Izračun relativnih in absolutnih merilnih napak. Relativna in absolutna napaka: koncept, izračun in lastnosti
Meritve številnih količin, ki se pojavljajo v naravi, ne morejo biti točne. Meritev daje število, ki izraža vrednost z različnimi stopnjami natančnosti (meritev dolžine z natančnostjo 0,01 cm, izračun vrednosti funkcije v točki z natančnostjo do itd.), to je približno z neka napaka. Napako je mogoče nastaviti vnaprej ali, nasprotno, jo je treba najti.
Teorija napak ima predmet preučevanja predvsem približne številke. Pri izračunu namesto 
običajno uporabite približne številke: (če natančnost ni posebej pomembna), (če je točnost pomembna). Kako izvesti izračune s približnimi številkami, določiti njihove napake - to je teorija približnih izračunov (teorija napak).
V prihodnosti bodo natančne številke označene z velikimi črkami, ustrezne približne številke pa z malimi črkami.
Napake, ki nastanejo na eni ali drugi stopnji reševanja problema, lahko razdelimo na tri vrste:
1) Napaka težave. Ta vrsta napake se pojavi pri gradnji matematični model pojavov. Še zdaleč ni vedno mogoče upoštevati vseh dejavnikov in stopnje njihovega vpliva na končni rezultat. To pomeni, da matematični model predmeta ni njegova natančna podoba, njegov opis ni točen. Takšna napaka je neizogibna.
2) Napaka metode. Ta napaka nastane kot posledica zamenjave prvotnega matematičnega modela z bolj poenostavljenim, na primer pri nekaterih težavah korelacijske analize je sprejemljiv linearni model. Takšno napako je mogoče odpraviti, saj jo je v fazah izračuna mogoče zmanjšati na poljubno majhno vrednost.
3) Računska ("strojna") napaka. Pojavi se, ko računalnik izvaja aritmetične operacije.
Opredelitev 1.1. Naj bo - točna vrednost količine (številke), - približna vrednost iste količine (). Resnična absolutna napaka približno število je modul razlike med natančno in približno vrednostjo:
. (1.1)
Naj bo na primer =1/3. Pri izračunu na MK so dali rezultat deljenja 1 s 3 kot približno število = 0,33. Potem 
.
Vendar v resnici v večini primerov natančna vrednost količine ni znana, kar pomeni, da (1.1) ni mogoče uporabiti, torej ni mogoče najti prave absolutne napake. Zato je uvedena druga vrednost, ki služi kot neka ocena (zgornja meja za ).
Opredelitev 1.2.
Omejite absolutno napako približno število, ki predstavlja neznano natančno število, se imenuje tako mogoče manjše število, ki ne presega pravega absolutna napaka, tj 
. (1.2)
Za približno število količin, ki izpolnjujejo neenakost (1.2), jih je neskončno veliko, vendar bo najbolj dragocena najmanjša od vseh najdenih. Iz (1.2) na podlagi definicije modula imamo , ali skrajšano kot enakost
. (1.3)
Enakost (1.3) določa meje, znotraj katerih se nahaja neznano natančno število (pravijo, da približno število izraža natančno število z mejno absolutno napako). Preprosto je videti, da so manjše, natančneje so te meje določene.
Na primer, če so meritve določene vrednosti dale rezultat cm, medtem ko natančnost teh meritev ni presegla 1 cm, potem je prava (natančna) dolžina 
cm.
Primer 1.1. Podano številko. Poiščite omejevalno absolutno napako števila po številu.
rešitev: Iz enakosti (1.3) za število ( =1,243; =0,0005) imamo dvojno neenakost , tj.
Nato se problem postavi na naslednji način: najti za število mejno absolutno napako, ki izpolnjuje neenakost 
. Ob upoštevanju pogoja (*) dobimo (v (*) odštejemo od vsakega dela neenakosti)
Ker v našem primeru 
, potem , od koder =0,0035.
odgovor: =0,0035.
Omejevalna absolutna napaka pogosto daje slabo predstavo o točnosti meritev ali izračunov. Na primer, \u003d 1 m pri merjenju dolžine stavbe bo pomenilo, da niso bile izvedene natančno, in enaka napaka \u003d\u003d 1 m pri merjenju razdalje med mesti daje zelo oceno kakovosti. Zato je uvedena druga vrednost.
Opredelitev 1.3. Resnična relativna napakaštevilo, ki je približna vrednost natančnega števila, je razmerje med resničnim absolutnim pogreškom števila in modulom samega števila:
. (1.4)
Na primer, če so natančne in približne vrednosti, potem
Vendar formula (1.4) ni uporabna, če natančna vrednost števila ni znana. Zato se po analogiji z mejno absolutno napako uvede mejna relativna napaka.
Opredelitev 1.4. Omejitev relativne napakeštevilo, ki je približek neznanemu natančnemu številu, se imenuje najmanjše možno število , ki je ne preseže prava relativna napaka , tj
.
(1.5)
Iz neenakosti (1.2) imamo 
; od koder ob upoštevanju (1.5)
Formula (1.6) ima večjo praktično uporabnost v primerjavi z (1.5), saj v njej ne sodeluje natančna vrednost. Ob upoštevanju (1.6), (1.3) lahko najdemo meje, ki vsebujejo natančno vrednost neznane količine.
Naj nekaj naključna vrednost a izmerjeno n krat pod enakimi pogoji. Rezultati meritev so dali komplet n različne številke
Absolutna napaka- dimenzijska vrednost. Med n vrednosti absolutnih napak so nujno pozitivne in negativne.
Za najverjetnejšo vrednost količine ampak običajno vzamejo povprečno pomen rezultatov meritev
.
Kako več številka meritev, bližje je povprečna vrednost resnični vrednosti.
