Kaj kaže eksponentna funkcija. Lekcija "Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf

Hipermarket znanja >>Matematika >>Matematika 10. razred >>

Eksponentna funkcija, njegove lastnosti in graf

Razmislite o izrazu 2x in poiščite njegove vrednosti za različne racionalne vrednosti spremenljivke x, na primer za x=2;

Na splošno, ne glede na to, kakšno racionalno vrednost damo spremenljivki x, lahko vedno izračunamo ustrezno številčno vrednost izraza 2x. Tako lahko govorimo o eksponenti funkcije y=2 x definiran na množici Q racionalna števila:

Oglejmo si nekaj lastnosti te funkcije.

Lastnost 1. je naraščajoča funkcija. Dokaz izvedemo v dveh fazah.
Prva faza. Dokažimo, da če je r pozitivno racionalno število, potem je 2 r >1.
Možna sta dva primera: 1) r - naravno število, r = n; 2) navaden nereducibilen ulomek,

Na levi strani zadnje neenakosti imamo , na desni strani pa 1. Zato lahko zadnjo neenakost prepišemo v obliki

Tako v vsakem primeru velja neenakost 2 r > 1, kot je zahtevano.

Druga faza. Naj bosta x 1 in x 2 številki, x 1 in x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(razliko x 2 -x 1 smo označili s črko r).

Ker je r pozitivno racionalno število, potem je, kot je bilo dokazano na prvi stopnji, 2 r > 1, tj. 2 r -1 >0. Tudi število 2x" je pozitivno, kar pomeni, da je pozitiven tudi produkt 2 x-1 (2 Г -1). Tako smo dokazali, da neenakosti 2 Xr -2x "\u003e 0.

Torej, iz neenakosti x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

Lastnost 2. omejeno od spodaj in ne omejeno od zgoraj.
Omejenost funkcije od spodaj izhaja iz neenakosti 2 x > 0, ki velja za vse vrednosti x iz domene funkcije. Hkrati, ne glede na to, katero pozitivno število M vzamemo, lahko vedno izberemo takšen indikator x, da bo izpolnjena neenakost 2 x > M - kar označuje neomejenost funkcije od zgoraj. Navedimo nekaj primerov.

Lastnost 3. nima niti najmanjše niti največje vrednosti.

Česa ta funkcija nima največja vrednost, očitno, saj, kot smo pravkar videli, ni omejena od zgoraj. Od spodaj pa je omejena, zakaj je nima najmanjšo vrednost?

Recimo, da je 2r najmanjša vrednost funkcije (r je nek racionalni eksponent). Vzemite racionalno število q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Vse to je dobro, pravite, ampak zakaj upoštevamo funkcijo y-2 x samo na množici racionalnih števil, zakaj je ne upoštevamo, tako kot druge znane funkcije, na celotni številski premici ali na nekem neprekinjenem intervalu številska črta? Kaj nas ustavlja? Pomislimo na situacijo.

Številčna vrstica vsebuje ne le racionalna, ampak tudi iracionalna števila. Pri predhodno preučenih funkcijah nas to ni motilo. Na primer, enako zlahka smo našli vrednosti funkcije y = x 2 tako za racionalne kot iracionalne vrednosti x: dovolj je bilo, da dano vrednost x kvadratujemo.

Toda s funkcijo y \u003d 2 x je situacija bolj zapletena. Če je argumentu x dana racionalna vrednost, potem je načeloma mogoče izračunati x (vrnitev na začetek odstavka, kjer smo naredili prav to). In če je argumentu x dana iracionalna vrednost? Kako na primer izračunati? Tega še ne vemo.
Matematiki so našli izhod; tako so se pogovarjali.

Znano je, da Razmislite o zaporedju racionalnih števil - decimalni približki števila po pomanjkljivosti:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Jasno je, da je 1,732 = 1,7320 in 1,732050 = 1,73205. Da bi se izognili takšnim ponovitvam, zavržemo tiste člane zaporedja, ki se končajo s številko 0.

Nato dobimo naraščajoče zaporedje:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Temu primerno se poveča tudi zaporedje.

