Lecția „Periodicitatea funcțiilor y=sinx, y=cosx”. Investigarea unei funcţii pentru periodicitate

>> Periodicitatea funcţiilor y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicitatea funcțiilor y \u003d sin x, y \u003d cos x

În paragrafele anterioare, am folosit șapte proprietăți funcții: domeniu, par sau impar, monoton, limitat, mai mare și cea mai mică valoare, continuitate, raza funcției. Am folosit aceste proprietăți fie pentru a construi graficul funcției (cum era, de exemplu, în § 9), fie pentru a citi graficul construit (cum era, de exemplu, în § 10). Acum a venit moment de bun augur pentru a introduce încă o (a opta) proprietate a funcțiilor, care este perfect vizibilă pe cele de mai sus grafice funcțiile y \u003d sin x (a se vedea Fig. 37), y \u003d cos x (a se vedea Fig. 41).

Definiție. O funcție se numește periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din mulțimi, dublu egalitate:

Numărul T care satisface condiție specificată, se numește perioada funcției y \u003d f (x).
Rezultă că, deoarece pentru orice x, egalitățile sunt adevărate:

atunci funcțiile y \u003d sin x, y \u003d cos x sunt periodice și numărul 2 P servește ca perioadă a ambelor funcții.
Periodicitatea unei funcții este a opta proprietate promisă a funcțiilor.

Acum priviți graficul funcției y \u003d sin x (Fig. 37). Pentru a construi o sinusoidă, este suficient să construiți una dintre undele sale (pe un segment și apoi să deplasați această undă de-a lungul axei x prin urmare, folosind o singură undă, vom construi întregul grafic.

Să privim din același punct de vedere graficul funcției y \u003d cos x (Fig. 41). Vedem că și aici, pentru a reprezenta un grafic, este suficient să reprezentați mai întâi un val (de exemplu, pe segment

Și apoi mutați-l de-a lungul axei x cu
Rezumând, facem următoarea concluzie.

Dacă funcția y \u003d f (x) are o perioadă T, atunci pentru a reprezenta graficul funcției, trebuie mai întâi să reprezentați o ramură (undă, parte) a graficului pe orice interval de lungime T (cel mai adesea, acestea iau un interval cu capete în puncte și apoi deplasați această ramură de-a lungul axei x la dreapta și la stânga la T, 2T, ZT etc.
O funcție periodică are infinit de perioade: dacă T este o perioadă, atunci 2T este o perioadă, iar 3T este o perioadă și -T este o perioadă; în general, o perioadă este orice număr de forma KT, unde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... De obicei, dacă este posibil, încearcă să evidențieze cea mai mică perioadă pozitivă, se numește perioada principală.
Deci, orice număr de forma 2pc, unde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, este perioada funcțiilor y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p este perioada principală a ambelor funcții.

Exemplu. Găsiți perioada principală a unei funcții:

A) Fie T perioada principală a funcției y \u003d sin x. Sa punem

Pentru ca numărul T să fie perioada funcției, identitatea Ho trebuie să aibă, deoarece vorbim la aflarea perioadei principale, obtinem
b) Fie T perioada principală a funcției y = cos 0,5x. Fie f(x)=cos 0,5x. Apoi f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Pentru ca numărul T să fie perioada funcției, trebuie satisfăcută identitatea cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Deci, 0,5t = 2pp. Dar, din moment ce vorbim despre găsirea perioadei principale, obținem 0,5T = 2 l, T = 4l.

Generalizarea rezultatelor obținute în exemplu este următoarea afirmație: perioada principală a funcției

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Centrat într-un punct A.
α este un unghi exprimat în radiani.

Definiție
Sinusul este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea piciorului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Denumiri acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y= sin xși y= cos x periodic cu un punct 2 pi.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue pe domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y= sin x	y= cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendent
Descendentă
Maxime, y= 1
Minima, y ​​= - 1
Zerouri, y= 0
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 0	y= 1

Formule de bază

Suma pătratului sinusului și cosinusului

Formule sinus și cosinus pentru sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea în termeni de tangentă

; .

Pentru , avem:
; .

La:
; .

Tabel de sinusuri și cosinusuri, tangente și cotangente

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru unele valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

Formula lui Euler

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; . Derivarea formulelor > > >

Derivate de ordinul al n-lea:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcții inverse la sinus și cosinus sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Un număr T astfel încât pentru orice x F(x + T) = F(x). Acest număr T se numește perioada funcției.

