Vectorul direcție al dreptei l toată lumea este chemată vector diferit de zero (m, n) paralel cu această dreaptă.

Lasă punctul M 1 (X 1 , y 1) și vector de direcție ( m, n), apoi ecuația dreptei care trece prin punct M 1 în direcția vectorului are forma: . Această ecuație se numește ecuația canonică a dreptei.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte cu vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A(1, 2).

Vom căuta ecuația dreptei dorite sub forma: Ax+By+C= 0. Să scriem ecuația canonică a dreptei , să o transformăm. obține x + y - 3 = 0

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte

Să fie date două puncte pe plan M 1 (X 1 , y 1) și M 2 (X 2, y 2), atunci ecuația unei drepte care trece prin aceste puncte are forma: . Dacă oricare dintre numitori este egal cu zero, numărătorul corespunzător trebuie setat egal cu zero.

Exemplu. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1, 2) și B(3, 4).

Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte dintr-un punct și o pantă

Dacă ecuația generală a unei drepte Ah + Wu + C= 0 aduceți la forma: și notăm , atunci ecuația rezultată se numește ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuaţia generală linia Ah + Wu + C= 0 coeficient DIN¹ 0, atunci, împărțind la C, obținem: sau unde

sens geometric coeficienți în care coeficientul dar este coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa Oh, dar b- coordonata punctului de intersecție a dreptei cu axa OU.

Exemplu. Este dată ecuația generală a unei drepte X – la+ 1 = 0. Aflați ecuația acestei drepte în segmente. A = -1, B = 1, C = 1, atunci dar = -1, b= 1. Ecuația unei drepte în segmente va lua forma .

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB: ;

4X = 6y– 6; 2X – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită are forma: Ax+By+C= 0 sau y = kx + b.

k= . Apoi y= . pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: Unde b= 17. Total: .

Raspuns: 3 X + 2y – 34 = 0.

Practica #7

Numele clasei: Curbe de ordinul doi.

Scopul lecției: Aflați cum să faceți curbe de ordinul 2, să le construiți.

Pregătirea pentru lecție: Repeta material teoretic pe tema „Curbe de ordinul 2”

Literatură:

1. Dadayan A.A. „Matematică”, 2004

Sarcina pentru lecție:

Ordinea lecției:

1. Obțineți permisiunea de a lucra
2. Finalizați sarcini
3. Răspunde la întrebări de securitate.

1. Numele, scopul lecției, sarcina;
2. Sarcina finalizată;
3. Răspunsuri la întrebările de control.

întrebări de test pentru offset:

1. Definiți curbe de ordinul doi (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă), scrieți ecuațiile canonice ale acestora.
2. Cum se numește excentricitatea unei elipse sau hiperbole? Cum să-l găsesc?
3. Scrieți ecuația unei hiperbole echilaterale

APENDICE

circumferinţă este mulțimea tuturor punctelor planului echidistante de un punct, numit centru.

Fie centrul cercului un punct DESPRE(A; b), și distanța până la orice punct M(X y) cerc este egal cu R. Apoi ( x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2 – ecuația canonică a unui cerc cu centru DESPRE(A; b) și raza R.

Exemplu. Aflați coordonatele centrului și razei cercului dacă ecuația acestuia este dată astfel: 2 X 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

Pentru a găsi coordonatele centrului și razei unui cerc ecuația dată trebuie redusă la formă canonică. Pentru a face acest lucru, selectați pătratele complete:

X 2 + y 2 – 4X + 2,5y – 2 = 0

X 2 – 4X + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(X– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(X – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

De aici găsim coordonatele centrului DESPRE(2; -5/4); rază R = 11/4.

Elipsă se numește o mulțime de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date (numite focare) este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Focalizările sunt indicate prin litere F 1 , F din, suma distanțelor de la orice punct al elipsei la focare este 2 dar (2dar > 2c), A- o semiaxă mare; b- semiaxă mică.

Ecuația canonică a elipsei este: , unde A, bȘi c legate între ele prin egalități: a 2 - b 2 \u003d c 2 (sau b 2 - a 2 \u003d c 2).

