Rešitev neenakosti po metodi intervalov. Reševanje kvadratnih neenakosti z intervalno metodo

Intervalna metoda velja za univerzalno za reševanje neenakosti. Včasih se ta metoda imenuje tudi metoda vrzeli. Uporablja se lahko tako za reševanje racionalnih neenakosti z eno spremenljivko kot za neenakosti drugih vrst. V našem gradivu smo poskušali biti pozorni na vse vidike problematike.

Kaj vas čaka v tej rubriki? Analizirali bomo metodo vrzeli in obravnavali algoritme za reševanje neenakosti z njeno uporabo. Dotaknimo se teoretični vidiki na katerih temelji uporaba metode.

Posebno pozornost namenjamo niansam teme, ki jih običajno ne obravnavamo šolski kurikulum. Upoštevajte na primer pravila za postavitev znakov na intervale in metodo intervalov splošni pogled brez povezovanja z racionalnimi neenakostmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

algoritem

Kdo se spomni, kako je v šolskem tečaju algebre uvedena metoda vrzeli? Običajno se vse začne z reševanjem neenakosti v obliki f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >ali ≥). Tukaj je f(x) lahko polinom ali razmerje polinomov. Polinom pa je mogoče predstaviti kot:

produkt linearnih binomov s koeficientom 1 za spremenljivko x;
produkt kvadratnih trinomov z vodilnim koeficientom 1 in z negativnim diskriminantom njihovih korenov.

Tukaj je nekaj primerov takšnih neenakosti:

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Napišemo algoritem za reševanje tovrstnih neenakosti, kot smo navedli v primerih, z uporabo intervalne metode:

poiščemo ničli števca in imenovalca, za to enačimo števec in imenovalec izraza na levi strani neenakosti na nič in rešimo nastale enačbe;
določite točke, ki ustrezajo najdenim ničlam, in jih označite s črticami na koordinatni osi;
definirati izrazne znake f(x) z leve strani rešene neenakosti na vsakem intervalu in jih postavimo na graf;
uporabite šrafiranje na želenih odsekih grafa, ki jih vodi naslednje pravilo: v primeru, da ima neenakost predznake< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >ali ≥ , nato s senčenjem izberemo področja, označena z znakom “+”.

Risba, s katero bomo delali, ima lahko shematski pogled. Pretirane podrobnosti lahko preobremenijo risbo in otežijo odločitev. Obseg nas bo malo zanimal. Dovolj bo, da se drži pravilna lokacija točke, ko se vrednosti njihovih koordinat povečajo.

Pri delu s strogimi neenakostmi bomo uporabili zapis točke v obliki kroga z neizpolnjenim (praznim) središčem. V primeru nestrogih neenakosti bodo točke, ki ustrezajo ničlam imenovalca, prikazane kot prazne, vse ostale pa kot navadne črne.

Označene točke delijo koordinatno črto na več številskih intervalov. To nam omogoča, da dobimo geometrijsko predstavo številskega niza, ki je pravzaprav rešitev dane neenakosti.

Znanstvena podlaga metode vrzeli

Pristop, na katerem temelji intervalna metoda, temelji na naslednji lastnosti neprekinjene funkcije: funkcija ohranja konstanten predznak na intervalu (a, b), na katerem je ta funkcija zvezna in ne izgine. Ista lastnost je značilna za številski žarki(−∞ , a) in (a , +∞).

Zgornjo lastnost funkcije potrjuje Bolzano-Cauchyjev izrek, ki je podan v številnih priročnikih za pripravo na sprejemne izpite.

Stalnost predznaka na intervalih je mogoče utemeljiti tudi na podlagi lastnosti številskih neenakosti. Vzemimo na primer neenakost x - 5 x + 1 > 0 . Če najdemo ničle števca in imenovalca in ju postavimo na številsko premico, dobimo vrsto vrzeli: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) in (5 , + ∞) .

Vzemimo katerega od intervalov in na njem pokažimo, da bo imel na celotnem intervalu izraz z leve strani neenakosti stalen predznak. Naj bo to interval (− ∞, − 1) . Vzemimo poljubno število t iz tega intervala. Izpolnjeval bo pogoje t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Z uporabo pridobljenih neenakosti in lastnosti numeričnih neenakosti lahko predpostavimo, da je t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t na intervalu (− ∞ , − 1) .

