Formule za redukcijo logaritmov. Naravni logaritem, funkcija ln x

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razred splošnoizobraževalnih zavodov.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Logaritem od b (b > 0) do osnove a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent, na katerega morate dvigniti število a, da dobite b.

Osnovo 10 logaritem b lahko zapišemo kot dnevnik (b), in logaritem na osnovo e (naravni logaritem) - ln(b).

Pogosto se uporablja pri reševanju težav z logaritmi:

Lastnosti logaritmov

Obstajajo štiri glavne lastnosti logaritmov.

Naj je a > 0, a ≠ 1, x > 0 in y > 0.

Lastnost 1. Logaritem produkta

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Lastnost 2. Logaritem količnika

Logaritem količnika je enaka razliki logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Lastnost 3. Logaritem stopnje

Stopinjski logaritem je enak zmnožku stopnje in logaritma:

Če je osnova logaritma v eksponentu, potem velja druga formula:

Lastnost 4. Logaritem korena

To lastnost lahko dobimo iz lastnosti logaritma stopnje, saj je koren n-te stopnje enak moči 1/n:

Formula za prehod od logaritma v eni osnovi k logaritmu v drugi bazi

Ta formula se pogosto uporablja tudi pri reševanju različnih nalog za logaritme:

poseben primer:

Primerjava logaritmov (neenakosti)

Recimo, da imamo 2 funkciji f(x) in g(x) pod logaritmoma z enakimi osnovami in je med njima znak neenakosti:

Če jih želite primerjati, morate najprej pogledati osnovo logaritmov a:

• Če je a > 0, potem je f(x) > g(x) > 0
• Če 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rešiti težave z logaritmi: primeri

Naloge z logaritmi vključeni v USE pri matematiki za 11. razred v nalogi 5 in nalogi 7, najdete naloge z rešitvami na naši spletni strani v ustreznih rubrikah. Tudi naloge z logaritmi najdemo v banki nalog iz matematike. Vse primere lahko najdete z iskanjem po spletnem mestu.

Kaj je logaritem

Logaritmi so že od nekdaj veljali za težko temo v šolskem tečaju matematike. Obstaja veliko različnih definicij logaritma, vendar iz nekega razloga večina učbenikov uporablja najbolj zapletene in nesrečne od njih.

Logaritem bomo definirali preprosto in jasno. Za to naredimo tabelo:

Torej imamo pooblastila dvojke.

Logaritmi - lastnosti, formule, kako rešiti

Če vzamete številko iz spodnje vrstice, potem zlahka najdete moč, na katero morate dvigniti dvojko, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dva dvigniti na četrto potenco. In če želite dobiti 64, morate dva dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

osnova a argumenta x je moč, na katero je treba dvigniti število a, da dobimo število x.

Zapis: log a x \u003d b, kjer je a osnova, x je argument, b je dejansko tisto, čemur je enak logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritem 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Lahko bi tudi zabeležili 2 64 = 6, ker je 2 6 = 64.

Imenuje se operacija iskanja logaritma števila na dano bazo. Torej dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

Žal se vsi logaritmi ne upoštevajo tako enostavno. Na primer, poskusite najti log 2 5. Število 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na segmentu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila se imenujejo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko zapišemo za nedoločen čas in se nikoli ne ponovijo. Če se logaritem izkaže za iracionalnega, ga je bolje pustiti takole: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnovo in argument). Sprva mnogi zamenjujejo, kje je osnova in kje je argument. Da se izognete nadležnim nesporazumom, si le oglejte sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Zapomni si: logaritem je moč, na katerega morate dvigniti osnovo, da dobite argument. To je osnova, ki je dvignjena na moč – na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! To čudovito pravilo povem svojim učencem že pri prvi lekciji - in ni zmede.

Kako šteti logaritem

Ugotovili smo definicijo - še, da se naučimo šteti logariteme, t.j. znebite se znaka "hlod". Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

1. Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
2. Osnova se mora razlikovati od enote, saj je enota na katero koli moč še vedno enota. Zaradi tega je nesmiselno vprašanje, na katero moč je treba dvigniti enega, da dobimo dva. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo veljaven obseg(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni nobenih omejitev glede števila b (vrednost logaritma) ni naložena. Logaritem je lahko na primer negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar pa zdaj obravnavamo le številčne izraze, kjer ni potrebno poznati ODZ logaritma. Vse omejitve so sestavljalci problemov že upoštevali. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DHS postale obvezne. Dejansko lahko v osnovi in ​​argumentu obstajajo zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj razmislite o splošni shemi za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

1. Osnovo a in argument x izrazite kot potenco z najmanjšo možno bazo, večjo od ena. Na poti se je bolje znebiti decimalnih ulomkov;
2. Rešite enačbo za spremenljivko b: x = a b ;
3. Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem neracionalen, se bo to pokazalo že na prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Podobno z decimalnimi ulomki: če jih takoj pretvorite v navadne, bo napak večkrat manj.