Forma unei elipse este determinată de o caracteristică care este raportul dintre distanța focală și lungimea axei majore și se numește excentricitate. sau .

pentru că prin definiție 2 dar> 2c, atunci excentricitatea este întotdeauna exprimată ca o fracție proprie, adică .

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru o elipsă dacă focarele sale sunt F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), axa majoră este 2.

Ecuația elipsei are forma: .

Distanța dintre focalizări: 2 c= , prin urmare, A 2 – b 2 = c 2 = . Prin condiția 2 dar= 2, deci dar = 1, b= Ecuația dorită a elipsei va lua forma: .

Hiperbolă numită mulțime de puncte din plan, diferența dintre distanțe de la fiecare dintre acestea la două puncte date, numite focare, este o valoare constantă, mai mică decât distanța dintre focare.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma: sau , unde A, bȘi c legate de egalitate a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola este simetrică față de mijlocul segmentului care leagă focarele și față de axele de coordonate. Focalizările sunt indicate prin litere F 1 , F 2, distanța dintre focare - 2 din, diferența de distanțe de la orice punct al hiperbolei la focare este 2 dar (2dar < 2c). Axa 2 dar numită axa reală a hiperbolei, axa 2 b este axa imaginară a hiperbolei. O hiperbolă are două asimptote ale căror ecuații sunt

Excentricitatea unei hiperbole este raportul dintre distanța dintre focare și lungimea axei reale: sau. pentru că prin definiție 2 dar < 2c, atunci excentricitatea hiperbolei este întotdeauna exprimată ca o fracție improprie, i.e. .

Dacă lungimea axei reale este egală cu lungimea axei imaginare, i.e. a = b, ε = , atunci se numește hiperbola echilateral.

Exemplu. Scrieți ecuația canonică a unei hiperbole dacă excentricitatea ei este 2 și focarele coincid cu focarele elipsei cu ecuația

Găsim distanta focala c 2 = 25 – 9 = 16.

Pentru hiperbolă: c 2 = A 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2A; c 2 = 4A 2 ; A 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.

Apoi - ecuația dorită a hiperbolei.

parabolă este mulțimea de puncte dintr-un plan echidistant de punct dat, numită focalizare și o linie dreaptă dată, numită directrice.

Focalizarea unei parabole este indicată prin literă F, director - d, distanța de la focalizare la directrice este R.

Ecuația canonică a unei parabole, al cărei focus este situat pe axa x, este:

y 2 = 2px sau y 2 = -2px

X = -p/2, X = p/2

Ecuația canonică a unei parabole a cărei focalizare este pe axa y este:

X 2 = 2py sau X 2 = -2py

Ecuații directrice, respectiv la = -p/2, la = p/2

Exemplu. Pe o parabolă la 2 = 8X Găsiți un punct a cărui distanță față de directrice este 4.

Din ecuația parabolei obținem asta R = 4. r=x + p/2 = 4; Prin urmare:

X = 2; y 2 = 16; y= ±4. Puncte de căutare: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Practica #8

Numele clasei: Acțiuni asupra numerelor complexe în formă algebrică. Interpretarea geometrică a numerelor complexe.

Scopul lecției: Aflați cum să operați cu numere complexe.

Pregătirea pentru lecție: Repetă materialul teoretic la tema „Numere complexe”.

Literatură:

1. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. „Elemente matematica superioara", 2008

Sarcina pentru lecție:

1. Calculati:

1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;

2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)( i 72 – i 34);

Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), atunci coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa y. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, linia dreaptă M 1 M 2 este paralelă cu axa x.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a; 0) și axa Oy - în punctul M 2 (0; b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuaţia unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică ce segmente le decupează linia dreaptă pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector dat diferit de zero n = (A; B).