Z uporabo pravila za deljenje negativnih števil lahko trdimo, da bo vrednost izraza t - 5 t + 1 pozitivna. To pomeni, da bo vrednost izraza x - 5 x + 1 pozitivna za katero koli vrednost x iz vrzeli (− ∞ , − 1) . Vse to nam omogoča, da trdimo, da ima izraz na intervalu, vzetem za primer, stalen predznak. V našem primeru je to znak "+".

Iskanje ničel števca in imenovalca

Algoritem za iskanje ničel je preprost: izraze iz števca in imenovalca enačimo z nič in rešimo nastale enačbe. Če imate kakršne koli težave, se lahko obrnete na temo "Reševanje enačb s faktorjenjem". V tem razdelku se omejimo na primer.

Razmislite o ulomku x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Da bi našli ničli števca in imenovalca, ju enačimo z nič, da dobimo in rešimo enačbe: x (x − 0, 6) = 0 in x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

V prvem primeru gremo lahko na množico dveh enačb x = 0 in x − 0 , 6 = 0 , kar nam daje dva korena 0 in 0 , 6 . To so ničle števca.

Druga enačba je enakovredna nizu treh enačb x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Izvedemo vrsto transformacij in dobimo x = 0, x 2 + 2 x + 7 = 0, x + 5 = 0. Koren prve enačbe je 0, druga enačba nima korenin, ker ima negativno diskriminanco, koren tretje enačbe je 5. To so ničle imenovalca.

0 je v tem primeru tako nič števca kot nič imenovalca.

Na splošno, ko je na levi strani neenakosti ulomek, ki ni nujno racionalen, se števec in imenovalec izenačita tudi z nič, da dobimo enačbe. Reševanje enačb vam omogoča, da najdete ničle števca in imenovalca.

Določanje predznaka intervala je preprosto. Če želite to narediti, lahko poiščete vrednost izraza z leve strani neenakosti za poljubno izbrano točko iz danega intervala. Nastali predznak vrednosti izraza na poljubno izbrani točki intervala bo sovpadal s predznakom celotnega intervala.

Oglejmo si to izjavo s primerom.

Vzemimo neenakost x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . Izraz, ki se nahaja na levi strani neenakosti, nima ničel v števcu. Ničelni imenovalec bo število - 3 . Dobimo dve vrzeli na številski premici (− ∞ , − 3) in (− 3 , + ∞) .

Za določitev predznakov intervalov izračunamo vrednost izraza x 2 - x + 4 x + 3 za točke, vzete poljubno na vsakem od intervalov.

Od prvega intervala (− ∞ , − 3) vzemi - 4. Pri x = -4 imamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Imamo negativni pomen, tako da bo celoten interval z znakom "-".

Za razpon (− 3 , + ∞) opravimo izračune s točko z ničelno koordinato. Za x = 0 imamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Dobili smo pozitivno vrednost, kar pomeni, da bo imel celoten interval znak »+«.

Za opredelitev znakov lahko uporabite drug način. Za to lahko poiščemo predznak na enem od intervalov in ga shranimo ali spremenimo, ko gremo skozi nič. Da bi vse naredili pravilno, je treba upoštevati pravilo: pri prehodu skozi nič imenovalca, ne pa števca, ali števca, vendar ne imenovalca, lahko spremenimo predznak v nasprotno, če je stopnja izraz, ki daje to ničlo, je lih in ne moremo spremeniti predznaka, če je stopnja soda. Če dobimo točko, ki je hkrati nič števca in imenovalca, potem je mogoče predznak spremeniti v nasprotni le, če je vsota potenk izrazov, ki dajejo to ničlo, liha.

Če se spomnimo neenakosti, ki smo jo obravnavali na začetku prvega odstavka tega gradiva, lahko na skrajnem desnem intervalu postavimo znak "+".

Zdaj pa se obrnimo na primere.

Vzemimo neenakost (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 in jo rešimo z intervalno metodo. Da bi to naredili, moramo poiskati ničle števca in imenovalca ter ju označiti na koordinatni črti. Ničele števca bodo točke 2 , 3 , 4 , imenovalec točke 1 , 3 , 4 . Na koordinatni osi jih označimo s črticami.

