Disperzija naključne spremenljivke. Kako sestaviti distribucijski zakon naključne spremenljivke, primeri Poiščite varianco glede na distribucijski zakon

Kot je znano, naključna spremenljivka se imenuje spremenljivka, ki lahko zavzame določene vrednosti, odvisno od primera. Naključne spremenljivke so označene z velikimi črkami latinice (X, Y, Z), njihove vrednosti pa z ustreznimi malimi črkami (x, y, z). Naključne spremenljivke delimo na diskontinuirane (diskretne) in zvezne.

Diskretna naključna spremenljivka je naključna spremenljivka, ki sprejme le končen ali neskončen (štet) niz vrednosti z določenimi verjetnostmi, ki niso nič.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke je funkcija, ki povezuje vrednosti naključne spremenljivke z njihovimi ustreznimi verjetnostmi. Distribucijski zakon je mogoče določiti na enega od naslednjih načinov.

1 . Zakon porazdelitve lahko podamo s tabelo:

kjer je λ>0, k = 0, 1, 2, ….

v) z uporabo porazdelitvena funkcija F(x) , ki za vsako vrednost x določa verjetnost, da naključna spremenljivka X zavzame vrednost, manjšo od x, tj. F(x) = P(X< x).

Lastnosti funkcije F(x)

3 . Porazdelitveni zakon lahko nastavimo grafično – porazdelitveni poligon (poligon) (glej problem 3).

Upoštevajte, da za rešitev nekaterih problemov ni potrebno poznati distribucijskega zakona. V nekaterih primerih je dovolj poznati eno ali več številk, ki odražajo najpomembnejše značilnosti distribucijskega zakona. Lahko je število, ki ima pomen »povprečne vrednosti« naključne spremenljivke, ali število, ki kaže povprečno velikost odstopanja naključne spremenljivke od njene povprečne vrednosti. Števila te vrste imenujemo numerične značilnosti naključne spremenljivke.

Osnovne numerične značilnosti diskretne slučajne spremenljivke :

• Matematično pričakovanje (srednja vrednost) diskretne naključne spremenljivke M(X)=Σ x i p i.
  Za binomsko porazdelitev M(X)=np, za Poissonovo porazdelitev M(X)=λ
• Razpršenost diskretna naključna spremenljivka D(X)=M2 oz D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) se imenuje odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.
  Za binomsko porazdelitev D(X)=npq, za Poissonovo porazdelitev D(X)=λ
• Standardni odklon (standardni odklon) σ(X)=√D(X).

Primeri reševanja problemov na temo "Zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke"

Naloga 1.

Izdanih je bilo 1000 srečk: 5 jih dobi 500 rubljev, 10 - 100 rubljev, 20 - 50 rubljev, 50 - 10 rubljev. Določite zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X – dobitek na listek.

rešitev. Glede na pogoj problema so možne naslednje vrednosti naključne spremenljivke X: 0, 10, 50, 100 in 500.

Število vstopnic brez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, potem je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobno najdemo vse druge verjetnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Nastali zakon predstavljamo v obliki tabele:

Poiščite matematično pričakovanje X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Naloga 3.

Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število neuspelih elementov v enem poskusu, zgradite porazdelitveni poligon. Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x) in jo narišite. Poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon diskretne naključne spremenljivke.

rešitev. 1. Diskretna naključna spremenljivka X=(število neuspelih elementov v enem poskusu) ima naslednje možne vrednosti: x 1 =0 (nobeden od elementov naprave ni odpovedal), x 2 =1 (en element je odpovedal), x 3 =2 ( dva elementa nista uspela) in x 4 \u003d 3 (trije elementi niso uspeli).

Odpovedi elementov so neodvisne druga od druge, verjetnosti odpovedi vsakega elementa so med seboj enake, zato velja Bernoullijeva formula . Glede na to, da po pogoju n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, določimo verjetnosti vrednosti:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Preverite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Tako ima želeni binomski zakon porazdelitve X obliko:

Na osi abscise narišemo možne vrednosti x i, na ordinatni osi pa ustrezne verjetnosti р i . Izdelajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Če te točke povežemo z odseki črt, dobimo želeni porazdelitveni poligon.

3. Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x) = P(X

Za x ≤ 0 velja F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bo F(x) = 1, ker dogodek je gotov.

Graf funkcije F(x)

4. Za binomsko porazdelitev X:
- matematično pričakovanje М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardni odklon σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke".

Naloga 1 . V loteriji je izdanih 100 srečk. Odigran je bil en dobitek v višini 50 USD. in deset zmag po 10 $. Poiščite zakon porazdelitve vrednosti X – strošek možnega dobička.

rešitev. Možne vrednosti X: x 1 = 0; x 2 = 10 in x 3 = 50. Ker je "praznih" listkov 89, potem je str 1 = 0,89, verjetnost dobitka je 10 c.u. (10 vstopnic) – str 2 = 0,10 in za dobitek 50 c.u. –str 3 = 0,01. V to smer:

	0,89	0,10	0,01

Enostaven nadzor: .

