Calculul unei bare rotunde pentru îndoire cu torsiune. Cotitură spațială (complexă).

În cazul calculării unei bare rotunde sub acțiunea de îndoire și torsiune (Fig. 34.3), este necesar să se țină cont de tensiunile normale și de forfecare, deoarece valorile maxime ale tensiunii în ambele cazuri apar la suprafață. Calculul trebuie efectuat conform teoriei rezistenței, înlocuind starea complexă de stres cu una simplă la fel de periculoasă.

Efort maxim de torsiune in sectiune

Efort maxim de încovoiere în secțiune

Conform uneia dintre teoriile de rezistență, în funcție de materialul grinzii, se calculează solicitarea echivalentă pentru secțiunea periculoasă și se testează rezistența grinzii folosind efortul de încovoiere admisibil pentru materialul grinzii.

Pentru o grindă rotundă, momentele modulului de secțiune sunt următoarele:

Când se calculează conform celei de-a treia teorii a rezistenței, teoria tensiunilor de forfecare maxime, efortul echivalent este calculat prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor plastice.

Când se calculează conform teoriei energiei de formare, tensiunea echivalentă este calculată prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor ductile și casante.

teoria tensiunilor de forfecare maxime:

Tensiunea echivalentă atunci când este calculată conform teorii ale energiei schimbării formei:

unde este momentul echivalent.

Stare de forță

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Pentru o stare de tensiune dată (Fig. 34.4), folosind ipoteza tensiunilor de forfecare maxime, calculați factorul de siguranță dacă σ T \u003d 360 N / mm 2.

1. Ce caracterizează și cum este reprezentată starea de stres într-un punct?

2. Ce locații și ce tensiuni se numesc cele principale?

3. Enumerați tipurile de stări de stres.

4. Ce caracterizează starea deformată într-un punct?

5. În ce cazuri apar stări limită de efort în materialele ductile și casante?

6. Care este tensiunea echivalentă?

7. Explicați scopul teoriilor forței.

8. Scrieţi formule de calcul a tensiunilor echivalente în calcule conform teoriei tensiunilor de forfecare maxime şi a teoriei energiei de deformare. Explicați cum să le folosiți.

PRELEZA 35

Subiectul 2.7. Calculul unei bare de secțiune transversală circulară cu o combinație de deformații de bază

Cunoașteți formulele tensiunilor echivalente conform ipotezelor celor mai mari tensiuni tangenţiale și energiei de deformare.

Pentru a putea calcula o grindă cu secțiune transversală circulară pentru rezistență cu o combinație de deformații de bază.

Formule de calcul a tensiunilor echivalente

Tensiuni echivalente conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime

Efort echivalent conform ipotezei energiei de deformare

Condiție de rezistență sub acțiunea combinată de îndoire și torsiune

Unde M EQ este momentul echivalent.

Moment echivalent conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime

Moment echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei

Caracteristica calculului arborilor

Majoritatea arborilor experimentează o combinație de deformații de încovoiere și de torsiune. Arborele sunt de obicei bare drepte cu o secțiune rotundă sau inelară. La calcularea arborilor, tensiunile tăietoare din acțiunea forțelor transversale nu sunt luate în considerare din cauza nesemnificației lor.

Calculele sunt efectuate pentru secțiuni transversale periculoase. La încărcarea spațială a arborelui se folosește ipoteza independenței acțiunii forțelor și momentele încovoietoare sunt considerate în două plane reciproc perpendiculare, iar momentul încovoietor total este determinat prin însumare geometrică.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1Într-o secțiune transversală periculoasă a unui fascicul rotund, apar factori de forță interni (Fig. 35.1) M x; Ale mele; M z .

M xși Ale mele- momentele încovoietoare în planuri uohși zOx respectiv; Mz- cuplu. Verificați rezistența conform ipotezei celor mai mari solicitări de forfecare, dacă [ σ ] = 120 MPa. Date inițiale: M x= 0,9 kN·m; M y = 0,8 kN·m; Mz = 2,2 kN*m; d= 60 mm.

Decizie

Construim diagrame ale tensiunilor normale din acțiunea momentelor încovoietoare în raport cu axele Ohși OUși o diagramă a tensiunilor tăietoare de la torsiune (Fig. 35.2).

Tensiunea maximă de forfecare are loc la suprafață. Tensiuni normale maxime din moment M x apar la punct DAR, tensiuni normale maxime din moment Ale mele la punct LA. Tensiunile normale se adună deoarece momentele încovoietoare în planuri reciproc perpendiculare sunt însumate geometric.

Momentul încovoietor total:

Calculăm momentul echivalent conform teoriei tensiunilor de forfecare maxime:

Stare de rezistenta:

Modulul secțiunii: W oce în oe \u003d 0,1 60 3 \u003d 21600mm 3.

Verificarea puterii:

Durabilitatea este garantată.

Exemplul 2 Calculați diametrul arborelui necesar din condiția de rezistență. Două roți sunt montate pe arbore. Există două forțe circumferențiale care acționează asupra roților F t 1 = 1,2 kN; Ft 2= 2kN și două forțe radiale în plan vertical F r 1= 0,43 kN; F r 2 = 0,72 kN (Fig. 35.3). Diametrele roților sunt, respectiv, egale d1= 0,1 m; d2= 0,06 m.

Acceptați materialul arborelui [ σ ] = 50 MPa.

Calculul se realizează conform ipotezei tensiunilor de forfecare maxime. Ignorați greutatea arborelui și a roților.

Decizie

Instruire. Folosim principiul independenței acțiunii forțelor, elaborăm scheme de proiectare ale arborelui în planurile vertical și orizontal. Determinăm separat reacțiile în suporturi în plan orizontal și vertical. Construim diagrame ale momentelor încovoietoare (Fig. 35.4). Sub acțiunea forțelor circumferențiale, arborele este răsucit. Determinați cuplul care acționează asupra arborelui.

Să facem o schemă de calcul a arborelui (Fig. 35.4).