Ničele imenovalca so označene s praznimi pikami.

Ker imamo opravka z nestrogo neenakostjo, preostale pomišljaje zamenjamo z navadnimi pikami.

Zdaj pa postavimo pike na intervale. Skrajni desni razpon (4, +∞) bo znak +.

Če se premikamo od desne proti levi, bomo označili preostale vrzeli. Gremo skozi točko s koordinato 4. Je tako nič števca kot imenovalca. Skratka, te ničle dajejo izraze (x − 4) 2 in x − 4. Seštejemo njihove moči 2 + 1 = 3 in dobimo liho število. To pomeni, da se predznak v prehodu v tem primeru spremeni v nasprotno. Na intervalu (3, 4) bo znak minus.

Preidemo na interval (2, 3) skozi točko s koordinato 3. To je tudi nič tako za števec kot za imenovalec. Dobili smo ga po zaslugi dveh izrazov (x − 3) 3 in (x − 3) 5, katerega vsota potenk je 3 + 5 = 8 . Če dobimo sodo število, lahko pustimo predznak intervala nespremenjen.

Točka s koordinato 2 je nič števca. Stopnja izraza x - 2 je enaka 1 (liho). To pomeni, da je treba pri prehodu skozi to točko znak obrniti.

Ostane nam zadnji interval (− ∞ , 1) . Točka s koordinato 1 je ničelni imenovalec. Izšlo je iz izraza (x − 1) 4, z enakomerno stopnjo 4 . Zato znak ostaja enak. Končna risba bo videti tako:

Uporaba intervalne metode je še posebej učinkovita v primerih, ko je izračun vrednosti izraza povezan z veliko količino dela. Primer bi bila potreba po oceni vrednosti izraza

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

na kateri koli točki intervala 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Zdaj pa uporabimo pridobljeno znanje in veščine v praksi.

Primer 1

Rešite neenakost (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Odločitev

Za reševanje neenakosti je priporočljivo uporabiti metodo intervalov. Poiščite ničle števca in imenovalca. Ničeli števca sta 1 in - 5 , ničli imenovalca sta 7 in 1 . Označimo jih na številski premici. Imamo opravka z nestrogo neenakostjo, zato bomo ničle imenovalca označili s praznimi pikami, ničlo števca - 5 bomo označili z navadno izpolnjeno piko.

Znake vrzeli smo zapisali s pomočjo pravil za spreminjanje predznaka pri prehodu skozi nič. Začnimo s skrajnim desnim intervalom, za katerega izračunamo vrednost izraza z leve strani neenakosti v točki, poljubno vzeti iz intervala. Dobimo znak "+". Pojdimo zaporedno skozi vse točke na koordinatni črti, postavimo znake in dobimo:

Delamo z nestrogo neenakostjo, ki ima predznak ≤ . To pomeni, da moramo vrzeli, označene z znakom "-", označiti s senčenjem.

odgovor: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

Rešitev racionalnih neenakosti v večini primerov zahteva njihovo predhodno preoblikovanje v prava vrsta. Šele takrat je možna uporaba intervalne metode. Algoritmi za izvedbo takšnih transformacij so obravnavani v gradivu "Rešitev racionalnih neenakosti".

Razmislite o primeru pretvorbe kvadratnih trinomov v neenakosti.

Primer 2

Poiščite rešitev neenakosti (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Odločitev

Poglejmo, ali so diskriminanti kvadratnih trinomov v zapisu neenakosti res negativni. To nam bo omogočilo, da ugotovimo, ali nam oblika te neenakosti omogoča uporabo intervalne metode za rešitev.

Izračunaj diskriminanto za trinom x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Zdaj pa izračunajmo diskriminanto za trinom x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Kot lahko vidite, neenakost zahteva predhodno preoblikovanje. Za to predstavljamo trinom x 2 + 2 x − 8 kot (x + 4) (x − 2), nato pa uporabite intervalno metodo, da rešite neenakost (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

odgovor: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Metoda posplošene vrzeli se uporablja za reševanje neenakosti v obliki f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , kjer je f (x) poljuben izraz z eno spremenljivko x.