Luați un punct arbitrar M(x; y) pe linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n = (A; B) perpendicular pe dreapta se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membru liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a unei drepte(vezi Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
sunt coordonatele punctului prin care trece linia și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat pe un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date. Și , care se numesc focare, este o valoare constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox și a cărei origine este la mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semiaxei majore; b este lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Ecuația unei drepte care trece prin t.u A(ha; wah)și având o pantă k, este scris sub forma

y - ya \u003d k (x - xa).(5)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte T. A (x 1; y 1) etc. B (x 2; y 2), are forma

Dacă punctele DARȘi ÎN definiți o linie dreaptă paralel cu axa Ox (y 1 \u003d y 2) sau axa y (x 1 = x 2), atunci ecuația unei astfel de drepte se scrie respectiv sub forma:

y = y 1 sau x = x 1(7)

Ecuația normală a unei linii drepte

Fie dată o dreaptă C care trece printr-un punct dat Mo(Xo; V0) și perpendiculară pe vectorul (A; B). Orice vector perpendicular pe o dreaptă dată se numește ei vector normal. Să alegem un punct arbitrar M pe linie (X y). Apoi, ceea ce înseamnă că ei produs scalar. Această egalitate poate fi scrisă în coordonate

A (x-x o) + B (y-y o) \u003d 0 (8)

Ecuația (8) se numește ecuația normală a unei linii drepte .

Ecuații parametrice și canonice ale unei drepte

Lasă linia l dat de punctul de plecare M 0 (x 0; y 0)și vector de direcție ( a 1; a 2),. Lasă t. M(x; y)- orice punct de pe o linie l Atunci vectorul este coliniar cu vectorul. Prin urmare, = . Scriind această ecuație în coordonate, obținem ecuația parametrică a dreptei

Să excludem parametrul t din ecuația (9). Acest lucru este posibil deoarece vectorul și, prin urmare, cel puțin una dintre coordonatele sale este diferită de zero.

Fie și , atunci , și, prin urmare,

Ecuația (10) se numește ecuația canonică a dreptei cu vector ghid

\u003d (a 1; a 2). Dacă a 1 =0și , atunci ecuațiile (9) iau forma

Aceste ecuații definesc o linie dreaptă paralelă cu axa, OU si trecand prin punct

M0 (x 0; y 0).

x=x 0(11)

Dacă , , atunci ecuațiile (9) iau forma

Aceste ecuații definesc o linie dreaptă paralelă cu axa O X si trecand prin punct

M0 (x 0; y 0). Ecuația canonică a unei astfel de drepte are forma

y=y 0(12)

Unghiul dintre linii. Condiția de paralelism și perpendicularitate a doi

direct

Să fie date două drepte date prin ecuații generale:

Și

Apoi unghiul φ între ele este determinată de formula:

(13)

Condiție paralelă 2 linii drepte: (14)

Stare perpendiculară 2 linii drepte: (15)

Condiție paralelăîn acest caz are forma: (17)

Stare perpendiculară drept: (18)

Dacă două drepte sunt date prin ecuații canonice:

Și

atunci unghiul φ dintre aceste drepte este determinat de formula:

(19)

Condiție paralelă drept: (20)

Stare perpendiculară direct: (21)

Distanța de la punct la linie

Distanţă d din punct de vedere M (x 1; y 1) spre drept Ax+By+C=0 calculate prin formula

(22)

Exemplu de implementare munca practica

Exemplul 1 Construiți o linie 3 X- 2la+6=0.

Soluție: Pentru a construi o dreaptă, este suficient să cunoașteți oricare două dintre punctele sale, de exemplu, punctele de intersecție cu axele de coordonate. Punctul A al intersecției dreptei cu axa Ox poate fi obținut dacă luăm y \u003d 0 în ecuația dreptei. Atunci avem 3 X+6=0, adică X=-2. În acest fel, DAR(–2;0).

Apoi ÎN intersecția unei linii cu o axă OU are o abscisă X=0; de unde ordonata punctului ÎN se găsește din ecuația -2 y+ 6=0, adică y=3. În acest fel, ÎN(0;3).

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte care taie pe semiplanul negativ OU un segment egal cu 2 unitati, si se formeaza cu axa Oh unghi φ =30˚.

Rezolvare: linia traversează axa OU la punct ÎN(0;–2) și are o pantă k=tg φ= = . Presupunând în ecuația (2) k= și b= –2, obținem ecuația dorită

Sau .

