Katera od funkcij je zgledna. Eksponentna funkcija, njene lastnosti in graf - Hipermarket znanja

EKSPONENCIALNE IN LOGARITEMNE FUNKCIJE VIII

§ 179 Osnovne lastnosti eksponentne funkcije

V tem razdelku bomo preučili glavne lastnosti eksponentne funkcije

y = a x (1)

Spomnimo se tega pod a v formuli (1) mislimo na katero koli fiksno pozitivno število, ki ni 1.

Lastnost 1. Domena eksponentne funkcije je množica vseh realnih števil.

Pravzaprav za pozitivno a izražanje a x definirano za katero koli realno število X .

Lastnost 2. Eksponentna funkcija sprejema le pozitivne vrednosti.

Pravzaprav, če X > 0, torej, kot je bilo dokazano v § 176,

a x > 0.

Če X <. 0, то

a x =

kje - X že večja od nič. Zato a - x > 0. Ampak potem

a x = > 0.

Končno pri X = 0

a x = 1.

2. lastnost eksponentne funkcije ima preprosto grafično interpretacijo. Leži v tem, da se graf te funkcije (glej sliki 246 in 247) nahaja v celoti nad osjo x.

Lastnost 3. Če a >1, nato pri X > 0 a x > 1, in pri X < 0 a x < 1. Če a < 1, тoh, nasprotno, X > 0 a x < 1, in pri X < 0 a x > 1.

Ta lastnost eksponentne funkcije omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo. Pri a > 1 (slika 246) krivulje y = a x ki se nahaja nad črto pri = 1 at X > 0 in pod ravno črto pri = 1 at X < 0.

Če a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x ki se nahaja pod črto pri = 1 at X > 0 in nad to ravno črto pri X < 0.

Naredimo strog dokaz 3. lastnosti. Pustiti a > 1 in X je poljubno pozitivno število. Pokažimo to

a x > 1.

Če številka X racionalno ( X = m / n ), torej a x = a m / n = n √a m .

Zaradi a > 1 torej a m > 1, vendar je koren števila, večjega od ena, očitno tudi večji od 1.

Če X iracionalno, potem obstajajo pozitivna racionalna števila X" in X" , ki služijo kot decimalni približki števila x :

X"< х < х" .

Toda potem po definiciji stopnje c iracionalen kazalnik

a x" < a x < a x"" .

Kot je prikazano zgoraj, številka a x" več kot en. Zato številka a x , več kot a x" , mora biti tudi večji od 1,

Torej, to smo pokazali a >1 in poljubno pozitiven X

a x > 1.

Če je številka X je bil negativen, potem bi imeli

a x =

kjer je številka X bi bilo pozitivno. Zato a - x > 1. Zato,

a x = < 1.

Tako pri a > 1 in poljubno negativno x

a x < 1.

Primer, ko je 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Lastnost 4. Če je x = 0, potem ne glede na a a x =1.

To izhaja iz definicije stopnje nič; ničelna moč katerega koli števila razen nič je enaka 1. Grafično je ta lastnost izražena v dejstvu, da za katero koli a krivulja pri = a x (glej sl. 246 in 247) prečka os pri na točki z ordinato 1.

Lastnost 5. Pri a >1 eksponentna funkcija = a x se monotono povečuje in za a < 1 - monotono padajoča.

Ta lastnost omogoča tudi preprosto geometrijsko interpretacijo.

Pri a > 1 (slika 246) krivulja pri = a x z rastjo X narašča vse višje in višje, in a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Naredimo strog dokaz 5. lastnosti.

Pustiti a > 1 in X 2 > X ena . Pokažimo to

a x 2 > a x 1

Zaradi X 2 > X 1., potem X 2 = X 1 + d , kje d je neko pozitivno število. Zato

a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)

Glede na 2. lastnost eksponentne funkcije a x 1 > 0. Ker d > 0, nato s 3. lastnostjo eksponentne funkcije a d > 1. Oba dejavnika v izdelku a x 1 (a d - 1) so pozitivni, zato je ta izdelek sam po sebi pozitiven. pomeni, a x 2 - a x 1 > 0 oz a x 2 > a x 1, kar je bilo treba dokazati.

Torej, pri a > 1 funkcija pri = a x monotono narašča. Podobno je dokazano, da a < 1 функция pri = a x monotono pada.

Posledica. Če sta dve potenci istega pozitivnega števila, razen 1, enaki, sta enaka tudi njuna eksponenta.