Naloga 2. Verjetnost, da se je kupec vnaprej seznanil z oglasom izdelka, je 0,6 (p = 0,6). Selektivni nadzor kakovosti oglaševanja se izvaja tako, da se anketirajo kupci pred prvim, ki je oglas vnaprej preučil. Naredite niz porazdelitev števila anketiranih kupcev.

rešitev. Glede na pogoj problema p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Če nadomestimo te vrednosti, dobimo: in sestavite distribucijsko serijo:

pi		0,24

Naloga 3. Računalnik je sestavljen iz treh neodvisno delujočih elementov: sistemske enote, monitorja in tipkovnice. Pri enkratnem močnem povečanju napetosti je verjetnost okvare vsakega elementa 0,1. Na podlagi Bernoullijeve porazdelitve sestavi porazdelitveni zakon za število okvarjenih elementov med sunkom napetosti v omrežju.

rešitev. Razmislite Bernoullijeva porazdelitev(ali binom): verjetnost, da v n testov, se bo dogodek A pojavil točno k enkrat: , ali:

	q n					str n

AT vrnimo se k nalogi.

Možne vrednosti X (število napak):

x 0 =0 - nobeden od elementov ni uspel;

x 1 =1 - okvara enega elementa;

x 2 =2 - okvara dveh elementov;

x 3 =3 - okvara vseh elementov.

Ker je po pogoju p = 0,1, potem je q = 1 – p = 0,9. Z uporabo Bernoullijeve formule dobimo

, ,

, .

Nadzor: .

Zato je želeni distribucijski zakon:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Naloga 4. Proizvedenih 5000 nabojev. Verjetnost, da je ena kartuša okvarjena . Kakšna je verjetnost, da bodo v celotni seriji natanko 3 okvarjene kartuše?

rešitev. Primerno Poissonova porazdelitev: ta porazdelitev se uporablja za določitev verjetnosti, da je glede na zelo veliko

število poskusov (množičnih poskusov), pri vsakem od katerih je verjetnost dogodka A zelo majhna, se bo dogodek A zgodil k-krat: , kje .

Tukaj n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Najdemo , nato želeno verjetnost: .

Naloga 5. Pri streljanju pred prvim zadetkom z verjetnostjo zadetka p = 0,6 za strel, morate najti verjetnost, da se bo zadetek zgodil pri tretjem strelu.

rešitev. Uporabimo geometrijsko porazdelitev: naredimo neodvisne poskuse, pri vsakem od katerih ima dogodek A verjetnost, da se pojavi p (in da se ne zgodi, q = 1 - p). Preizkusi se končajo takoj, ko pride do dogodka A.

Pod takimi pogoji je verjetnost, da se bo dogodek A zgodil na k-tem testu, določena s formulo: . Tukaj je p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Zato je .

Naloga 6. Naj bo podan zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Poiščite matematično pričakovanje.

rešitev. .

Upoštevajte, da je verjetnostni pomen matematičnega pričakovanja povprečna vrednost naključne spremenljivke.

Naloga 7. Poiščite varianco naključne spremenljivke X z naslednjim zakonom porazdelitve:

rešitev. Tukaj .

Zakon porazdelitve kvadrata X 2 :

X 2

Zahtevana varianca: .

Disperzija označuje stopnjo odstopanja (sipanja) naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

Naloga 8. Naj bo naključna spremenljivka podana s porazdelitvijo:

			10m

Poiščite njegove numerične značilnosti.

Rešitev: m, m 2 ,

M 2 , m.

O naključni spremenljivki X lahko rečemo karkoli - njeno matematično pričakovanje je 6,4 m z varianco 13,04 m 2 , ali - njegovo matematično pričakovanje je 6,4 m z odstopanjem m. Druga formulacija je očitno bolj jasna.

Naloga 9. Naključna vrednost X podana z distribucijsko funkcijo:
.

Poiščite verjetnost, da bo zaradi testa vrednost X prevzela vrednost iz intervala .

rešitev. Verjetnost, da bo X prevzel vrednost iz danega intervala, je enaka prirastku integralne funkcije v tem intervalu, tj. . V našem primeru in torej

.

Naloga 10. Diskretna naključna spremenljivka X ki ga določa distribucijski zakon:

Poišči distribucijsko funkcijo F(x ) in sestavite njegov graf.

rešitev. Ker distribucijska funkcija

za , potem

ob ;

ob ;

ob ;

ob ;

Ustrezen grafikon:

Naloga 11. Zvezna naključna spremenljivka X podana z diferencialno porazdelitveno funkcijo: .

Poiščite verjetnost zadetka X za interval

rešitev. Upoštevajte, da je to poseben primer zakona eksponentne porazdelitve.

Uporabimo formulo: .

