Властивість протилежних кутів паралелограма. Властивість діагоналей паралелограма

Ознаки пара-ле-ло-грам-ма

1. Визначення та основні властивості паралелограма

Почнемо з того, що згадаємо опре-де-ле-ня пара-ле-ло-ло-грам-ма.

Визначення. Па-рал-ле-ло-грам- че-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го каж-дие дві про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ни парал-лель-ни (див. Рис 1).

Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грам

Згадай-нім ос-новні влас-ства па-рал-ле-ло-грам-ма:

Для того, щоб мати можливість користуватися всіма цими властивостями, необхідно бути впевненим, що фі-гу-ра, про ко-то -рій йде мова, - Парал-ле-ло-грам. Для цього необхідно знати такі факти, як ознаки пара-ле-ло-ло-грам-ма. Перші два з них ми сьогодні і розглянемо.

2. Перша ознака паралелограма

Теорема. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-вуг-ні-ці дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні і парал-лель-ни, то цей че-ти-рех-вугілля- нік - парал-ле-ло-грам. .

Рис. 2. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма

Доведення. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. мал. 2), вона роз-би-ла його на два три-кут-ні-ка. Запи-шем, що ми знаємо про ці трикутники:

за першим-го ознаки ра-вен-ства трикутників.

З рівності вказаних трикутників слід, що за ознакою паралельності пряних при пе-ре-се- че-нии їх се-ку-щей. Маємо, що:

До-ка-за-але.

3. Друга ознака паралелограма

Теорема. Другий ознака парал-ле-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-кут-ні-ці кож-ні дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні, то цей че-ти-рех-кутник- парал-ле-ло-грам. .

Рис. 3. Другий ознака пара-ле-ло-ло-грам-ма

Доведення. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. Рис. 3), вона роз-бі-ва-є його на два три-кут-ні-ка. Запи-шем, що ми знаємо про ці трикутники, виходячи з фор-му-лі-рів-ки тео-ре-ми:

по третій-му ознаку ра-вен-ства трикутників.

З рівності треугольників слід, що і за ознакою паралельності пря-мих при пересіченні їх се-ку-щій. По-лу-ча-єм:

парал-ле-ло-грам по визна-де-ленню. Що й потрібно було довести.

До-ка-за-але.

4. Приклад застосування першої ознаки паралелограма

Роз-див-рим приклад на при-ме-не-ня при-зна-ків пара-ле-ло-ло-грам-ма.

Приклад 1. У випук-лом чо-ти-рех-вуг-ні-ці Знайти: а) кути че-ти-рех-вуг-ні-ка; б) сто-ро-ну.

Рішення. Із-ра-зим Мал. 4.

пара-ле-ло-грам по першому-при-зна-ку пара-ле-ло-грам-ма.

А. за власністю па-рал-ле-ло-грам-ма про про-ти-во-по-лож-них кутах, по влас-ству па-рал-ле-ло-грам-ма про суму кутів, при- лежачих до однієї сторони.

Б. за власністю ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-них сторін.

ре-тій ознака парал-ле-ло-грам-ма

5. Повторення: визначення та властивості паралелограма

На-пам-нім, що парал-ле-ло-грам- це чо-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни по-пар-но па-рал-лель-ни. Тобто, якщо - пара-ле-ло-грам, то (Див. Рис. 1).

Па-рал-ле-ло-грам об-ла-да-є цілим рядом властивостей: проти-по-лож-ні кути рівні (), проти-по-лож-ні сто-ро -Ни рівні ( ). Крім того, діа-го-на-лі парал-ле-ло-грам-ма в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам, сума кутів, при-ле- жа-щих до будь-якої сторони парал-ле-ло-грам-ма, дорівнює і т.д.

Але для того, щоб користуватися всіма цими властивостями, необхідно бути аб-со-лют-но уве-рен-ни-ми в тому, що роз-смат- ри-ва-е-мий че-ти-рех-кутник - парал-ле-ло-грам. Для цього і існують ознаки пара-ле-ло-грам-ма: тобто ті факти, з яких можна зробити од-но-знач-ний висновок , Що че-ти-рех-кутник яв-ля-ет-ся парал-ле-ло-ло-грам-мом. На попередньому уроці ми вже розглянули два ознаки. Зараз роз-глядає третій.

6. Третя ознака паралелограма та його доказ

Якщо в че-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-на-лі в точці пе-ре-се-че-ня діля-ться по-по-лам, то дан-ний че-ти- рох-кутник яв-ля-ет-ся пара-ле-ло-ло-грам-мом.

Дано:

Че-ти-рех-кутник; ; .

Доказати:

Па-рал-ле-ло-грам.