Z drugimi besedami, če

a b = a c (a > 0 in a =/= 1),

b = c .

Dejansko, če so številke b in Z niso bili enaki, potem zaradi monotonosti funkcije pri = a x večina od njih bi ustrezala a >1 je večje in pri a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , oz a b < a c . Oboje je v nasprotju s pogojem a b = a c . To je treba še priznati b = c .

Lastnost 6. Če > 1, nato z neomejenim povečanjem argumenta X (X -> ∞ ) vrednosti funkcij pri = a x tudi rastejo v nedogled (pri -> ∞ ). Z neomejenim zmanjšanjem argumenta X (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije se nagibajo k nič, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0).

Ob upoštevanju zgoraj dokazane monotonosti funkcije pri = a x , lahko rečemo, da je v obravnavanem primeru funkcija pri = a x monotono narašča od 0 do ∞ .

Če 0 <a < 1, potem z neomejenim povečanjem argumenta x (x -> ∞) se vrednosti funkcije y \u003d a x nagibajo k nič, medtem ko ostanejo pozitivne (pri->0; pri > 0). Z neomejenim zmanjšanjem argumenta x (X -> -∞ ) vrednosti te funkcije rastejo v nedogled (pri -> ∞ ).

Zaradi monotonosti funkcije y = ax lahko rečemo, da je v tem primeru funkcija pri = a x monotono pada od ∞ na 0.

6. lastnost eksponentne funkcije se jasno odraža na slikah 246 in 247. Ne bomo je strogo dokazovali.

Določiti moramo le obseg eksponentne funkcije y = ax (a > 0, a =/= 1).

Zgoraj smo dokazali, da je funkcija y = ax prevzame samo pozitivne vrednosti in se monotono povečuje od 0 do ∞ (pri a > 1), ali pa monotono pada od ∞ na 0 (pri 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = ax ko menjaš kakšne skoke? Ali jemlje kakšne pozitivne vrednosti? Na to vprašanje je odgovor pozitiven. Če a > 0 in a =/= 1, potem ne glede na pozitivno število pri 0 je treba najti X 0 , tako da

a x 0 = pri 0 .

(Zaradi monotonosti funkcije y = ax določeno vrednost X 0 bi bil seveda edini.)

Dokaz tega dejstva je izven okvira našega programa. Njegova geometrijska interpretacija je ta za vsako pozitivno vrednost pri 0 funkcijski graf y = ax se mora sekati s črto pri = pri 0 in poleg tega le na eni točki (slika 248).

Iz tega lahko potegnemo naslednji zaključek, ki ga oblikujemo v obliki lastnosti 7.

Lastnost 7. Območje spremembe eksponentne funkcije y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)je množica vseh pozitivnih števil.

vaje

1368. Poiščite domene naslednjih funkcij:

1369. Katero od danih števil je večje od 1 in katero manjše od 1:

1370. Na podlagi katere lastnosti eksponentne funkcije lahko trdimo, da

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Katero število je večje:

a) π - √3 ali (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 ali (2/3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 ali ( π / 4) 2; d) (√3) √2 - √5 ali (√3) √3 - 2 ?

1372. Ali so neenakosti enakovredne:

1373. Kaj lahko rečemo o številkah X in pri , če a x = in y , kje a je dano pozitivno število?

1374. 1) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2x poudariti:

2) Ali je mogoče med vsemi vrednostmi funkcije pri = 2 | x| poudariti:

a) najvišja vrednost; b) najmanjša vrednost?

Eksponentna funkcija je posplošitev produkta n števil, enakih a:
y (n) = a n = a a a a,
na množico realnih števil x :
y (x) = x.
Tukaj je a fiksno pravo število, ki se imenuje osnova eksponentne funkcije.
Imenuje se tudi eksponentna funkcija z bazo a eksponent na bazo a.

Posplošitev se izvede na naslednji način.
Za naravni x = 1, 2, 3,... , eksponentna funkcija je produkt x faktorjev:
.
Poleg tega ima lastnosti (1,5-8) (), ki izhajajo iz pravil za množenje števil. Pri nič in negativne vrednosti cela števila , je eksponentna funkcija določena s formulami (1.9-10). Za ulomne vrednosti x = m/n racionalna števila, , se določi s formulo (1.11). Za real je eksponentna funkcija definirana kot meja zaporedja:
,
kjer je poljubno zaporedje racionalnih števil, ki konvergirajo k x : .
S to definicijo je eksponentna funkcija definirana za vse in izpolnjuje lastnosti (1,5-8), kot tudi za naravni x.

