การลดเศษส่วนพีชคณิต: กฎ, ตัวอย่าง วิธีแก้ปัญหาเศษส่วนพีชคณิต? ทฤษฎีและการปฏิบัติ

เศษส่วนและการลดลงเป็นอีกหัวข้อหนึ่งที่เริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 พื้นฐานของการดำเนินการนี้เกิดขึ้น และจากนั้นทักษะเหล่านี้จะถูกดึงโดยเธรดในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ถ้านักเรียนไม่ได้เรียน เขาก็อาจจะมีปัญหาในพีชคณิต ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะเข้าใจกฎสองสามข้อทุกครั้ง และจำข้อห้ามหนึ่งข้อและอย่าทำลายมัน

เศษส่วนและการลดลง

มันคืออะไรนักเรียนทุกคนรู้ ตัวเลขสองหลักใดๆ ที่อยู่ระหว่างแถบแนวนอนจะถูกมองว่าเป็นเศษส่วนทันที อย่างไรก็ตามไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจว่าตัวเลขใด ๆ ที่สามารถเป็นได้ หากเป็นจำนวนเต็ม มันก็สามารถหารด้วยหนึ่งได้เสมอ แล้วคุณจะได้เศษส่วนที่เกินมา แต่เพิ่มเติมในภายหลัง

การเริ่มต้นนั้นเรียบง่ายเสมอ ก่อนอื่นคุณต้องหาวิธีลดเศษส่วนที่ถูกต้องก่อน นั่นคือตัวที่มีตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องจำคุณสมบัติหลักของเศษส่วน ระบุว่าเมื่อคูณ (เช่นเดียวกับการหาร) ทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน ปรากฎว่าเศษส่วนเดิมมีค่าเท่ากัน

การดำเนินการแบ่งที่ดำเนินการกับคุณสมบัตินี้ส่งผลให้เกิดการลดลง นั่นคือการทำให้เข้าใจง่ายที่สุด เศษส่วนสามารถลดลงได้ตราบเท่าที่มีปัจจัยร่วมอยู่ด้านบนและด้านล่างของเส้น เมื่อไม่มีอยู่แล้ว การลดลงก็เป็นไปไม่ได้ และพวกเขาบอกว่าเศษส่วนนี้ลดไม่ได้

สองทาง

1.ลดทีละขั้น.ใช้วิธีการเดาเมื่อตัวเลขทั้งสองหารด้วยปัจจัยร่วมขั้นต่ำที่นักเรียนสังเกตเห็น หากหลังจากการลดลงครั้งแรกเป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จุดจบ การแบ่งก็จะดำเนินต่อไป จนกว่าเศษส่วนจะลดทอนไม่ได้

2. การหาตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนนี่เป็นวิธีที่มีเหตุผลที่สุดในการลดเศษส่วน มันเกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะ ในหมู่พวกเขาแล้วคุณต้องเลือกทั้งหมดเหมือนกัน ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะให้ปัจจัยร่วมที่ใหญ่ที่สุดโดยการลดเศษส่วน

ทั้งสองวิธีนี้เทียบเท่ากัน นักเรียนได้รับเชิญให้เชี่ยวชาญและใช้อันที่เขาชอบที่สุด

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีตัวอักษรและการดำเนินการของการบวกและการลบ?

ด้วยคำถามส่วนแรก ทุกอย่างชัดเจนมากหรือน้อย ตัวอักษรสามารถย่อได้เช่นเดียวกับตัวเลข สิ่งสำคัญคือพวกมันทำหน้าที่เป็นตัวคูณ แต่อย่างที่สอง หลายคนมีปัญหา

สำคัญที่ต้องจำ! ลดได้เฉพาะตัวเลขที่เป็นปัจจัยเท่านั้น ถ้ามันเป็นเงื่อนไขก็เป็นไปไม่ได้

เพื่อให้เข้าใจวิธีการลดเศษส่วนที่ดูเหมือนนิพจน์พีชคณิต คุณจำเป็นต้องเรียนรู้กฎ ขั้นแรก แสดงตัวเศษและส่วนเป็นผลคูณ จากนั้นคุณสามารถลดลงได้หากมีปัจจัยทั่วไป สำหรับการแทนค่าเป็นทวีคูณ เทคนิคต่อไปนี้มีประโยชน์:

• การจัดกลุ่ม;
• ถ่ายคร่อม;
• การประยุกต์ใช้เอกลักษณ์การคูณแบบย่อ

นอกจากนี้ วิธีหลังทำให้สามารถรับเงื่อนไขในรูปของปัจจัยได้ทันที ดังนั้นจึงต้องใช้เสมอหากมองเห็นรูปแบบที่รู้จัก

แต่สิ่งนี้ยังไม่น่ากลัวจากนั้นงานที่มีองศาและรากก็ปรากฏขึ้น นั่นคือเวลาที่คุณต้องรวบรวมความกล้าและเรียนรู้กฎใหม่สองสามข้อ

