Крапка пряма відрізок ламана. Крапка, лінія, пряма, промінь, відрізок, ламана

Крапка — це абстрактний об'єкт, який має вимірювальних характеристик: ні висоти, ні довжини, ні радіуса. У рамках завдання важливе лише його місцезнаходження

Крапка позначається цифрою або великою (великою) латинською літерою. Декілька точок — різними цифрами або різними літерамищоб їх можна було розрізняти

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можна намалювати на аркуші паперу три точки "А" та запропонувати дитині провести лінію через дві точки "А". Але як зрозуміти через які? A A A

Лінія – це безліч точок. У неї вимірюють лише довжину. Ширини та товщини вона не має

Позначається малими (маленькими) латинськими літерами

лінія a, лінія b, лінія c

a b c

Лінія може бути

1. замкнутої, якщо її початок і кінець знаходяться в одній точці,
2. розімкнутої, якщо її початок і кінець не з'єднані

замкнуті лінії

розімкнені лінії

Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб і повернувся назад у квартиру. Яка лінія вийшла? Правильно замкнута. Ти повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб, зайшов у під'їзд і розговорився із сусідом. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку. Ти вийшов із квартири, купив у магазині хліб. Яка лінія вийшла? Розімкнена. Ти не повернувся у вихідну точку.

1. самоперетинається
2. без самоперетинів

самоперетинальні лінії

лінії без самоперетинів

1. прямий
2. ламаною
3. кривий

прямі лінії

ламані лінії

криві лінії

Пряма лінія - це лінія, яка не викривляється, не має ні початку, ні кінця, її можна нескінченно продовжувати в обидві сторони

Навіть коли видно невелика ділянкапрямий, передбачається, що вона нескінченно продовжується в обидві сторони

Позначається малою (малою) латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами - точками, що лежать на прямій

пряма лінія a

a

пряма лінія AB

B A

Прямі можуть бути

1. такими, що перетинаються, якщо мають загальну точку. Дві прямі можуть перетинатися лише в одній точці.
   • перпендикулярними, якщо перетинаються під прямим кутом (90 °).
2. паралельними, якщо не перетинаються, немає загальної точки.

паралельні лінії

лінії, що перетинаються

перпендикулярні лінії

Промінь - це частина прямої, яка має початок, але не має кінця, її можна нескінченно продовжувати лише в один бік

У променя світла на малюнку початковою точкою є сонце

сонечко

Крапка поділяє пряму на дві частини - два промені A A

Промінь позначається малою латинською літерою. Або двома великими (великими) латинськими літерами, де перша - це точка, з якої починається промінь, а друга - точка, що лежить на промені.

промінь a

a

промінь AB

B A

Промені збігаються, якщо

1. розташовані на одній і тій же прямій,
2. починаються в одній точці,
3. спрямовані в один бік

промені AB та AC збігаються

промені CB та CA збігаються

C B A

Відрізок - це частина прямої, яка обмежена двома точками, тобто вона має початок і кінець, а значить можна виміряти її довжину. Довжина відрізка - це відстань між його початковою та кінцевою точками

Через одну точку можна провести будь-яку кількість ліній, у тому числі прямих

Через дві точки — необмежену кількість кривих, але лише одну пряму

криві лінії, що проходять через дві точки

B A

пряма лінія AB

B A

Від прямої «відрізали» шматочок і залишився відрізок. З прикладу вище видно, що його довжина - найкоротша відстань між двома точками. ✂ B A ✂

Відрізок позначається двома великими латинськими літерами, де перша — це точка, з якої починається відрізок, а друга — точка, якою закінчується відрізок.

відрізок AB

B A

Завдання: де пряма, промінь, відрізок, крива?

Ломана лінія - це лінія, що складається з послідовно з'єднаних відрізків не під кутом 180 °

Довгий відрізок «поломали» на кілька коротких

Ланки ламаної (схожі на ланки ланцюга) - це відрізки, з яких складається ламана. Сумежні ланки - це ланки, у яких кінець однієї ланки є початком іншої. Сумежні ланки не повинні лежати на одній прямій.

Вершини ламаної (схожі на вершини гір) - це точка, з якої починається ламана, точки, в яких з'єднуються відрізки, що утворюють ламану, точка, якою закінчується ламана.