1. Cuplul arborelui:

2. Considerăm cotul în două planuri: orizontal (pl. H) și vertical (pl. V).

În plan orizontal, determinăm reacțiile în suport:

Cuși LA:

În plan vertical, determinăm reacțiile în suport:

Determinați momentele încovoietoare în puncte C și B:

Momentele încovoietoare totale în puncte C și B:

La punctul LA momentul încovoietor maxim, aici acţionează şi cuplul.

Calculul diametrului arborelui se efectuează în funcție de secțiunea cea mai încărcată.

3. Moment echivalent într-un punct LA conform celei de-a treia teorii a puterii

4. Determinați diametrul arborelui cu o secțiune transversală circulară din condiția de rezistență

Rotunjim valoarea rezultată: d= 36 mm.

Notă. Atunci când alegeți diametrele arborelui, utilizați gama standard de diametre (Anexa 2).

5. Determinăm dimensiunile necesare ale arborelui cu o secțiune inelară la c \u003d 0,8, unde d este diametrul exterior al arborelui.

Diametrul unui arbore inelar poate fi determinat prin formula

Accept d= 42 mm.

Sarcina este minoră. d BH = 0,8d = 0,8 42 = 33,6 mm.

Rotunjiți la valoare dBH= 33 mm.

6. Să comparăm costurile metalului în funcție de aria secțiunii transversale a arborelui în ambele cazuri.

Zona secțiunii transversale a arborelui solid

Zona secțiunii transversale a arborelui tubular

Aria secțiunii transversale a unui arbore solid este aproape de două ori mai mare decât a unui arbore inelar:

Exemplul 3. Determinați dimensiunile secțiunii transversale a arborelui (Fig. 2.70, A) unitatea de control. Forța de tragere a pedalei P3, forte transmise de mecanism P1, R2, R4. Material arbore - oțel StZ cu limită de curgere σ t = 240 N/mm 2 , factor de siguranță necesar [ n] = 2,5. Calculul se efectuează conform ipotezei energiei schimbării formei.

Decizie

Luați în considerare echilibrul arborelui, după aducerea forțelor R1, R2, R3, R4 la punctele de pe axa sa.

Transferarea forțelor R 1 paralel cu ei înșiși în puncte Lași E, este necesar să se adauge perechi de forțe cu momente egale cu momentele de forțe R 1 raportat la puncte Lași E, adică

Aceste perechi de forțe (momente) sunt prezentate în mod convențional în Fig. 2,70 , b sub formă de linii arcuite cu săgeți. În mod similar, la transferul de forțe R2, R3, R4 la puncte K, E, L, H trebuie să adăugați cupluri de forțe cu momente

Lagărele arborelui prezentate în fig. 2.70, a, ar trebui considerate ca suporturi spațiale articulate care împiedică mișcarea în direcția axelor Xși la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.70, b).

Folosind schema de calcul prezentată în Fig. 2,70 în, compunem ecuațiile de echilibru:

de aici reacţiile de sprijin PEși H B definite corect.

Diagrame de cuplu Mzși momentele de încovoiere Ale mele sunt prezentate în fig. 2,70 G. Secțiunea din stânga punctului L este periculoasă.

Condiția de rezistență are forma:

unde este momentul echivalent conform ipotezei energiei schimbării formei

Diametrul exterior necesar arborelui

Acceptăm d \u003d 45 mm, apoi d 0 \u003d 0,8 * 45 \u003d 36 mm.

Exemplul 4 Verificați rezistența arborelui intermediar (Fig. 2.71) al unui angrenaj drept, dacă arborele transmite putere N= 12,2 kW la viteză P= 355 rpm. Arborele este fabricat din oțel St5 cu limită de curgere σ t \u003d 280 N / mm 2. Factorul de siguranță necesar [ n] = 4. Când se calculează, se aplică ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare.

Instruire. Eforturi raionale R 1și R 2 se află într-un plan orizontal și sunt direcționate de-a lungul tangentelor la cercurile roților dințate. Forțe radiale T1și T 2 se află în plan vertical și sunt exprimate în termeni de forță circumferențială corespunzătoare, după cum urmează: T = 0,364R.

Decizie

Pe fig. 2,71, A este prezentat un desen schematic al arborelui; în fig. 2.71, b prezintă schema arborelui și forțele care apar în angrenaj.

Determinați momentul transmis de arbore:

Evident, m = m 1 = m 2(momentele de răsucire aplicate arborelui, cu rotație uniformă, sunt egale ca mărime și opuse ca direcție).

Determinați forțele care acționează asupra angrenajelor.

Eforturi districtuale:

Forțe radiale:

Luați în considerare echilibrul arborelui AB, pre-aducerea forţelor R 1și R 2 la punctele situate pe axa arborelui.

Transferul puterii R 1 paralel cu sine până la un punct L, este necesar să se adauge câteva forțe cu un moment egal cu momentul forței R 1 relativ la punct L, adică

Această pereche de forțe (moment) este prezentată în mod convențional în Fig. 2,71, în sub forma unei linii arcuite cu o săgeată. În mod similar, la transferul de forță R 2 exact La este necesar să atașați (adăugați) câteva forțe cu un moment

Lagărele arborelui prezentate în fig. 2,71, A, ar trebui considerate ca suporturi spațiale articulate care împiedică mișcările liniare în direcțiile axelor Xși la(sistemul de coordonate selectat este prezentat în Fig. 2.71, b).

Folosind schema de calcul prezentată în Fig. 2,71, G, compunem ecuațiile de echilibru pentru arborele în plan vertical:

Să facem o ecuație de testare:

prin urmare, reacțiile de sprijin în plan vertical sunt determinate corect.

Luați în considerare echilibrul arborelui în plan orizontal:

Să facem o ecuație de testare:

prin urmare, reacțiile de sprijin în plan orizontal sunt determinate corect.

Diagrame de cuplu Mzși momentele de încovoiere M xși Ale mele sunt prezentate în fig. 2,71, d.