Absolutna napakajaz
.
Relativna napakajaz ta dimenzija se imenuje količina
Relativna napaka je brezdimenzionalna količina. Običajno je za to relativna napaka izražena v odstotkih e i pomnožite s 100%. Vrednost relativne napake označuje natančnost merjenja.
Povprečna absolutna napaka je definiran takole:
.
Poudarjamo, da je treba sešteti absolutne vrednosti (module) veličin D in jaz . V nasprotnem primeru bo rezultat enak nič.
Povprečna relativna napaka se imenuje količina
.
Pri velike številke meritve.
Relativno napako lahko obravnavamo kot vrednost napake na enoto merjene količine.
Natančnost meritev presojamo na podlagi primerjave napak rezultatov meritev. Zato so merilne napake izražene v takšni obliki, da bi za oceno točnosti zadostovalo primerjati le napake rezultatov, ne da bi primerjali velikosti merjenih predmetov ali poznali te velikosti zelo približno. Iz prakse je znano, da absolutna napaka merjenja kota ni odvisna od vrednosti kota, absolutna napaka merjenja dolžine pa je odvisna od vrednosti dolžine. Večja kot je vrednost dolžine, večja je absolutna napaka za to metodo in merilne pogoje. Zato je glede na absolutno napako rezultata mogoče presojati točnost meritve kota, nemogoče pa je soditi o točnosti meritve dolžine. Izraz napake v relativni obliki omogoča v določenih primerih primerjavo točnosti kotnih in linearnih meritev.
Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Naključna napaka.
Naključna napaka imenujemo komponenta merilne napake, ki se naključno spreminja pri ponavljajočih se meritvah iste količine.
Ko se ponavljajoče meritve iste konstantne, nespremenljive količine izvajajo z enako skrbnostjo in pod enakimi pogoji, dobimo rezultate meritev – nekateri se med seboj razlikujejo, drugi pa sovpadajo. Takšna odstopanja v rezultatih meritev kažejo na prisotnost naključnih komponent napake v njih.
Naključna napaka nastane zaradi hkratnega delovanja številnih virov, od katerih vsak sam po sebi neopazno vpliva na rezultat meritve, vendar je skupni učinek vseh virov lahko precej močan.
Naključne napake so neizogibna posledica vsakega merjenja in so posledica:
a) netočne odčitke na lestvici instrumentov in orodij;
b) niso enaki pogoji za ponavljajoče se meritve;
c) naključne spremembe zunanji pogoji(temperatura, tlak, zaščitno polje itd.), ki jih ni mogoče nadzorovati;
d) vsi drugi vplivi na meritve, katerih vzroki nam niso znani. Velikost naključne napake je mogoče zmanjšati z večkratnim ponavljanjem poskusa in ustrezno matematično obdelavo rezultatov.
Naključna napaka ima lahko različne absolutne vrednosti, ki jih za dano meritveno dejanje ni mogoče predvideti. Ta napaka je lahko enako pozitivna in negativna. V poskusu so vedno prisotne naključne napake. V odsotnosti sistematičnih napak povzročijo, da se ponavljajoče meritve razpršijo okoli prave vrednosti.
Predpostavimo, da s pomočjo štoparice izmerimo dobo nihanja nihala, meritev pa se večkrat ponovi. Napake pri zagonu in ustavljanju štoparice, napaka v vrednosti reference, majhno neenakomerno gibanje nihala - vse to povzroča razpršenost rezultatov ponavljajočih se meritev in ga zato lahko uvrstimo med naključne napake.
Če ni drugih napak, bodo nekateri rezultati nekoliko precenjeni, drugi pa rahlo podcenjeni. Če pa poleg tega zaostaja tudi ura, bodo vsi rezultati podcenjeni. To je že sistematična napaka.
Nekateri dejavniki lahko povzročijo tako sistematične kot naključne napake hkrati. Tako lahko z vklopom in izklopom štoparice ustvarimo majhen nepravilen razmik v trenutkih zagona in ustavljanja ure glede na gibanje nihala in s tem vnesemo naključno napako. Toda če poleg tega vsakič, ko hitimo vklopiti štoparico in jo nekoliko pozno izklopimo, bo to povzročilo sistematično napako.
Naključne napake nastanejo zaradi napake paralakse pri odčitavanju delitev merilne lestvice instrumenta, tresenja temeljev stavbe, vpliva rahlega gibanja zraka itd.
Čeprav je nemogoče izključiti naključne napake posameznih meritev, matematična teorija naključni pojavi nam omogočajo, da zmanjšamo vpliv teh napak na končni rezultat meritve. Spodaj bo prikazano, da za to ni treba narediti ene, ampak več meritev, in manjšo vrednost napake, ki jo želimo dobiti, več meritev je treba opraviti.
Ker je pojavljanje naključnih napak neizogibno in neizogibno, je glavna naloga vsakega meritvenega procesa, da napake zmanjša na minimum.
Teorija napak temelji na dveh glavnih predpostavkah, potrjenih z izkušnjami:
1. Z velikim številom meritev naključne napake enake velikosti, vendar drugačen znak, torej napake v smeri povečevanja in zmanjševanja rezultata so precej pogoste.