Exemplul 3 DAR(–1; 2) și

ÎN(0;–3). (la mărturie: panta dreptei se găsește prin formula (3))

Soluţie: .De aici avem . Înlocuind coordonatele în această ecuație televizor, primim: , adică ordonata initiala b= -3 . Apoi obținem ecuația.

Exemplul 4 Ecuația generală a unei drepte 2 X – 3la– 6 = 0 duc la ecuația în segmente.

Rezolvare: scriem această ecuație sub forma 2 X– 3la=6 și împarte ambele părți la termenul liber: . Aceasta este ecuația acestei linii drepte în segmente.

Exemplul 5 Prin punct DAR(1;2) trageți o linie dreaptă tăind segmente egale pe semiaxele pozitive ale coordonatelor.

Rezolvare: Fie ecuația dreptei dorite să aibă forma Prin condiție dar=b. Prin urmare, ecuația devine X+ la= dar. Deoarece punctul A (1; 2) aparține acestei drepte, atunci coordonatele sale satisfac ecuația X + la= dar; acestea. 1 + 2 = dar, Unde dar= 3. Deci, ecuația dorită se scrie după cum urmează: x + y = 3, sau x + y - 3 = 0.

Exemplul 6 Pentru dreptate scrieți ecuația în segmente. Calculați aria triunghiului format de această dreaptă și axele de coordonate.

Soluție: Să transformăm această ecuație după cum urmează: , sau .

Ca rezultat, obținem ecuația , care este ecuația dreptei date în segmente. Triunghiul format din linia dată și axele de coordonate este triunghi dreptunghic cu catete egale cu 4 și 3, deci aria sa este egală cu S= (unități pătrate)

Exemplul 7 Scrieți o ecuație a unei drepte care trece printr-un punct (–2; 5) și o generatrică cu o axă Oh unghi 45º.

Rezolvare: Panta dreptei dorite k= tg 45º = 1. Prin urmare, folosind ecuația (5), obținem y - 5 = X- (-2), sau x - y + 7 = 0.

Exemplul 8 Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte DAR(–3; 5) și ÎN( 7; –2).

Rezolvare: Să folosim ecuația (6):

, sau , de unde 7 X + 10la – 29 = 0.

Exemplul 9 Verificați dacă există puncte DAR(5; 2), ÎN(3; 1) și DIN(–1; –1) pe o singură linie dreaptă.

Rezolvare: Compuneți ecuația unei drepte care trece prin puncte DARȘi DIN:

, sau

Inlocuind in aceasta ecuatie coordonatele punctului ÎN (xB= 3 și y B = 1), obținem (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), adică. obținem egalitatea corectă. Astfel, coordonatele punctului ÎN satisface ecuația dreptei ( AC), adică .

Exemplul 10: Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin t. A (2; -3).

Perpendiculară =(-1;5)

Rezolvare: Folosind formula (8), găsim ecuația acestei drepte -1(x-2)+5(y+3)=0,

sau in sfarsit, x - 5 y - 17 \u003d 0.

Exemplul 11: Puncte acordate M 1(2;-1) și M 2(4; 5). Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 1 perpendicular pe vector Rezolvare: Vectorul normal al dreptei dorite are coordonatele (2; 6), prin urmare, conform formulei (8), se obtine ecuatia 2(x-2)+6(y+1)=0 sau x+3y +1=0.

Exemplul 12: Și .

Rezolvare: ; .

Exemplul 13:

Rezolvare: a) ;

Exemplul 14: Calculați unghiul dintre linii

Soluţie:

Exemplul 15: A descoperi aranjament reciproc direct:

Soluţie:

Exemplul 16: găsiți unghiul dintre drepte și .

Soluție: .

Exemplul 17: aflați poziția relativă a liniilor:

Soluție: a ) - liniile sunt paralele;

b) înseamnă că dreptele sunt perpendiculare.

Exemplul 18: Calculați distanța de la punctul M(6; 8) la linia dreaptă

Soluție: conform formulei (22) obținem: .