Stroga matematična formulacija definicije eksponentne funkcije in dokaz njenih lastnosti je podana na strani "Definicija in dokaz lastnosti eksponentne funkcije".

Lastnosti eksponentne funkcije

Eksponentna funkcija y = a x ima naslednje lastnosti na množici realnih števil ():
(1.1) je definiran in neprekinjen, za , za vse ;
(1.2) ko je ≠ 1 ima veliko pomenov;
(1.3) strogo narašča pri , strogo pada pri ,
je konstantna pri ;
(1.4) pri ;
pri ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge uporabne formule
.
Formula za pretvorbo v eksponentno funkcijo z drugačno bazo moči:

Za b = e dobimo izraz eksponentne funkcije v smislu eksponenta:

Zasebne vrednote

, , , , .

Slika prikazuje grafe eksponentne funkcije
y (x) = x
za štiri vrednosti osnove stopnje:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 in a = 1/8 . Vidi se, da za > 1 eksponentna funkcija se monotono povečuje. Večja kot je osnova stopnje a, močnejša je rast. Pri 0 < a < 1 eksponentna funkcija je monotono padajoča. Kako indikator manj stopnje a, močnejše je zmanjšanje.

Naraščajoče, padajoče

Eksponentna funkcija pri je strogo monotona, zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
domena	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Razpon vrednosti	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotona	monotono narašča	monotono pada
Ničele, y= 0	št	št
Točke presečišča z osjo y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzna funkcija

Recipročna vrednost eksponentne funkcije z bazo stopnje a je logaritem na bazo a.

Če, potem
.
Če, potem
.

Diferenciacija eksponentne funkcije

Za razlikovanje eksponentne funkcije je treba njeno bazo zmanjšati na število e, uporabiti tabelo izpeljank in pravilo za diferenciacijo kompleksne funkcije.

Če želite to narediti, morate uporabiti lastnost logaritmov
in formulo iz tabele izpeljank:
.

Naj je podana eksponentna funkcija:
.
Pripeljemo ga v bazo e:

Uporabljamo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije. Za to uvedemo spremenljivko

Potem

Iz tabele izpeljank imamo (zamenjaj spremenljivko x z z):
.
Ker je konstanta, je derivat z glede na x
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije:
.

Derivat eksponentne funkcije

.
Izpeljanka n-toga reda:
.
Izpeljava formul >> >

Primer razlikovanja eksponentne funkcije

Poiščite izvod funkcije
y= 35 x

Rešitev

Osnovo eksponentne funkcije izrazimo s številom e.
3 = e dnevnik 3
Potem
.
Predstavljamo spremenljivko
.
Potem

Iz tabele izpeljank najdemo:
.
Zaradi 5ln 3 je konstanta, potem je izpeljanka z glede na x:
.
Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije imamo:
.

Odgovori

Integralno

Izrazi v obliki kompleksnih števil

Razmislite o funkciji kompleksnega števila z:
f (z) = az
kjer je z = x + iy; jaz 2 = - 1 .
Kompleksno konstanto a izrazimo z modulom r in argumentom φ:
a = r e i φ
Potem


.
Argument φ ni enolično definiran. AT splošni pogled
φ = φ 0 + 2 pn,
kjer je n celo število. Zato je funkcija f (z) je tudi dvoumen. Pogosto se šteje za njegov glavni pomen
.

Razširitev v seriji

.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.

Rešitev večine matematičnih problemov je nekako povezana s transformacijo numeričnih, algebraičnih ali funkcionalnih izrazov. To še posebej velja za rešitev. V variantah USE pri matematiki ta vrsta nalog vključuje zlasti nalogo C3. Učenje reševanja nalog C3 ni pomembno samo za namen uspešna dostava Enotni državni izpit, pa tudi zato, ker je ta veščina uporabna pri študiju matematike v visokem šolstvu.

Pri izvajanju nalog C3 se morate odločiti različne vrste enačbe in neenakosti. Med njimi so racionalni, iracionalni, eksponentni, logaritemski, trigonometrični, ki vsebujejo module (absolutne vrednosti), pa tudi kombinirani. Ta članek obravnava glavne vrste eksponentnih enačb in neenakosti, kot tudi različne metode njihove odločitve. Preberite o reševanju drugih vrst enačb in neenakc pod naslovom "" v člankih, posvečenih metodam za reševanje problemov C3 iz UPORABA možnosti matematika.