2. Velike absolutne napake so manj pogoste kot majhne, zato se verjetnost napake zmanjšuje z večanjem njene vrednosti.
Obnašanje naključnih spremenljivk opisujejo statistične zakonitosti, ki so predmet teorije verjetnosti. Statistična definicija verjetnosti w i razvoj dogodkov jaz je odnos
kje n - skupno število eksperimenti, n i- število poskusov, v katerih je dogodek jaz zgodilo. V tem primeru mora biti skupno število poskusov zelo veliko ( n®¥). Pri velikem številu meritev so naključne napake podvržene normalni porazdelitvi (Gaussova porazdelitev), katere glavne značilnosti so naslednje:
1. Večje kot je odstopanje vrednosti izmerjene vrednosti od prave vrednosti, manjša je verjetnost takšnega rezultata.
2. Enako verjetna so odstopanja v obe smeri od prave vrednosti.
Iz zgornjih predpostavk izhaja, da je za zmanjšanje vpliva naključnih napak potrebno to količino večkrat izmeriti. Recimo, da merimo neko vrednost x. Naj pridelajo n meritve: x 1 , x 2 , ... x n- na enak način in z enako skrbnostjo. Pričakovati je mogoče, da bo številka dn pridobljenih rezultatov, ki ležijo v dokaj ozkem intervalu od x prej x + dx, mora biti sorazmerna z:
Vrednost prevzetega intervala dx;
Skupno število meritev n.
Verjetnost dw(x) da je neka vrednost x leži v intervalu od x prej x+dx, opredeljeno kot sledi :
(s številom meritev n ®¥).
Funkcija f(X) se imenuje porazdelitvena funkcija ali gostota verjetnosti.
Kot postulat teorije napak se domneva, da rezultati neposrednih meritev in njihove naključne napake pri velikem številu upoštevajo zakon normalne porazdelitve.
Funkcija porazdelitve neprekinjene naključne spremenljivke, ki jo je našel Gauss x ima naslednjo obliko:
, kjer je g -
distribucijski parametri .
Parameter m normalne porazdelitve je enak srednji vrednosti á xñ naključna spremenljivka, ki je za poljubno znano porazdelitveno funkcijo določena z integralom
.
V to smer, vrednost m je najverjetnejša vrednost izmerjene vrednosti x, t.j. njena najboljša ocena.
Parameter s 2 normalne porazdelitve je enak varianci D naključne spremenljivke, ki jo na splošno določa naslednji integral
.
Kvadratni koren od variance se imenuje standardni odklon naključne spremenljivke.
Povprečno odstopanje (napaka) naključne spremenljivke ásñ se določi z uporabo porazdelitvene funkcije, kot sledi
Povprečna merilna napaka ásñ, izračunana iz Gaussove porazdelitvene funkcije, je povezana z vrednostjo standardnega odklona s, kot sledi:
< s > = 0,8 s.
Parametra s in m sta povezana na naslednji način:
.
Ta izraz vam omogoča, da najdete standardno deviacijo s, če obstaja normalna krivulja porazdelitve.
Graf Gaussove funkcije je prikazan na slikah. Funkcija f(x) je simetrična glede na ordinato, narisano v točki x= m; prehaja skozi maksimum na točki x= m in ima pregib v točkah m ±s. Tako disperzija označuje širino porazdelitvene funkcije ali kaže, kako široko so vrednosti naključne spremenljivke razpršene glede na njeno resnično vrednost. Kako natančno merjenje, čim bližje pravi vrednosti so rezultati posameznih meritev, t.j. vrednost s je manjša. Slika A prikazuje funkcijo f(x) za tri vrednosti s .
Območje figure, omejeno s krivuljo f(x) in navpične črte, narisane iz točk x 1 in x 2 (slika B) , je številčno enak verjetnosti, da rezultat meritve pade v interval D x = x 1 -x 2, ki se imenuje stopnja zaupanja. Območje pod celotno krivuljo f(x) je enak verjetnosti, da naključna spremenljivka pade v interval od 0 do ¥, tj.
,
saj je verjetnost določenega dogodka enaka ena.
Z uporabo normalne porazdelitve teorija napak postavlja in rešuje dva glavna problema. Prvi je ocena točnosti meritev. Drugi je ocena točnosti aritmetične sredine rezultatov meritev.5. Interval zaupanja. Študentov koeficient.
Teorija verjetnosti vam omogoča, da določite velikost intervala, v katerem z znano verjetnostjo w so rezultati posameznih meritev. Ta verjetnost se imenuje raven zaupanja in ustrezen interval (<x>±D x)w poklical interval zaupanja. Raven zaupanja je prav tako enaka relativnemu deležu rezultatov, ki sodijo v interval zaupanja.
Če je število meritev n je dovolj velika, potem verjetnost zaupanja izraža delež skupnega števila n tiste meritve, pri katerih je bila izmerjena vrednost znotraj intervala zaupanja. Vsaka stopnja zaupanja w ustreza njegovemu intervalu zaupanja w 2 80 %. Širši kot je interval zaupanja, večja je verjetnost, da bo rezultat v tem intervalu. V teoriji verjetnosti se vzpostavi kvantitativno razmerje med vrednostjo intervala zaupanja, verjetnostjo zaupanja in številom meritev.
Če za interval zaupanja izberemo interval, ki ustreza povprečni napaki, to je D a = AD ampakñ, potem za dovolj veliko število meritev ustreza verjetnosti zaupanja w 60 %. Ko se število meritev zmanjša, se verjetnost zaupanja, ki ustreza takemu intervalu zaupanja (á ampakñ ± AD ampakñ) se zmanjša.
Tako lahko za oceno intervala zaupanja naključne spremenljivke uporabimo vrednost povprečne napake D ampakñ .
Za karakterizacijo velikosti naključne napake je potrebno nastaviti dve številki, in sicer velikost intervala zaupanja in velikost verjetnosti zaupanja . Določanje samo velikosti napake brez ustrezne verjetnosti zaupanja je večinoma nesmiselno.
Če je povprečna merilna napaka ásñ znana, se interval zaupanja zapiše kot (<x> ±asñ) w, določeno z zanesljivo verjetnostjo w= 0,57.
Če je standardna deviacija s znana distribucija rezultatov meritev, je prikazani interval v obliki (<x>± tw s) w, kje tw- koeficient, odvisen od vrednosti verjetnosti zaupanja in izračunan po Gaussovi porazdelitvi.