Periculoasă este secțiunea La(vezi fig. 2.71, G,d). Moment echivalent conform ipotezei celor mai mari solicitări de forfecare

Tensiuni echivalente conform ipotezei celor mai mari tensiuni de forfecare pentru punctul periculos al arborelui

factor de securitate

care este mult mai mult [ n] = 4, prin urmare, rezistența arborelui este asigurată.

La calcularea rezistenței arborelui nu a fost luată în considerare modificarea tensiunilor în timp, motiv pentru care s-a obținut un factor de siguranță atât de semnificativ.

Exemplul 5 Determinați dimensiunile secțiunii transversale a grinzii (Fig. 2.72, A). Materialul grinzii este oțel 30XGS cu limite de curgere condiționate la tracțiune și compresiune σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0,2 c = σ Tc = 965 N/mm 2. Factor de securitate [ n] = 1,6.

Decizie

Bara lucrează pe acțiunea combinată de tensiune (compresie) și torsiune. Sub o astfel de încărcare, în secțiunile transversale apar doi factori de forță interni: forța longitudinală și cuplul.

Grafice ale forțelor longitudinale Nși cuplul Mz prezentată în fig. 2,72, b, c.În acest caz, determinați poziția secțiunii periculoase conform diagramelor Nși Mz imposibil, deoarece dimensiunile secțiunilor transversale ale secțiunilor grinzii sunt diferite. Pentru a determina poziția secțiunii periculoase, trebuie trasate grafice ale tensiunilor de forfecare normale și maxime de-a lungul lungimii grinzii.

Conform formulei

calculăm tensiunile normale în secțiunile transversale ale grinzii și construim o diagramă o (Fig. 2.72, G).

Conform formulei

calculăm tensiunile de forfecare maxime în secțiunile transversale ale grinzii și trasăm diagrama t max(orez* 2,72, e).

Probabil periculoase sunt punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunilor ABși CD(vezi fig. 2.72, A).

Pe fig. 2,72, e sunt prezentate parcele σ și τ pentru secțiuni transversale AB.

Amintiți-vă că în acest caz (o grindă cu secțiune transversală rotundă funcționează pe acțiunea combinată a tensiunii - compresie și torsiune), toate punctele conturului secțiunii transversale sunt la fel de periculoase.

Pe fig. 2,72, bine

Pe fig. 2,72, h diagramele a și t sunt prezentate pentru secțiunile transversale ale secțiunii CD.

Pe fig. 2,72, și sunt prezentate tensiunile de pe tampoanele inițiale în punctul periculos.

Principalele tensiuni în punctul periculos al șantierului CD:

Conform ipotezei de rezistență a lui Mohr, tensiunea echivalentă pentru punctul periculos al secțiunii luate în considerare este

Punctele de contur ale secțiunilor transversale ale secțiunii AB s-au dovedit a fi periculoase.

Condiția de rezistență are forma:

Exemplul 2.76. Determinați valoarea forței admisibile R din condiția de rezistență a tijei soare(Fig. 2.73).Materialul tijei este fontă cu rezistență la tracțiune σ vr = 150 N / mm 2 și rezistență la compresiune σ sun = 450 N / mm 2. Factorul de siguranță necesar [ n] = 5.

Instruire. Lemn spart ABC situat într-un plan orizontal, iar tija AB perpendicular pe Soare. Forțe R, 2R, 8R se află într-un plan vertical; putere 0,5 R, 1,6 R- in orizontala si perpendiculara pe tija soare; putere 10R, 16R coincide cu axa tijei soare; o pereche de forțe cu un moment m = 25Pd este situată într-un plan vertical perpendicular pe axa tijei Soare.

Decizie

Să aducem putere Rși 0,5P la centrul de greutate al secțiunii transversale B.

Transferând forța P paralel cu sine în punctul B, trebuie să adăugăm o pereche de forțe cu un moment egal cu momentul forței R relativ la punct LA, adică o pereche cu momentul m 1 = 10 Pd.

Putere 0,5R deplasați-vă de-a lungul liniei sale de acțiune până la punctul B.

Sarcini care acționează asupra tijei soare, prezentată în fig. 2,74 A.

Construim diagrame ale factorilor de forță interni pentru tijă Soare. Sub încărcarea specificată a tijei în secțiunile sale transversale, apar șase dintre ele: forța longitudinală N, forțe transversale Qxși qy, cuplu mz momente de încovoiere Mxși Mu.

Loturi N, Mz, Mx, Mu sunt prezentate în fig. 2,74 b(ordonatele diagramelor sunt exprimate în termeni de Rși d).

Loturi Qyși Qx nu construim, deoarece tensiunile tăietoare corespunzătoare forțelor transversale sunt mici.

În exemplul luat în considerare, poziția secțiunii periculoase nu este evidentă, se presupune că secțiunile K sunt periculoase (sfârșitul secțiunii eu) și S.

Tensiuni principale la punctul L:

Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul L

Să determinăm mărimea și planul de acțiune al momentului încovoietor Mi în secțiunea C, prezentate separat în fig. 2,74 d. Aceeași figură prezintă diagramele σ I, σ N , τ pentru secțiunea C.

Tensiuni pe locurile inițiale la punctul H(Fig. 2.74, e)

Principalele stresuri la un moment dat H:

Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru un punct H

Tensiuni pe locurile inițiale în punctul E (Fig. 2.74, g):

Tensiuni principale la punctul E:

Conform ipotezei de forță a lui Mohr, stresul echivalent pentru punctul E

Punctul periculos L pentru care

Condiția de rezistență are forma:

Controlați întrebările și sarcinile

1. Ce stare de solicitare apare în secțiunea transversală a arborelui sub acțiunea combinată de încovoiere și torsiune?

2. Scrieți condiția de rezistență pentru calculul arborelui.

3. Scrieți formule pentru calcularea momentului echivalent la calcularea ipotezei tensiunii maxime de forfecare și a ipotezei energiei de deformare.

4. Cum este selectată secțiunea periculoasă la calculul arborelui?

În cazul calculării unei bare rotunde sub acțiunea de îndoire și torsiune (Fig. 34.3), este necesar să se țină cont de tensiunile normale și de forfecare, deoarece valorile maxime ale tensiunii în ambele cazuri apar la suprafață. Calculul trebuie efectuat conform teoriei rezistenței, înlocuind starea complexă de stres cu una simplă la fel de periculoasă.

