Formula pentru găsirea cosinusului dintre vectori. Produsul punctual al vectorilor

Instruire

Fie doi vectori nenuli pe plan, reprezentați grafic dintr-un punct: vector A cu coordonatele (x1, y1) B cu coordonatele (x2, y2). Injecţieîntre ele se notează θ. Pentru a găsi măsura gradului unghiului θ, trebuie să utilizați definiția produsului scalar.

Produsul scalar a doi vectori nenuli este un număr egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei, adică (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Acum trebuie să exprimați cosinusul unghiului din aceasta: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Produsul scalar poate fi găsit și folosind formula (A,B)=x1*x2+y1*y2, deoarece produsul a două vectori nenuli este egală cu suma produselor vectorilor corespunzători. Dacă produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero, atunci vectorii sunt perpendiculari (unghiul dintre ei este de 90 de grade) și pot fi omise calcule suplimentare. Dacă produsul scalar al doi vectori este pozitiv, atunci unghiul dintre aceștia vectori acut, iar dacă este negativ, atunci unghiul este obtuz.

Acum calculați lungimile vectorilor A și B folosind formulele: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Lungimea vectorului este calculată ca Rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale.

Înlocuiți valorile găsite ale produsului scalar și lungimile vectorilor în formula pentru unghiul obținut la pasul 2, adică cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Acum, cunoscând valoarea lui , pentru a găsi măsura gradului unghiului dintre vectori trebuie să folosiți tabelul Bradis sau să luați din aceasta: θ=arccos(cos(θ)).

Dacă vectorii A și B sunt dați în spațiu tridimensional și au coordonatele (x1, y1, z1) și respectiv (x2, y2, z2), atunci se mai adaugă o coordonată la găsirea cosinusului unghiului. În acest caz cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Sfat util

Dacă doi vectori nu sunt reprezentați dintr-un punct, atunci pentru a găsi unghiul dintre ei prin translație paralelă, trebuie să combinați începuturile acestor vectori.
Unghiul dintre doi vectori nu poate fi mai mare de 180 de grade.

Surse:

cum se calculează unghiul dintre vectori
Unghiul dintre linie și plan

Pentru a rezolva multe probleme, atât aplicative, cât și teoretice, din fizică și algebră liniară, este necesar să se calculeze unghiul dintre vectori. Această sarcină aparent simplă poate provoca o mulțime de dificultăți dacă nu înțelegeți clar esența produsului scalar și ce valoare apare ca urmare a acestui produs.

Instruire

Unghiul dintre vectori dintr-un spațiu vectorial liniar este unghiul minim la , la care se realizează codirecția vectorilor. Unul dintre vectori este purtat în jurul punctului său de pornire. Din definiție, devine evident că valoarea unghiului nu poate depăși 180 de grade (vezi pasul).

În acest caz, se presupune pe bună dreptate că într-un spațiu liniar, atunci când vectorii sunt transferați în paralel, unghiul dintre ei nu se schimbă. Prin urmare, pentru calculul analitic al unghiului, orientarea spațială a vectorilor nu contează.

Rezultatul produsului scalar este un număr, altfel un scalar. Amintiți-vă (acest lucru este important de știut) pentru a preveni erorile în calculele ulterioare. Formula pentru produsul scalar, situat pe un plan sau în spațiul vectorilor, are forma (vezi figura pentru pas).

Dacă vectorii sunt localizați în spațiu, atunci efectuați calculul într-un mod similar. Singurul lucru va fi apariția termenului în dividend - acesta este termenul pentru solicitant, i.e. a treia componentă a vectorului. În consecință, atunci când se calculează modulul de vectori, trebuie luată în considerare și componenta z, apoi pentru vectorii aflați în spațiu, ultima expresie se transformă după cum urmează (vezi Figura 6 la pas).

Un vector este un segment de linie cu o direcție dată. Unghiul dintre vectori are sens fizic, de exemplu, când se află lungimea proiecției unui vector pe o axă.

Instruire

Unghiul dintre doi vectori non-zero folosind calculul produsului punctual. Prin definiție, produsul este egal cu produsul dintre lungimi și unghiul dintre ele. Pe de altă parte, se calculează produsul interior pentru doi vectori a cu coordonate (x1; y1) și b cu coordonate (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Dintre aceste două moduri, produsul punctual este ușor de unghiat între vectori.