Najpogosteje uporabljene količine D x so prikazane v tabeli 1.
Meritve se imenujejo naravnost,če vrednosti veličin določajo neposredno instrumenti (na primer merjenje dolžine z ravnilom, določanje časa s štoparico itd.). Meritve se imenujejo posredno, če je vrednost merjene količine določena z neposrednimi meritvami drugih veličin, ki so povezane z merjeno specifično razmerje.
Naključne napake pri neposrednih meritvah
Absolutna in relativna napaka. Naj se drži N meritve enake količine x v odsotnosti sistematičnih napak. Rezultati posameznih meritev so videti tako: x 1 ,x 2 , …,x N. Povprečna vrednost merjene količine je izbrana kot najboljša:
Absolutna napaka ena meritev se imenuje razlika oblike:
.
Povprečna absolutna napaka N posamezne meritve:
(2)
poklical povprečna absolutna napaka.
Relativna napaka je razmerje med povprečno absolutno napako in povprečno vrednostjo izmerjene količine:
.
(3)
Napake instrumentov pri neposrednih meritvah
Če ni posebnih navodil, je napaka instrumenta enaka polovici njegove delitvene vrednosti (ravnalo, čaša).
Napaka instrumentov, opremljenih z noniusom, je enaka vrednosti delitve nonisa (mikrometer - 0,01 mm, čeljust - 0,1 mm).
Napaka tabelarnih vrednosti je enaka polovici enote zadnje števke (pet enot naslednjega reda po zadnji pomembni števki).
Napaka električnih merilnih instrumentov se izračuna glede na razred točnosti IZ označeno na merilni lestvici:
Na primer: 
in 
,
kje U maks in jaz maks– mejo meritve naprave.
Napaka naprav z digitalno indikacijo je enaka enoti zadnje števke indikacije.
Po oceni naključnih in instrumentalnih napak se upošteva tista, katere vrednost je večja.
Izračun napak pri posrednih meritvah
Večina meritev je posrednih. V tem primeru je želena vrednost X funkcija več spremenljivk ampak,b, c… , katerih vrednosti je mogoče najti z neposrednimi meritvami: Х = f( a, b, c…).
Aritmetična sredina rezultata posrednih meritev bo enaka:
X = f( a, b, c…).
Eden od načinov za izračun napake je način diferenciacije naravnega logaritma funkcije X = f( a,
b,
c...). Če je na primer želena vrednost X določena z razmerjem X = 
, potem po logaritmu dobimo: lnX = ln a+ln b+ln( c+
d).
Razlika tega izraza je:
.
Kar zadeva izračun približnih vrednosti, ga lahko zapišemo za relativno napako v obliki:
=
.
(4)
Absolutna napaka se v tem primeru izračuna po formuli:
Х = Х (5)
Tako se izračun napak in izračun rezultata za posredne meritve izvedeta v naslednjem vrstnem redu:
1) Izvedite meritve vseh količin, vključenih v prvotno formulo, da izračunate končni rezultat.
2) Izračunajte aritmetične srednje vrednosti vsake merjene količine in njihove absolutne napake.
3) V prvotno formulo nadomestite povprečne vrednosti vseh izmerjenih vrednosti in izračunajte povprečno vrednost želene vrednosti:
X = f( a, b, c…).
4) Vzemite logaritem prvotne formule X = f( a, b, c...) in zapišite izraz za relativno napako v obliki formule (4).
5) Izračunajte relativno napako = 
.
6) Izračunajte absolutno napako rezultata s formulo (5).
7) Končni rezultat je zapisan kot:
|
X \u003d X prim X |
Absolutne in relativne napake najpreprostejših funkcij so podane v tabeli:
|
Absolutno napaka |
Relativno napaka |
|
|
a+ b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
Zaradi napak, ki so značilne za merilni instrument, izbrano metodo in merilno tehniko, razlike v zunanjih pogojih, v katerih se meritev izvaja od uveljavljenih, in drugih razlogov je rezultat skoraj vsake meritve obremenjen z napako. Ta napaka se izračuna ali oceni in pripiše dobljenemu rezultatu. Napaka pri merjenju(na kratko - napaka merjenja) - odstopanje rezultata meritve od prave vrednosti izmerjene količine. Prava vrednost količine zaradi prisotnosti napak ostaja neznana. Uporablja se za reševanje teoretične naloge meroslovje. V praksi se uporablja realna vrednost količine, ki nadomesti pravo vrednost. Merilno napako (Δx) najdemo po formuli: x = x mera. - x dejansko (1.3) kjer je x meri. - vrednost količine, pridobljene na podlagi meritev; x dejansko je vrednost količine, vzete za realno. Realna vrednost za posamezne meritve se pogosto vzame kot vrednost, pridobljena s pomočjo zglednega merilnega instrumenta, za ponavljajoče se meritve - aritmetična sredina vrednosti posameznih meritev, vključenih v to serijo. Merilne napake lahko razvrstimo po naslednjih merilih: Po naravi manifestacije - sistematično in naključno; Po izrazu - absolutno in relativno; Glede na pogoje za spreminjanje merjene vrednosti - statično in dinamično; Po načinu obdelave številne meritve - aritmetične in srednje kvadratne vrednosti; Glede na popolnost zajema merilne naloge - zasebno in popolno; Glede na enoto fizična količina— napake pri reprodukciji enote, shranjevanju enote in prenosu velikosti enote. Sistematična merilna napaka(na kratko - sistematična napaka) - komponenta napake meritvenega rezultata, ki ostane konstantna za določeno serijo meritev ali se redno spreminja pri ponavljajočih se meritvah iste fizikalne količine. Glede na naravo manifestacije se sistematične