การแสดงออกของพลัง

เศษส่วน ผลิตภัณฑ์ในตัวเศษและส่วน มีตัวอักษรและตัวเลข และพวกเขายังถูกยกให้เป็นอำนาจซึ่งยังประกอบด้วยเงื่อนไขหรือปัจจัย มีบางอย่างที่ต้องกลัว

เพื่อที่จะหาวิธีลดเศษส่วนด้วยกำลัง คุณต้องเรียนรู้สองประเด็น:

• หากมีผลรวมในเลขชี้กำลังก็สามารถแบ่งออกเป็นปัจจัยซึ่งกำลังจะเป็นเงื่อนไขดั้งเดิม
• ถ้าความแตกต่างจากนั้นในเงินปันผลและตัวหารตัวแรกในระดับจะลดลงที่สอง - ลบ

หลังจากทำตามขั้นตอนเหล่านี้เสร็จแล้ว ตัวคูณทั่วไปจะมองเห็นได้ ในตัวอย่างดังกล่าว ไม่จำเป็นต้องคำนวณกำลังทั้งหมด เพียงแค่ลดองศาด้วยตัวบ่งชี้และฐานเดียวกันก็เพียงพอแล้ว

เพื่อที่จะเชี่ยวชาญในการลดเศษส่วนด้วยกำลัง คุณต้องฝึกฝนให้มาก หลังจากตัวอย่างประเภทเดียวกันหลายตัวอย่าง การดำเนินการจะดำเนินการโดยอัตโนมัติ

เกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์มีรูท

นอกจากนี้ยังสามารถย่อให้สั้นลงได้ อีกครั้งเพียงทำตามกฎ นอกจากนี้ ทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นความจริง โดยทั่วไปแล้ว หากคำถามคือจะลดเศษส่วนด้วยรากได้อย่างไร ก็ต้องหารด้วย

นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งออกเป็นนิพจน์ที่ไม่ลงตัว นั่นคือถ้าตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกันอยู่ใต้เครื่องหมายราก ก็สามารถลดจำนวนลงได้อย่างปลอดภัย สิ่งนี้จะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและทำงานให้เสร็จ

หากหลังจากการลดลงแล้ว ความไร้เหตุผลยังคงอยู่ใต้เส้นเศษ คุณต้องกำจัดมันทิ้งไป พูดอีกอย่างก็คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วยมัน หากหลังจากการดำเนินการนี้ ปัจจัยทั่วไปปรากฏขึ้น พวกเขาจะต้องลดลงอีกครั้ง

นั่นอาจเป็นเรื่องเกี่ยวกับการลดเศษส่วน กฎไม่กี่ข้อ แต่มีข้อห้ามหนึ่งข้อ ไม่เคยลดเงื่อนไข!

ในบทความนี้เราจะเน้นที่ การลดเศษส่วนพีชคณิต. อันดับแรก ลองหาความหมายของคำว่า "การลดเศษส่วนพีชคณิต" และหาว่าเศษส่วนพีชคณิตสามารถลดลงได้เสมอหรือไม่ ต่อไป เราให้กฎที่ช่วยให้เราทำการเปลี่ยนแปลงนี้ได้ สุดท้าย ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั่วไปที่จะทำให้เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดของกระบวนการได้

การนำทางหน้า

การลดเศษส่วนพีชคณิตหมายความว่าอย่างไร

การศึกษาเราได้พูดคุยเกี่ยวกับการลดของพวกเขา เราเรียกการหารของตัวเศษและตัวหารด้วยตัวประกอบร่วม ตัวอย่างเช่น เศษส่วนร่วม 30/54 สามารถลดลงได้ 6 (นั่นคือหารด้วย 6 ตัวเศษและตัวส่วน) ซึ่งจะนำเราไปสู่เศษส่วน 5/9

การลดลงของเศษส่วนพีชคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นการกระทำที่คล้ายคลึงกัน ลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารทั้งเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม แต่ถ้าตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดาสามารถเป็นตัวเลขได้เท่านั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตอาจเป็นพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมโนเมียลหรือตัวเลข

ตัวอย่างเช่น เศษพีชคณิตสามารถลดลงได้ด้วยตัวเลข 3 ซึ่งให้เศษส่วน . นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะลดตัวแปร x ซึ่งจะส่งผลให้นิพจน์ . เศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมสามารถลดลงได้ด้วยโมโนเมียล 3 x เช่นเดียวกับพหุนามใดๆ x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y หรือ 3 x 2 +6 x y

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือการได้เศษส่วนของรูปแบบที่ง่ายกว่า อย่างดีที่สุด เศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนพีชคณิตอาจมีการลดลงหรือไม่?

