Od česa so odvisne lastnosti potenčne funkcije? Funkcija moči

V tej lekciji bomo nadaljevali s preučevanjem funkcij moči racionalni indikator, upoštevajte funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

1. Osnovni pojmi in definicije

Spomnimo se lastnosti in grafov potenčnih funkcij z negativnim celim eksponentom.

Za sodo n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij gredo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;1). Značilnost funkcij te vrste je njihova parnost, grafi so simetrični glede na op-y os.

riž. 1. Graf funkcije

Za liho n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij gredo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;-1). Značilnost funkcij te vrste je njihova lihost, grafi so simetrični glede na izvor.

riž. 2. Funkcijski graf

2. Funkcija z negativnim racionalnim eksponentom, grafi, lastnosti

Spomnimo se glavne definicije.

Stopnjo nenegativnega števila a z racionalnim pozitivnim eksponentom imenujemo število.

Stopnjo pozitivnega števila a z racionalnim negativnim eksponentom imenujemo število.

Za naslednjo enakost velja:

Na primer: ; - izraz ne obstaja po definiciji stopnje z negativnim racionalnim eksponentom; obstaja, ker je eksponent celo število,

Obrnemo se k obravnavi funkcij moči z racionalnim negativnim eksponentom.

Na primer:

Če želite narisati to funkcijo, lahko naredite tabelo. Naredili bomo drugače: najprej bomo zgradili in preučili graf imenovalca - poznamo ga (slika 3).

riž. 3. Graf funkcije

Graf funkcije imenovalca poteka skozi fiksno točko (1;1). Pri gradnji grafa prvotne funkcije ta točka ostane, ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 4).

riž. 4. Funkcijski graf

Razmislite še o eni funkciji iz družine preučevanih funkcij.

Pomembno je, da po definiciji

Oglejmo si graf funkcije v imenovalcu: , poznamo graf te funkcije, narašča v svoji definicijski domeni in prehaja skozi točko (1; 1) (slika 5).

riž. 5. Funkcijski graf

Pri gradnji grafa prvotne funkcije ostane točka (1; 1), ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 6).

riž. 6. Funkcijski graf

Obravnavani primeri pomagajo razumeti, kako poteka graf in kakšne so lastnosti preučevane funkcije - funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

Grafi funkcij te družine potekajo skozi točko (1;1), funkcija pada na celotnem definicijskem področju.

Obseg funkcije:

Funkcija ni omejena od zgoraj, temveč od spodaj. Funkcija nima niti maksimuma niti najmanjša vrednost.

Funkcija je zvezna, sprejme vse pozitivne vrednosti od nič do plus neskončnosti.

Funkcija konveksno navzdol (slika 15.7)

Na krivulji vzamemo točki A in B, skozi njiju narišemo odsek, celotna krivulja je pod odsekom, ta pogoj je izpolnjen za poljubni dve točki na krivulji, zato je funkcija konveksna navzdol. riž. 7.

riž. 7. Konveksnost funkcije

3. Rešitev tipičnih problemov

Pomembno je razumeti, da so funkcije te družine od spodaj omejene z ničlo, vendar nimajo najmanjše vrednosti.

Primer 1 - poiščite maksimum in minimum funkcije na intervalu \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije $f\left(x\desno)=x^(2n)$

Lastnosti potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom

Domena definicije so vsa realna števila.

$f\levo(-x\desno)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je liha funkcija.

$f(x)$ je zvezen na celotni domeni definicije.

Obseg so vsa realna števila.

$f"\levo(x\desno)=\levo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija narašča na celotnem področju definicije.

$f\left(x\desno)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\levo(x\desno))=(\levo(\levo(2n-1\desno)\cdot x^(2\levo(n-1\desno))\desno))"=2 \levo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ in konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Graf (slika 3).

Slika 3. Graf funkcije $f\left(x\desno)=x^(2n-1)$

Potenčna funkcija s celim eksponentom

Za začetek uvedemo koncept stopnje s celim eksponentom.

Definicija 3

stopnja realno število$a$ s celim indeksom $n$ se določi po formuli:

Slika 4

Zdaj si oglejmo potenčno funkcijo s celim eksponentom, njene lastnosti in graf.

Definicija 4

$f\left(x\desno)=x^n$ ($n\in Z)$ se imenuje potenčna funkcija s celim eksponentom.

Če je stopnja večja od nič, potem pridemo do primera potenčne funkcije z naravnim eksponentom. O tem smo že razpravljali zgoraj. Za $n=0$ dobimo linearno funkcijo $y=1$. Njegovo obravnavo prepuščamo bralcu. Preučiti moramo lastnosti potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

Lastnosti potenčne funkcije z negativnim celim eksponentom

Obseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Če je eksponent sod, je funkcija soda, če je liho, je funkcija liha.

$f(x)$ je zvezen na celotni domeni definicije.

Razpon vrednosti:

Če je eksponent sod, potem $(0,+\infty)$, če je liho, potem $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Če je eksponent liho, se funkcija zmanjšuje kot $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za sodi eksponent se funkcija zmanjšuje kot $x\in (0,+\infty)$. in narašča kot $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ čez celotno domeno

Lekcija in predstavitev na temo: "Funkcije moči. Lastnosti. Grafi"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vsa gradiva so preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priročnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priročnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Potenčne funkcije, domena definicije.

Fantje, v zadnji lekciji smo se naučili delati s števili z racionalnim eksponentom. V tej lekciji bomo obravnavali potenčne funkcije in se omejili na primer, ko je eksponent racionalen.
Upoštevali bomo funkcije oblike: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Najprej razmislimo o funkcijah, katerih eksponent je $\frac(m)(n)>1$.
Naj nam bo dana določena funkcija $y=x^2*5$.
Glede na definicijo, ki smo jo podali v prejšnji lekciji: če je $x≥0$, potem je domena naše funkcije žarek $(x)$. Shematično ponazorimo naš funkcijski graf.