napake delijo na stalne, progresivne in periodične. Trajne sistematične napake(na kratko - stalne napake) - napake, dolgo časa ohranijo svojo vrednost (na primer med celotno serijo meritev). To je najpogostejša vrsta napake. Progresivne sistematične napake(na kratko - progresivne napake) - nenehno naraščajoče ali padajoče napake (na primer napake zaradi obrabe merilnih konic, ki pridejo v stik med brušenjem z delom, ko ga krmili aktivna krmilna naprava). Periodična sistematična napaka(kratko - periodična napaka) - napaka, katere vrednost je funkcija časa ali funkcija premikanja kazalca merilni instrument(na primer, prisotnost ekscentričnosti v goniometrih s krožno skalo povzroča sistematično napako, ki se spreminja po periodičnem zakonu). Glede na vzroke za pojav sistematičnih napak so instrumentalne napake, napake metode, subjektivne napake in napake zaradi odstopanja zunanjih merilnih pogojev od uveljavljenih metod. Instrumentalna merilna napaka(na kratko - instrumentalna napaka) je posledica več razlogov: obrabe delov naprave, prekomernega trenja v mehanizmu naprave, nenatančnih gibov na lestvici, neskladja med dejanskim in nazivne vrednosti ukrepi itd. Napaka merilne metode(na kratko - napaka metode) lahko nastane zaradi nepopolnosti merilne metode ali njenih poenostavitev, ugotovljenih z merilnim postopkom. Takšna napaka je na primer lahko posledica nezadostne hitrosti merilnih instrumentov, ki se uporabljajo pri merjenju parametrov hitrih procesov, ali neupoštevanja nečistoč pri določanju gostote snovi na podlagi rezultatov merjenja njene mase in prostornine. Subjektivna merilna napaka(na kratko - subjektivna napaka) je posledica individualnih napak operaterja. Včasih se ta napaka imenuje osebna razlika. Povzroča ga na primer zamuda ali napredek pri sprejemanju signala s strani operaterja. Napaka odstopanja(v eni smeri) zunanjih merilnih pogojev od tistih, ugotovljenih z merilnim postopkom, vodi do pojava sistematične komponente merilne napake. Sistematske napake izkrivljajo rezultat meritve, zato jih je treba, kolikor je mogoče, odpraviti z uvedbo popravkov ali prilagajanjem instrumenta, da se sistematične napake zmanjšajo na sprejemljiv minimum. Neizključena sistematična napaka(na kratko - neizključena napaka) - gre za napako meritvenega rezultata zaradi napake pri izračunu in uvedbi popravka za učinek sistematične napake ali manjše sistematske napake, za katero se popravek ne uvede zaradi majhnost. To vrsto napake včasih imenujemo kot neizključeni ostanki pristranskosti(na kratko - neizključena stanja). Na primer, pri merjenju dolžine linijskega metra v valovnih dolžinah referenčnega sevanja je bilo odkritih več neizključenih sistematičnih napak (i): zaradi netočnega merjenja temperature - 1 ; zaradi netočne določitve lomnega količnika zraka - 2, zaradi netočne vrednosti valovne dolžine - 3. Običajno se upošteva vsota neizključenih sistematičnih napak (njihove meje so določene). S številom členov N ≤ 3 se meje neizključenih sistematičnih napak izračunajo po formuli Če je število izrazov N ≥ 4, se za izračune uporabi formula
kjer je k koeficient odvisnosti neizključenih sistematičnih napak od izbrane verjetnosti zaupanja P z njihovo enakomerno porazdelitvijo. Pri P = 0,99, k = 1,4, pri P = 0,95, k = 1,1. Naključna merilna napaka(na kratko - naključna napaka) - komponenta napake merilnega rezultata, ki se naključno spreminja (predznak in vrednost) v seriji meritev enake velikosti fizične količine. Vzroki za naključne napake: napake pri zaokroževanju pri branju odčitkov, variacije odčitkov, naključne spremembe merilnih pogojev itd. Naključne napake povzročajo razpršitev rezultatov meritev v seriji. Teorija napak temelji na dveh, s prakso potrjenih določbah: 1. Pri velikem številu meritev se enako pogosto pojavljajo naključne napake enake številčne vrednosti, vendar drugačnega predznaka; 2. Velike (v absolutni vrednosti) napake so manj pogoste kot majhne. Iz prvega stališča izhaja pomemben zaključek za prakso: s povečanjem števila meritev se naključna napaka rezultata, pridobljenega iz serije meritev, zmanjšuje, saj se vsota napak posameznih meritev te serije giblje k nič, tj
Na primer, kot rezultat meritev je bila pridobljena serija vrednosti električni upor(ki so popravljeni za učinke sistematičnih napak): R 1 = 15,5 ohmov, R 2 = 15,6 ohmov, R 3 = 15,4 ohmov, R 4 = 15,6 ohmov in R 5 = 15,4 ohmov . Torej R = 15,5 ohmov. Odstopanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm in R 5 = -0,1 Ohm) so naključne napake posameznih meritev v dane serije. Preprosto je videti, da je vsota R i = 0,0. To pomeni, da so napake posameznih meritev te serije pravilno izračunane. Kljub temu, da se s povečanjem števila meritev vsota naključnih napak nagiba k nič (v ta primer slučajno je bila nič), je treba oceniti naključno napako merilnega rezultata. V teoriji naključnih spremenljivk disperzija o2 služi kot značilnost disperzije vrednosti naključne spremenljivke. "| / o2 \u003d a se imenuje standardni odklon splošne populacije