เรารู้ว่าเศษส่วนธรรมดาแบ่งออกเป็น . เศษส่วนที่ตัดทอนไม่ได้ไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นนอกจากเอกภาพในตัวเศษและตัวส่วน ดังนั้นจึงไม่สามารถลดลงได้

เศษส่วนพีชคณิตอาจมีหรือไม่มีตัวเศษและตัวส่วนร่วม ในที่ที่มีปัจจัยร่วมอยู่ด้วย ก็สามารถลดเศษส่วนของพีชคณิตได้ หากไม่มีปัจจัยร่วม การลดความซับซ้อนของเศษส่วนพีชคณิตด้วยวิธีการลดทอนนั้นเป็นไปไม่ได้

ในกรณีทั่วไปโดยการปรากฏตัวของเศษส่วนพีชคณิต มันค่อนข้างยากที่จะตัดสินว่าสามารถลดจำนวนลงได้หรือไม่ ในบางกรณีปัจจัยทั่วไปของตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจนอย่างไม่ต้องสงสัย ตัวอย่างเช่น จะเห็นได้ชัดว่าตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีตัวประกอบร่วมเท่ากับ 3 นอกจากนี้ยังง่ายที่จะเห็นว่าเศษส่วนพีชคณิตสามารถลดลงได้ x, y หรือ x·y ทันที แต่บ่อยครั้งกว่านั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตไม่สามารถมองเห็นได้ในทันที และบ่อยครั้งที่มันไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนสามารถลดลงได้ x-1 แต่ปัจจัยร่วมนี้ไม่ชัดเจนในสัญกรณ์ และเศษส่วนพีชคณิต ลดไม่ได้เพราะตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

โดยทั่วไป คำถามเกี่ยวกับการหดตัวของเศษส่วนพีชคณิตเป็นเรื่องยากมาก และบางครั้ง การแก้ปัญหาด้วยการใช้เศษส่วนพีชคณิตในรูปแบบเดิมทำได้ง่ายกว่าการหาว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงในเบื้องต้นได้หรือไม่ แต่ก็ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่ในบางกรณี พยายามเพียงเล็กน้อยเพื่อค้นหาปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วน หากมี หรือเพื่อสรุปว่าเศษส่วนพีชคณิตเดิมลดไม่ได้ ข้อมูลนี้จะถูกเปิดเผยในย่อหน้าถัดไป

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิต

ข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้านี้ช่วยให้คุณเข้าใจสิ่งต่อไปนี้อย่างเป็นธรรมชาติ กฎการลดเศษพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• ขั้นแรกให้หาตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิม
• หากมี ให้ดำเนินการลดปัจจัยเหล่านี้

ขั้นตอนเหล่านี้ของกฎที่ประกาศไว้ต้องมีความชัดเจน

วิธีที่สะดวกที่สุดในการค้นหาตัวร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิม ในกรณีนี้ ตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนจะมองเห็นได้ทันที หรือเป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีปัจจัยร่วม

หากไม่มีปัจจัยร่วม เราก็สรุปได้ว่าเศษส่วนพีชคณิตลดไม่ได้ หากพบปัจจัยทั่วไปแล้วในขั้นตอนที่สองจะลดลง ผลลัพธ์คือเศษส่วนของรูปแบบที่ง่ายกว่า

กฎการลดเศษส่วนของพีชคณิตขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิตซึ่งแสดงด้วยความเท่าเทียมกัน โดยที่ a , b และ c เป็นพหุนามบางตัว และ b และ c ไม่เป็นศูนย์ ในขั้นตอนแรก เศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมจะลดลงเป็นรูปแบบ จากที่ปัจจัยร่วม c จะมองเห็นได้ และในขั้นตอนที่สอง การลดจะดำเนินการ - การเปลี่ยนไปใช้เศษส่วน .

มาดูการแก้ตัวอย่างโดยใช้กฎนี้กัน เราจะวิเคราะห์ความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแยกตัวเศษและตัวส่วนของเศษพีชคณิตเป็นตัวประกอบและการลดลงในภายหลัง

ตัวอย่างทั่วไป

ก่อนอื่นคุณต้องพูดเกี่ยวกับการลดลงของเศษส่วนพีชคณิต ตัวเศษและตัวส่วนซึ่งเหมือนกัน เศษส่วนดังกล่าวจะเท่ากับหนึ่งใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น
ฯลฯ

ตอนนี้ไม่เจ็บที่จะจำวิธีการลดเศษส่วนธรรมดา - เพราะเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต ตัวเลขธรรมชาติในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดา หลังจากนั้นตัวประกอบร่วมจะลดลง (ถ้ามี) ตัวอย่างเช่น, . ผลคูณของปัจจัยเฉพาะที่เหมือนกันสามารถเขียนได้ในรูปขององศา และเมื่อลดค่าลง ให้ใช้ ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: , ในที่นี้ เราแบ่งตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3 . หรือเพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของการคูณและการหาร คำตอบจะถูกนำเสนอในแบบฟอร์ม

ตามหลักการที่คล้ายคลึงกันอย่างยิ่งการลดเศษส่วนของพีชคณิตจะดำเนินการในตัวเศษและตัวส่วนซึ่งมีโมโนเมียลที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนพีชคณิต .

การตัดสินใจ.

คุณสามารถแสดงตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตเป็นผลคูณของปัจจัยและตัวแปรอย่างง่าย จากนั้นจึงทำการลดลง:

แต่มีเหตุผลมากกว่าที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาเป็นนิพจน์ที่มีอำนาจ:

ตอบ:

.

สำหรับการลดเศษส่วนพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วน คุณสามารถทำได้สองอย่าง: แยกค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้แยกกัน หรือกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนก่อนโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติบางตัว เราได้พูดถึงการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุดในบทความที่นำเศษส่วนพีชคณิตไปยังตัวส่วนใหม่ ซึ่งสามารถทำได้เนื่องจากคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต มาจัดการกับตัวอย่างนี้กัน

ตัวอย่าง.

ดำเนินการลดเศษส่วน

การตัดสินใจ.

คุณสามารถลดเศษส่วนได้ดังนี้: .

และเป็นไปได้ที่จะกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนก่อนโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวส่วนของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ นั่นคือ โดย LCM(5, 10)=10 . ในกรณีนี้เรามี .

ตอบ:

.

คุณสามารถไปยังเศษส่วนพีชคณิตของรูปแบบทั่วไปได้ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถประกอบด้วยทั้งตัวเลขและโมโนเมียล ตลอดจนพหุนาม

เมื่อลดเศษส่วนดังกล่าว ปัญหาหลักคือปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วนไม่สามารถมองเห็นได้เสมอไป นอกจากนี้ยังไม่ได้มีอยู่เสมอ ในการหาตัวประกอบร่วมหรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีตัวประกอบ คุณต้องแยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนตรรกยะ .

การตัดสินใจ.

ในการทำเช่นนี้ เราแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน เริ่มต้นด้วยวงเล็บ: . แน่นอน นิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้

ตามคุณสมบัติหลัก: หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกหารด้วยพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนนั้น

ลดได้เฉพาะตัวคูณ!

สมาชิกของพหุนามไม่สามารถลดลงได้!

ในการลดเศษส่วนพีชคณิต จะต้องแยกพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนก่อน

พิจารณาตัวอย่างการลดเศษส่วน

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นโมโนเมียม พวกเขาเป็นตัวแทน งาน(ตัวเลข ตัวแปร และองศา) ตัวคูณเราลดได้

เราลดตัวเลขด้วยตัวหารร่วมมากของพวกมัน นั่นคือจำนวนที่มากที่สุดโดยที่แต่ละตัวเลขให้มาหารลงตัว สำหรับ 24 และ 36 นี่คือ 12 หลังจากลดลงจาก 24 เหลือ 2 จาก 36 - 3

เราลดองศาตามระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุด การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวหารเดียวกันแล้วลบเลขชี้กำลัง

a² และ a⁷ ลดลง a² ในเวลาเดียวกัน ตัวหนึ่งยังคงอยู่ในตัวเศษจาก a² (เราเขียน 1 ต่อเมื่อไม่มีปัจจัยอื่นเหลือหลังจากการลดลง 2 ยังคงอยู่จาก 24 ดังนั้นเราจะไม่เขียน 1 ที่เหลือจาก a²) จาก a⁷ หลังจากการลดลงยังคงเป็น⁵

b และ b ถูกย่อโดย b หน่วยผลลัพธ์จะไม่ถูกเขียน

c³º และ c⁵ ลดลง c⁵ จากc³º, c²⁵ยังคงอยู่, จาก c⁵ - หน่วย (เราไม่ได้เขียน) ดังนั้น,

ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตนี้เป็นพหุนาม เป็นไปไม่ได้ที่จะลดเงื่อนไขของพหุนาม! (ลดไม่ได้ เช่น 8x² และ 2x!) จำเป็นต้องลดเศษส่วนนี้ ตัวเศษมีตัวประกอบร่วมของ 4x ลองเอามันออกจากวงเล็บ:

ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน (2x-3) เราลดเศษส่วนด้วยปัจจัยนี้ เราได้ 4x ในตัวเศษ 1 ในตัวส่วน จากคุณสมบัติ 1 ของเศษส่วนพีชคณิต เศษส่วนคือ 4x

คุณสามารถลดตัวประกอบได้เท่านั้น (คุณไม่สามารถลดเศษส่วนที่กำหนดได้ 25x²!) ดังนั้นพหุนามในตัวเศษและตัวส่วนของเศษจึงต้องแยกตัวประกอบ