Vsa dejanja se izvajajo po določenem algoritmu. V tem primeru se bo algoritem za reševanje neenakosti s posplošeno intervalno metodo nekoliko razlikoval od tistega, kar smo analizirali prej:

poišči domeno funkcije f in ničle te funkcije;
označite mejne točke na koordinatni osi;
na številski premici narišite ničle funkcije;
določiti znake intervalov;
uporabljamo šrakovanje;
zapiši odgovor.

Na številski premici je treba označiti tudi posamezne točke področja definicije. Na primer, domena funkcije je množica (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . To pomeni, da moramo točke označiti s koordinatami − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 in 10 . točke − 5 in 7 sta prikazana kot prazna, preostale lahko označimo z barvnim svinčnikom, da jih ločimo od ničel funkcije.

Ničele funkcije v primeru nestrogih neenakosti so označene z navadnimi (osenčenimi) pikami, pri strogih neenakostih pa s praznimi pikami. Če ničle sovpadajo z mejnimi točkami ali posameznimi točkami v domeni definicije, jih lahko prebarvamo v črno, tako da postanejo prazne ali napolnjene, odvisno od vrste neenakosti.

Odzivni zapis je nabor številk kar vsebuje:

šrafirane vrzeli;
posamezne točke domene z znakom plus, če imamo opravka z neenakostjo, katere predznak je > ali ≥ ali z znakom minus, če so v neenakosti predznaki< или ≤ .

Zdaj je postalo jasno, da je algoritem, ki smo ga predstavili na samem začetku teme, poseben primer algoritma za uporabo posplošene intervalne metode.

Razmislite o primeru uporabe metode posplošenega intervala.

Primer 3

Reši neenakost x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Odločitev

Uvedemo funkcijo f, tako da je f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Poiščite domeno funkcije f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Zdaj pa poiščimo ničle funkcije. Da bi to naredili, bomo rešili iracionalno enačbo:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Dobimo koren x = 12.

Za označevanje mejnih točk na koordinatni osi uporabljamo oranžna barva. Točke - 6, 4 bodo izpolnjene, 7 pa bo ostalo prazno. Dobimo:

Nič funkcije označimo s prazno črno piko, saj delamo s strogo neenakostjo.

Znake določimo na ločenih intervalih. Če želite to narediti, vzemite eno točko iz vsakega intervala, npr. 16 , 8 , 6 in − 8 , in izračunaj vrednost funkcije v njih f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Postavimo znake, ki smo jih pravkar definirali, in čez vrzeli uporabimo šrafiranje z znakom minus:

Odgovor bo združitev dveh intervalov z znakom "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

V odgovor smo vključili točko s koordinato - 6. To ni ničla funkcije, ki je ne bi vključili v odgovor pri reševanju stroge neenakosti, temveč mejna točka domene definicije, ki je vključena v domeno definicije. Vrednost funkcije na tej točki je negativna, kar pomeni, da izpolnjuje neenakost.

V odgovor nismo vključili točke 4, tako kot nismo vključili celotnega intervala [4, 7) . Na tej točki je, tako kot na celotnem določenem intervalu, vrednost funkcije pozitivna, kar ne izpolnjuje rešljive neenakosti.

Za boljšo razumevanje zapišimo še enkrat: barvne pike je treba vključiti v odgovor v naslednjih primerih:

te pike so del šrafirane vrzeli,
te točke so ločene točke domene funkcije, vrednosti funkcije v katerih izpolnjujejo neenakost, ki se rešuje.

odgovor: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Metoda razmika je preprost način za reševanje ulomnih racionalnih neenakosti. To je ime neenakosti, ki vsebujejo racionalne (ali delno-racionalne) izraze, ki so odvisni od spremenljivke.

1. Razmislite na primer o naslednji neenakosti

Intervalna metoda vam omogoča, da jo rešite v nekaj minutah.

Na levi strani te neenakosti je delna racionalna funkcija. Racionalno, ker ne vsebuje ne korenin, ne sinusov, ne logaritmov - le racionalne izraze. Na desni je nič.