Vsi člani tega zaporedja so pozitivna števila manjša od 22, t.j. to zaporedje je omejeno. Po Weierstrassovem izreku (glej § 30) če je zaporedje naraščajoče in omejeno, potem konvergira. Poleg tega iz § 30 vemo, da če se zaporedje konvergira, potem samo do ene meje. Dogovorjeno je bilo, da se ta meja šteje za vrednost številčnega izraza. In ni pomembno, da je zelo težko najti celo približno vrednost številskega izraza 2; pomembno je, da je to določeno število (navsezadnje se nismo bali reči, da je npr. koren racionalne enačbe, koren trigonometrične enačbe, ne da bi res razmišljali o tem, kaj točno so te številke:
Tako smo ugotovili, kakšen pomen so matematiki dali v simbol 2 ^. Podobno lahko določimo, kaj je in na splošno, kaj je a a, kjer je a iracionalno število in a > 1.
Kaj pa, ko je 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Zdaj lahko govorimo ne samo o potencah s poljubnimi racionalnimi eksponenti, ampak tudi o potencah s poljubnimi realnimi eksponenti. Dokazano je, da imajo stopnje s katerim koli realnim eksponentom vse običajne lastnosti stopenj: pri množenju stopenj z enakimi osnovami se eksponenti seštevajo, ko se delijo, se odštevajo, pri dvigu stopnje na stepen se množijo itd. . Najpomembneje pa je, da zdaj lahko govorimo o funkciji y-ax, definirani na množici vseh realnih števil.
Vrnimo se k funkciji y \u003d 2 x, zgradimo njen graf. Če želite to narediti, bomo sestavili tabelo vrednosti funkcij z \u003d 2 x:

Zabeležimo točke na koordinatni ravnini (slika 194), začrtajo določeno črto, jo narišemo (slika 195).

Lastnosti funkcije y - 2 x:
1)
2) ni niti sodo niti liho; 248
3) poveča;

5) nima niti največje niti najmanjše vrednosti;
6) neprekinjeno;
7)
8) konveksno navzdol.

V tečaju so podani strogi dokazi naštetih lastnosti funkcije y-2 x višja matematika. Nekatere od teh lastnosti smo v takšni ali drugačni meri obravnavali prej, nekatere od njih jasno prikazuje zgrajen graf (glej sliko 195). Na primer, odsotnost parnosti ali neparnosti funkcije je geometrijsko povezana s pomanjkanjem simetrije grafa, oziroma glede na os y oziroma okoli izvora.

Vsaka funkcija v obliki y=a x, kjer je a >1, ima podobne lastnosti. Na sl. 196 v enem koordinatnem sistemu so sestavljeni grafi funkcij y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Zdaj pa razmislimo o funkciji, naredimo tabelo vrednosti zanjo:

Označimo točke na koordinatni ravnini (slika 197), začrtajo določeno črto, jo narišemo (slika 198).

Lastnosti funkcije

1)
2) ni niti sodo niti liho;
3) zmanjša;
4) ni omejeno od zgoraj, omejeno od spodaj;
5) ni niti največje niti najmanjše vrednosti;
6) neprekinjeno;
7)
8) konveksno navzdol.
Vsaka funkcija v obliki y = a x, kjer je O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Prosimo, upoštevajte: funkcijski grafi tiste. y \u003d 2 x, simetrično glede na os y (slika 201). To je posledica splošne trditve (glej § 13): grafi funkcij y = f(x) in y = f(-x) so simetrični glede na y-os. Podobno so grafi funkcij y \u003d 3 x in

Če povzamemo povedano, bomo podali definicijo eksponentne funkcije in izpostavili njene najpomembnejše lastnosti.

Opredelitev. Funkcija pogleda se imenuje eksponentna funkcija.
Glavne lastnosti eksponentne funkcije y \u003d a x

Graf funkcije y \u003d a x za a> 1 je prikazan na sl. 201 in za 0<а < 1 - на рис. 202.

Krivulja, prikazana na sl. 201 ali 202 se imenuje eksponent. Pravzaprav matematiki samo eksponentno funkcijo običajno imenujejo y = a x. Torej se izraz "eksponent" uporablja v dveh pomenih: tako za ime eksponentne funkcije kot za ime grafa eksponentne funkcije. Običajno je v smislu jasno, ali govorimo o eksponentni funkciji ali njenem grafu.

Bodite pozorni na geometrijsko značilnost grafa eksponentne funkcije y \u003d ax: os x je vodoravna asimptota grafa. Res je, ta izjava se običajno izboljša na naslednji način.
Os x je vodoravna asimptota grafa funkcije

Z drugimi besedami

Prva pomembna opomba. Šolarji pogosto zamenjujejo izraze: funkcija moči, eksponentna funkcija. Primerjaj:

To so primeri funkcij moči;

so primeri eksponentnih funkcij.

Na splošno je y \u003d x r, kjer je r določeno število, funkcija moči (argument x je v osnovi stopnje);
y \u003d a", kjer je a določena številka (pozitivna in drugačna od 1), je eksponentna funkcija (argument x je v eksponentu).

Napadajoča "eksotična" funkcija, kot je y = x", se ne šteje niti za eksponentno niti za potencijsko (včasih se imenuje funkcija eksponentne moči).