Позначається ламана перерахуванням її вершин.

ламана лінія ABCDE

вершина ломанної A, вершина ломанної B, вершина ломанної C, вершина ломанної D, вершина ломанної E

ланка ломанної AB, ланка ломанної BC, ланка ломанної CD, ланка ломанної DE

ланка AB та ланка BC є суміжними

ланка BC та ланка CD є суміжними

ланка CD та ланка DE є суміжними

A B C D E 64 62 127 52

Довжина ламаної - це сума довжин її ланок: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Завдання: яка ламана довша, а у якої більше вершин? У першої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 13см. У другій лінії всі ланки однакової довжини, саме по 49см. У третьої лінії всі ланки однакової довжини, саме по 41см.

Багатокутник - це замкнута ламана лінія

Сторони багатокутника (допоможуть запам'ятати висловлювання: "піти на всі чотири сторони", "бігти у бік будинку", "з якого боку столу сядеш?") - це ланки ламаною. Сумежні сторони багатокутника – це суміжні ланки ламаної.

Вершини багатокутника – це вершини ламаною. Сусідні вершини – це точки кінців однієї сторони багатокутника.

Позначається багатокутник перерахуванням усіх його вершин.

замкнута ламана лінія, що не має самоперетину, ABCDEF

багатокутник ABCDEF

вершина багатокутника A, вершина багатокутника B, вершина багатокутника C, вершина багатокутника D, вершина багатокутника E, вершина багатокутника F

вершина A та вершина B є сусідніми

вершина B та вершина C є сусідніми

вершина C та вершина D є сусідніми

вершина D та вершина E є сусідніми

вершина E та вершина F є сусідніми

вершина F та вершина A є сусідніми

сторона багатокутника AB, сторона багатокутника BC, сторона багатокутника CD, сторона багатокутника DE, сторона багатокутника EF

сторона AB та сторона BC є суміжними

сторона BC та сторона CD є суміжними

сторона CD та сторона DE є суміжними

сторона DE та сторона EF є суміжними

сторона EF та сторона FA є суміжними

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр багатокутника - це довжина ламанної: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Багатокутник із трьома вершинами називається трикутником, із чотирма — чотирикутником, із п'ятьма — п'ятикутником тощо.

У цій статті ми докладно зупинимося на одному з первинних понять геометрії – на понятті прямої лінії на площині. Спочатку визначимося з основними термінами та позначеннями. Далі обговоримо взаємне розташування прямої та точки, а також двох прямих на площині, наведемо необхідні аксіоми. У висновку, розглянемо способи завдання прямої на площині та наведемо графічні ілюстрації.

Навігація на сторінці.

Прямі на площині - концепції.

Перш ніж дати поняття прямий на площині, слід чітко уявляти що ж являє собою площину. Уявлення про площинудозволяє отримати, наприклад, рівну поверхню столу або стіни будинку. Слід, однак, мати на увазі, що розміри столу обмежені, а площина простягається і за межі цих кордонів у нескінченність (начебто у нас скільки завгодно великий стіл).

Якщо взяти добре заточений олівець і доторкнутися його стрижнем до поверхні столу, ми отримаємо зображення точки. Так ми отримуємо уявлення про точку на площині.

Тепер можна переходити і до поняття прямої лінії на площині.

Покладемо на поверхню столу (на площину) аркуш чистого паперу. Для того щоб зобразити пряму лінію, нам необхідно взяти лінійку та провести олівцем лінію на скільки це дозволяють зробити розміри лінійки та аркуша паперу, що використовується. Слід зазначити, що у такий спосіб ми отримаємо лише частину прямої. Пряму лінію цілком, що тягнеться в нескінченність, ми можемо тільки уявити.

Взаємне розташування прямої та точки.

Почати слід з аксіоми: на кожній прямій та у кожній площині є точки.

Точки прийнято позначати великими латинськими літерами, наприклад точки А і F . У свою чергу, прямі лінії позначають малими латинськими літерами, наприклад, прямі a і d .

Можливі два варіанти взаємного розташуванняпрямий і точки на площині: або точка лежить на прямій (у цьому випадку також кажуть, що пряма проходить через точку), або точка не лежить на прямій (також кажуть, що точка не належить пряма або пряма не проходить через точку).