ตัวเศษคือกำลังสองเต็มของผลรวม และตัวส่วนคือผลต่างของกำลังสอง หลังจากขยายตามสูตรคูณแบบย่อ เราจะได้:

เราลดเศษส่วนโดย (5x + 1) (ในการทำเช่นนี้ ให้ขีดฆ่าสองตัวในตัวเศษเป็นเลขชี้กำลัง จาก (5x + 1) ² สิ่งนี้จะเหลือ (5x + 1)):

ตัวเศษมีตัวประกอบร่วมเท่ากับ 2, ลองเอามันออกจากวงเล็บกัน. ในตัวส่วน - สูตรสำหรับความแตกต่างของลูกบาศก์:

จากการขยายตัวในตัวเศษและส่วน เราได้ตัวประกอบเดียวกัน (9 + 3a + a²) เราลดเศษส่วนลง:

พหุนามในตัวเศษประกอบด้วย 4 เทอม เทอมแรกกับเทอมที่สอง เทอมที่สามกับเทอมที่สี่ และเราเอาตัวประกอบร่วม x² ออกจากวงเล็บแรก เราแยกส่วนตัวส่วนตามสูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:

ในตัวเศษ เรานำปัจจัยร่วม (x + 2) ออกจากวงเล็บ:

เราลดเศษส่วนโดย (x + 2):

บทความนี้ยังคงเป็นหัวข้อของการเปลี่ยนแปลงของเศษส่วนพีชคณิต: พิจารณาการดำเนินการดังกล่าวเป็นการลดเศษส่วนของพีชคณิต มากำหนดคำศัพท์กัน กำหนดกฎตัวย่อ และวิเคราะห์ตัวอย่างที่นำไปใช้ได้จริง

Yandex.RTB R-A-339285-1

ความหมายของตัวย่อเศษส่วนพีชคณิต

ในวัสดุที่เป็นเศษส่วนธรรมดาเราพิจารณาการลดลง เราได้นิยามการลดลงของเศษส่วนร่วมเป็นการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วม

การลดเศษส่วนพีชคณิตเป็นการดำเนินการที่คล้ายคลึงกัน

คำจำกัดความ 1

การลดเศษส่วนพีชคณิตคือการหารตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ในกรณีนี้ ไม่เหมือนกับการลดทอนของเศษส่วนธรรมดา (เฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่สามารถเป็นตัวส่วนร่วม) พหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมโนเมียลหรือตัวเลข สามารถทำหน้าที่เป็นตัวประกอบร่วมสำหรับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต

ตัวอย่างเช่น เศษส่วนพีชคณิต 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 สามารถลดลงได้ด้วยตัวเลข 3 ดังนั้นเราจึงได้: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . เราสามารถลดเศษส่วนเดียวกันด้วยตัวแปร x ได้ และนี่จะให้นิพจน์ 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 แก่เรา สามารถลดเศษส่วนที่กำหนดได้ด้วยโมโนเมียล 3 xหรือพหุนามใดๆ x + 2 ปี, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y หรือ 3 x 2 + 6 x ย.

เป้าหมายสูงสุดของการลดเศษส่วนพีชคณิตคือเศษส่วนของรูปแบบที่ง่ายกว่า ที่ดีที่สุดคือเศษส่วนที่ลดไม่ได้

เศษส่วนพีชคณิตทั้งหมดอาจมีการลดลงหรือไม่?

อีกครั้ง จากวัสดุที่เป็นเศษส่วนธรรมดา เรารู้ว่ามีเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้และส่วนที่ลดไม่ได้ ลดไม่ได้ - เป็นเศษส่วนที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกันของตัวเศษและตัวส่วน ยกเว้น 1

สำหรับเศษส่วนพีชคณิต ทุกอย่างเหมือนกัน: อาจมีหรือไม่มีตัวประกอบร่วมกันของตัวเศษและตัวส่วน การมีอยู่ของปัจจัยร่วมช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของเศษส่วนดั้งเดิมผ่านการลดลง เมื่อไม่มีปัจจัยร่วม เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มประสิทธิภาพเศษส่วนที่กำหนดโดยวิธีการลด

ในกรณีทั่วไป สำหรับเศษส่วนประเภทหนึ่ง จะเข้าใจได้ยากว่าเศษส่วนนั้นจะลดจำนวนลงหรือไม่ แน่นอน ในบางกรณี การมีอยู่ของปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนพีชคณิต 3 · x 2 3 · y ค่อนข้างชัดเจนว่าตัวประกอบร่วมคือตัวเลข 3

ในเศษส่วน - x · y 5 · x · y · z 3 เรายังเข้าใจทันทีว่าสามารถลดขนาดลงได้ x หรือ y หรือ x · y อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างของเศษส่วนพีชคณิตนั้นพบได้บ่อยกว่ามาก เมื่อตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วนนั้นมองเห็นไม่ง่ายนัก และยิ่งบ่อยขึ้น - มันขาดหายไป