Druga pomembna opomba. Običajno ne upoštevamo eksponentne funkcije z bazo a = 1 ali z bazo a, ki izpolnjuje neenakost a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0in a Dejstvo je, da če je a = 1, potem za katero koli vrednost x velja enakost Ix = 1. Tako se eksponentna funkcija y \u003d a "za \u003d 1" degenerira "v konstantno funkcijo y \ u003d 1 - to ni zanimivo. Če je a = 0, potem 0x = 0 za katero koli pozitivno vrednost x, t.j. dobimo funkcijo y = 0, definirano za x\u003e 0 - to tudi ni zanimivo.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Preden preidemo na reševanje primerov, ugotavljamo, da se eksponentna funkcija bistveno razlikuje od vseh funkcij, ki ste jih do sedaj preučevali. Če želite temeljito preučiti nov predmet, ga morate upoštevati z različnih zornih kotov, v različnih situacijah, zato bo primerov veliko.
Primer 1

Odločitev, a) Ko smo narisali grafe funkcij y = 2 x in y = 1 v enem koordinatnem sistemu, opazimo (slika 203), da imata eno skupno točko (0; 1). Torej ima enačba 2x = 1 en sam koren x = 0.

Torej, iz enačbe 2x = 2° smo dobili x = 0.

b) Ko smo zgradili grafe funkcij y = 2 x in y = 4 v enem koordinatnem sistemu, opazimo (slika 203), da imajo eno skupno točko (2; 4). Torej ima enačba 2x = 4 en sam koren x = 2.

Torej, iz enačbe 2 x \u003d 2 2 smo dobili x \u003d 2.

c) in d) Na podlagi istih premislekov sklepamo, da ima enačba 2 x \u003d 8 en sam koren in da bi ga našli, ni mogoče zgraditi grafov ustreznih funkcij;

jasno je, da je x=3, saj je 2 3 =8. Podobno najdemo edini koren enačbe

Torej, iz enačbe 2x = 2 3 smo dobili x = 3, iz enačbe 2 x = 2 x pa x = -4.
e) Graf funkcije y \u003d 2 x se nahaja nad grafom funkcije y = 1 za x\u003e 0 - to je dobro berljivo na sliki. 203. Zato je rešitev neenakosti 2x > 1 interval
f) Graf funkcije y \u003d 2 x se nahaja pod grafom funkcije y = 4 pri x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Verjetno ste opazili, da je bila osnova vseh zaključkov pri reševanju primera 1 lastnost monotonosti (povečanje) funkcije y \u003d 2 x. Podobno sklepanje nam omogoča, da preverimo veljavnost naslednjih dveh izrekov.

Odločitev. Delujete lahko tako: zgradite graf funkcije y-3 x, nato ga raztegnite od osi x s faktorjem 3 in nato dvignite dobljeni graf navzgor za 2 merilni enoti. Vendar je bolj priročno uporabiti dejstvo, da je 3- 3* \u003d 3 * + 1, in zato narisati funkcijo y = 3 x * 1 + 2.

Pojdimo naprej, kot smo že večkrat storili v takih primerih, na pomožni koordinatni sistem z izhodiščem v točki (-1; 2) - pikčaste črte x = - 1 in 1x = 2 na sl. 207. Funkcijo y=3* »pripnimo« na nov sistem koordinate. Za to izberemo kontrolne točke za funkcijo , vendar jih ne bomo zgradili v starem, temveč v novem koordinatnem sistemu (te točke so označene na sliki 207). Nato bomo zgradili eksponent po točkah - to bo zahtevani graf (glej sliko 207).
Za iskanje največje in najmanjše vrednosti dane funkcije na segmentu [-2, 2] uporabimo dejstvo, da se dana funkcija povečuje, zato vzame najmanjšo oziroma največjo vrednost na levi in desnih koncih segmenta.
Torej:

Primer 4 Reši enačbo in neenakosti:

Odločitev, a) Sestavimo grafa funkcij y=5* in y=6-x v enem koordinatnem sistemu (slika 208). Sekajo se v eni točki; po risbi sodeč je to točka (1; 5). Preverjanje pokaže, da dejansko točka (1; 5) izpolnjuje tako enačbo y = 5* kot tudi enačbo y=6x. Abscisa te točke služi kot edini koren za dano enačbo.

Torej ima enačba 5 x = 6-x en sam koren x = 1.

b) in c) Eksponent y-5x leži nad premico y=6-x, če je x>1, - to je jasno vidno na sl. 208. Zato lahko rešitev neenakosti 5*>6-x zapišemo takole: x>1. In rešitev neenakosti 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Odgovor: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.

Primer 5 Podano funkcijo Dokaži to
Odločitev. Glede na pogoj imamo.

Rešitev večine matematičnih problemov je nekako povezana s transformacijo numeričnih, algebraičnih ali funkcionalnih izrazov. To še posebej velja za rešitev. V variantah USE pri matematiki ta vrsta nalog vključuje zlasti nalogo C3. Učenje reševanja nalog C3 ni pomembno le za uspešno opravljanje izpita, ampak tudi zato, ker vam bo ta veščina prišla prav pri študiju matematike v visokošolskem izobraževanju.