Efort maxim de torsiune in sectiune

Efort maxim de încovoiere în secțiune

Conform uneia dintre teoriile de rezistență, în funcție de materialul grinzii, se calculează solicitarea echivalentă pentru secțiunea periculoasă și se testează rezistența grinzii folosind efortul de încovoiere admisibil pentru materialul grinzii.

Pentru o grindă rotundă, momentele modulului de secțiune sunt următoarele:

Când se calculează conform celei de-a treia teorii a rezistenței, teoria tensiunilor de forfecare maxime, efortul echivalent este calculat prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor plastice.

Când se calculează conform teoriei energiei de formare, tensiunea echivalentă este calculată prin formula

Teoria este aplicabilă materialelor ductile și casante.

teoria tensiunilor de forfecare maxime:

Tensiunea echivalentă atunci când este calculată conform teorii ale energiei schimbării formei:

unde este momentul echivalent.

Stare de forță

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1 Pentru o stare de tensiune dată (Fig. 34.4), folosind ipoteza tensiunilor de forfecare maxime, calculați factorul de siguranță dacă σ T \u003d 360 N / mm 2.

Controlați întrebările și sarcinile

1. Ce caracterizează și cum este reprezentată starea de stres într-un punct?

2. Ce locații și ce tensiuni se numesc cele principale?

3. Enumerați tipurile de stări de stres.

4. Ce caracterizează starea deformată într-un punct?

5. În ce cazuri apar stări limită de efort în materialele ductile și casante?

6. Care este tensiunea echivalentă?

7. Explicați scopul teoriilor forței.

8. Scrieţi formule de calcul a tensiunilor echivalente în calcule conform teoriei tensiunilor de forfecare maxime şi a teoriei energiei de deformare. Explicați cum să le folosiți.

PRELEZA 35

Subiectul 2.7. Calculul unei bare de secțiune transversală circulară cu o combinație de deformații de bază

Cunoașteți formulele tensiunilor echivalente conform ipotezelor celor mai mari tensiuni tangenţiale și energiei de deformare.

Pentru a putea calcula o grindă cu secțiune transversală circulară pentru rezistență cu o combinație de deformații de bază.

Scurte informații din teorie

Grinda este în condiții de rezistență complexă, dacă mai mulți factori de forță interni nu sunt egali cu zero în același timp în secțiuni transversale.

Următoarele cazuri de încărcare complexă sunt de cel mai mare interes practic:

1. Îndoire oblică.

2. Încovoiere cu tensiune sau compresie când este transversal
secțiune, apar o forță longitudinală și momente încovoietoare, ca,
de exemplu, cu compresia excentrică a fasciculului.

3. Încovoiere cu torsiune, caracterizată prin prezența în papă
secțiuni de râu ale unei îndoiri (sau două îndoiri) și răsuciri
momente.

îndoire oblică.

Îndoirea oblică este un astfel de caz de încovoiere a grinzii, în care planul de acțiune al momentului de încovoiere total în secțiune nu coincide cu niciuna dintre axele principale de inerție. O îndoire oblică este considerată cel mai convenabil ca o îndoire simultană a unui fascicul în două planuri principale zoy și zox, unde axa z este axa fasciculului, iar axele x și y sunt axele centrale principale ale secțiunii transversale.

Luați în considerare o grindă cantilever de secțiune transversală dreptunghiulară, încărcată cu o forță P (Fig. 1).

Extinderea forței P de-a lungul axelor centrale principale ale secțiunii transversale, obținem:

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

Momentele încovoietoare apar în secțiunea curentă a grinzii

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

Semnul momentului încovoietor M x se determină la fel ca în cazul încovoierii directe. Momentul M y va fi considerat pozitiv dacă în punctele cu o valoare pozitivă a coordonatei x acest moment provoacă tensiuni de întindere. Apropo, semnul momentului M y este ușor de stabilit prin analogie cu definiția semnului momentului încovoietor M x, dacă rotiți mental secțiunea astfel încât axa x să coincidă cu direcția inițială a axei y .

Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii poate fi determinată folosind formulele de determinare a tensiunii pentru cazul unei coturi plane. Pe baza principiului independenței acțiunii forțelor, rezumăm tensiunile cauzate de fiecare dintre momentele încovoietoare.

(1)

În această expresie sunt înlocuite valorile momentelor încovoietoare (cu semnele lor) și coordonatele punctului în care se calculează solicitarea.

Pentru a determina punctele periculoase ale secțiunii, este necesar să se determine poziția dreptei zero sau neutre (locul punctelor secțiunii, în care tensiunile σ = 0). Tensiunile maxime apar în punctele cele mai îndepărtate de linia zero.

Ecuația liniei zero se obține din ecuația (1) la =0:

de unde rezultă că linia zero trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Tensiunile de forfecare care apar în secțiunile grinzii (la Q x ≠ 0 și Q y ≠ 0), de regulă, pot fi neglijate. Dacă este nevoie să le determinăm, atunci componentele tensiunii totale de forfecare τ x și τ y sunt mai întâi calculate conform formulei lui D.Ya. Zhuravsky, iar apoi acestea din urmă sunt rezumate geometric:

Pentru a evalua rezistența grinzii, este necesar să se determine tensiunile normale maxime în secțiunea periculoasă. Deoarece starea de solicitare este uniaxială în punctele cele mai încărcate, condiția de rezistență în calculul prin metoda tensiunilor admisibile ia forma

Pentru materiale plastice

Pentru materiale fragile

n este factorul de siguranță.

Dacă calculul se efectuează conform metodei stărilor limită, atunci condiția de rezistență are forma:

unde R este rezistența de proiectare,

m este coeficientul condițiilor de muncă.

În cazurile în care materialul grinzii rezistă diferit la tensiune și compresie, este necesar să se determine atât tensiunile maxime de tracțiune, cât și cele de compresiune maxime și să se facă o concluzie despre rezistența grinzii din rapoarte:

unde R p și R c sunt rezistențele de proiectare ale materialului la tracțiune și, respectiv, la compresiune.