ตัวอย่างเช่น เราสามารถลดเศษส่วน x 3 - 1 x 2 - 1 โดย x - 1 ในขณะที่ปัจจัยร่วมที่ระบุไม่อยู่ในบันทึก แต่เศษส่วน x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ไม่สามารถลดลงได้ เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

ดังนั้น คำถามในการค้นหาความหดได้ของเศษส่วนพีชคณิตจึงไม่ใช่เรื่องง่าย และมักจะง่ายกว่าที่จะทำงานกับเศษส่วนของรูปแบบที่กำหนด มากกว่าพยายามค้นหาว่าส่วนนั้นหดตัวหรือไม่ ในกรณีนี้ มีการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวซึ่งในบางกรณีทำให้เราสามารถกำหนดตัวประกอบร่วมของตัวเศษและตัวส่วน หรือสรุปได้ว่าเศษส่วนนั้นลดทอนไม่ได้ เราจะวิเคราะห์ปัญหานี้โดยละเอียดในย่อหน้าถัดไปของบทความ

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิต

กฎการลดเศษส่วนพีชคณิตประกอบด้วยสองขั้นตอนติดต่อกัน:

• การหาปัจจัยร่วมของตัวเศษและตัวส่วน
• ในกรณีที่พบดังกล่าวการดำเนินการโดยตรงของการลดเศษส่วน

วิธีที่สะดวกที่สุดในการหาตัวส่วนร่วมคือการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตที่กำหนด สิ่งนี้ช่วยให้คุณมองเห็นได้ทันทีว่ามีหรือไม่มีปัจจัยร่วมด้วยสายตา

การกระทำของการลดเศษส่วนพีชคณิตขึ้นอยู่กับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิตซึ่งแสดงโดยความเท่าเทียมกันที่ไม่ได้กำหนด โดยที่ a , b , c เป็นพหุนามบางตัว และ b และ c ไม่ใช่ศูนย์ ขั้นตอนแรกคือการลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบ a c b c ซึ่งเราจะสังเกตเห็นปัจจัยร่วม c ทันที ขั้นตอนที่สองคือการดำเนินการลดเช่น เปลี่ยนเป็นเศษส่วนของรูปแบบ ข .

ตัวอย่างทั่วไป

แม้จะมีความชัดเจนอยู่บ้าง แต่ขอชี้แจงเกี่ยวกับกรณีพิเศษเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเศษพีชคณิตเท่ากัน เศษส่วนที่คล้ายกันจะเท่ากับ 1 ใน ODZ ทั้งหมดของตัวแปรของเศษส่วนนี้เหมือนกัน:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

เนื่องจากเศษส่วนธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของเศษส่วนพีชคณิต ให้เราระลึกว่าเศษส่วนนั้นลดลงอย่างไร จำนวนธรรมชาติที่เขียนในตัวเศษและส่วนจะถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นตัวประกอบร่วมจะลดลง (ถ้ามี)

ตัวอย่างเช่น 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

ผลคูณของปัจจัยที่เหมือนกันอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นองศา และในกระบวนการลดเศษส่วน ให้ใช้คุณสมบัติของการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน จากนั้นวิธีแก้ปัญหาข้างต้นจะเป็น:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(ตัวเศษและตัวส่วนหารด้วยตัวประกอบร่วม 2 2 3). หรือเพื่อความชัดเจน ตามคุณสมบัติของการคูณและการหาร เราจะให้คำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

โดยการเปรียบเทียบ การลดเศษส่วนของพีชคณิตจะดำเนินการ โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนมีโมโนเมียลที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดเศษส่วนพีชคณิต - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z มันต้องลดลง

การตัดสินใจ

เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะและตัวแปร แล้วลด:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

อย่างไรก็ตาม วิธีที่สมเหตุสมผลกว่าคือการเขียนโซลูชันเป็นนิพจน์ที่มีอำนาจ:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

ตอบ:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

เมื่อมีสัมประสิทธิ์ตัวเลขเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิต มีสองวิธีที่เป็นไปได้ในการดำเนินการเพิ่มเติม: แยกค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วนเหล่านี้ หรือกำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนก่อน โดยคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติบางตัว . การแปลงครั้งสุดท้ายเกิดขึ้นเนื่องจากคุณสมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต (คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความ "การลดเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นตัวส่วนใหม่")

ตัวอย่าง 2

ให้เศษส่วน 2 5 x 0 , 3 x 3 . มันต้องลดลง

การตัดสินใจ

เป็นไปได้ที่จะลดเศษส่วนด้วยวิธีนี้:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

ลองแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไป โดยก่อนหน้านี้ได้กำจัดสัมประสิทธิ์เศษส่วนไปแล้ว - เราคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวคูณร่วมน้อยของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ นั่นคือ ต่อ LCM(5, 10) = 10 จากนั้นเราได้รับ:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2

คำตอบ: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

เมื่อเราลดเศษส่วนพีชคณิตทั่วไป ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนสามารถเป็นได้ทั้ง monomial และ polynomial ปัญหาอาจเกิดขึ้นได้เมื่อตัวประกอบร่วมไม่สามารถมองเห็นได้ในทันทีเสมอไป หรือมากกว่านั้นมันไม่มีอยู่จริง จากนั้น เพื่อกำหนดปัจจัยร่วมหรือแก้ไขข้อเท็จจริงของการไม่มีอยู่นั้น ตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนพีชคณิตจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 3

ให้เศษตรรกยะ 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 ต้องย่อให้สั้นลง

การตัดสินใจ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนามในตัวเศษและส่วน มาทำวงเล็บกัน:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

เราเห็นว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงได้โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าสามารถลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วมได้ ข 2 (a + 7). มาทำการลด:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ โดยไม่มีคำอธิบายว่าเป็นห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกัน:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

ตอบ: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

มันเกิดขึ้นที่ปัจจัยทั่วไปถูกซ่อนไว้โดยสัมประสิทธิ์ตัวเลข จากนั้น เมื่อลดเศษส่วน จะเป็นการดีที่สุดที่จะนำตัวประกอบตัวเลขที่มีกำลังสูงกว่าของตัวเศษและตัวส่วนออก

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดเศษส่วนพีชคณิต 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . ควรลดลงหากเป็นไปได้

การตัดสินใจ

เมื่อมองแวบแรก ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวส่วนร่วม อย่างไรก็ตาม ลองแปลงเศษส่วนที่กำหนด ลองเอาตัวประกอบ x ในตัวเศษออกมา:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

ตอนนี้คุณสามารถเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์ในวงเล็บและนิพจน์ในตัวส่วนเนื่องจาก x 2 y . ให้เรานำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่ยกกำลังสูงของพหุนามเหล่านี้ออกมา:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

ตอนนี้ตัวคูณทั่วไปจะมองเห็นได้ เราดำเนินการลด:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

ตอบ: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

ให้เราเน้นว่าทักษะในการลดเศษส่วนตรรกยะนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการแยกตัวประกอบพหุนาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เมื่อมองแวบแรก เศษส่วนพีชคณิตดูซับซ้อนมาก และนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้อาจคิดว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำอะไรกับพวกมัน การสะสมของตัวแปร ตัวเลข และแม้แต่พลังทำให้เกิดความกลัว อย่างไรก็ตาม ใช้กฎเดียวกันเพื่อลดเศษส่วน (เช่น 15/25) และเศษส่วนพีชคณิต

ขั้นตอน

การลดเศษส่วน

เรียนรู้วิธีการทำงานกับเศษส่วนอย่างง่าย การดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาและพีชคณิตมีความคล้ายคลึงกัน เช่น หาเศษส่วน 15/35 เพื่อลดความซับซ้อนของเศษส่วนนี้ หาตัวหารร่วม. ตัวเลขทั้งสองหารด้วยห้าลงตัว เราจึงสามารถแยก 5 ในตัวเศษและส่วนได้:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

ตอนนี้คุณสามารถ ลดปัจจัยร่วมนั่นคือ ขีดฆ่า 5 ในตัวเศษและส่วน เป็นผลให้เราได้เศษส่วนอย่างง่าย 3/7 . ในนิพจน์พีชคณิต ปัจจัยทั่วไปมีความโดดเด่นในลักษณะเดียวกับในปัจจัยทั่วไป ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถแยก 5 จาก 15 ได้อย่างง่ายดาย - หลักการเดียวกันนี้ใช้กับนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น 15x - 5 มาหาปัจจัยร่วมกัน ในกรณีนี้ จะเป็น 5 เนื่องจากทั้งสองเทอม (15x และ -5) หารด้วย 5 ลงตัว เช่นเคย เราเลือกตัวประกอบร่วมและโอน ไปทางซ้าย.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

ในการตรวจสอบว่าทุกอย่างถูกต้องหรือไม่ก็เพียงพอที่จะคูณนิพจน์ในวงเล็บด้วย 5 - ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกันกับตอนแรก คำศัพท์ที่ซับซ้อนสามารถแยกแยะได้ในลักษณะเดียวกับคำธรรมดา สำหรับเศษส่วนพีชคณิต ใช้หลักการเดียวกันกับเศษส่วนธรรมดา นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการลดเศษส่วน พิจารณาเศษส่วนต่อไปนี้:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

โปรดทราบว่าทั้งตัวเศษ (บน) และตัวส่วน (ล่าง) มีเทอม (x+2) ดังนั้นจึงสามารถลดลงได้ในลักษณะเดียวกับตัวประกอบร่วม 5 ใน 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