Pri izvajanju nalog C3 morate rešiti različne vrste enačb in neenakosti. Med njimi so racionalni, iracionalni, eksponentni, logaritemski, trigonometrični, ki vsebujejo module (absolutne vrednosti), pa tudi kombinirani. Ta članek obravnava glavne vrste eksponentnih enačb in neenakosti ter različne metode za njihovo reševanje. O reševanju drugih vrst enačb in neenakosti preberite v naslovu "" v člankih, posvečenih metodam reševanja problemov C3 iz variant USE v matematiki.

Preden nadaljujete z analizo specifičnih eksponentne enačbe in neenakosti, kot mentor matematike, vam predlagam, da osvežite nekaj teoretičnega gradiva, ki ga bomo potrebovali.

Eksponentna funkcija

Kaj je eksponentna funkcija?

Funkcija ogleda y = a x, kje a> 0 in a≠ 1, klicano eksponentna funkcija.

Glavni lastnosti eksponentne funkcije y = a x:

Graf eksponentne funkcije

Graf eksponentne funkcije je razstavljavec:

Grafi eksponentnih funkcij (eksponenti)

Rešitev eksponentnih enačb

okvirno imenujemo enačbe, v katerih je neznana spremenljivka le v eksponentih nekaterih potenk.

Za rešitve eksponentne enačbe morate poznati in znati uporabiti naslednji preprost izrek:

Izrek 1. eksponentna enačba a f(x) = a g(x) (kje a > 0, a≠ 1) je enakovredna enačbi f(x) = g(x).

Poleg tega si je koristno zapomniti osnovne formule in dejanja s stopnjami:

Title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com">!}

Primer 1 Reši enačbo:

Odločitev: uporabite zgornje formule in zamenjavo:

Enačba potem postane:

Prejeto diskriminatorje kvadratna enačba pozitivno:

Title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com">!}

To pomeni, da ima ta enačba dva korena. Najdemo jih:

Če se vrnemo k zamenjavi, dobimo:

Druga enačba nima korenin, saj je eksponentna funkcija strogo pozitivna na celotnem področju definicije. Rešimo drugo:

Ob upoštevanju tega, kar je bilo rečeno v izreku 1, preidemo na enakovredno enačbo: x= 3. To bo odgovor na nalogo.

odgovor: x = 3.

Primer 2 Reši enačbo:

Odločitev: enačba nima omejitev glede območja ​​dopustnih vrednosti, saj je radikalni izraz smiseln za vsako vrednost x(eksponentna funkcija y = 9 4 -x pozitiven in ni enak nič).

Enačbo rešimo z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil množenja in delitve potenk:

Zadnji prehod je bil izveden v skladu z izrekom 1.

odgovor:x= 6.

Primer 3 Reši enačbo:

Odločitev: obe strani prvotne enačbe lahko delimo z 0,2 x. Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz za katero koli vrednost večji od nič x(eksponentna funkcija je strogo pozitivna na svoji domeni). Potem ima enačba obliko:

odgovor: x = 0.

Primer 4 Reši enačbo:

Odločitev: enačbo poenostavimo na osnovno z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil delitve in množenja potenc, podanih na začetku članka:

Obe strani enačbe delimo s 4 x, kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni enak nič za nobeno vrednost x.

odgovor: x = 0.

Primer 5 Reši enačbo:

Odločitev: funkcijo y = 3x, ki stoji na levi strani enačbe, narašča. Funkcija y = —x-2/3, ki stoji na desni strani enačbe, se zmanjšuje. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekajo, potem največ v eni točki. V tem primeru je enostavno uganiti, da se grafi sekata v točki x= -1. Drugih korenin ne bo.

odgovor: x = -1.

Primer 6 Reši enačbo:

Odločitev: enačbo poenostavimo z enakovrednimi transformacijami, pri čemer povsod upoštevamo, da je eksponentna funkcija strogo večja od nič za katero koli vrednost x in z uporabo pravil za izračun produkta in delnih moči, podanih na začetku članka:

odgovor: x = 2.

Reševanje eksponentnih neenakosti

okvirno imenujemo neenakosti, v katerih je neznana spremenljivka le v eksponentih nekaterih potenk.

Za rešitve eksponentne neenakosti potrebno je poznavanje naslednjega izreka:

2. izrek.Če a> 1, potem neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti enakega pomena: f(x) > g(x). Če 0< a < 1, то eksponentna neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti nasprotnega pomena: f(x) < g(x).