ali standardni odklon. To je bolj priročno kot disperzija, saj njegova dimenzija sovpada z dimenzijo merjene količine (na primer vrednost količine dobimo v voltih, standardna deviacija bo tudi v voltih). Ker se v praksi meritev ukvarjamo z izrazom "napaka", je treba za karakterizacijo številnih meritev uporabiti izraz "srednja kvadratna napaka", ki izhaja iz njega. Številne meritve lahko označimo z aritmetično srednjo napako ali obsegom rezultatov meritev. Obseg merilnih rezultatov (na kratko – razpon) je algebraična razlika med največjim in najmanjšim rezultatom posameznih meritev, ki tvorijo serijo (ali vzorec) n meritev: R n \u003d X max - X min (1,7) kjer je R n razpon; X max in X min - največji in najmanjša vrednost vrednosti v dani seriji meritev. Na primer, od petih meritev premera luknje d sta se vrednosti R 5 = 25,56 mm in R 1 = 25,51 mm izkazali za njegove največje in najmanjše vrednosti. V tem primeru je R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. To pomeni, da so preostale napake te serije manjše od 0,05 mm. Povprečna aritmetična napaka posamezne meritve v seriji(na kratko - aritmetična srednja napaka) - posplošeno razpršilno karakteristiko (zaradi naključnih razlogov) posameznih rezultatov meritev (enake vrednosti), vključenih v serijo n enako natančnih neodvisnih meritev, izračunamo po formuli
kjer je X i rezultat i-te meritve, vključene v serijo; x je aritmetična sredina n vrednosti količine: |X i - X| je absolutna vrednost napake i-te meritve; r je napaka aritmetične sredine. Prava vrednost aritmetične srednje napake p se določi iz razmerja p = lim r, (1,9) S številom meritev n > 30, med aritmetično sredino (r) in srednjim kvadratom (s) obstajajo korelacije s = 1,25r; r in = 0,80 s. (1.10) Prednost napake aritmetične sredine je preprostost njenega izračuna. Toda še vedno pogosteje določite povprečno kvadratno napako. Korenska povprečna kvadratna napaka posamezna meritev v seriji (na kratko - povprečna kvadratna napaka) - posplošena značilnost sipanja (zaradi naključnih razlogov) posameznih rezultatov meritev (iste vrednosti), vključenih v serijo P enako natančne neodvisne meritve, izračunane po formuli
Srednjo kvadratno napako za splošni vzorec o, ki je statistična meja S, lahko izračunamo za /i-mx > po formuli: Σ = lim S (1.12) V resnici je število dimenzij vedno omejeno, zato se ne izračuna σ , in njena približna vrednost (ali ocena), ki je s. Bolj P, bližje je s svoji meji σ . Pri normalni porazdelitvi je verjetnost, da napaka posamezne meritve v seriji ne bo presegla izračunane srednje kvadratne napake, majhna: 0,68. Zato je lahko v 32 primerih od 100 ali 3 primerih od 10 dejanska napaka večja od izračunane.
Slika 1.2 Zmanjšanje vrednosti naključne napake rezultata večkratnih meritev s povečanjem števila meritev v seriji V seriji meritev obstaja povezava med efektivno vrednostjo napake posamezne meritve s in efektivno vrednostjo napake aritmetične sredine S x: ki se pogosto imenuje "pravilo Y n". Iz tega pravila izhaja, da lahko napako merjenja zaradi delovanja naključnih vzrokov zmanjšamo za n-krat, če izvedemo n meritev enake velikosti katere koli količine, za končni rezultat pa vzamemo aritmetično srednjo vrednost (slika 1.2). ). Izvajanje vsaj 5 meritev v seriji omogoča zmanjšanje učinka naključnih napak za več kot 2-krat. Pri 10 meritvah se učinek naključne napake zmanjša za faktor 3. Nadaljnje povečanje števila meritev ni vedno ekonomsko izvedljivo in se praviloma izvaja le za kritične meritve, ki zahtevajo visoko natančnost. Srednja kvadratna napaka ene meritve iz serije homogenih dvojnih meritev S α se izračuna po formuli
kjer sta x" i in x"" i i-ti rezultati meritev enake velikosti v smeri naprej in nazaj z enim merilnim instrumentom. Pri neenakih meritvah se povprečna kvadratna napaka aritmetične sredine v seriji določi s formulo
kjer je p i teža i-te meritve v seriji neenakih meritev. Srednja kvadratna napaka rezultata posrednih meritev količine Y, ki je funkcija Y \u003d F (X 1, X 2, X n), se izračuna po formuli
kjer so S 1 , S 2 , S n povprečne kvadratne napake rezultatov meritev za X 1 , X 2 , X n . Če se za večjo zanesljivost doseganja zadovoljivega rezultata izvede več serij meritev, se povprečni kvadratni napaka posamezne meritve iz m serije (S m) najde po formuli
kjer je n število meritev v seriji; N je skupno število meritev v vseh serijah; m je število serij. Pri omejenem številu meritev je pogosto treba poznati RMS napako. Za določitev napake S, izračunane po formuli (2.7), in napake S m , izračunane po formuli (2.12), lahko uporabite naslednje izraze
kjer sta S in S m povprečna kvadratna napaka S in S m . Na primer, pri obdelavi rezultatov serije meritev dolžine x smo dobili