Pentru a determina deviațiile fasciculului, este convenabil să găsiți mai întâi deplasările secțiunii în planurile principale în direcția axelor x și y.

Calculul acestor deplasări ƒ x și ƒ y se poate realiza prin întocmirea unei ecuații universale pentru axa îndoită a grinzii sau prin metode energetice.

Deviația totală poate fi găsită ca o sumă geometrică:

starea de rigiditate a grinzii are forma:

unde - este deformarea admisibilă a fasciculului.

Compresie excentrică

În acest caz, forța P care comprimă grinda este îndreptată paralel cu axa grinzii și se aplică într-un punct care nu coincide cu centrul de greutate al secțiunii. Fie X p și Y p coordonatele punctului de aplicare a forței P, măsurate în raport cu axele centrale principale (Fig. 2).

Sarcina care acționează face ca în secțiunile transversale să apară următorii factori de forță interni: N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

Semnele momentelor încovoietoare sunt negative, deoarece acestea din urmă provoacă compresie în punctele aparținând primului sfert. Tensiunea într-un punct arbitrar al secțiunii este determinată de expresie

(9)

Înlocuind valorile lui N, Mx și My, obținem

(10)

Deoarece Yx= F, Yy= F (unde i x și i y sunt razele principale de inerție), ultima expresie poate fi redusă la forma

(11)

Ecuația liniei zero se obține prin setarea =0

1+ (12)

Decupate de linia zero pe axele de coordonate ale segmentului și , sunt exprimate după cum urmează:

Folosind dependențele (13), se poate găsi cu ușurință poziția liniei zero în secțiune (Fig. 3), după care se determină punctele cele mai îndepărtate de această linie, care sunt periculoase, deoarece în ele apar tensiuni maxime.

Starea de efort în punctele secțiunii este uniaxială, de aceea starea de rezistență a grinzii este similară cu cazul considerat anterior de îndoire oblică a grinzii - formulele (5), (6).

Cu compresia excentrică a barelor, al cărui material rezistă slab la întindere, este de dorit să se prevină apariția tensiunilor de tracțiune în secțiunea transversală. În secțiune, tensiunile de același semn vor apărea dacă linia zero trece în afara secțiunii sau, în cazuri extreme, o atinge.

Această condiție este îndeplinită atunci când forța de compresiune este aplicată în interiorul regiunii numită miezul secțiunii. Miezul secțiunii este o zonă care acoperă centrul de greutate al secțiunii și se caracterizează prin faptul că orice forță longitudinală aplicată în interiorul acestei zone provoacă tensiuni de același semn în toate punctele barei.

Pentru a construi miezul secțiunii, este necesar să setați poziția dreptei zero astfel încât să atingă secțiunea fără a o intersecta nicăieri și să găsiți punctul corespunzător de aplicare al forței P. După ce a tras o familie de tangente la secțiune, obținem un set de poli corespunzători acestora, al căror loc va da conturul (conturul) secțiunilor de miez.

Să fie, de exemplu, secțiunea prezentată în Fig. 4 cu axele centrale principale x și y.

Pentru a construi miezul secțiunii, dăm cinci tangente, dintre care patru coincid cu laturile AB, DE, EF și FA, iar a cincea conectează punctele B și D. Măsurând sau calculând din tăietură, tăiați cu tangentele indicate I-I. ,. . . ., 5-5 pe axele x, y și înlocuind aceste valori în dependență (13), determinăm coordonatele x p, y p pentru cei cinci poli 1, 2 .... 5, corespunzătoare celor cinci poziții ale linia zero. Tangenta I-I poate fi mutată în poziția 2-2 prin rotație în jurul punctului A, în timp ce polul I trebuie să se deplaseze în linie dreaptă și, ca urmare a rotației tangentei, să meargă la punctul 2. Prin urmare, toți polii corespunzători pozițiilor intermediare ale tangenta dintre I-I si 2-2 va fi situata pe direct 1-2. În mod similar, se poate dovedi că și celelalte laturi ale miezului secțiunii vor fi dreptunghiulare, adică. miezul secțiunii este un poligon, pentru construcția căruia este suficient să conectați polii 1, 2, ... 5 cu linii drepte.

Îndoirea cu torsiune a unei bare rotunde.

La îndoirea cu torsiune în secțiunea transversală a grinzii, în cazul general, cinci factori de forță interni nu sunt egali cu zero: M x, M y, M k, Q x și Q y. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, influența forțelor tăietoare Q x și Q y poate fi neglijată dacă secțiunea nu este cu pereți subțiri.

Tensiunile normale dintr-o secțiune transversală pot fi determinate din mărimea momentului încovoietor rezultat

deoarece axa neutră este perpendiculară pe cavitatea de acţiune a momentului M u .

Pe fig. 5 prezintă momentele încovoietoare M x și M y ca vectori (direcțiile M x și M y sunt alese pozitive, adică astfel încât în ​​punctele primului cadran al secțiunii tensiunile să fie de tracțiune).

Direcția vectorilor M x și M y este aleasă astfel încât observatorul, privind de la capătul vectorului, să-i vadă îndreptați în sens invers acelor de ceasornic. În acest caz, linia neutră coincide cu direcția vectorului momentului rezultat M u, iar punctele cele mai încărcate ale secțiunii A și B se află în planul de acțiune al acestui moment.

Încovoierea este înțeleasă ca un tip de încărcare în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă momentul încovoietor în secțiune este singurul factor de forță, atunci încovoierea se numește pură. Dacă, împreună cu momentul încovoietor, în secțiunile transversale ale grinzii apar și forțe transversale, atunci îndoirea se numește transversală.

Se presupune că momentul încovoietor și forța transversală se află într-unul dintre planurile principale ale grinzii (presupunem că acest plan este ZOY). O astfel de îndoire se numește plată.

În toate cazurile considerate mai jos are loc o îndoire plană transversală a grinzilor.