Primer 7 Reši neenakost:

Odločitev: predstavljajo prvotno neenakost v obliki:

Obe strani te neenakosti delimo s 3 2 x, in (zaradi pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak neenakosti se ne bo spremenil:

Uporabimo zamenjavo:

Potem ima neenakost obliko:

Torej je rešitev neenakosti interval:

s prehodom na obratno zamenjavo dobimo:

Leva neenakost se zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije izpolni samodejno. Izkoristiti znana lastnina logaritem, preidemo na enakovredno neenakost:

Ker je osnova stopnje število večje od ena, bo enakovreden (z izrekom 2) prehod na naslednjo neenakost:

Tako da končno dobimo odgovor:

Primer 8 Reši neenakost:

Odločitev: z uporabo lastnosti množenja in deljenja potenk prepišemo neenakost v obliki:

Predstavimo novo spremenljivko:

S to zamenjavo ima neenakost obliko:

Pomnožimo števec in imenovalec ulomka s 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:

Torej je neenakost izpolnjena naslednje vrednosti spremenljivka t:

Potem, če se vrnemo k zamenjavi, dobimo:

Ker je osnova stopnje tukaj večja od ena, je enakovredno (z izrekom 2) preiti na neenakost:

Končno dobimo odgovor:

Primer 9 Reši neenakost:

Odločitev:

Obe strani neenakosti delimo z izrazom:

Vedno je večja od nič (ker je eksponentna funkcija pozitivna), zato predznaka neenakosti ni treba spreminjati. Dobimo:

t , ki so v intervalu:

Če preidemo na obratno zamenjavo, ugotovimo, da se prvotna neenakost razdeli na dva primera:

Prva neenakost zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije nima rešitev. Rešimo drugo:

Primer 10 Reši neenakost:

Odločitev:

Veje parabole y = 2x+2-x 2 so usmerjeni navzdol, zato je od zgoraj omejena z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Veje parabole y = x 2 -2x+2, ki je v indikatorju, je usmerjen navzgor, kar pomeni, da je od spodaj omejen z vrednostjo, ki jo doseže na vrhu:

Hkrati se izkaže, da je funkcija omejena od spodaj y = 3 x 2 -2x+2 na desni strani enačbe. Svojo najmanjšo vrednost doseže na isti točki kot parabola v eksponentu in ta vrednost je 3 1 = 3. Torej je prvotna neenakost lahko resnična le, če funkcija na levi in ​​funkcija na desni prevzameta vrednost , enako 3 (presečišče obsegov teh funkcij je samo to število). Ta pogoj je izpolnjen na eni točki x = 1.

odgovor: x= 1.

Da se naučite rešiti eksponentne enačbe in neenakosti, se morate nenehno uriti v njihovi rešitvi. V tej težki zadevi različni učni pripomočki, problemske zvezke pri osnovni matematiki, zbirke tekmovalnih nalog, pouk matematike v šoli, kot tudi posamezne seje s profesionalnim mentorjem. Iskreno vam želim uspeh pri vaših pripravah in sijajni rezultati na izpitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gostje! Prosimo, da v komentarje ne pišite zahtev za reševanje vaših enačb. Žal za to sploh nimam časa. Takšna sporočila bodo izbrisana. Prosimo, preberite članek. Morda boste v njem našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da bi sami rešili svojo nalogo.

Eksponentna funkcija

Funkcija oblike y = a x , kjer je a večji od nič in a ni enak eni, se imenuje eksponentna funkcija. Glavne lastnosti eksponentne funkcije:

1. Domena eksponentne funkcije bo množica realnih števil.

2. Obseg eksponentne funkcije bo množica vseh pozitivnih realnih števil. Včasih je ta niz zaradi kratkosti označen kot R+.

3. Če je v eksponentni funkciji osnova a večja od ena, potem bo funkcija naraščala na celotnem področju definicije. Če eksponentna funkcija za bazo a izpolnjuje naslednji pogoj 0

4. Veljavne bodo vse osnovne lastnosti stopinj. Glavne lastnosti stopinj so predstavljene z naslednjimi enakosti:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Te enakosti bodo veljavne za vse realne vrednosti x in y.

5. Graf eksponentne funkcije vedno poteka skozi točko s koordinatami (0;1)

6. Glede na to, ali se eksponentna funkcija poveča ali zmanjša, bo njen graf imel eno od dveh vrst.

Naslednja slika prikazuje graf naraščajoče eksponentne funkcije: a>0.

Naslednja slika je graf padajoče eksponentne funkcije: 0

Tako graf naraščajoče eksponentne funkcije kot graf padajoče eksponentne funkcije glede na lastnost, opisano v petem odstavku, gresta skozi točko (0; 1).

7. Eksponentna funkcija nima ekstremnih točk, to je, z drugimi besedami, nima minimalne in maksimalne točke funkcije. Če upoštevamo funkcijo na katerem koli določenem segmentu, bo funkcija na koncu tega intervala prevzela najmanjšo in največjo vrednost.

8. Funkcija ni soda ali liha. Eksponentna funkcija je funkcija splošni pogled. To je razvidno tudi iz grafov, nobeden od njih ni simetričen ne glede na os Oy ne glede na izvor.

Logaritem

Logaritmi so že od nekdaj veljali za težko temo v šolskem tečaju matematike. Obstaja veliko različnih definicij logaritma, vendar iz nekega razloga večina učbenikov uporablja najbolj zapletene in nesrečne od njih.