Preden nadaljujete z analizo specifičnih eksponentne enačbe in neenakosti, kot mentor matematike, vam predlagam, da nekaj osvežite teoretično gradivo ki ga bomo potrebovali.

Eksponentna funkcija

Kaj je eksponentna funkcija?

Funkcija ogleda y = a x, kje a> 0 in a≠ 1, klicano eksponentna funkcija.

Glavni lastnosti eksponentne funkcije y = a x:

Graf eksponentne funkcije

Graf eksponentne funkcije je razstavljavec:

Grafi eksponentnih funkcij (eksponenti)

Rešitev eksponentnih enačb

okvirno imenujemo enačbe, v katerih je neznana spremenljivka le v eksponentih katerega koli potenca.

Za rešitve eksponentne enačbe morate poznati in znati uporabiti naslednji preprost izrek:

Izrek 1. eksponentna enačba a f(x) = a g(x) (kje a > 0, a≠ 1) je enakovredna enačbi f(x) = g(x).

Poleg tega si je koristno zapomniti osnovne formule in dejanja s stopnjami:

Title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com">!}

Primer 1 Reši enačbo:

rešitev: uporabite zgornje formule in zamenjavo:

Enačba potem postane:

Prejeto diskriminatorje kvadratna enačba pozitivno:

Title="(!LANG:Upodobil QuickLaTeX.com">!}

To pomeni, da ima ta enačba dva korena. Najdemo jih:

Če se vrnemo k zamenjavi, dobimo:

Druga enačba nima korenin, saj je eksponentna funkcija strogo pozitivna na celotnem področju definicije. Rešimo drugo:

Ob upoštevanju tega, kar je bilo rečeno v izreku 1, preidemo na enakovredno enačbo: x= 3. To bo odgovor na nalogo.

odgovor: x = 3.

Primer 2 Reši enačbo:

rešitev: enačba nima omejitev glede območja ​​dopustnih vrednosti, saj je radikalni izraz smiseln za vsako vrednost x(eksponentna funkcija y = 9 4 -x pozitiven in ni enak nič).

Enačbo rešimo z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil množenja in delitve potenk:

Zadnji prehod je bil izveden v skladu z izrekom 1.

odgovor:x= 6.

Primer 3 Reši enačbo:

rešitev: obe strani prvotne enačbe lahko delimo z 0,2 x. Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz za katero koli vrednost večji od nič x(eksponentna funkcija je strogo pozitivna na svoji domeni). Potem ima enačba obliko:

odgovor: x = 0.

Primer 4 Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo na osnovno z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil delitve in množenja potenc, podanih na začetku članka:

Obe strani enačbe delimo s 4 x, kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni enak nič za nobeno vrednost x.

odgovor: x = 0.

Primer 5 Reši enačbo:

rešitev: funkcijo y = 3x, ki stoji na levi strani enačbe, narašča. Funkcija y = —x-2/3, ki stoji na desni strani enačbe, se zmanjšuje. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekata, potem največ v eni točki. V tem primeru je enostavno uganiti, da se grafi sekata v točki x= -1. Drugih korenin ne bo.

odgovor: x = -1.

Primer 6 Reši enačbo:

rešitev: enačbo poenostavimo z enakovrednimi transformacijami, pri čemer povsod upoštevamo, da je eksponentna funkcija strogo večja od nič za katero koli vrednost x in z uporabo pravil za izračun produkta in delnih moči, podanih na začetku članka:

odgovor: x = 2.

Reševanje eksponentnih neenakosti

okvirno imenujemo neenakosti, v katerih je neznana spremenljivka le v eksponentih nekaterih potenk.

Za rešitve eksponentne neenakosti potrebno je poznavanje naslednjega izreka:

2. izrek.Če a> 1, potem neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti enakega pomena: f(x) > g(x). Če 0< a < 1, то eksponentna neenakost a f(x) > a g(x) je enakovredna neenakosti nasprotnega pomena: f(x) < g(x).