Pentru a calcula rezistența sau rigiditatea unei grinzi, este necesar să se cunoască factorii de forță interni care apar în secțiunile sale. În acest scop, se construiesc diagrame ale forțelor transversale (pură Q) și ale momentelor încovoietoare (M).

La îndoire, axa rectilinie a fasciculului este îndoită, axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii. Pentru certitudine, atunci când construim diagrame ale forțelor transversale ale momentelor încovoietoare, stabilim reguli de semn pentru acestea. Să presupunem că momentul încovoietor va fi considerat pozitiv dacă elementul grinzii este îndoit cu o convexitate în jos, adică. în aşa fel încât fibrele sale comprimate să fie în vârf.

Dacă momentul îndoaie fasciculul cu o umflătură în sus, atunci acest moment va fi considerat negativ.

Valorile pozitive ale momentelor încovoietoare la trasare sunt reprezentate, ca de obicei, în direcția axei Y, care corespunde graficului pe o fibră comprimată.

Prin urmare, regula semnelor pentru diagrama momentelor încovoietoare poate fi formulată astfel: ordonatele momentelor sunt trasate din partea straturilor de grinzi.

Momentul încovoietor într-o secțiune este egal cu suma momentelor relativ la această secțiune a tuturor forțelor situate pe o parte (orice) a secțiunii.

Pentru a determina forțele transversale (Q), stabilim regula semnelor: forța transversală este considerată pozitivă dacă forța externă tinde să rotească partea tăiată a fasciculului în sensul acelor de ceasornic. săgeata relativă la punctul axei care corespunde secțiunii desenate.

Forța transversală (Q) într-o secțiune transversală arbitrară a fasciculului este numeric egală cu suma proiecțiilor pe axa y a forțelor externe aplicate părții sale trunchiate.

Luați în considerare câteva exemple de reprezentare a forțelor transversale ale momentelor încovoietoare. Toate forțele sunt perpendiculare pe axa grinzilor, deci componenta orizontală a reacției este zero. Axa deformată a fasciculului și forțele se află în planul principal ZOY.

Lungimea fasciculului este prinsă de capătul stâng și încărcată cu o forță concentrată F și un moment m=2F.

Construim diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M din.

În cazul nostru, nu există constrângeri impuse fasciculului din partea dreaptă. Prin urmare, pentru a nu determina reacțiile de sprijin, este recomandabil să se ia în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a grinzii. Grinda dată are două zone de încărcare. Limitele secțiunilor-secțiuni în care se aplică forțe externe. 1 tronson - NE, 2 - VA.

Efectuăm o secțiune arbitrară în secțiunea 1 și luăm în considerare echilibrul părții tăiate din dreapta a lungimii Z 1.

Din starea de echilibru rezultă:

Q=F; M out = -fz 1 ()

Forța tăietoare este pozitivă, deoarece forța externă F tinde să rotească partea tăiată în sensul acelor de ceasornic. Momentul încovoietor este considerat negativ, deoarece îndoaie partea considerată a fasciculului cu o convexitate în sus.

La compilarea ecuațiilor de echilibru, fixăm mental locul secțiunii; din ecuaţiile () rezultă că forţa transversală din secţiunea I nu depinde de Z 1 şi este o valoare constantă. Forța pozitivă Q=F este mărită de la linia centrală a fasciculului, perpendicular pe aceasta.

Momentul încovoietor depinde de Z 1 .

Când Z 1 \u003d O M de la \u003d O la Z 1 \u003d M de la \u003d

Valoarea rezultată () este pusă deoparte în jos, adică. diagrama M din este construită pe fibra comprimată.

Să trecem la partea a doua

Tăiem secțiunea II la o distanță arbitrară Z 2 de capătul drept liber al grinzii și luăm în considerare echilibrul părții tăiate a lungimii Z 2. Modificarea forței tăietoare și a momentului încovoietor pe baza condițiilor de echilibru poate fi exprimată prin următoarele ecuații:

Q=FM de la = - FZ 2 +2F

Mărimea și semnul forței transversale nu s-au schimbat.

Mărimea momentului încovoietor depinde de Z 2 .

La Z 2 = M de la =, la Z 2 =

Momentul încovoietor s-a dovedit a fi pozitiv, atât la începutul secțiunii II, cât și la sfârșitul acesteia. În secțiunea II, grinda se îndoaie cu o umflare în jos.

Lăsați deoparte pe o scară mărimea momentelor în sus pe linia centrală a fasciculului (adică, diagrama este construită pe o fibră comprimată). Cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea în care se aplică momentul exterior m și este egal în valoare absolută cu

Rețineți că pe lungimea grinzii, unde Q rămâne constant, momentul încovoietor M se modifică liniar și este reprezentat pe diagramă prin drepte oblice. Din diagramele Q și M din se poate observa că în secțiunea în care se aplică o forță transversală externă, diagrama Q are un salt cu valoarea acestei forțe, iar diagrama M din are o îndoire. Într-o secțiune în care se aplică un moment încovoietor extern, diagrama Miz are un salt cu valoarea acestui moment. Acest lucru nu se reflectă în diagrama Q. Din diagrama M din vedem că

max M out =

prin urmare, secțiunea periculoasă este extrem de aproape pe partea stângă de așa-numita.

Pentru grinda prezentată în Fig. 13, a, construiți diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare. Lungimea grinzii este încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea q(KN/cm).

Pe suportul A (balama fixă) va avea loc o reacție verticală R a (reacția orizontală este zero), iar pe suportul B (balama mobilă) are loc o reacție verticală R v.

Să determinăm reacțiile verticale ale suporturilor compunând ecuația momentelor relativ la suporturile A și B.

Să verificăm corectitudinea definiției reacției:

acestea. reacțiile de sprijin sunt corect definite.

Grinda dată are două secțiuni de încărcare: Secțiunea I - AC.

Sectiunea II - NE.

