday kuchga ko'tarilishi kerak" degan savol ma'nosizdir. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi tegishli diapazon(ODZ). Ma’lum bo‘lishicha, logarifmning ODZ si quyidagicha ko‘rinadi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

E'tibor bering, b raqamiga cheklovlar yo'q (logarifmning qiymati) qo'yilmaydi. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0,5 = -1, chunki 0,5 = 2 -1.

Biroq, endi biz faqat sonli ifodalarni ko'rib chiqamiz, bu erda logarifmning ODZ ni bilish talab qilinmaydi. Muammolarni tuzuvchilar tomonidan barcha cheklovlar allaqachon hisobga olingan. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar paydo bo'lganda, DHS talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, asos va dalilda yuqoridagi cheklovlarga mutlaqo mos kelmaydigan juda kuchli konstruktsiyalar bo'lishi mumkin.

Endi logarifmlarni hisoblashning umumiy sxemasini ko'rib chiqing. U uch bosqichdan iborat:

1. a asosni va x argumentini mumkin bo'lgan eng kichik asos birdan katta bo'lgan daraja sifatida ifodalang. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
2. b o'zgaruvchisi uchun tenglamani yeching: x = a b ;
3. Olingan b soni javob bo'ladi.

Hammasi shu! Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, bu birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza birdan katta bo'lishi talabi juda dolzarb: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Xuddi shunday, o'nli kasrlar bilan: agar siz ularni darhol oddiylarga aylantirsangiz, xatolar bir necha baravar kam bo'ladi.

Keling, ushbu sxema qanday ishlashini aniq misollar bilan ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 5 25

1. Baza va argumentni beshning darajasida ifodalaymiz: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Javob olindi: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 4 64

1. Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Javob olindi: 3.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 16 1

1. Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Javob olindi: 0.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 7 14

1. Baza va argumentni yettining kuchi sifatida ifodalaymiz: 7 = 7 1 ; 14 yettining kuchi sifatida ifodalanmaydi, chunki 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Oldingi paragrafdan kelib chiqadiki, logarifm hisobga olinmaydi;
3. Javob o'zgarmaydi: log 7 14.

Oxirgi misol bo'yicha kichik eslatma. Raqam boshqa raqamning aniq kuchi emasligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin? Juda oddiy - shunchaki uni asosiy omillarga ajrating. Kengayishda kamida ikkita alohida omil mavjud bo'lsa, bu raqam aniq kuch emas.

Vazifa. Sonning aniq darajalari borligini aniqlang: 8; 48; 81; 35; o'n to'rt.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - aniq daraja, chunki faqat bitta multiplikator mavjud;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 aniq kuch emas, chunki ikkita omil mavjud: 3 va 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - aniq daraja;
35 = 7 5 - yana aniq daraja emas;
14 \u003d 7 2 - yana aniq daraja emas;

Shuni ham yodda tutingki, tub sonlarning o'zlari har doim o'zlarining aniq kuchlaridir.

O'nlik logarifm

Ba'zi logarifmlar shunchalik keng tarqalganki, ular maxsus nom va belgiga ega.

x argumentining asosiy 10 logarifmi, ya'ni. x ni olish uchun 10 ni oshirish kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: lgx.

Masalan, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - va boshqalar.

Bundan buyon darslikda “Find lg 0.01” kabi ibora paydo bo'lganda, bu matn terish xatosi emasligini bilib oling. Bu o'nlik logarifm. Ammo, agar siz bunday belgiga o'rganmagan bo'lsangiz, uni har doim qayta yozishingiz mumkin:
log x = log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan hamma narsa o'nli kasrlar uchun ham to'g'ri keladi.

tabiiy logarifm

O'z yozuviga ega bo'lgan yana bir logarifm mavjud. Qaysidir ma'noda, o'nlikdan ham muhimroqdir. Bu tabiiy logarifm.

x argumentining e asosining logarifmi, ya'ni. x sonini olish uchun e soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: lnx.

Ko'pchilik so'raydi: e raqami nima? Bu irratsional raqam, uning aniq qiymatini topib, yozib bo'lmaydi. Bu erda faqat birinchi raqamlar:
e = 2,718281828459…

Biz bu raqam nima ekanligini va nima uchun kerakligini aniqlamaymiz. Esda tutingki, e tabiiy logarifmning asosi hisoblanadi:
ln x = log e x

Shunday qilib, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - va hokazo. Boshqa tomondan, ln 2 irratsional sondir. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning natural logarifmi irratsionaldir. Albatta, birlikdan tashqari: ln 1 = 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar o'rinlidir.