Intervalna metoda temelji na naslednji lastnosti frakcijske racionalne funkcije.

Delna racionalna funkcija lahko spremeni predznak le na tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja.

Spomnimo se, kako faktorizirati kvadratni trinom, torej izraz oblike .

Kje in so korenine kvadratna enačba.

Narišemo os in razporedimo točke, na katerih števec in imenovalec izgineta.

Ničeli imenovalca in so preluknjane točke, saj na teh točkah funkcija na levi strani neenakosti ni definirana (ne morete deliti z ničlo). Ničeli števca in - so zasenčeni, ker neenakost ni stroga. Kajti in naša neenakost je izpolnjena, saj sta oba njena dela enaka nič.

Te točke razdelijo os na intervale.

Določimo predznak ulomno-racionalne funkcije na levi strani naše neenakosti na vsakem od teh intervalov. Spomnimo se, da lahko delna racionalna funkcija spremeni predznak le na tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja. To pomeni, da bo na vsakem od intervalov med točkami, kjer števec ali imenovalec izgine, predznak izraza na levi strani neenakosti stalen - bodisi "plus" ali "minus".

In zato, da določimo predznak funkcije na vsakem takem intervalu, vzamemo katero koli točko, ki pripada temu intervalu. Tisti, ki nam ustreza.
. Vzemite na primer in preverite predznak izraza na levi strani neenakosti. Vsak od "oklepajev" je negativen. Na levi strani je znak.

Naslednji interval: . Preverimo znak za . Dobimo, da je leva stran spremenila predznak v .

Vzemimo . Ko je izraz pozitiven - torej je pozitiven na celotnem intervalu od do .

Za , leva stran neenakosti je negativna.

In končno class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Ugotovili smo, na katerih intervalih je izraz pozitiven. Ostaja še napisati odgovor:

Odgovor: .

Upoštevajte: znaki na intervalih se izmenjujejo. To se je zgodilo, ker pri prehodu skozi vsako točko je natanko eden od linearnih faktorjev spremenil predznak, ostali pa so ga ohranili nespremenjenega.

Vidimo, da je intervalna metoda zelo preprosta. Za rešitev delno-racionalne neenakosti po metodi intervalov jo privedemo do oblike:

ali class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ali ali .

(na levi strani - delno-racionalna funkcija, na desni strani - nič).

Nato - na številski premici označimo točke, pri katerih števec ali imenovalec izgine.
Te točke delijo celotno številsko premico na intervale, na vsakem od katerih delno-racionalna funkcija ohrani svoj predznak.
Ostaja le ugotoviti njegov znak na vsakem intervalu.
To naredimo tako, da preverimo predznak izraza na kateri koli točki v danem intervalu. Po tem zapišemo odgovor. To je vse.

Toda postavlja se vprašanje: ali se znaki vedno izmenjujejo? Ne ne vedno! Paziti moramo, da ne postavljamo znakov mehansko in nepremišljeno.

2. Poglejmo še eno neenakost.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \levo(x-3\desno))>0"> !}

Točke ponovno postavimo na os. Točke in so preluknjane, ker so ničle imenovalca. Tudi pika je preluknjana, saj je neenakost stroga.

Če je števec pozitiven, sta oba faktorja v imenovalcu negativna. To je enostavno preveriti tako, da vzamete katero koli številko iz danega intervala, na primer . Na levi strani je znak:

Ko je števec pozitiven; prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi faktor je negativen. Na levi strani je znak:

Ko je situacija enaka! Števec je pozitiven, prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi je negativen. Na levi strani je znak:

Končno s class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

Zakaj je bila menjava znakov prekinjena? Ker je pri prehodu skozi točko za to "odgovoren" množitelj ni spremenila predznaka. Posledično tudi celotna leva stran naše neenakosti ni spremenila predznaka.

zaključek: če je linearni faktor v sodi moči (na primer v kvadratu), se pri prehodu skozi točko predznak izraza na levi strani ne spremeni. V primeru lihe stopnje se znak seveda spremeni.

3. Razmislite o več težak primer. Od prejšnjega se razlikuje po tem, da neenakost ni stroga:

Leva stran je enaka kot pri prejšnjem problemu. Slika znakov bo enaka:

Mogoče bo odgovor enak? Ne! Rešitev je dodana To je zato, ker sta pri , tako leva kot desna stran neenakosti enaki nič - zato je ta točka rešitev.