Pe prima secțiune a, în secțiunea actuală Z 1, din starea de echilibru a părții tăiate, avem

Ecuația momentelor încovoietoare pe 1 secțiune a grinzii:

Momentul din reacția R a îndoaie grinda în secțiunea 1, convex în jos, astfel încât momentul încovoietor din reacția Ra este introdus în ecuație cu semn plus. Sarcina qZ 1 îndoaie fasciculul cu o convexitate în sus, astfel încât momentul de la ea este introdus în ecuație cu semnul minus. Momentul încovoietor se modifică conform legii parabolei pătrate.

Prin urmare, este necesar să aflăm dacă există un extremum. Există o dependență diferențială între forța transversală Q și momentul încovoietor, pe care îl vom analiza în continuare

După cum știți, funcția are un extrem în care derivata este egală cu zero. Prin urmare, pentru a determina la ce valoare a lui Z 1, momentul încovoietor va fi extrem, este necesar să egalăm ecuația forței transversale cu zero.

Deoarece forța transversală își schimbă semnul de la plus la minus în această secțiune, momentul încovoietor în această secțiune va fi maxim. Dacă Q își schimbă semnul de la minus la plus, atunci momentul încovoietor în această secțiune va fi minim.

Deci momentul de încovoiere la

este maximul.

Prin urmare, construim o parabolă pe trei puncte

Când Z 1 \u003d 0 M de la \u003d 0

Tăiem a doua secțiune la distanța Z 2 de suportul B. Din starea de echilibru a părții tăiate din dreapta a grinzii, avem:

Când Q=const,

momentul încovoietor va fi:

la, la, i.e. M DIN

se modifică liniar.

O grindă pe două suporturi, având o deschidere egală cu 2 și o consolă din stânga cu o lungime, este încărcată așa cum se arată în Fig. 14, a., Unde q (Kn / cm) este sarcina liniară. Suportul A este fixat pivotant, suportul B este o rolă mobilă. Construiți parcele Q și M din.

Rezolvarea problemei ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor suporturilor. Din condiția ca suma proiecțiilor tuturor forțelor de pe axa Z să fie egală cu zero, rezultă că componenta orizontală a reacției pe suportul A este 0.

Pentru a verifica, folosim ecuația

Ecuația de echilibru este satisfăcută, prin urmare, reacțiile sunt calculate corect. Ne întoarcem la definiția factorilor de forță interni. O grindă dată are trei zone de încărcare:

• 1 sectiune - SA,
• Secțiunea a 2-a - AD,
• 3 sectiune - DV.

Tăiem 1 secțiune la distanța Z 1 de capătul stâng al grinzii.

la Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M FROM \u003d 0

la Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d

Astfel, pe diagrama forțelor transversale se obține o dreaptă înclinată, iar pe diagrama momentelor încovoietoare se obține o parabolă, al cărei vârf se află la capătul stâng al grinzii.

În secțiunea II (a Z 2 2a), pentru a determina factorii de forță interni, luați în considerare echilibrul părții tăiate din stânga a grinzii cu o lungime Z 2 . Din starea de echilibru avem:

Forța transversală în această zonă este constantă.

La secțiunea III()

Din diagramă vedem că cel mai mare moment încovoietor are loc în secțiunea sub forța F și este egal cu. Această secțiune va fi cea mai periculoasă.

Pe diagrama M dinspre există un salt pe suportul B, egal cu momentul exterior aplicat în această secțiune.

Având în vedere diagramele construite mai sus, nu este greu de observat o anumită legătură regulată între diagramele momentelor încovoietoare și diagramele forțelor transversale. Să demonstrăm.

Derivata forței transversale de-a lungul lungimii grinzii este egală cu modulul intensității sarcinii.

Renunțând la valoarea ordinului superior al micimii, obținem:

acestea. forța transversală este derivata momentului încovoietor de-a lungul lungimii grinzii.

Ținând cont de dependențele diferențiale obținute, se pot trage concluzii generale. Dacă fasciculul este încărcat cu o sarcină uniform distribuită de intensitate q=const, evident, funcția Q va fi liniară, iar M din - pătratică.

Dacă fasciculul este încărcat cu forțe sau momente concentrate, atunci în intervalele dintre punctele de aplicare a acestora intensitatea q=0. Prin urmare, Q=const, iar M din este o funcție liniară a lui Z. În punctele de aplicare a forțelor concentrate, diagrama Q suferă un salt cu valoarea forței exterioare, iar în diagrama M din, are loc o rupere corespunzătoare. (un decalaj în derivată).

La locul de aplicare a momentului încovoietor extern există un gol în diagrama momentului, egal ca mărime cu momentul aplicat.

Dacă Q>0, atunci M din crește, iar dacă Q<0, то М из убывает.

Dependențe diferențiale sunt folosite pentru a verifica ecuațiile compilate pentru a reprezenta graficul Q și M din, precum și pentru a clarifica forma acestor diagrame.

Momentul încovoietor se modifică conform legii unei parabole, a cărei convexitate este întotdeauna îndreptată spre sarcina externă.

Introducere.

Încovoierea este un tip de deformare caracterizat printr-o curbură (modificarea curburii) a axei sau a suprafeței mijlocii a unui obiect deformabil (bară, grindă, placă, înveliș etc.) sub influența forțelor externe sau a temperaturii. Încovoierea este asociată cu apariția momentelor încovoietoare în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă doar unul dintre cei șase factori de forță interni din secțiunea fasciculului este diferit de zero, îndoirea se numește pură:

Dacă, pe lângă momentul încovoietor, în secțiunile transversale ale grinzii acționează și o forță transversală, îndoirea se numește transversală:

În practica inginerească, se ia în considerare și un caz special de îndoire - I longitudinal. ( orez. unu, c), caracterizată prin flambajul tijei sub acţiunea forţelor de compresiune longitudinale. Acțiunea simultană a forțelor direcționate de-a lungul axei tijei și perpendicular pe aceasta determină o îndoire longitudinal-transversală ( orez. unu, G).

Orez. 1. Îndoirea grinzii: a - pur: b - transversal; în - longitudinal; g - longitudinal-transversal.