Logaritem bomo definirali preprosto in jasno. Ustvarimo tabelo za to:

Torej imamo pooblastila dvojke. Če vzamete številko iz spodnje vrstice, potem zlahka najdete moč, na katero morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dva dvigniti na četrto potenco. In če želite dobiti 64, morate dva dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

Opredelitev

Logaritem osnova a iz argumenta x je moč, na katero je treba število dvigniti a da dobim številko x

Poimenovanje

log a x = b
kjer je a osnova, x argument, b Kaj točno je logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritem 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Lahko bi tudi zabeležil 2 64 = 6, saj je 2 6 = 64.

Imenuje se operacija iskanja logaritma števila na dano bazologaritem . Torej dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

Žal se vsi logaritmi ne upoštevajo tako enostavno. Na primer, poskusite najti log 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na intervalu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila se imenujejo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko zapišemo za nedoločen čas in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalnega, ga je bolje pustiti takole: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnovo in argument). Sprva mnogi zamenjujejo, kje je osnova in kje je argument. Izogniti se nesrečni nesporazumi samo poglej sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je moč , na katerega morate dvigniti osnovo, da dobite argument. To je osnova, ki je dvignjena na moč – na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! To čudovito pravilo povem svojim učencem že pri prvi lekciji - in ni zmede.

Ugotovili smo definicijo - še, da se naučimo šteti logariteme, t.j. znebite se znaka "hlod". Za začetek ugotavljamo, da Iz definicije izhajata dve stvari. pomembna dejstva:

Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje racionalni kazalnik, na kar se reducira definicija logaritma.

Osnova se mora razlikovati od enote, saj je enota na katero koli moč še vedno enota. Zaradi tega je nesmiselno vprašanje, na katero moč je treba dvigniti enega, da dobimo dva. Te diplome ni!

Takšne omejitve poklical veljaven obseg(ODZ). Izkazalo se je, da ODZ logaritma izgleda takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte to brez omejitve števila b (vrednost logaritma) se ne prekriva. Logaritem je lahko na primer negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar pa zdaj obravnavamo le številčne izraze, kjer ni potrebno poznati ODZ logaritma. Vse omejitve so sestavljalci problemov že upoštevali. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DHS postale obvezne. V osnovi in ​​argumentaciji so namreč lahko zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

zdaj upoštevajte splošno shema za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

Predložite fundacijo a in argument x kot potenco z najmanjšo možno bazo večjo od ena. Na poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;

Odločite se za spremenljivko b enačba: x = a b ;

Prejeta številka b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem neracionalen, se bo to pokazalo že na prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Podobno z decimalnimi ulomki: če jih takoj pretvorite v navadne, bo napak večkrat manj.

Poglejmo, kako deluje ta shema konkretni primeri:

Izračunaj logaritem: log 5 25

Osnovo in argument predstavimo kot potenco petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Naredimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Prejel odgovor: 2.

Izračunaj logaritem:

Osnovo in argument predstavimo kot potenco treh: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 = 3 -4;

Naredimo in rešimo enačbo:

Dobil sem odgovor: -4.

−4

Izračunaj logaritem: log 4 64

Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Naredimo in rešimo enačbo:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Prejel odgovor: 3.

Izračunaj logaritem: log 16 1

Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Naredimo in rešimo enačbo:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Prejel odgovor: 0.

Izračunaj logaritem: log 7 14

Osnovo in argument predstavimo kot potenco sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni predstavljeno kot potenca sedmih, ker 7 1< 14 < 7 2 ;

Iz prejšnjega odstavka izhaja, da se logaritem ne upošteva;

Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

dnevnik 7 14

Majhna opomba o zadnjem primeru. Kako se prepričati, da število ni natančna moč drugega števila? Zelo preprosto - samo ga razčlenite na osnovne faktorje. Če sta v širitvi vsaj dva različna dejavnika, število ni natančna moč.

Ugotovite, ali so točni potenci števila: 8; 48; 81; 35; štirinajst.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ni natančna moč, ker obstajata dva faktorja: 3 in 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
35 = 7 5 - spet ni točna stopnja;
14 \u003d 7 2 - spet ni natančna stopnja;

8, 81 - natančna stopnja; 48, 35, 14 - št.

Upoštevajte tudi, da so praštevila sama vedno natančna potenca samih sebe.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in oznako.

Opredelitev

Decimalni logaritem iz argumenta x je logaritem na bazo 10, tj. moč, na katero morate dvigniti številko 10, da dobite številko x

Poimenovanje

lg x

Na primer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku pojavi stavek, kot je "Poišči lg 0,01", vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa takšnega poimenovanja niste vajeni, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svoj zapis. V nekem smislu je celo pomembnejša od decimalke. To je približno o naravnem logaritmu.