Shuningdek qarang:

Logarifm. Logarifmning xossalari (logarifmning kuchi).

Raqamni logarifm sifatida qanday ifodalash mumkin?

Biz logarifmning ta'rifidan foydalanamiz.

Logarifm - bu logarifm belgisi ostidagi raqamni olish uchun asosni ko'tarish kerak bo'lgan quvvatning ko'rsatkichidir.

Shunday qilib, ma'lum c sonni a asosga logarifm sifatida ko'rsatish uchun asosi bir xil bo'lgan logarifm belgisi ostiga daraja qo'yish va bu c sonni ko'rsatkichga yozish kerak. :

Logarifm shaklida siz mutlaqo har qanday sonni ifodalashingiz mumkin - musbat, manfiy, butun son, kasr, ratsional, irratsional:

Sinov yoki imtihonning stressli sharoitida a va c ni chalkashtirmaslik uchun siz eslab qolish uchun quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin:

pastdagi narsa pastga tushadi, yuqoridagi narsa yuqoriga ko'tariladi.

Misol uchun, siz 2 raqamini 3 asosga logarifm sifatida ko'rsatishni xohlaysiz.

Bizda ikkita raqam bor - 2 va 3. Bu raqamlar asos va ko'rsatkich bo'lib, biz ularni logarifm belgisi ostida yozamiz. Bu raqamlarning qaysi biri daraja asosiga, qaysi biri yuqoriga, ko'rsatkichga yozilishi kerakligini aniqlash qoladi.

Logarifm yozuvidagi 3 asosi pastda joylashgan, demak, biz ikkilikni 3 ning asosiga logarifm sifatida ifodalaganimizda, biz ham 3 ni asosga yozamiz.

2 3 dan yuqori. Darajani belgilashda esa ikkitani uchtadan yuqorisiga, ya’ni ko‘rsatkichga yozamiz:

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlar

logarifm ijobiy raqam b sabab bilan a, qayerda a > 0, a ≠ 1, sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich. a, Olish uchun b.

Logarifmning ta'rifi qisqacha shunday yozish mumkin:

Bu tenglik uchun amal qiladi b > 0, a > 0, a ≠ 1. U odatda chaqiriladi logarifmik identifikatsiya.
Sonning logarifmini topish amali deyiladi logarifm.

Logarifmlarning xossalari:

Mahsulotning logarifmi:

Bo'linishdan olingan qismning logarifmi:

Logarifm asosini almashtirish:

Daraja logarifmi:

ildiz logarifmi:

Quvvat bazasi bilan logarifm:

O'nlik va natural logarifmlar.

O'nlik logarifm raqamlar bu raqamning 10 ta logarifmini chaqiradi va   lg yozadi b
tabiiy logarifm raqamlar bu raqamning logarifmini asosga chaqiradi e, qayerda e irratsional son bo'lib, taxminan 2,7 ga teng. Shu bilan birga, ular ln deb yozadilar b.

Algebra va geometriya bo'yicha boshqa eslatmalar

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

log 6 4 + log 6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizda ... bor:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

log a x logarifmi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi.

Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. log a a = 1 bo'ladi. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. log a 1 = 0 bo'ladi. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b sabab bilan lekin raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng ax=b. Misol uchun, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi agar ekanligini asoslashga imkon beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng dan. Logarifm mavzusi sonning kuchi mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq.

Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, siz bajarishingiz mumkin qo`shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligini hisobga olib, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling: log x Va log a y. Keyin olib tashlang, qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Kimdan qism logarifm teoremalari logarifmning yana bir xossasini olish mumkin. Bu jurnali yaxshi ma'lum a 1= 0, shuning uchun

jurnal a 1 /b= jurnal a 1 - jurnal a b= -log a b.

Shunday qilib, tenglik mavjud:

log a 1 / b = - log a b.

Ikki o'zaro o'zaro sonlarning logarifmlari bir xil asosda bir-biridan faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

Jurnal 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.