O bară care se îndoaie se numește grindă. O îndoire se numește plată dacă axa grinzii rămâne o linie plată după deformare. Planul axei curbe a grinzii se numește plan de îndoire. Planul de acțiune al forțelor de sarcină se numește plan al forței. Dacă planul forței coincide cu unul dintre planurile principale de inerție ale secțiunii transversale, îndoirea se numește drept. (În caz contrar, există o îndoire oblică). Planul principal de inerție al secțiunii transversale este un plan format din una dintre axele principale ale secțiunii transversale cu axa longitudinală a grinzii. În îndoirea dreaptă plană, planul de îndoire și planul forței coincid.

Problema torsiunii și îndoirii unei grinzi (problema Saint-Venant) este de mare interes practic. Aplicarea teoriei de încovoiere stabilită de Navier constituie o ramură extinsă a mecanicii structurale și are o mare importanță practică, deoarece servește drept bază pentru calculul dimensiunilor și verificarea rezistenței diferitelor părți ale structurilor: grinzi, poduri, elemente de mașină. , etc.

ECUAȚII DE BAZĂ ȘI PROBLEME ALE TEORIEI ELASTICITĂȚII

§ 1. ecuaţii de bază

În primul rând, oferim un rezumat general al ecuațiilor de bază pentru problemele de echilibru ale unui corp elastic, care formează conținutul secțiunii teoriei elasticității, numită de obicei statica unui corp elastic.

Starea deformată a corpului este complet determinată de tensorul câmpului de deformare sau de câmpul de deplasare Componentele tensorului de deformare sunt legate de deplasări prin dependențe diferențiale Cauchy:

(1)

Componentele tensorului de deformare trebuie să satisfacă dependențele diferențiale Saint-Venant:

care sunt condiţii necesare şi suficiente pentru integrabilitatea ecuaţiilor (1).

Starea de stres a corpului este determinată de tensorul câmpului de stres Șase componente independente ale unui tensor simetric () trebuie să satisfacă trei ecuații de echilibru diferențial:

Componentele tensorilor de stres și deplasare sunt legate prin cele șase ecuații ale legii lui Hooke:

În unele cazuri, ecuațiile legii lui Hooke trebuie utilizate sub forma unei formule

, (5)

Ecuațiile (1)-(5) sunt ecuațiile de bază ale problemelor statice din teoria elasticității. Uneori, ecuațiile (1) și (2) se numesc ecuații geometrice, ecuații ( 3) - ecuații statice, iar ecuațiile (4) sau (5) - ecuații fizice. La ecuațiile de bază care determină starea unui corp liniar elastic în punctele sale interne ale volumului, este necesar să se adauge condiții pe suprafața lui.Aceste condiții se numesc condiții la limită. Ele sunt determinate fie de forțele de suprafață exterioare date sau mişcări date punctele suprafeței corpului. În primul caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate:

unde sunt componentele vectorului t rezistența suprafeței, sunt componentele vectorului unitar P, îndreptată de-a lungul normalului exterioară la suprafață la punctul luat în considerare.

În al doilea caz, condițiile la limită sunt exprimate prin egalitate

Unde sunt funcții definite la suprafață.

Condițiile limită pot fi, de asemenea, mixte, atunci când sunt pe o singură parte forțele de suprafață exterioară sunt date pe suprafața corpului iar pe cealaltă parte deplasările suprafeței corpului sunt date:

Sunt posibile și alte tipuri de condiții la limită. De exemplu, pe o anumită parte a suprafeței corpului sunt specificate doar unele componente ale vectorului deplasare și, în plus, nu sunt specificate nici toate componentele vectorului forță de suprafață.

§ 2. Principalele probleme ale staticii unui corp elastic

În funcție de tipul condițiilor la limită, se disting trei tipuri de probleme statice de bază ale teoriei elasticității.

Problema principală a primului tip este de a determina componentele tensorului câmpului de stres în interiorul regiunii , ocupat de corp, și componenta vectorului deplasare a punctelor din interiorul zonei și puncte de suprafață corpuri în funcție de forțele de masă date și forțele de suprafață

Cele nouă funcții dorite trebuie să satisfacă ecuațiile de bază (3) și (4), precum și condițiile la limită (6).

Sarcina principală a celui de-al doilea tip este de a determina deplasările puncte din interiorul zonei și componenta tensorului câmpului de stres conform forțelor de masă date iar în funcţie de deplasări date pe suprafaţa corpului.

Caut caracteristici și trebuie să îndeplinească ecuațiile de bază (3) și (4) și condițiile la limită (7).

Rețineți că condițiile la limită (7) reflectă cerința pentru continuitatea funcțiilor definite la granița corp, adică atunci când punctul interior tinde la un punct de la suprafață, funcția ar trebui să tindă la o valoare dată la un punct dat de pe suprafață.

Problema principală a celui de-al treilea tip sau o problemă mixtă este că, având în vedere forțele de suprafață pe o parte a suprafeței corpului și în funcție de deplasări date pe o altă parte a suprafeței corpului și, de asemenea, în general, în funcție de forțele date ale corpului se cere determinarea componentelor tensorului de efort si deplasare , satisfacerea ecuațiilor de bază (3) și (4) în condiții mixte la limită (8).

După obținerea soluției acestei probleme, este posibil să se determine, în special, forțele legăturilor asupra , care trebuie aplicat în punctele suprafeței pentru a realiza deplasările date pe această suprafață și se pot calcula și deplasările punctelor de suprafață. . Cursuri >> Industrie, producție

După lungime cherestea, apoi grindă deformat. Deformare cheresteaînsoţit simultan de... lemn, polimer etc. Când îndoi cherestea sprijinit pe doi suporti... îndoi va fi caracterizat de o săgeată de deviere. În acest caz, tensiunile de compresiune în partea concavă cherestea ...

Avantajele lipitului cheresteaîn construcții joase

Rezumat >> Construcție

Rezolvat la utilizarea profilate lipite cherestea. Cherestea stratificata in portanta... , nu se ondula sau curbe. Acest lucru se datorează lipsei de... transport de combustibil. 5. Suprafață lipită cherestea realizat cu respectarea tuturor tehnologiilor...