Доведення:

Для того щоб довести цей факт, необхідне довести паралельність сторін параллельно грам. А параллельність пря-мих найчастіше до-ка-зи-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-хрест лежачих кутів при цих прямих. Таким об-разом, на-пра-ши-ва-є-ся слід-ду-ю-ший спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-ть-го визнан-ка пара-рал -ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство трикутників-ків .

До-кажем рівність цих трикутників. Дій-стви-тель-но, з умови слід-ду-є: . Крім того, по-скільки кути - вер-ти-каль-ні, то вони рівні. Тобто:

(перший ознака рівностітрикутники- по двох сторонах і кутку між ними).

З рівності трикутників: (тому що рівні внут-рення на-хрест лежачі кути при цих прямих і сік-кущів). Крім того, з ра-вен-ства трикутників слід, що . Значить, ми лу-чи-ли, що в че-ти-рех-уголь-ні-ці дві сто-рони рівні і параллельни. За першим ознакою пара-ле-ло-грам-ма: - пара-ле-ло-ло-грам.

До-ка-за-але.

7. Приклад завдання на третю ознаку паралелограма та узагальнення

Роз-див-рим приклад-на-при-ме-не-ня трет-го-го-зна-ка пара-ле-ло-ло-грам-ма.

Приклад 1

Дано:

- парал-ле-ло-грам; . - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на (див. мал. 2).

Доказати:- парал-ле-ло-грам.

Доведення:

Значить, у че-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-на-лі в точці пе-ре-сі-че-ня діляться по-по-лам. По третій-му-зна-ку пара-ле-ло-грам-ма з цього слід-ду-ет, що - пара-ле-ло-ло-грам.

До-ка-за-але.

Якщо про-ве-сти аналіз трет-го-го ознаки пара-ле-ло-грам-ма, то можна зазначити, що цей ознака зі-від-віт- сть-є свій-ство парал-ле-ло-грам-ма. Тобто, те, що діа-го-на-чи ді-ля-ться по-по-лам, яв-ля-є-ся не про-сто власністю па-рал-ле-ло-грам-ма, а його від-ли-чи-тель-ним, ха-рак-те-ри-сти-че-ським власністю, по ко-то-ро-му його можна виділити з множини че-ти-рьох-кут-ників.

ДЖЕРЕЛО

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

На сьогоднішньому уроці ми повторимо основні властивості паралелограма, а потім приділимо увагу розгляду перших двох ознак паралелограма та доведемо їх. У ході доказу згадаємо застосування ознак рівності трикутників, які ми вивчали минулого року та повторювали на першому уроці. Наприкінці буде наведено приклад застосування вивчених ознак паралелограмма.

Тема: Чотирьохкутники

Урок: Ознаки паралелограма

Почнемо з того, що згадаємо визначення паралелограма.

Визначення. Паралелограм- чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони є паралельними (див. рис. 1).

Рис. 1. Паралелограм

Згадаймо основні властивості паралелограма:

Для того, щоб мати можливість користуватися усіма цими властивостями, необхідно бути впевненим, що фігура, про яку йдеться, є паралелограм. І тому необхідно знати такі факти, як ознаки паралелограма. Перші два з них ми сьогодні розглянемо.

Теорема. Перша ознака паралелограма.Якщо у чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то цей чотирикутник - паралелограм. .

Рис. 2. Перша ознака паралелограма

Доведення. Проведемо у чотирикутнику діагональ (див. мал. 2), вона розбила його на два трикутники. Запишемо, що ми знаємо про ці трикутники:

за першою ознакою рівності трикутників.

З рівності зазначених трикутників випливає, що за ознакою паралельності прямих при перетині їхньої січної. Маємо, що:

Доведено.

Теорема. Друга ознака паралелограма.Якщо чотирикутник кожні дві протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник - паралелограм. .

Рис. 3. Друга ознака паралелограма

Доведення. Проведемо у чотирикутнику діагональ (див. мал. 3), вона розбиває його на два трикутники. Запишемо, що ми знаємо про ці трикутники, виходячи з формулювання теореми:

за третьою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників випливає, що й за ознакою паралельності прямих при перетині їхньої січної. Отримуємо:

паралелограм за визначенням. Що й потрібно було довести.

Доведено.

Розглянемо приклад застосування ознак паралелограмма.

Приклад 1. У опуклому чотирикутнику Знайти: а) кути чотирикутника; б) бік.

Рішення. Зобразимо Рис. 4.

Рис. 4

паралелограм за першою ознакою паралелограма.

Поняття паралелограма

Визначення 1

Паралелограм-- це чотирикутник, у якому протилежні сторони паралельні між собою (рис. 1).