Pot exista mai multe perioade. De exemplu, funcția F = const ia aceeași valoare pentru orice valoare a argumentului și, prin urmare, orice număr poate fi considerat perioada sa.

De obicei, este interesat de cel mai mic zero perioada de functionare. Pentru concizie, se numește pur și simplu punct.

Un exemplu clasic de funcții periodice este trigonometric: sinus, cosinus și tangentă. Perioada lor este aceeași și egală cu 2π, adică sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) și așa mai departe. Cu toate acestea, desigur, funcții trigonometrice- nu singurele periodice.

Referitor la simplu funcții de bază singura modalitate de a stabili periodicitatea sau neperiodicitatea acestora este prin calcul. Dar pentru funcții complexe, există deja mai multe reguli simple.

Dacă F(x) are perioada T și o derivată este definită pentru aceasta, atunci această derivată f(x) = F′(x) este, de asemenea, o funcție periodică cu perioada T. La urma urmei, valoarea derivatei la punctul x este egal cu tangentei tangentei graficului antiderivatei sale în acest punct la axa x și, deoarece se repetă periodic, trebuie să se repete. De exemplu, derivatul lui funcţiile păcatului(x) este egal cu cos(x) și este periodic. Luând derivata lui cos(x) se obține -sin(x). Periodicitatea rămâne neschimbată.

Cu toate acestea, inversul nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f(x) = const este periodică, dar antiderivata sa F(x) = const*x + C nu este.

Dacă F(x) este o funcție periodică cu perioada T, atunci G(x) = a*F(kx + b), unde a, b și k sunt constante și k nu este egal cu zero - de asemenea, o funcție periodică, iar perioada sa este T/k. De exemplu sin(2x) este o funcție periodică și perioada sa este π. Vizual, acest lucru poate fi reprezentat astfel: prin înmulțirea x cu un anumit număr, comprimați funcțiile pe orizontală exact de atâtea ori

Dacă F1(x) și F2(x) sunt funcții periodice, iar perioadele lor sunt egale cu T1 și, respectiv, T2, atunci suma acestor funcții poate fi și periodică. Cu toate acestea, perioada sa nu va fi o simplă sumă a perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul divizării T1/T2 este Numar rational, atunci suma funcțiilor este periodică, iar perioada sa este egală cu cel mai mic multiplu comun (MCM) al perioadelor T1 și T2. De exemplu, dacă perioada primei funcții este 12 și perioada celei de-a doua este 15, atunci perioada sumei lor va fi LCM (12, 15) = 60.

Vizual, acest lucru poate fi reprezentat astfel: funcțiile vin cu „lățimi de trepte” diferite, dar dacă raportul dintre lățimile lor este rațional, atunci mai devreme sau (mai precis, prin LCM de pași), vor deveni din nou egale și suma lor va începe o nouă perioadă.

Cu toate acestea, dacă raportul perioadelor , atunci funcția totală nu va fi periodică deloc. De exemplu, fie F1(x) = x mod 2 (restul lui x împărțit la 2) și F2(x) = sin(x). T1 aici va fi egal cu 2, iar T2 este egal cu 2π. Raportul perioadei este π - număr irațional. Prin urmare, funcția sin(x) + x mod 2 nu este periodică.

Surse:

• Teoria funcției

Mulți functii matematice au o caracteristică care facilitează construcția lor - este periodicitate, adică repetabilitatea graficului pe grila de coordonate la intervale regulate.

Instruire

Cele mai cunoscute funcții periodice ale matematicii sunt sinusoida și unda cosinus. Aceste funcții au o perioadă ondulatorie și de bază egală cu 2P. De asemenea, un caz special al unei funcții periodice este f(x)=const. Orice număr este potrivit pentru poziția x, această funcție nu are o perioadă principală, deoarece este o linie dreaptă.

În general, o funcție este periodică dacă există un întreg N care este diferit de zero și îndeplinește regula f(x)=f(x+N), asigurând astfel repetabilitate. Perioada funcției este cel mai mic număr N, dar nu zero. Adică, de exemplu, funcția sin x este egală cu funcția sin (x + 2PN), unde N \u003d ± 1, ± 2 etc.

Uneori, o funcție poate avea un multiplicator (de exemplu, sin 2x), care va crește sau micșora perioada funcției. Pentru a găsi perioada