Poglejmo, kako ta shema deluje s posebnimi primeri:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 5 25

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Naredimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Prejel odgovor: 2.

Naloga. Izračunaj logaritem:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 4 64

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Naredimo in rešimo enačbo:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Prejel odgovor: 3.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 16 1

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Naredimo in rešimo enačbo:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Prejeto odgovor: 0.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 7 14

1. Osnovo in argument predstavimo kot potenco sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni predstavljeno kot potenca sedmih, ker 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prejšnjega odstavka izhaja, da se logaritem ne upošteva;
3. Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba o zadnjem primeru. Kako se prepričati, da število ni natančna moč drugega števila? Zelo preprosto - samo ga razčlenite na osnovne faktorje. Če sta v širitvi vsaj dva različna dejavnika, število ni natančna moč.

Naloga. Ugotovite, ali so točni potenci števila: 8; 48; 81; 35; štirinajst.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ni natančna moč, ker obstajata dva faktorja: 3 in 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - natančna stopnja;
35 = 7 5 - spet ni točna stopnja;
14 \u003d 7 2 - spet ni natančna stopnja;

Upoštevajte tudi, da so praštevila sama vedno natančna potenca samih sebe.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in oznako.

argumenta x je logaritem osnove 10, tj. moč, na katero je treba dvigniti 10, da dobimo x. Oznaka: lgx.

Na primer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od zdaj naprej, ko se v učbeniku pojavi stavek, kot je "Poišči lg 0,01", vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa takšnega poimenovanja niste vajeni, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalke.

naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svoj zapis. V nekem smislu je celo pomembnejša od decimalke. To je naravni logaritem.

argumenta x je logaritem na osnovo e, tj. moč, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: lnx.

Mnogi se bodo vprašali: kaj je število e? To je iracionalno število, njegove natančne vrednosti ni mogoče najti in zapisati. Tukaj so samo prve številke:
e = 2,718281828459…

Ne bomo se poglobili v to, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Ne pozabite, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enote: ln 1 = 0.

Za naravne logaritme veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Poglej tudi:

Logaritem. Lastnosti logaritma (moč logaritma).

Kako predstaviti število kot logaritem?

Uporabljamo definicijo logaritma.

Logaritem je pokazatelj moči, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo številko pod znakom logaritma.

Torej, da bi določeno število c predstavili kot logaritem na osnovo a, je treba pod predznak logaritma postaviti stopnjo z isto osnovo kot osnova logaritma in to število c zapisati v eksponent :

V obliki logaritma lahko predstavljate popolnoma katero koli število - pozitivno, negativno, celo število, ulomno, racionalno, iracionalno:

Da ne zamenjate a in c v stresnih razmerah testa ali izpita, si lahko zapomnite naslednje pravilo:

kar je spodaj, gre dol, kar je zgoraj, se dvigne.

Na primer, želite številko 2 predstaviti kot logaritem na osnovo 3.

Imamo dve številki - 2 in 3. Ti števili sta osnova in eksponent, ki ju bomo zapisali pod znakom logaritma. Ostaja še ugotoviti, katero od teh številk je treba zapisati v osnovo stopnje in katero - navzgor v eksponent.

Osnova 3 v zapisu logaritma je na dnu, kar pomeni, da ko predstavljamo dvojko kot logaritem na osnovo 3, bomo tudi 3 zapisali na osnovo.

2 je višja od 3. In v zapisu stopnje zapišemo dva nad tri, torej v eksponent:

Logaritmi. Prva stopnja.

Logaritmi

logaritem pozitivno število b z razlogom a, kje a > 0, a ≠ 1, je eksponent, na katerega je treba število dvigniti. a, Za pridobitev b.

Opredelitev logaritma lahko na kratko zapišem takole:

Ta enakost velja za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ponavadi se imenuje logaritemska identiteta.
Dejanje iskanja logaritma števila se imenuje logaritem.

Lastnosti logaritmov:

Logaritem produkta:

Logaritem kvocienta iz deljenja:

Zamenjava osnove logaritma:

Stopinjski logaritem:

koreninski logaritem:

Logaritem z bazo moči:

Decimalni in naravni logaritmi.

Decimalni logaritemštevilke pokličejo logaritem osnove 10 tega števila in napišejo   lg b
naravni logaritemštevila kličejo logaritem tega števila na osnovo e, kje e je iracionalno število, približno enako 2,7. Ob tem pišejo ln b.