Vrednost S = ±0,7 mm pomeni, da je zaradi napake pri izračunu s v območju od 2,4 do 3,8 mm, zato so desetinke milimetra tukaj nezanesljive. V obravnavanem primeru je potrebno zapisati: S = ±3 mm. Za večje zaupanje v oceno napake meritvenega rezultata se izračuna napaka zaupanja oziroma meje zaupanja napake. Z običajnim zakonom porazdelitve se meje zaupanja napake izračunajo kot ±t-s ali ±t-s x , kjer sta s in s x povprečna kvadratna napaka ene meritve v nizu in aritmetična sredina; t je število, odvisno od stopnje zaupanja P in števila meritev n. Pomemben koncept je zanesljivost merilnega rezultata (α), t.j. verjetnost, da želena vrednost merjene količine pade v dani interval zaupanja. Na primer, pri obdelavi delov na obdelovalnih strojih v stabilnem tehnološkem načinu je porazdelitev napak v skladu z običajnim zakonom. Predpostavimo, da je toleranca dolžine dela nastavljena na 2a. V tem primeru bo interval zaupanja, v katerem se nahaja želena vrednost dolžine dela a (a - a, a + a). Če je 2a = ±3s, potem je zanesljivost rezultata a = 0,68, to pomeni, da je v 32 primerih od 100 pričakovati, da bo velikost dela presegla toleranco 2a. Pri ocenjevanju kakovosti dela glede na toleranco 2a = ±3s bo zanesljivost rezultata 0,997. V tem primeru lahko pričakujemo, da bodo le trije deli od 1000 presegli uveljavljeno toleranco, vendar je povečanje zanesljivosti možno le z zmanjšanjem napake v dolžini dela. Torej, da bi povečali zanesljivost z a = 0,68 na a = 0,997, je treba napako v dolžini dela zmanjšati za faktor tri. Nedavno prejeto široka uporaba izraz "zanesljivost meritev". V nekaterih primerih se nerazumno uporablja namesto izraza "merilna natančnost". Na primer, v nekaterih virih lahko najdete izraz "vzpostavitev enotnosti in zanesljivosti meritev v državi." Medtem ko bi bilo pravilneje reči "vzpostavitev enotnosti in zahtevane natančnosti meritev". Zanesljivost obravnavamo kot kvalitativno lastnost, ki odraža bližino nič naključnih napak. Kvantitativno ga je mogoče določiti z nezanesljivostjo meritev. Negotovost meritev(na kratko - nezanesljivost) - ocena neskladja med rezultati v seriji meritev zaradi vpliva skupnega vpliva naključnih napak (določenih s statističnimi in nestatističnimi metodami), za katere je značilen razpon vrednosti v kjer se nahaja prava vrednost merjene količine. V skladu s priporočili Mednarodnega urada za uteži in mere je negotovost izražena kot skupna efektivna merilna napaka - Su vključno z efektivno vrednostjo napake S (določeno s statističnimi metodami) in efektivno efektivno napako u (določeno z nestatističnimi metodami) , tj
Mejna napaka pri merjenju(na kratko - mejna napaka) - največja merilna napaka (plus, minus), katere verjetnost ne presega vrednosti P, medtem ko je razlika 1 - P nepomembna. Na primer, pri normalni porazdelitvi je verjetnost naključne napake ±3s 0,997, razlika 1-P = 0,003 pa je nepomembna. Zato se v mnogih primerih za mejo vzame napaka zaupanja ±3s, t.j. pr = ±3s. Po potrebi ima pr lahko tudi druge odnose s s za dovolj velik P (2s, 2,5s, 4s itd.). V zvezi s tem, da se v standardih GSI namesto izraza "srednja kvadratna napaka" uporablja izraz "srednja kvadratna deviacija", se bomo pri nadaljnjem razmišljanju držali tega izraza. Absolutna merilna napaka(na kratko - absolutna napaka) - merilna napaka, izražena v enotah izmerjene vrednosti. Torej je napaka X pri merjenju dolžine dela X, izražena v mikrometrih, absolutna napaka. Ne smemo zamenjevati izrazov "absolutna napaka" in "absolutna vrednost napake", kar se razume kot vrednost napake brez upoštevanja predznaka. Torej, če je absolutna napaka merjenja ±2 μV, bo absolutna vrednost napake 0,2 μV. Relativna merilna napaka(na kratko - relativna napaka) - merilna napaka, izražena kot ulomek vrednosti izmerjene vrednosti ali kot odstotek. Relativno napako δ najdemo iz razmerij:
Na primer, obstaja realna vrednost dolžine dela x = 10,00 mm in absolutna vrednost napake x = 0,01 mm. Relativna napaka bo Statična napaka je napaka merilnega rezultata zaradi pogojev statične meritve. Dinamična napaka je napaka merilnega rezultata zaradi pogojev dinamičnega merjenja. Napaka pri reprodukciji enote- napaka rezultata meritev, opravljenih pri reprodukciji enote fizikalne količine. Torej je napaka pri reprodukciji enote z uporabo državnega standarda označena v obliki njenih komponent: neizključena sistematična napaka, za katero je značilna njena meja; naključna napaka, označena s standardnim odklonom s in letno nestabilnostjo ν. Napaka pri prenosu velikosti enote je napaka v rezultatu meritev, opravljenih pri prenosu velikosti enote. Napaka prenosa velikosti enote vključuje neizključene sistematične napake in naključne napake metode in sredstev prenosa velikosti enote (na primer primerjalnik). povzetek Absolutna in relativna napaka Uvod Absolutna napaka - je ocena absolutne merilne napake. Izračunano različne poti. Metoda izračuna je določena z distribucijo naključne spremenljivke. V skladu s tem je velikost absolutne napake odvisna od porazdelitve naključne spremenljivke je lahko drugačna. Če je izmerjena vrednost in je prava vrednost, nato pa neenakost mora biti zadovoljen z neko verjetnostjo blizu 1. Če je naključna spremenljivka porazdeljeno po normalnem zakonu, potem se običajno njegov standardni odklon vzame kot absolutna