Odgovor: .

Pri nalogi na izpitu iz matematike se pogosto srečujemo s to situacijo. Tu se kandidati ujamejo v past in izgubijo točke. Bodi previden!

4. Kaj pa, če števca ali imenovalca ni mogoče razčleniti v linearne faktorje? Razmislite o tej neenakosti:

Kvadratnega trinoma ni mogoče faktorizirati: diskriminanta je negativna, ni korenin. Ampak to je dobro! To pomeni, da je predznak izraza enak za vse, natančneje pa je pozitiven. Več o tem si lahko preberete v članku lastnosti. kvadratna funkcija.

In zdaj lahko delimo obe strani naše neenakosti z vrednostjo, ki je pozitivna za vse. Prišli smo do enakovredne neenakosti:

Kar je enostavno rešiti z intervalno metodo.

Bodite pozorni – obe strani neenakosti smo razdelili z vrednostjo, za katero smo zagotovo vedeli, da je pozitivna. Seveda v splošnem primeru neenakosti ne bi smeli množiti ali deliti z spremenljivka, katerega predznak ni znan.

5 . Razmislite o drugi neenakosti, ki je na videz precej preprosta:

Zato ga želim pomnožiti z . Ampak mi smo že pametni in tega ne bomo storili. Navsezadnje je lahko tako pozitivno kot negativno. In vemo, da če oba dela neenakosti pomnožimo z negativno vrednostjo, se predznak neenakosti spremeni.

Delali bomo drugače – vse bomo zbrali v enem delu in pripeljali do skupnega imenovalca. Na desni strani bo ostala ničla:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

In po tem - uporabno intervalna metoda.

Metoda razmika je preprost način za reševanje ulomnih racionalnih neenakosti. To je ime neenakosti, ki vsebujejo racionalne (ali delno-racionalne) izraze, ki so odvisni od spremenljivke.

1. Razmislite na primer o naslednji neenakosti

Intervalna metoda vam omogoča, da jo rešite v nekaj minutah.

Na levi strani te neenakosti je delna racionalna funkcija. Racionalno, ker ne vsebuje ne korenin, ne sinusov, ne logaritmov - le racionalne izraze. Na desni je nič.

Intervalna metoda temelji na naslednji lastnosti frakcijske racionalne funkcije.

Delna racionalna funkcija lahko spremeni predznak le na tistih točkah, kjer je enaka nič ali ne obstaja.

Spomnimo se, kako je kvadratni trinom faktoriziran, to je izraz oblike .

Kje in sta koreni kvadratne enačbe.

Narišemo os in razporedimo točke, na katerih števec in imenovalec izgineta.

Te točke razdelijo os na intervale.

Naslednji interval: . Preverimo znak za . Dobimo, da je leva stran spremenila predznak v .

Vzemimo . Ko je izraz pozitiven - torej je pozitiven na celotnem intervalu od do .

Za , leva stran neenakosti je negativna.

Ugotovili smo, na katerih intervalih je izraz pozitiven. Ostaja še napisati odgovor:

Odgovor: .

Vidimo, da je intervalna metoda zelo preprosta. Za rešitev delno-racionalne neenakosti po metodi intervalov jo privedemo do oblike:

ali class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, ali ali .

(na levi strani - delno-racionalna funkcija, na desni strani - nič).

Toda postavlja se vprašanje: ali se znaki vedno izmenjujejo? Ne ne vedno! Paziti moramo, da ne postavljamo znakov mehansko in nepremišljeno.

2. Poglejmo še eno neenakost.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \levo(x-3\desno))>0"> !}

Točke ponovno postavimo na os. Točke in so preluknjane, ker so ničle imenovalca. Tudi pika je preluknjana, saj je neenakost stroga.