Lastnosti funkcije $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Ni niti sodo niti liho.
3. Poveča se za $$,
b) $(2,10)$,
c) na žarku $$.
rešitev.
Fantje, se spomnite, kako smo v 10. razredu našli največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?
Tako je, uporabili smo izpeljanko. Rešimo naš primer in ponovimo algoritem za iskanje najmanjše in največje vrednosti.
1. Poiščite odvod dane funkcije:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Odvod obstaja na celotni domeni izvorne funkcije, potem ni kritičnih točk. Poiščimo stacionarne točke:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ in $x_2=\sqrt(64)=4$.
Samo ena rešitev $x_2=4$ pripada danemu segmentu.
Zgradimo tabelo vrednosti naše funkcije na koncih segmenta in na skrajni točki:
Odgovor: $y_(ime)=-862,65$ z $x=9$; $y_(max)=38,4$ za $x=4$.

Primer. Rešite enačbo: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
rešitev. Graf funkcije $y=x^(\frac(4)(3))$ narašča, graf funkcije $y=24-x$ pa pada. Fantje, vi in ​​jaz vemo: če ena funkcija narašča in druga pada, potem se sekata samo v eni točki, to pomeni, da imamo samo eno rešitev.
Opomba:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Se pravi, za $х=8$ smo dobili pravilno enakost $16=16$, to je rešitev naše enačbe.
Odgovor: $x=8$.

Primer.
Narišite funkcijo: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
rešitev.
Graf naše funkcije dobimo iz grafa funkcije $y=x^(\frac(3)(4))$, ki ga premaknemo za 3 enote v desno in 2 enoti navzgor.

Primer. Zapišite enačbo tangente na premico $y=x^(-\frac(4)(5))$ v točki $x=1$.
rešitev. Tangentna enačba je določena z nam znano formulo:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
V našem primeru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Poiščimo izpeljanko:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Izračunajmo:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Poiščite tangentno enačbo:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Odgovor: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Naloge za samostojno reševanje

1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: $y=x^\frac(4)(3)$ na segmentu:
a) $$.
b) $(4,50) $.
c) na žarku $$.
3. Rešite enačbo: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Grafirajte funkcijo: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Zapišite enačbo tangente na premico $y=x^(-\frac(3)(7))$ v točki $x=1$.

Spomnimo se lastnosti in grafov potenčnih funkcij z negativnim celim eksponentom.

Za sodo n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij gredo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;1). Značilnost funkcij te vrste je njihova parnost, grafi so simetrični glede na op-y os.

riž. 1. Graf funkcije

Za liho n, :

Primer funkcije:

Vsi grafi takih funkcij gredo skozi dve fiksni točki: (1;1), (-1;-1). Značilnost funkcij te vrste je njihova lihost, grafi so simetrični glede na izvor.

riž. 2. Funkcijski graf

Spomnimo se glavne definicije.

Stopnjo nenegativnega števila a z racionalnim pozitivnim eksponentom imenujemo število.

Stopnjo pozitivnega števila a z racionalnim negativnim eksponentom imenujemo število.

Za naslednjo enakost velja:

Na primer: ; - izraz ne obstaja po definiciji stopnje z negativnim racionalnim eksponentom; obstaja, ker je eksponent celo število,

Obrnemo se k obravnavi funkcij moči z racionalnim negativnim eksponentom.

Na primer:

Če želite narisati to funkcijo, lahko naredite tabelo. Naredili bomo drugače: najprej bomo zgradili in preučili graf imenovalca - poznamo ga (slika 3).

riž. 3. Graf funkcije

Graf funkcije imenovalca poteka skozi fiksno točko (1;1). Pri gradnji grafa prvotne funkcije ta točka ostane, ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 4).

riž. 4. Funkcijski graf

Razmislite še o eni funkciji iz družine preučevanih funkcij.

Pomembno je, da po definiciji

Oglejmo si graf funkcije v imenovalcu: , poznamo graf te funkcije, narašča v svoji definicijski domeni in prehaja skozi točko (1; 1) (slika 5).

riž. 5. Funkcijski graf

Pri gradnji grafa prvotne funkcije ostane točka (1; 1), ko se tudi koren nagiba k nič, se funkcija nagiba v neskončnost. In obratno, ko se x nagiba k neskončnosti, se funkcija nagiba k nič (slika 6).

riž. 6. Funkcijski graf

Obravnavani primeri pomagajo razumeti, kako poteka graf in kakšne so lastnosti preučevane funkcije - funkcije z negativnim racionalnim eksponentom.

Grafi funkcij te družine potekajo skozi točko (1;1), funkcija pada na celotnem definicijskem področju.

Obseg funkcije:

Funkcija ni omejena od zgoraj, temveč od spodaj. Funkcija nima ne največje ne najmanjše vrednosti.

Funkcija je zvezna, sprejme vse pozitivne vrednosti od nič do plus neskončnosti.

Funkcija konveksno navzdol (slika 15.7)

Na krivulji vzamemo točki A in B, skozi njiju narišemo odsek, celotna krivulja je pod odsekom, ta pogoj je izpolnjen za poljubni dve točki na krivulji, zato je funkcija konveksna navzdol. riž. 7.

riž. 7. Konveksnost funkcije

Pomembno je razumeti, da so funkcije te družine od spodaj omejene z ničlo, vendar nimajo najmanjše vrednosti.

Primer 1 - poiščite maksimum in minimum funkcije na intervalu )