เป็นผลให้เราได้รับนิพจน์แบบง่าย: (x-3)/(x+10)

การลดเศษส่วนพีชคณิต

หาตัวประกอบร่วมในตัวเศษ นั่นคือ ที่ด้านบนของเศษส่วน เมื่อลดเศษส่วนพีชคณิต ขั้นตอนแรกคือทำให้ทั้งสองส่วนง่ายขึ้น เริ่มต้นด้วยตัวเศษและพยายามแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยให้ได้มากที่สุด พิจารณาในส่วนนี้เศษส่วนต่อไปนี้:

9x-3 15x+6

เริ่มจากตัวเศษกันก่อน: 9x - 3 สำหรับ 9x และ -3 ตัวประกอบร่วมคือตัวเลข 3 ลองเอา 3 ออกจากวงเล็บเหมือนที่เราทำกับตัวเลขธรรมดา: 3 * (3x-1) จากการแปลงนี้จะได้เศษส่วนต่อไปนี้:

3(3x-1) 15x+6

หาตัวประกอบร่วมในตัวเศษ. ดำเนินการตามตัวอย่างข้างต้นต่อไปและเขียนตัวส่วน: 15x+6 เมื่อก่อนเราพบว่าทั้งสองส่วนหารลงตัวด้วยจำนวนเท่าใด และในกรณีนี้ ตัวประกอบร่วมคือ 3 เราจึงเขียนได้: 3 * (5x +2) ลองเขียนเศษส่วนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3(3x-1) 3(5x+2)

ลดเงื่อนไขที่เหมือนกัน ในขั้นตอนนี้ คุณสามารถลดรูปเศษส่วนได้ ยกเลิกเงื่อนไขเดียวกันในตัวเศษและส่วน ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขนี้คือ 3

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

กำหนดว่าเศษส่วนมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด เศษส่วนจะลดรูปลงโดยสิ้นเชิงเมื่อไม่มีตัวประกอบร่วมเหลืออยู่ในตัวเศษและตัวส่วน โปรดทราบว่าคุณไม่สามารถย่อคำศัพท์เหล่านั้นที่อยู่ในวงเล็บ - ในตัวอย่างข้างต้น ไม่มีทางแยก x ออกจาก 3x และ 5x เนื่องจาก (3x -1) และ (5x + 2) เป็นสมาชิกแบบเต็ม ดังนั้นเศษส่วนจึงไม่สามารถแก้ไขได้เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น และคำตอบสุดท้ายจะเป็นดังนี้:

(3x-1)(5x+2)

ฝึกลดเศษส่วนด้วยตัวเอง. วิธีที่ดีที่สุดในการเรียนรู้วิธีการคือการแก้ปัญหาด้วยตนเอง คำตอบที่ถูกต้องแสดงไว้ด้านล่างตัวอย่าง

4(x+2)(x-13)(4x+8)

ตอบ:(x=13)

2x 2-x 5x

ตอบ:(2x-1)/5

การเคลื่อนไหวพิเศษ

ย้ายเครื่องหมายลบออกจากเศษส่วน สมมติว่าเราได้รับเศษส่วนต่อไปนี้:

3(x-4) 5(4x)

โปรดทราบว่า (x-4) และ (4-x) นั้น "เกือบ" เหมือนกัน แต่ไม่สามารถยกเลิกได้ทันทีเพราะถูก "พลิก" อย่างไรก็ตาม (x - 4) สามารถเขียนเป็น -1 * (4 - x) เช่นเดียวกับ (4 + 2x) สามารถเขียนเป็น 2 * (2 + x) สิ่งนี้เรียกว่า "การกลับรายการของสัญญาณ"

-1*3(4-x) 5(4x)

ตอนนี้คุณสามารถลดเงื่อนไขเดียวกัน (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

นี่คือคำตอบสุดท้าย: -3/5 . เรียนรู้ที่จะแยกแยะความแตกต่างของกำลังสอง ผลต่างของกำลังสองคือเมื่อลบกำลังสองของจำนวนหนึ่งออกจากกำลังสองของจำนวนอื่น ดังในนิพจน์ (a 2 - b 2) ความแตกต่างของกำลังสองสมบูรณ์สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนได้เสมอ - ผลรวมและผลต่างของรากที่สองที่สอดคล้องกัน จากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

เคล็ดลับนี้มีประโยชน์มากเมื่อมองหาคำศัพท์ทั่วไปในเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิต

• ตรวจสอบว่าคุณได้แยกตัวประกอบนิพจน์นี้หรือนิพจน์นั้นถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณปัจจัย - ผลลัพธ์ควรเป็นนิพจน์เดียวกัน
• ในการทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น ให้เลือกตัวประกอบที่ใหญ่ที่สุดเสมอ