Малюнок 1.

Паралелограм має дві основні властивості. Розглянемо їх докази.

Властивість 1: Протилежні сторони та кути паралелограма рівні, відповідно, між собою.

Властивість 2: Діагоналі, проведені в паралелограмі, діляться навпіл їх точкою перетину.

Ознаки паралелограма

Розглянемо три ознаки паралелограма та представимо їх у вигляді теорем.

Теорема 1

Якщо дві сторони чотирикутника рівні між собою, а також паралельні, цей чотирикутник буде паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AB||CD$ і $AB=CD$ Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Розглянемо паралельні прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$. Тоді

\[\angle CAB=\angle DCA\]

як навхрест лежачі кути.

За $I$ ознакою рівності трикутників,

оскільки $AC$ - їх спільна сторона, а $AB=CD$ за умовою. Значить

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та їх січну $AC$, за останньою рівності навхрест кутів, що лежать, отримаємо, що $AD||CB$.) Отже, за визначенням $1$, даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 2

Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні між собою, він є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AD=BC$ та $AB=CD$. Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 3).

Рисунок 3.

Оскільки $AD=BC$, $AB=CD$, а $AC$ -- загальна сторона, то за $III$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та їх січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AD||CB$. Отже, за визначенням $1$, цей чотирикутник є паралелограмом.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Розглянемо прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AB||CD$. Отже, за визначенням 1 даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 3

Якщо діагоналі, проведені в чотирикутнику, своєю точкою перетину поділяються на дві рівні частини, цей чотирикутник є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. Проведемо в ньому діагоналі $AC$ та $BD$. Нехай вони перетинаються у точці $O$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Оскільки, за умовою $BO=OD,\ AO=OC$, а кути $\angle COB=\angle DOA$ як вертикальні, то, за $I$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Розглянемо прямі $BC$ і $AD$ та їх січну $BD$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $BC||AD$. Також $BC=AD$. Отже, за теоремою $1$ даний чотирикутник є паралелограмом.

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. На наступному малюнку представлено паралелограм ABCD. У нього сторона AB паралельна стороні CD, а сторона BC паралельна стороні AD.

Як ви вже встигли здогадатися, паралелограм є опуклим чотирикутником. Розглянемо основні властивості паралелограма.

Властивості паралелограма

1. У паралелограмі протилежні кути та протилежні сторони рівні. Доведемо цю властивість – розглянемо паралелограм, поданий на наступному малюнку.

Діагональ BD поділяє його на два рівних трикутника: ABD та CBD. Вони рівні по стороні BD і двом кутам, що прилягають до неї, так як кути навхрест лежать при січній BD паралельних прямих BC і AD і AB і CD відповідно. Отже, AB = CD та
BC = AD. А з рівності кутів 1, 2, 3 і 4 випливає, що кут A = кут1 + кут3 = кут2 + кут4 = кут С.

2. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Нехай точка О є точка перетину діагоналей AC та BD паралелограма ABCD.

Тоді трикутник AOB і трикутник COD рівні між собою, по стороні і двом кутам, що прилягають до неї. (AB=CD так як це протилежні сторони паралелограма. А кут1 = кут2 і кут3 = кут4 як навхрест кути, що лежать при перетині прямих AB і CD січними AC і BD відповідно.) З цього випливає, що AO = OC і OB = OD, що і потрібно було довести.

Усі основні властивості проілюстровані наступних трьох малюнках.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор по самих корисним ресурсудля

1. Паралелограм

Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.

Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:

Перетнули ще двома:

І ось усередині-паралелограм!

Які є властивості у паралелограма?

Властивості паралелограма.

Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?

На це запитання відповідає така теорема:

Давай намалюємо все докладно.

Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно

Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:

Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:

Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у задачі? Спробуй орієнтуватися на питання задачі, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.

А тепер поставимо інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?

На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Увага! Починаємо.

Паралелограм.

Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.

2. Прямокутник

Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що

Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?

Звісно, ​​є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака?

А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у всякого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Але є прямокутник і одна відмінна властивість.

Властивість прямокутника

Чому ця властивість відмінна? Тому що жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.

Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.

3. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але ... діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому - не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе завдання єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

• як навхрест лежачі
• як навхрест лежать.

Значить, (за II ознакою: і – загальна.)

Ну ось, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивись на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... по-іншому!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, і.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) дуже очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

А значить, по двох катетах (і – загальний).

Ну от, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей - відмінна властивістьсаме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

От і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім вже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони рівні: , .
2. Протилежні кути рівні: , .
3. Кути з одного боку становлять у сумі: , .
4. Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

1. Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
2. Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

1. Діагоналі ромба перпендикулярні: .
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
3. Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також:

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!