Primer 7 Reši neenakost:

rešitev: predstavljajo prvotno neenakost v obliki:

Obe strani te neenakosti delimo s 3 2 x, in (zaradi pozitivnosti funkcije y= 3 2x) predznak neenakosti se ne bo spremenil:

Uporabimo zamenjavo:

Potem ima neenakost obliko:

Torej je rešitev neenakosti interval:

s prehodom na obratno zamenjavo dobimo:

Leva neenakost se zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije izpolni samodejno. Izkoristiti znana lastnina logaritem, preidemo na enakovredno neenakost:

Ker je osnova stopnje število večje od ena, bo enakovreden (z izrekom 2) prehod na naslednjo neenakost:

Tako da končno dobimo odgovor:

Primer 8 Reši neenakost:

rešitev: z uporabo lastnosti množenja in deljenja potenk prepišemo neenakost v obliki:

Predstavimo novo spremenljivko:

S to zamenjavo ima neenakost obliko:

Pomnožimo števec in imenovalec ulomka s 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:

Torej je neenakost izpolnjena naslednje vrednosti spremenljivka t:

Potem, če se vrnemo k zamenjavi, dobimo:

Ker je osnova stopnje tukaj večja od ena, je enakovredno (z izrekom 2) preiti na neenakost:

Končno dobimo odgovor:

Primer 9 Reši neenakost:

rešitev:

Obe strani neenakosti delimo z izrazom:

Vedno je večja od nič (ker je eksponentna funkcija pozitivna), zato predznaka neenakosti ni treba spreminjati. Dobimo:

t , ki so v intervalu:

Če preidemo na obratno zamenjavo, ugotovimo, da se prvotna neenakost razdeli na dva primera:

Prva neenakost zaradi pozitivnosti eksponentne funkcije nima rešitev. Rešimo drugo:

Primer 10 Reši neenakost:

rešitev:

Veje parabole y = 2x+2-x 2 so usmerjeni navzdol, zato je od zgoraj omejena z vrednostjo, ki jo doseže na svojem vrhu:

Veje parabole y = x 2 -2x+2, ki je v indikatorju, je usmerjen navzgor, kar pomeni, da je od spodaj omejen z vrednostjo, ki jo doseže na vrhu:

Hkrati se izkaže, da je funkcija omejena od spodaj y = 3 x 2 -2x+2 na desni strani enačbe. Doseže jo najmanjša vrednost na isti točki kot parabola v eksponentu in ta vrednost je 3 1 = 3. Prvotna neenakost je torej lahko resnična le, če funkcija na levi in ​​funkcija na desni prevzameta vrednost 3 v eni točki (z presečišče obsegov teh funkcij je samo to število). Ta pogoj je izpolnjen na eni točki x = 1.

odgovor: x= 1.

Da se naučite rešiti eksponentne enačbe in neenakosti, se morate nenehno uriti v njihovi rešitvi. V tej težki zadevi različni učni pripomočki, problemske zvezke pri osnovni matematiki, zbirke tekmovalnih nalog, pouk matematike v šoli, kot tudi posamezne seje s profesionalnim mentorjem. Iskreno vam želim uspeh pri vaših pripravah in sijajni rezultati na izpitu.

Sergej Valerievič

P.S. Dragi gostje! Prosimo, da v komentarje ne pišite zahtev za reševanje vaših enačb. Žal za to sploh nimam časa. Takšna sporočila bodo izbrisana. Prosimo, preberite članek. Morda boste v njem našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da bi sami rešili svojo nalogo.

Poiščite vrednost izraza za različne racionalne vrednosti spremenljivke x=2; 0; -3; -

Upoštevajte, da ne glede na to, katero število nadomestimo namesto spremenljivke x, lahko vedno najdete vrednost tega izraza. Torej, razmišljamo o eksponentni funkciji (y je enako tri na x potenco), definirano na množici racionalnih števil: .

Sestavimo graf te funkcije tako, da naredimo tabelo njenih vrednosti.

Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 1)

Z uporabo grafa te funkcije razmislite o njenih lastnostih:

3. Poveča se na celotnem območju definicije.

1. razpon od nič do plus neskončnost.

8. Funkcija je konveksna navzdol.

Če v enem koordinatnem sistemu zgraditi grafe funkcij; y=(y je dva na moč x, y je enako pet na moč x, y je enako sedem na moč x), lahko vidite, da imajo enake lastnosti kot y=(y je enako tri na moč x) ( Slika .2), to pomeni, da bodo vse funkcije oblike y = (y je enak a na potenco x, z večjo od ena) takšne lastnosti

Narišemo funkcijo:

1. Sestavljanje tabele njenih vrednosti.

Dobljene točke označimo na koordinatni ravnini.