Для позначення приналежності точки деякої прямої використовують символ "". Наприклад, якщо точка А лежить на прямій а, то можна записати. Якщо точка А не належить до прямої а , то записують .

Справедливим є наступне твердження: через будь-які дві точки проходить єдина пряма.

Це твердження є аксіомою і його слід сприйняти як факт. До того ж це досить очевидно: відзначаємо дві точки на папері, прикладаємо до них лінійку і проводимо пряму лінію. Пряму, що проходить через дві задані точки (наприклад, через точки А та В), можна позначати двома цими літерами (у нашому випадку пряма АВ або ВА).

Слід розуміти, що на прямій, заданій на площині, нескінченно лежить багато різних точок, причому всі ці точки лежать в одній площині. Це твердження встановлюється аксіомою: якщо дві точки прямої лежать у певній площині, всі точки цієї прямої лежать у цій площині.

Безліч всіх точок, розташованих між двома заданими на прямій точками, разом із цими точками називають відрізком прямийабо просто відрізком. Крапки, що обмежують відрізок, називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають двома літерами, що відповідають точкам кінців відрізка. Наприклад, нехай точки А і є кінцями відрізка, тоді цей відрізок можна позначити АВ або ВА . Зверніть увагу, що таке позначення відрізка збігається із позначенням прямої. Щоб уникнути плутанини, рекомендуємо до позначення додавати слово відрізок або пряма.

Для короткого запису приналежності та не приналежності деякої точки деякому відрізку використовують ті самі символи і . Щоб показати, що певний відрізок лежить або не лежить на прямій, користуються символами і відповідно. Наприклад, якщо відрізок АВ належить прямий а можна коротко записати .

Слід також зупинитися у випадку, коли три різні точки належать одній прямій. І тут одна, і лише одна точка, лежить між двома іншими. Це є черговою аксіомою. Нехай точки А, В і З лежать на одній прямій, причому точка лежить між точками А і С. Тоді можна говорити, що точки А та З знаходяться по різні боки від точки В . Також можна сказати, що точки В і З лежать з одного боку то точки А , а точки А і В лежать з одного боку від точки З .

Для повноти картини зауважимо, що будь-яка точка пряма поділяє цю пряму на дві частини – два променя. Для цього випадку дається аксіома: довільна точка О , що належить прямий, ділить цю пряму на два промені, причому дві будь-які точки одного променя лежать по одну сторону від точки О , а будь-які дві точки різних променів – по різні боки від точки О .

Взаємне розташування прямих на площині.

Зараз відповімо на запитання: «Як можуть бути дві прямі на площині відносно один одного»?

По-перше, дві прямі на площині можуть збігатися.

Це можливо в тому випадку, коли прямі мають принаймні дві точки. Дійсно, через аксіому, озвучену в попередньому пункті, через дві точки проходить єдина пряма. Іншими словами, якщо через дві задані точки проходять дві прямі, вони збігаються.

По-друге, дві прямі на площині можуть перетинатися.

І тут прямі мають одну загальну точку, яку називають точкою перетину прямих. Перетин прямих позначають символом «», наприклад, запис означає, що прямі і b перетинаються у точці М . Прямі , що перетинаються , приводять нас до поняття кута між прямими , що перетинаються . Окремо варто розглянути розташування прямих на площині, коли кут між ними дорівнює дев'яносто градусам. У цьому випадку прямі називаються перпендикулярними(Рекомендуємо статтю перпендикулярні прямі, перпендикулярність прямих). Якщо пряма a перпендикулярна до прямої b , то можна використовувати короткий запис .

По-третє, дві прямі на площині можуть бути паралельними.

Пряму лінію на площині з практичного погляду зручно розглядати разом із векторами. Особливого значення мають ненульові вектори, що лежать на даній прямій або на будь-якій з паралельних прямих, їх називають напрямними векторами прямий. У статті напрямний вектор прямий на площині наведено приклади напрямних векторів і показані варіанти їх використання при вирішенні завдань.

Також слід звернути увагу на ненульові вектори, що лежать на будь-якій із прямих, перпендикулярних даній. Такі вектори називають нормальними векторами прямий. Про застосування нормальних векторів прямої розказано у статті нормальний вектор прямої на площині.