Naloga 12. Poiščite numerične značilnosti diskretne naključne spremenljivke X, podane z distribucijskim zakonom:

	–5
	X 2: x2 . , kje je Laplaceova funkcija. Vrednosti te funkcije najdete s tabelo. V našem primeru:. Glede na tabelo najdemo: torej:

Storitvena naloga. Spletni kalkulator se uporablja za izgradnjo tabele porazdelitve naključne spremenljivke X - število izvedenih poskusov in izračun vseh značilnosti serije: matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon. Poročilo z odločbo se sestavi v Word formatu. Primer #1. Vrženi so trije kovanci. Verjetnost, da grb izpade v enem zvitku je 0,5. Naredite porazdelitveni zakon za naključno spremenljivko X – število padlih grbov.
rešitev.
Verjetnost, da ni izpadel noben grb: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Verjetnost, da so izpadli trije grbi: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke X:

X	0	1	2	3
p	0,125	0,375	0,375	0,125

Preverite: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Primer #2. Verjetnost, da en strelec zadene tarčo z enim strelom za prvega strelca je 0,8, za drugega strelca - 0,85. Strelci so streljali po en strel v tarčo. Ob predpostavki, da je zadetek tarče za posamezne strelce neodvisen dogodek, poiščite verjetnost dogodka A - natanko en zadetek v tarčo.
rešitev.
Razmislite o dogodku A - en zadetek v tarčo. Možni pojavi tega dogodka so naslednji:

1. Prvi strelec je zadel, drugi strelec je zgrešil: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Prvi strelec je zgrešil, drugi strelec je zadel tarčo: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Prvi in ​​drugi strelec sta neodvisno zadela tarčo: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Potem bo verjetnost dogodka A - natanko en zadetek v tarčo, enaka: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Opredelitev.Disperzija (razpršenost) Diskretna naključna spremenljivka se imenuje matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja:

Primer. Za zgornji primer najdemo

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je:

Možne vrednosti kvadrata odstopanja:

; ;

Disperzija je:

Vendar je v praksi ta metoda izračuna variance neprijetna, ker vodi do okornih izračunov za veliko število vrednosti naključne spremenljivke. Zato se uporablja druga metoda.

Izračun variance

Izrek. Varianca je enaka razliki med matematičnim pričakovanjem kvadrata naključne spremenljivke X in kvadratom njenega matematičnega pričakovanja.:

Dokaz. Ob upoštevanju dejstva, da sta matematično pričakovanje in kvadrat matematičnega pričakovanja konstantni vrednosti, lahko zapišemo:

Uporabimo to formulo za zgornji primer:

X
x2
str	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Disperzijske lastnosti

1) Disperzija konstantne vrednosti je nič:

2) Konstantni faktor lahko vzamemo iz disperzijskega predznaka tako, da ga kvadriramo:

.

3) Varianca vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh spremenljivk:

4) Varianca razlike dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti varianc teh spremenljivk:

Veljavnost te enakosti izhaja iz lastnosti 2.

Izrek. Varianca števila pojavitev dogodka A v n neodvisnih poskusih, pri vsakem izmed katerih je verjetnost pojava dogodka konstantna, je enaka zmnožku števila poskusov z verjetnostjo pojava in verjetnostjo dogodka ne pojavi v vsakem poskusu:

Primer. Obrat proizvede 96 % izdelkov prvega razreda in 4 % izdelkov drugega razreda. 1000 predmetov je izbranih naključno. Pustiti X- število izdelkov prvega razreda v tem vzorcu. Poiščite zakon porazdelitve, matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke.

Tako se zakon distribucije lahko šteje za binomski.

Primer. Poiščite varianco diskretne naključne spremenljivke X– število ponovitev dogodka AMPAK v dveh neodvisnih poskusih, če sta verjetnosti pojava tega dogodka v vsakem poskusu enaki in je znano, da

Ker naključna vrednost X porazdeljeno po binomskem zakonu, torej

Primer. Neodvisni testi se izvajajo z enako verjetnostjo pojava dogodka AMPAK v vsakem testu. Poiščite verjetnost, da se dogodek zgodi AMPAKče je varianca števila pojavitev dogodka v treh neodvisnih poskusih 0,63.

Glede na disperzijsko formulo binomskega zakona dobimo:

;

Primer. Preizkuša se naprava, sestavljena iz štirih neodvisno delujočih naprav. Verjetnosti okvare vsake od naprav so enake ; ; . Poiščite matematično pričakovanje in varianco števila okvarjenih naprav.

Če vzamemo število okvarjenih naprav kot naključno spremenljivko, vidimo, da lahko ta naključna spremenljivka prevzame vrednosti 0, 1, 2, 3 ali 4.

Za sestavo distribucijskega zakona za to naključno spremenljivko je treba določiti ustrezne verjetnosti. Sprejmimo.

1) Nobena naprava ni odpovedala:

2) Ena od naprav je odpovedala.