Druge opombe o algebri in geometriji

Osnovne lastnosti logaritmov

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsako število, je mogoče seštevati, odštevati in pretvarjati na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso čisto običajna števila, tukaj obstajajo pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je treba poznati – brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo – vsega se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z isto osnovo: log a x in log a y. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati ter:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritem kvocienta. Prosimo, upoštevajte: ključna točka tukaj je - enakih razlogov. Če so osnove drugačne, ta pravila ne delujejo!

Te formule bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če se njegovi posamezni deli ne upoštevajo (glej lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

log 6 4 + log 6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Spet so osnove enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so izvirni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne obravnavajo ločeno. Toda po transformacijah se izkažejo povsem normalne številke. Številni testi temeljijo na tem dejstvu. Da, kontrola - podobni izrazi z vso resnostjo (včasih - skoraj brez sprememb) so na voljo na izpitu.

Odstranitev eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zakomplicirajmo nalogo. Kaj pa, če je v osnovi ali argumentu logaritma stopnja? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz predznaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Toda vseeno si ga je bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo znatno zmanjšal količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva logaritem ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno, t.j. v sam logaritem lahko vnesete števila pred znakom logaritma.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu po prvi formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je imenovalec logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da je treba zadnji primer pojasniti. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, so predstavili v obliki stopinj in vzeli kazalnike - dobili so "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni ulomek. Števec in imenovalec imata isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko zmanjšamo ulomek - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po pravilih aritmetike lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo storjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prehod na nove temelje

Ko sem že govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo samo z enakimi osnovami. Kaj pa, če so podlage drugačne? Kaj pa, če niso točne moči istega števila?

Na pomoč priskočijo formule za prehod na novo bazo. Formuliramo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem log a x. Potem za katero koli število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če postavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule izhaja, da je možno zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem je v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v navadnih številskih izrazih. Kako priročne so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritmičnih enačb in neenakosti.

Obstajajo pa naloge, ki jih razen s preselitvijo na nov temelj sploh ni mogoče rešiti. Razmislimo o nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da sta argumenta obeh logaritmov natančni eksponenti. Vzemimo kazalnike: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa obrnemo drugi logaritem:

Ker se produkt ne spreminja od permutacije faktorjev, smo mirno pomnožili štiri in dva in nato ugotovili logaritme.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančna potenca. Zapišimo in se znebimo kazalnikov:

Zdaj se znebimo decimskega logaritma tako, da se premaknemo na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano bazo.

V tem primeru nam bodo v pomoč formule:

V prvem primeru število n postane eksponent v argumentu. Število n je lahko popolnoma karkoli, ker je le vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se takole:

Dejansko, kaj se bo zgodilo, če število b dvignemo do te stopnje, da število b v tej stopnji da število a? Tako je: to je ista številka a. Še enkrat pozorno preberite ta odstavek - marsikdo ga "obesi".

Tako kot nove formule za osnovne pretvorbe je tudi osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da log 25 64 = log 5 8 - pravkar vzamete kvadrat iz osnove in argument logaritma. Glede na pravila za množenje potenk z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga enotnega državnega izpita 🙂

Logaritemska enota in logaritemska nič

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - to sta posledice iz definicije logaritma. Nenehno se znajdejo v težavah in, presenetljivo, povzročajo težave tudi "naprednim" študentom.

1. log a a = 1 je. Ne pozabite enkrat za vselej: logaritem katere koli osnove a iz te osnove je enak ena.
2. log a 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena, je logaritem nič! Ker je 0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufski list na začetku lekcije, ga natisnite in rešite težave.

izhaja iz njegove definicije. In tako logaritem števila b z razlogom ampak definiran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobim številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).

Iz te formulacije izhaja, da je izračun x=log a b, je enakovredna reševanju enačbe ax=b. na primer dnevnik 2 8 = 3 Ker 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b z razlogom a enaka od. Jasno je tudi, da je tema logaritma tesno povezana s temo potenca števila.

Z logaritmi, tako kot pri vseh številkah, lahko izvajate operacije seštevanja, odštevanja in preoblikovati na vse možne načine. Toda glede na to, da logaritmi niso čisto običajna števila, tukaj veljajo svoja posebna pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Seštevanje in odštevanje logaritmov.

Vzemite dva logaritma z isto osnovo: dnevnik x in prijavite y. Nato odstranite, da je mogoče izvesti operacije seštevanja in odštevanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = dnevnik x 1 + dnevnik x 2 + dnevnik x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientni logaritemski izreki lahko dobimo še eno lastnost logaritma. Znano je, da log a 1= 0, torej

dnevnik a 1 /b= dnevnik a 1 - dnevnik a b= -log a b.

Torej obstaja enakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dveh medsebojno vzajemnih števil na isti podlagi se bodo med seboj razlikovali le po predznaku. Torej:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.