Ребра прямокутної призми. Все, що потрібно знати про призм (2019)

Загальні відомості про пряму призму

Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.

Доказ. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить на підставі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.

Практичне завдання

Завдання (22) . У похилій призмі проведено перетин, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхнюпризми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному переносу, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.

Узагальнення пройденої теми

А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і згадаємо, які властивості має призма.

Властивості призми

По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної постаті, як призма, всі бічні ребра рівні;

Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.

Яка призма називається прямою?

Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно до площини її основи, то така призма зветься прямою.

Не зайвим нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.

Яку призму називають похилою?

А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.

Яку призму називають правильною?

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.

Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.

Властивості правильної призми

По-перше, завжди основами правильної призмислужать правильні багатокутники;
По-друге, якщо в правильної призми бічні грані, всі вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призми бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.

Переріз призми

А тепер давайте розглянемо переріз призми:

Домашнє завдання

А тепер спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.

Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.

А ви знаєте, що геометричні фігурипостійно оточують нас не тільки на уроках геометрії, але й повсякденному життізустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.

У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.

Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.

Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Різні призми не схожі один на одного. У той самий час вони багато спільного. Щоб знайти площу основи призми, потрібно розібратися у тому, який вигляд вона має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не відноситься до бокових меж - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не лише площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який з'єднує попарно дві будь-які вершини, що не належать до однієї грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі присутній напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, то трикутник є рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі, для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли мова йдепро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у підставі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: на = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота на протилежна до цього куту.

Якщо на підставі призми лежить ромб, то для визначення його площі буде потрібна та сама формула, що для паралелограма (оскільки він є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми є правильним п'ятикутником, то він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи і вчотирьох бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12 це число буде дорівнює 168 см 2 . Загальна площаповерхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа підстави призми дорівнює 144 см2. Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї основи призми.

Всі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней у призми саме так. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Призма. Паралелепіпед

Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (основи) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим рубом призми називається сторона бічної грані, що не належить підставі.

Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.

Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.

Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ всіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).

Для довільної призми вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

S бік

S повний

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямої призми вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота.

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, то основні його елементи визначаються аналогічно тому, як визначено призм.

Теореми.

1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.

Для довільного паралелепіпеда вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P– периметр перпендикулярного перерізу;

Q- Площа перпендикулярного перерізу;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямого паралелепіпеда вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота прямого паралелепіпеда.

Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:

(3)

де p– периметр основи;

H- Висота;

d– діагональ;

a,b,c- Вимірювання паралелепіпеда.

Для куба вірні формули:

де a- Довжина ребра;

d- Діагональ куба.

приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.

Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних задачі:

Вирішуючи це рівняння щодо k, отримаємо:

Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.

Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).

Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа основи цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:

Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: оскільки це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:

Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):

Відповідь: 192 см 3 .

Приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)

Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , так як діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.

Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.

Оскільки , то

Тому що АВ= 6 див.

Тоді периметр основи дорівнює:

Знайдемо площу бічної поверхні призми:

Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Знаходимо площу повної поверхні призми:

Відповідь:

Приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).

Позначимо сторону ромба через а, діагоналі ромба d 1 та d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.ч. Необхідно знайти аі h.

Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді

Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:

Використовуючи властивість паралелограма таке, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.

Багатогранники

Основним об'єктом вивчення стереометрії є просторові тіла. Тілоє частиною простору, обмежену деякою поверхнею.

Багатогранникомназивається тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа пласких багатокутників. Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називається ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Наприклад, куб складається із шести квадратів, що є його гранями. Він містить 12 ребер (сторони квадратів) та 8 вершин (вершини квадратів).

Найпростішими багатогранниками є призми та піраміди, вивченням яких і займемося далі.

Призма

Визначення та властивості призми

Призмоюназивається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, що лежать у паралельних площинах, що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники називаються підставами призмиа відрізки, що з'єднують відповідні вершини багатокутників, – бічними ребрами призми.

Висотою призминазивається відстань між площинами її основ (). Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані, називається діагоналлю призми(). Призма називається n-вугільнийякщо в її підставі лежить n-кутник.

Будь-яка призма має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави призми поєднуються паралельним переносом:

1. Підстави призми рівні.

2. Бічні ребра призми паралельні та рівні.

Поверхня призми складається з підстав та бічної поверхні. Бічна поверхня призми складається з паралелограмів (це випливає з властивостей призми). Площею бічної поверхні призми називається сума площ бічних граней.

Пряма призма

Призма називається прямийякщо її бічні ребра перпендикулярні основам. Інакше призма називається похилій.

Гранями прямої призми є прямокутники. Висота прямої призми дорівнює її бічним граням.

Повною поверхнею призминазивається сума площі бічної поверхні та площ основ.

Правильною призмоюназивається пряма призма з правильним багатокутником на підставі.

Теорема 13.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра на висоту призми (або те саме, на бічне ребро).

Доказ. Бічні грані прямої призми є прямокутниками, основи яких є сторонами багатокутників у підставах призми, а висоти є бічними ребрами призми. Тоді за визначенням площа бічної поверхні:

де – периметр основи прямої призми.

Паралелепіпед

Якщо основи призми лежать паралелограми, вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. При цьому протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Теорема 13.2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доказ. Розглянемо дві довільні діагоналі, наприклад, та . Т.к. гранями паралелепіпеда є паралелограми, то і , а значить по Т двох прямих паралельних третьої . Крім того, це означає, що прямі і лежать в одній площині (площині). Ця площина перетинає паралельні площини і паралельним прямим і . Таким чином, чотирикутник - паралелограм, а за властивістю паралелограма його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, що й вимагалося довести.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані – прямокутники. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда лінійними розмірами(Вимірами). Таких розмірів три (ширина, висота, довжина).

Теорема 13.3. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів (Доводиться за допомогою дворазового застосування Т Піфагора).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Завдання

13.1 Скільки діагоналей має n-вугільна призма

13.2У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37, 13 і 40. Знайти відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром.

13.3Через бік нижньої основи правильної трикутної призми проведена площина, що перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими . Знайти кут нахилу цієї площини до основи призми.

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані у двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в підставах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого є дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (АD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно до обох основ, називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншого; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерами, тільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються літерами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм вирізняється приватний вигляд: правильні призми

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

У правильній призми всі бічні грані рівні прямокутники. Приватним випадком призми є паралелепіпед.

Паралелепіпед

Паралелепіпед- це чотирикутна призма, В основі якої лежить паралелограм (похилий паралелепіпед). Прямий паралелепіпед- паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні площинам основи.

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

Деякі властивості паралелепіпеда аналогічні відомим властивостямпаралелограма. Прямокутний паралелепіпед, що має рівні виміри, називаються кубом .У куба всі грані рівні квадрати.Квадрат діагоналі, дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Уявлення про призм дають:

різні архітектурні споруди;
дитячі іграшки;
пакувальні коробки;
дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

Площа повної поверхні призминазивається сума площ усіх її граней Площа бічної поверхніназивається сума площ її бічних гранейТ.к. Основи призми - рівні багатокутники, їх площі рівні. Тому

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.