Parabola funksiya grafigining xossalari qanday tasvirlanadi. Kvadrat funksiya va uning grafigi

Maktabdagi matematika darslarida siz funktsiyaning eng oddiy xossalari va grafigi bilan allaqachon tanishgansiz. y=x2. Keling, bilimimizni kengaytiraylik kvadratik funktsiya.

1-mashq.

Funktsiyani chizing y=x2. Masshtab: 1 = 2 sm.Oy o'qida nuqta belgilang F(0; 1/4). Kompas yoki qog'oz chizig'idan foydalanib, nuqtadan masofani o'lchang F bir nuqtaga M parabolalar. Keyin chiziqni M nuqtasiga mahkamlang va uni vertikal bo'lishi uchun bu nuqta atrofida aylantiring. Ipning oxiri x o'qidan bir oz pastga tushadi (1-rasm). Chiziqda uning x o'qidan qanchalik uzoqqa borishini belgilang. Endi parabolaning yana bir nuqtasini oling va o'lchovni yana takrorlang. Chiziqning cheti endi x o'qidan qanchaga tushib ketdi?

Natija: y \u003d x 2 parabolaning qaysi nuqtasini qabul qilishingizdan qat'i nazar, bu nuqtadan F (0; 1/4) nuqtasigacha bo'lgan masofa bir xil nuqtadan x o'qigacha bo'lgan masofadan har doim bir xil kattaroq bo'ladi. raqam - 1/4 ga.

Buni boshqacha aytish mumkin: parabolaning istalgan nuqtasidan (0; 1/4) nuqtagacha bo'lgan masofa parabolaning bir xil nuqtasidan y = -1/4 chiziqgacha bo'lgan masofaga teng. Bu ajoyib nuqta F(0; 1/4) deyiladi diqqat parabolalar y \u003d x 2 va to'g'ri chiziq y \u003d -1/4 - direktor bu parabola. Har bir parabolada direktrisa va fokus mavjud.

Parabolaning qiziqarli xususiyatlari:

1. Parabolaning har qanday nuqtasi qaysidir nuqtadan teng masofada joylashgan bo‘lib, uni parabolaning fokusi va qaysidir to‘g‘ri chizig‘i uning direktrisasi deb ataladi.

2. Agar siz parabolani simmetriya o‘qi atrofida aylantirsangiz (masalan, Oy o‘qi atrofida y \u003d x 2 parabola), siz inqilob paraboloidi deb ataladigan juda qiziq sirtga ega bo‘lasiz.

Aylanadigan idishdagi suyuqlik yuzasi inqilob paraboloidi shakliga ega. To'liq bo'lmagan stakan choyda qoshiq bilan qattiq aralashtirib, keyin qoshiqni olib tashlasangiz, bu sirtni ko'rishingiz mumkin.

3. Agar toshni bo'shliqqa ufqqa ma'lum bir burchak ostida tashlasangiz, u parabola bo'ylab uchib ketadi. (2-rasm).

4. Agar konusning sirtini uning generatorlaridan biriga parallel tekislik bilan kesib o'tsangiz, u holda kesmada siz parabola olasiz. (3-rasm).

5. Ko'ngilochar bog'larda ular ba'zan "Mo''jizalar paraboloidi" deb nomlangan kulgili attraksionni tashkil qilishadi. Aylanadigan paraboloid ichida turganlarning har biriga u polda turganga o'xshaydi, qolgan odamlar esa qandaydir mo''jiza bilan devorlarni ushlab turishadi.

6. Oynali teleskoplarda parabolik nometalllardan ham foydalaniladi: teleskop oynasiga tushayotgan, parallel nurda harakatlanayotgan uzoq yulduzning yorug`ligi fokusda to`planadi.

7. Spot chiroqlar uchun oyna odatda paraboloid shaklida tayyorlanadi. Agar siz yorug'lik manbasini paraboloidning fokusiga qo'ysangiz, u holda parabolik oynadan aks ettirilgan nurlar parallel nur hosil qiladi.

Kvadrat funksiya grafigini tuzish

Matematika darslarida siz y \u003d x 2 funktsiyasi grafigidan shakl funktsiyalarining grafiklarini qanday olishni o'rgandingiz:

1) y=ax2– y = x 2 grafigining |a|da Oy o‘qi bo‘ylab kengayishi marta ( |a| uchun< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, guruch. 4).

2) y=x2+n– grafikning Oy o‘qi bo‘yicha n birlikka siljishi, agar n > 0 bo‘lsa, siljish yuqoriga, agar n bo‘lsa< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– grafikning Ox o‘qi bo‘yicha m birlikka siljishi: agar m bo‘lsa< 0, то вправо, а если m >0, keyin chapga, (5-rasm).

4) y=-x2- y = x 2 grafigining Ox o'qi haqida simmetrik displey.

Keling, batafsilroq funktsiya grafigini tuzishga to'xtalib o'tamiz. y = a(x - m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ko'rinishdagi kvadrat funktsiya har doim shaklga keltirilishi mumkin.

y \u003d a (x - m) 2 + n, bu erda m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Keling, buni isbotlaylik.

Haqiqatan ham,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Keling, yangi belgini kiritamiz.

Bo'lsin m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

u holda y = a(x - m) 2 + n yoki y - n = a(x - m) 2 ni olamiz.

Yana bir qancha almashtirishlarni amalga oshiramiz: y - n = Y, x - m = X (*) bo'lsin.

Keyin grafigi parabola bo'lgan Y = aX 2 funksiyani olamiz.

Parabolaning tepasi koordinata boshida joylashgan. x=0; Y = 0.

(*) dagi cho`qqi koordinatalarini o`rniga qo`yib, y = a(x - m) 2 + n grafik cho`qqisining koordinatalarini olamiz: x = m, y = n.

Shunday qilib, sifatida ifodalangan kvadratik funktsiyani chizish uchun

y = a(x - m) 2 + n

o'zgartirish orqali siz quyidagicha davom etishingiz mumkin:

a) y = x 2 funksiyaning grafigini tuzing;

b) Ox o'qi bo'ylab m birlik va Oy o'qi bo'ylab n birlik bilan parallel ko'chirish orqali - parabolaning yuqori qismini koordinatali nuqtaga (m; n) o'tkazing. (6-rasm).

Transformatsiyalarni yozing:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Misol.

Transformatsiyalardan foydalanib, y = 2(x - 3) 2 funksiyaning Dekart koordinata tizimidagi grafigini tuzing. – 2.

Qaror.

Transformatsiyalar zanjiri:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Grafikning tuzilishi ko'rsatilgan guruch. 7.

Kvadrat funktsiyani o'zingiz chizishingiz mumkin. Masalan, y = 2(x + 3) 2 + 2 funktsiyasining grafigini transformatsiyalar yordamida bitta koordinata tizimida tuzing.Agar sizda biron bir savol bo'lsa yoki o'qituvchidan maslahat olmoqchi bo'lsangiz, unda sizda o'tkazish imkoniyati mavjud. onlayn o'qituvchi bilan bepul 25 daqiqalik dars keyin. O'qituvchi bilan keyingi ishlash uchun siz o'zingizga mos keladiganini tanlashingiz mumkin

Savollaringiz bormi? Kvadrat funksiya grafigini qanday tuzishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.