Коли на площині дано три і більш прямі лінії, то виникає безліч різних варіантівїх взаємного розташування. Всі прямі можуть бути паралельними, інакше деякі або всі з них перетинаються. При цьому всі прямі можуть перетинатися в єдиній точці (дивіться статтю прямих пучок), а можуть мати різні точкиперетину.

Не будемо докладно зупинятися на цьому, а наведемо без доказу кілька примітних фактів, що дуже часто використовуються:

• якщо дві прямі паралельні третій прямий, то вони паралельні між собою;
• якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою;
• якщо на площині деяка пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і другу пряму.

Способи завдання прямої на площині.

Тепер ми перерахуємо основні методи, якими можна задати конкретну пряму на площині. Це знання дуже корисно з практичної точки зору, так як на ньому грунтується вирішення багатьох прикладів і завдань.

По-перше, пряму можна встановити, вказавши дві точки на площині.

Справді, з аксіоми, розглянутої в першому пункті цієї статті, ми знаємо, що через дві точки проходить пряма, і лише одна.

Якщо в прямокутній системі координат на площині вказані координати двох точок, що не збігаються, тобто можливість записати рівняння прямої, що проходить через дві задані точки .

По-друге, пряму можна задати, вказавши точку, якою вона проходить, і пряму, якою вона паралельна. Цей спосіб справедливий, оскільки через цю точку площини проходить єдина пряма, паралельна заданій прямій. Доказ цього факту проводилося під час уроків геометрії у неповній середній школі.

Якщо пряму на площині задати у такий спосіб щодо введеної прямокутної декартової системи координат, тобто можливість скласти її рівняння. Про це написано у статті рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданої прямої.

По-третє, пряму можна задати, якщо вказати точку, через яку вона проходить, та її напрямний вектор.

Якщо пряма лінія задана у прямокутній системі координат у такий спосіб, то легко скласти її канонічне рівняння прямої на площині та параметричні рівняння прямої на площині .

Четвертий спосіб завдання прямої полягає в тому, що слід вказати точку, через яку вона проходить, та пряму, якою вона перпендикулярна. Справді, через задану точкуплощині проходить єдина пряма, перпендикулярна до цієї прямої. Залишимо цей факт без доказу.

Нарешті, пряму на площині можна задати, вказавши точку, якою вона проходить, і нормальний вектор прямий.

Якщо відомі координати точки, що лежить на заданій прямій, та координати нормального вектора прямої, тобто можливість записати загальне рівняння прямої.

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7 – 9 класи: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
• Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріалиі зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Ми розглянемо кожну з тем, а наприкінці будуть дані тести з тем.

Крапка в математиці

Що таке точка математики? Математична точка немає розмірів і позначається великими латинськими літерами: A, B, C, D, F тощо.

На малюнку можна побачити зображення точок A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Відрізок у математиці

Що таке відрізок у математиці? На уроках математики можна почути таке пояснення: математичний відрізок має довжину та кінці. Відрізок у математиці - це сукупність всіх точок, що лежать прямо між кінцями відрізка. Кінці відрізка – дві граничні точки.

На малюнку ми бачимо наступне: відрізки ,,,, і , а також дві точки B і S.

Пряма у математиці

Що таке пряма у математиці? Визначення прямої в математиці: пряма немає кінців і може продовжуватися в обидві сторони до нескінченності. Пряма у математиці позначається двома будь-якими точками прямою. Для пояснення поняття прямої учню можна сказати, що пряма – це відрізок, який не має двох кінців.

На малюнку зображено дві прямі: CD та EF.

Промінь у математиці

Що таке промінь? Визначення променя в математиці: промінь - частина пряма, яка має початок і не має кінця. У назві променя є дві літери, наприклад, DC. Причому перша літера завжди означає точку початку променя, тому міняти місцями літери не можна.

На малюнку зображено промені: DC, KC, EF, MT, MS. Промені KC та KD - один промінь, т.к. у них загальний початок.

Числова пряма в математиці

Визначення числової прямої в математиці: пряма, точки якої відзначають числа, називають числовою прямою.

На малюнку зображена числова пряма, а також промінь OD та ED