napaka. Absolutna napaka se meri v enakih enotah kot sama vrednost. Obstaja več načinov za pisanje količine skupaj z njeno absolutno napako. · Običajno se uporablja podpisani zapis ± . Na primer, rekord na 100 m, postavljen leta 1983, je 9,930±0,005 s. · Za beleženje vrednosti, merjenih z zelo visoko natančnostjo, se uporablja še en zapis: v oklepajih se dodajo številke, ki ustrezajo napaki zadnjih števk mantis. Na primer, izmerjena vrednost Boltzmannove konstante je 1,380 6488 (13)×10?23 J/K, kar se lahko zapiše tudi veliko dlje kot 1.380 6488×10?23 ± 0,000 0013×10?23 J/K. Relativna napaka- merilna napaka, izražena kot razmerje med absolutno merilno napako in dejansko ali povprečno vrednostjo izmerjene količine (RMG 29-99):. Relativna napaka je brezdimenzionalna količina ali pa se meri v odstotkih. 1. Kaj se imenuje približna vrednost? Preveč in premalo? V procesu izračunov se je treba pogosto ukvarjati s približnimi številkami. Naj bo AMPAK- točna vrednost določene količine, v nadaljnjem besedilu točna številka AMPAK.Pod okvirno vrednostjo količine AMPAK,oz približne številkepoklicali številko ampak, ki nadomesti natančno vrednost količine AMPAK.Če ampak< AMPAK,potem ampakse imenuje približna vrednost števila In zaradi pomanjkanja.Če ampak> AMPAK,- potem v presežku.Na primer, 3,14 je približek števila ? zaradi pomanjkanja in 3,15 zaradi presežka. Za opis stopnje natančnosti tega približka se uporablja koncept napake oz napake. napaka ?ampakpribližno število ampakse imenuje razlika oblike ?a = A - a, kje AMPAKje ustrezna natančna številka. Slika prikazuje, da je dolžina segmenta AB med 6 cm in 7 cm. To pomeni, da je 6 približna vrednost dolžine segmenta AB (v centimetrih)\u003e s pomanjkanjem, 7 pa s presežkom. Če označujemo dolžino segmenta s črko y, dobimo: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentuAB (glej sliko 149) je bližje 6 cm kot 7 cm Približno enako 6 cm Pravijo, da je bilo število 6 pridobljeno z zaokroževanjem dolžine segmenta na cela števila. . Kaj je napaka približevanja? A) absolutno? B) Sorodnik? A) Absolutna napaka aproksimacije je modul razlike med resnično vrednostjo količine in njeno približno vrednostjo. |x - x_n|, kjer je x prava vrednost, x_n je približna vrednost. Na primer: Dolžina lista papirja A4 je (29,7 ± 0,1) cm in razdalja od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Absolutna napaka v prvem primeru ne presega enega milimetra, v drugem pa enega kilometra. Vprašanje je primerjati natančnost teh meritev. Če menite, da je dolžina lista izmerjena natančneje, ker absolutna napaka ne presega 1 mm. Potem se motiš. Teh vrednosti ni mogoče neposredno primerjati. Naredimo nekaj sklepanja. Pri merjenju dolžine lista absolutna napaka ne presega 0,1 cm za 29,7 cm, to je v odstotkih 0,1 / 29,7 * 100 % = 0,33 % izmerjene vrednosti. Ko merimo razdaljo od Sankt Peterburga do Moskve, absolutna napaka ne presega 1 km na 650 km, kar je 1/650 * 100 % = 0,15 % izmerjene vrednosti v odstotkih. Vidimo, da se razdalja med mesti meri natančneje kot dolžina lista A4. B) Relativna napaka aproksimacije je razmerje med absolutno napako in modulom približne vrednosti količine. ulomek matematične napake kjer je x prava vrednost, x_n je približna vrednost. Relativna napaka se običajno imenuje kot odstotek. Primer. Če število 24,3 zaokrožimo na enote, dobimo število 24. Relativna napaka je enaka. Pravijo, da je relativna napaka v tem primeru 12,5 %. ) Kakšno zaokroževanje se imenuje zaokroževanje? A) s slabostjo? b) Preveč? A) zaokrožiti navzdol Pri zaokroževanju števila, izraženega kot decimalni ulomek, na 10^(-n), s pomanjkljivostjo, se prvih n števk za decimalno vejico ohrani, naslednje pa se zavržejo. Na primer, zaokrožitev 12,4587 na najbližjo tisočinko s pomanjkljivostjo povzroči 12,458. B) Zaokroževanje Pri zaokroževanju števila, izraženega kot decimalni ulomek, do 10^(-n), se prvih n števk za decimalno vejico ohrani s presežkom, naslednje pa se zavržejo. Na primer, zaokrožitev 12,4587 na najbližjo tisočinko s pomanjkljivostjo povzroči 12,459. ) Pravilo za zaokroževanje decimalk. Pravilo. Za zaokrožitev decimalke na določeno številko celega ali ulomnega dela se vse manjše števke zamenjajo z ničlami ali zavržejo, številka pred števko, ki je bila zavržena med zaokroževanjem, pa ne spremeni svoje vrednosti, če ji sledijo številki 0, 1, 2, 3, 4 in se poveča za 1 (ena), če so številke 5, 6, 7, 8, 9. Primer. Zaokroži ulomek 93,70584 na: desettisočinke: 93,7058 tisočinke: 93,706 stotinke: 93,71 desetin: 93,7 celo število: 94 desetice: 90 Kljub enakosti absolutnih napak, saj izmerjene količine so različne. Večja kot je izmerjena velikost, manjša je relativna napaka pri konstantnem absolutu. TutorstvoPotrebujete pomoč pri učenju teme?
Naši strokovnjaki vam bodo svetovali ali nudili tutorske storitve o temah, ki vas zanimajo. Priporočamo tudi
 Nalaganje... |
(1.5)
(1.6)
(1.8)
(1.11)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
= 86 mm 2 pri n = 10,
= 3,1 mm
= 0,7 mm ali S = ±0,7 mm
(1.20)
(1.21)