Narišimo gladko črto, ki poteka skozi te točke (slika 3).

Z grafom te funkcije navedemo njene lastnosti:

1. Območje definicije je množica vseh realnih števil.

2. Ni niti sodo niti liho.

3. Zmanjšanje na celotnem področju definicije.

4. Nima niti največje niti najmanjše vrednosti.

5. Omejeno od spodaj, vendar ne omejeno od zgoraj.

6. Neprekinjeno na celotnem področju definicije.

7. razpon vrednosti od nič do plus neskončnost.

8. Funkcija je konveksna navzdol.

Podobno, če v enem koordinatnem sistemu zgraditi grafe funkcij; y=(y je ena sekunda moči x, y je ena petina moči x, y je ena sedmina moči x), lahko vidite, da imajo enake lastnosti kot y=(y je enak tretjini moči x). moč x). x) (slika 4), to je vse funkcije oblike y \u003d (y je enaka eni, deljeno z a na potenco x, z večjo od nič, vendar manjšo od ena) imajo takšne lastnosti

Zgradimo grafe funkcij v enem koordinatnem sistemu

to pomeni, da bodo tudi grafi funkcij y=y= simetrični (y je enak a na potenco x in y enako ena deljeno z a na potenco x) za isto vrednost a.

Povedano povzemamo tako, da damo definicijo eksponentne funkcije in navedemo njene glavne lastnosti:

Opredelitev: Funkcija oblike y \u003d, kjer (y je enak a na potenco x, kjer je a pozitiven in drugačen od ena), se imenuje eksponentna funkcija.

Zapomniti si je treba razlike med eksponentno funkcijo y= in močnostno funkcijo y=, a=2,3,4,…. tako slušno kot vizualno. Eksponentna funkcija X je diploma in močna funkcija X je osnova.

Primer 1: Rešite enačbo (tri na potenco x je enako devet)

(y je enak tri na potenco x in y je enak devet) sl.7

Upoštevajte, da imajo eno skupno točko M (2; 9) (em s koordinatama dve; devet), kar pomeni, da bo abscisa točke koren dano enačbo. To pomeni, da ima enačba en sam koren x = 2.

Primer 2: Rešite enačbo

V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y \u003d (y je enak pet na potenco x in y je enak eni petindvajseti) Sl.8. Grafi se sekajo v eni točki T (-2; (te s koordinatami minus dve; ena petindvajseta). Zato je koren enačbe x \u003d -2 (število minus dva).

Primer 3: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(y je enak tri na potenco x in y je enak sedemindvajset).

Slika 9 Graf funkcije se nahaja nad grafom funkcije y=ko

x Zato je rešitev neenakosti interval (od minus neskončnosti do tri)

Primer 4: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu bomo zgradili dva grafa funkcije y \u003d (y je enak eni četrtini na potenco x in y je enak šestnajst). (slika 10). Grafi se sekajo v eni točki K (-2;16). To pomeni, da je rešitev neenakosti interval (-2; (od minus dva do plus neskončnost), ker se graf funkcije y \u003d nahaja pod grafom funkcije pri x

Naše sklepanje nam omogoča, da preverimo veljavnost naslednjih izrekov:

Terem 1: Če je res, če in samo če je m=n.

Izrek 2: Če je res, če in samo če, potem je neenakost resnična, če in samo če (slika *)

Izrek 4: Če je resnična, če in samo če (slika**), je neenakost resnična, če in samo če Izrek 3: Če je resnična, če in samo če je m=n.

Primer 5: Narišite funkcijo y=

Funkcijo spremenimo z uporabo lastnosti stopnje y=

Gradimo dodatni sistem koordinate in v nov sistem koordinate, bomo izrisali funkcijo y = (y je enak dve na potenco x) Sl.11.

Primer 6: Rešite enačbo

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(Y je enako sedem na potenco x in Y je enako osem minus x) Sl.12.

Grafi se sekajo v eni točki E (1; (e s koordinatami ena; sedem). Zato je koren enačbe x = 1 (x enak ena).

Primer 7: Rešite neenakost

V enem koordinatnem sistemu zgradimo dva grafa funkcije y \u003d

(Y je enak eni četrtini na potenco x in Y je enak x plus pet). Graf funkcije y= se nahaja pod grafom funkcije y=x+5 pri, rešitev neenakosti je interval x (od minus ena do plus neskončnost).