Če je števec pozitiven, sta oba faktorja v imenovalcu negativna. To je enostavno preveriti tako, da vzamete katero koli številko iz danega intervala, na primer . Na levi strani je znak:

Ko je števec pozitiven; prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi faktor je negativen. Na levi strani je znak:

Ko je situacija enaka! Števec je pozitiven, prvi faktor v imenovalcu je pozitiven, drugi je negativen. Na levi strani je znak:

Končno s class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Odgovor: .

zaključek: če je linearni faktor v sodi moči (na primer v kvadratu), se pri prehodu skozi točko predznak izraza na levi strani ne spremeni. V primeru lihe stopnje se znak seveda spremeni.

3. Poglejmo bolj zapleten primer. Od prejšnjega se razlikuje po tem, da neenakost ni stroga:

Leva stran je enaka kot pri prejšnjem problemu. Slika znakov bo enaka:

Mogoče bo odgovor enak? Ne! Rešitev je dodana To je zato, ker sta pri , tako leva kot desna stran neenakosti enaki nič - zato je ta točka rešitev.

Odgovor: .

Pri nalogi na izpitu iz matematike se pogosto srečujemo s to situacijo. Tu se kandidati ujamejo v past in izgubijo točke. Bodi previden!

4. Kaj pa, če števca ali imenovalca ni mogoče razčleniti v linearne faktorje? Razmislite o tej neenakosti:

In zdaj lahko delimo obe strani naše neenakosti z vrednostjo, ki je pozitivna za vse. Prišli smo do enakovredne neenakosti:

Kar je enostavno rešiti z intervalno metodo.

5 . Razmislite o drugi neenakosti, ki je na videz precej preprosta:

Delali bomo drugače – vse bomo zbrali v enem delu in pripeljali do skupnega imenovalca. Na desni strani bo ostala ničla:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

In po tem - uporabno intervalna metoda.

Kako rešiti neenakosti z intervalno metodo (algoritem s primeri)

Primer . (naloga OGE) Rešite neenakost z intervalno metodo \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Odločitev:

Odgovori : \((7;7+\sqrt(11))\)

Primer . Rešite neenakost z intervalno metodo \(≥0\)
Odločitev:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Tukaj se na prvi pogled zdi vse normalno, neenakost pa se sprva zmanjša na želeno obliko. Ampak to ni tako - navsezadnje je v prvem in tretjem oklepaju števca x z znakom minus. Oklepaje preoblikujemo, pri čemer upoštevamo dejstvo, da je četrta stopnja soda (to pomeni, da bo odstranila znak minus), tretja pa je liha (to pomeni, da je ne bo odstranila). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Všečkaj to. Zdaj oklepaje vrnemo "na mesto", ki so že pretvorjeni.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Zdaj so vsi oklepaji videti kot morajo (najprej pride nepodpisana obleka in šele nato številka). Toda pred števcem je bil minus. Odstranimo ga tako, da neenakost pomnožimo z \(-1\), pri čemer ne pozabimo obrniti predznaka za primerjavo
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Pripravljen. Zdaj je neenakost videti pravilna. Uporabite lahko intervalno metodo.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Postavimo točke na os, znake in prebarvamo potrebne vrzeli.
		V intervalu od \(4\) do \(6\) predznaka ni treba spreminjati, ker je oklepaj \((x-6)\) sode stopnje (glej 4. odstavek algoritma) . Zastava bo opomnik, da je šestica tudi rešitev za neenakost. Zapišimo odgovor.

Odgovori : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\levo\(6\desno\)\)

Primer.(Naloga OGE) Rešite neenakost z intervalno metodo \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Odločitev:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Leva in desna sta enaka - to očitno ni naključno. Prva želja je deliti z \(-x^2-64\), vendar je to napaka, ker obstaja možnost izgube korena. Namesto tega premaknite \(64(-x^2-64)\) v leva stran
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Odstranite minus v prvem oklepaju in faktorjite drugega
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Upoštevajte, da je \(x^2\) enak nič ali večji od nič. To pomeni, da je \(x^2+64\) enolično pozitiven za katero koli vrednost x, to pomeni, da ta izraz na noben način ne vpliva na predznak leve strani. Zato lahko oba dela neenakosti varno razdelimo s tem izrazom. Neenakost delimo tudi z \(-1\), da se znebimo minusa.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Zdaj lahko uporabite intervalno metodo
\(x=8;\) \(x=-8\)		Zapišimo odgovor