Opredelitev

naravni logaritem iz argumenta x je osnovni logaritem e , tj. moč, na katero je treba število dvigniti e da dobim številko x

Poimenovanje

V x

Mnogi se bodo vprašali: kaj je število e? To je iracionalno število točna vrednost nemogoče najti in posneti. Tukaj so samo prve številke:
e = 2,718281828459...

Ne bomo se poglobili v to, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Samo ne pozabite, da e - osnova naravni logaritem:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; V 16 = 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enote: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsako število, je mogoče seštevati, odštevati in pretvarjati na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso čisto običajna števila, tukaj obstajajo pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je treba poznati – brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo – vsega se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z isto osnovo: log a x in log a y . Nato jih je mogoče seštevati in odštevati ter:

dnevnik a x +dnevnik a y = dnevnik a ( x · y );

dnevnik a x −log a y = dnevnik a ( x : y ).

torej vsota logaritmov je enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritem kvocienta. Opomba: ključni trenutek tukaj so iste podlage. Če so osnove drugačne, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo " "). Oglejte si primere - in si oglejte:

Poiščite vrednost izraza: log 6 4 + log 6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Poiščite vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Poiščite vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Spet so osnove enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so izvirni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne obravnavajo ločeno. Toda po transformacijah se izkažejo povsem normalne številke. Na podlagi tega dejstva mnogi testne listine. Da, ta kontrola - podobni izrazi z vso resnostjo (včasih - skoraj brez sprememb) so na izpitu ponujeni.

Odstranitev eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo. Kaj pa, če je v osnovi ali argumentu logaritma stopnja? Potem eksponent te stopnje je mogoče vzeti iz predznaka logaritma v naslednja pravila:

To je enostavno videti zadnje pravilo sledi prvima dvema. Toda vseeno si ga je bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo znatno zmanjšal količino izračunov.

Seveda vsa ta pravila so smiselna, če upoštevamo logaritem ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 v sam logaritem lahko vnesete števila pred znakom logaritma. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Poiščite vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu po prvi formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je imenovalec logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da je treba zadnji primer pojasniti. Kam so izginili logaritmi? Vso pot zadnji trenutek delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, so predstavili v obliki stopinj in vzeli kazalnike - dobili so "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni ulomek. Števec in imenovalec imata isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko zmanjšamo ulomek - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po pravilih aritmetike lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo storjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prehod na nove temelje

Ko sem že govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo samo z enakimi osnovami. Kaj pa, če so podlage drugačne? Kaj pa, če niso točne moči istega števila?

Na pomoč priskočijo formule za prehod na novo bazo. Formuliramo jih v obliki izreka:

Izrek

Naj se logaritem zabeleži a x . Nato za poljubno število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, enakost velja:

Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule izhaja, da je možno zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz »obrnjen«, tj. logaritem je v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v navadnih številskih izrazih. Kako priročne so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritmičnih enačb in neenakosti.

So pa naloge, ki jih razen s selitvijo na novo fundacijo sploh ni mogoče rešiti. Razmislimo o nekaj teh:

Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da sta argumenta obeh logaritmov natančni eksponenti. Vzemimo kazalnike: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj obrnemo drugi logaritem:

Ker se produkt ne spreminja od permutacije faktorjev, smo mirno pomnožili štiri in dva in nato ugotovili logaritme.

Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančna potenca. Zapišimo in se znebimo kazalnikov:

Zdaj se znebimo decimskega logaritma tako, da se premaknemo na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano bazo. V tem primeru nam bodo v pomoč formule:

V prvem primeru številka n postane eksponent argumenta. Številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se takole:osnovna logaritemska identiteta.

Dejansko, kaj se bo zgodilo, če število b dvignemo do te stopnje, da število b v tej stopnji da število a? Tako je: to je ista številka a. Še enkrat pozorno preberite ta odstavek – marsikdo se nanj »obesi«.

Tako kot nove formule za osnovne pretvorbe je tudi osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga

Poiščite vrednost izraza:

Odločitev

Upoštevajte, da je dnevnik 25 64 = log 5 8 - pravkar sem vzel kvadrat iz osnove in argument logaritma. Glede na pravila za množenje potenk s ista osnova, dobimo:

200

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska nič

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - to sta posledice iz definicije logaritma. Nenehno se znajdejo v težavah in, presenetljivo, povzročajo težave tudi "naprednim" študentom.

log a a = 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na katero koli osnovo a prav iz tega temelja enako ena.

log a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena - je logaritem nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi!

Poiščite vrednost izraza za različne racionalne vrednosti spremenljivke x=2; 0; -3; -

Upoštevajte, da ne glede na to, katero število nadomestimo namesto x, lahko vedno najdete vrednost tega izraza. Torej, razmišljamo o eksponentni funkciji (y je enako tri na x potenco), definirano na množici racionalnih števil: .

Sestavimo graf te funkcije tako, da naredimo tabelo njenih vrednosti.

Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 1)

Z uporabo grafa te funkcije razmislite o njenih lastnostih:

3. Poveča se na celotnem območju definicije.

1. razpon od nič do plus neskončnost.

8. Funkcija je konveksna navzdol.

Če v enem koordinatnem sistemu zgraditi grafe funkcij; y=(y je dva na moč x, y je enako pet na moč x, y je enako sedem na moč x), lahko vidite, da imajo enake lastnosti kot y=(y je enako tri na moč x) ( Slika .2), to pomeni, da bodo vse funkcije oblike y = (y je enak a na potenco x, z večjo od ena) takšne lastnosti

Narišemo funkcijo:

1. Sestavljanje tabele njenih vrednosti.

Dobljene točke označimo na koordinatni ravnini.

Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 3).

Z grafom te funkcije navedemo njene lastnosti:

1. Območje definicije je množica vseh realnih števil.

2. Ni niti sodo niti liho.

3. Zmanjšanje na celotnem področju definicije.

4. Nima niti največje niti najmanjše vrednosti.

5. Omejeno od spodaj, vendar ne omejeno od zgoraj.

6. Neprekinjeno na celotnem področju definicije.

7. razpon vrednosti od nič do plus neskončnost.

8. Funkcija je konveksna navzdol.

Podobno, če v enem koordinatnem sistemu zgraditi grafe funkcij; y=(y je ena sekunda moči x, y je ena petina moči x, y je ena sedmina moči x), lahko vidite, da imajo enake lastnosti kot y=(y je enak tretjini moči x). moč x). x) (slika 4), to je vse funkcije oblike y \u003d (y je enaka eni, deljeno z a na potenco x, z večjo od nič, vendar manjšo od ena) imajo takšne lastnosti

Zgradimo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu

to pomeni, da bodo grafi funkcij y \u003d y \u003d (y je enak a na potenco x in y enak eni, deljeno z a na potenco x) tudi simetrični za isto vrednost a .

Povedano povzemamo tako, da damo definicijo eksponentne funkcije in navedemo njene glavne lastnosti:

Opredelitev: Funkcija oblike y \u003d, kjer (y je enak a na potenco x, kjer je a pozitiven in drugačen od ena), se imenuje eksponentna funkcija.

Zapomniti si je treba razlike med eksponentno funkcijo y= in močnostno funkcijo y=, a=2,3,4,…. tako slušno kot vizualno. Eksponentna funkcija X je diploma in močna funkcija X je osnova.

Primer 1: Rešite enačbo (tri na potenco x je enako devet)

(y je enak tri na potenco x in y je enak devet) sl.7

Upoštevajte, da imajo eno skupno točko M (2; 9) (em s koordinatami dve; devet), kar pomeni, da bo abscisa točke koren te enačbe. To pomeni, da ima enačba en sam koren x = 2.

Primer 2: Rešite enačbo

V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y \u003d (y je enak pet na potenco x in y je enak eni petindvajseti) Sl.8. Grafi se sekajo v eni točki T (-2; (te s koordinatami minus dve; ena petindvajseta). Zato je koren enačbe x \u003d -2 (število minus dva).

Primer 3: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(y je enak tri na potenco x in y je enak sedemindvajset).

Slika 9 Graf funkcije se nahaja nad grafom funkcije y=ko

x Zato je rešitev neenakosti interval (od minus neskončnosti do tri)

Primer 4: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y \u003d (y je enak eni četrtini na potenco x in y je enak šestnajst). (slika 10). Grafi se sekajo v eni točki K (-2;16). To pomeni, da je rešitev neenakosti interval (-2; (od minus dva do plus neskončnost), ker se graf funkcije y \u003d nahaja pod grafom funkcije pri x

Naše sklepanje nam omogoča, da preverimo veljavnost naslednjih izrekov:

Terem 1: Če je res, če in samo če je m=n.

Izrek 2: Če je res, če in samo če, potem je neenakost resnična, če in samo če (slika *)

Izrek 4: Če je resnična, če in samo če (slika**), je neenakost resnična, če in samo če Izrek 3: Če je resnična, če in samo če je m=n.

Primer 5: Narišite funkcijo y=

Funkcijo spremenimo z uporabo lastnosti stopnje y=

Gradimo dodatni sistem koordinate in v novem koordinatnem sistemu bomo zgradili graf funkcije y \u003d (y je enak dvema na potenco x) Sl.11.

Primer 6: Rešite enačbo

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(Y je enako sedem na potenco x in Y je enako osem minus x) Sl.12.

Grafi se sekajo v eni točki E (1; (e s koordinatami ena; sedem). Zato je koren enačbe x = 1 (x enak ena).

Primer 7: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(Y je enak eni četrtini na potenco x in Y je enak x plus pet). Graf funkcije y \u003d se nahaja pod grafom funkcije y \u003d x + 5 at, rešitev neenakosti je interval x (od minus ena do plus neskončnost).