Sarcini pentru sesiune practica:

Opțiunea 1

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 2x+3y-6=0 la ecuație în segmente și calculați aria triunghiului tăiată de această dreaptă din unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (-3;4), punctului B (-4;-3), punctului C (8;1). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculaţi panta dreptei care trece prin punctul M 0 (-2; 4) şi paralelă cu vectorul (6; -1);

4. Calculați unghiul dintre drepte

4. Calculați unghiul dintre drepte:

a) 2x - 3y + 7 = 0 și 3x - y + 5 = 0; b) și y = 2x – 4;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și;

, dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (18; 8) și t. B (-2; -6).

Opțiunea 3

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 4x-5y+20=0 la ecuație în segmente și calculați aria triunghiului tăiată de această dreaptă din unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (3;-2), punctului B (7;3), punctelor

C(0;8). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculați panta dreptei care trece prin punctul M 0 (-1;-2) și

paralel cu vectorul (3;-5);

4. Calculați unghiul dintre drepte

a) 3x + y - 7 = 0 și x - y + 4 = 0; grup;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și y = 5x + 3;

6. Calculați distanța de la mijlocul segmentului AB până la linia dreaptă , dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (4; -3) și t.B (-6; 5).

Opțiunea 4

1. Aduceți ecuația generală a dreptei 12x-5y+60=0 la ecuație în segmente și calculați lungimea segmentului care este tăiat din această dreaptă prin unghiul de coordonate corespunzător;

2. În ∆ABC, vârfurile au coordonatele punctului A (0;-2), punctului B (3;6), punctului C (1;-4). Compuneți ecuațiile laturii (AB), înălțimii (VC) și medianei (CM);

3. Calculaţi panta dreptei care trece prin punctul M 0 (4;4) şi paralelă cu vectorul (-2;7);

4. Calculați unghiul dintre drepte

a) x +4 y + 8 = 0 și 7x - 3y + 5 = 0; grup;

5. Determinați poziția relativă a 2 drepte și;

6. Calculați distanța de la mijlocul segmentului AB până la linia dreaptă , dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului t.A (-4; 8) și t.B (0; 4).

întrebări de test

1. Numiți ecuațiile unei drepte într-un plan când se cunosc punctul prin care trece și vectorul ei de direcție;

2. Care este ecuația normală, generală, a unei drepte pe un plan;

3. Numiți ecuația unei drepte care trece prin două puncte, ecuația unei drepte în segmente, ecuația unei drepte cu pantă;

4. Enumerați formulele pentru calcularea unghiului dintre linii, ecuații date cu un factor de unghi. Formulați condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

5. Cum să găsiți distanța de la un punct la o linie?

Să fie date două puncte M(X 1 ,La 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

La – Y 1 = K(X-x 1),

Unde K este panta necunoscută.

Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) definește Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).

În cazul particular când punctele M(A, 0), N(0, B), DAR ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) ia o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici DARȘi B desemnează segmente tăiate de o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în sfârșit ecuația dorită

3X + 2Y – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y- 1 = 0, X y+ 2 = 0.

. Găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații

Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei La:

Acum să scriem ecuația unei drepte care trece prin punctele (2, 1) și:

sau .

Prin urmare sau -5( Y – 1) = X – 2.

În final, obținem ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Aflați ecuația unei drepte care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens pentru că al doilea numitor este zero. Din condiția problemei se poate observa că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Prin urmare, linia necesară este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: X = 2.

cometariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii drepte conform formulei (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Să luăm în considerare și alte modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan.

1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe o dreaptă dată L, și punctul M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denota M(X, Y) un punct arbitrar pe linie L. Vectori și ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate pentru acești vectori, obținem sau DAR(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vectorul . Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Wu + DIN= 0, unde DIN = –(DARX 0 + De 0), (1.16),

Unde DARȘi ÎN sunt coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a unei drepte într-o formă parametrică.

2. O dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu o dreaptă dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Din nou, luați un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniare.

Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T este un număr arbitrar, numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Drept. Să excludem din aceste ecuații parametrul T:

Aceste ecuații pot fi scrise sub forma

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuația canonică a unei drepte. Apel vectorial Vector de direcție drept .

cometariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul , deoarece , adică .

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2La– 8 = 0.

Soluţie . Vectorul este vectorul normal pentru liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(La– 1) = 0 sau 3 X + 2 ani- 5 \u003d 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,