Găsiți lungimile sau modulele vectorilor. Pentru vectorii noștri a și b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Găsiți produsul interior al vectorilor înmulțind coordonatele lor în perechi: ab = x1x2 + y1y2. Din definiția produsului scalar ab = |a|*|b|*cos α, unde α este unghiul dintre vectori. Atunci obținem că x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Atunci cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Găsiți unghiul α folosind tabelele Bradys.

Videoclipuri similare

Notă

Produsul scalar este o caracteristică scalară a lungimii vectorilor și a unghiului dintre ei.

Planul este unul dintre conceptele de bază în geometrie. Un plan este o suprafață pentru care afirmația este adevărată - orice linie dreaptă care leagă două dintre punctele sale aparține în întregime acestei suprafețe. Avioanele sunt desemnate Litere greceștiα, β, γ etc. Două planuri se intersectează întotdeauna într-o linie dreaptă care aparține ambelor plane.

Instruire

Se consideră semiplanurile α și β formate la intersecția lui . Unghi format dintr-o dreaptă a și două semiplane α și β de un unghi diedru. În acest caz, semiplanurile care formează un unghi diedru prin fețe, linia a de-a lungul căreia se intersectează planurile se numește muchie unghi diedru.

Unghi diedru, ca un unghi plat, în grade. Pentru a face un unghi diedru, este necesar să alegeți pe fața sa un punct arbitrar O. În ambele, prin punctul O sunt trase două raze a. Unghiul rezultat AOB se numește unghiul liniar al unghiului diedru a.

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α între vectorii V și N este: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pentru a calcula valoarea unghiului în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă cosinusului din expresia rezultată, i.e. arccosin: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți injecţieîntre vector(5, -3, 8) și avion, dată de ecuația generală 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiește totul valori cunoscuteîn formula de mai sus: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Videoclipuri similare

Scrieți o ecuație și izolați cosinusul de ea. Conform unei formule, produsul scalar al vectorilor este egal cu lungimile lor înmulțite între ele și cu cosinusul unghi, iar pe de altă parte - suma produselor coordonatelor de-a lungul fiecărei axe. Echivalând ambele formule, putem concluziona că cosinusul unghi trebuie să fie egal cu raportul dintre suma produselor coordonatelor și produsul lungimilor vectorilor.

Notați ecuația rezultată. Pentru a face acest lucru, trebuie să desemnăm ambii vectori. Să presupunem că sunt date într-un sistem cartezian 3D și punctele lor de plecare sunt într-o grilă. Direcția și mărimea primului vector vor fi date de punctul (X₁,Y₁,Z₁), al doilea - (X₂,Y₂,Z₂), iar unghiul va fi notat cu litera γ. Atunci lungimile fiecăruia dintre vectori pot fi, de exemplu, conform teoremei lui Pitagora pentru formate din proiecțiile lor pe fiecare dintre axele de coordonate: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) și √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Înlocuiți aceste expresii în formula formulată în pasul anterior și obțineți egalitatea: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y22 + Z22)).

Folosiți faptul că suma pătratului sinusuluiși co sinusului din unghi o valoare dă întotdeauna una. Prin urmare, prin ridicarea a ceea ce s-a obținut la pasul anterior pentru co sinusului pătrat și scăzut din unitate și apoi

Când studiem geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a lua în considerare unghiurile dintre vectori, este necesar să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Unghiul dintre doi vectori dintr-un plan care au o origine comună este cel mai mic dintre unghiuri, prin care se cere deplasarea unuia dintre vectori în jurul unui punct comun, într-o poziție în care direcțiile lor coincid.

Formula soluției

Odată ce înțelegeți ce este un vector și cum este determinat unghiul acestuia, puteți calcula unghiul dintre vectori. Formula de soluție pentru aceasta este destul de simplă, iar rezultatul aplicării sale va fi valoarea cosinusului unghiului. Prin definiție, este egal cu câtul dintre produsul scalar al vectorilor și produsul lungimii acestora.

Produsul scalar al vectorilor este considerat ca suma coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor multiplicatori înmulțite între ele. Lungimea unui vector, sau modulul acestuia, este calculată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind tabel trigonometric.

Exemplu

După ce vă dați seama cum să calculați unghiul dintre vectori, soluția problemei corespunzătoare devine simplă și directă. Ca exemplu, luați în considerare problema simplă de a găsi mărimea unui unghi.

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimilor vectorilor și produsul lor scalar necesar rezolvării. Folosind descrierea de mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Acest număr nu este una dintre cele cinci valori comune ale cosinusului, așa că pentru a obține valoarea unghiului, va trebui să utilizați un calculator sau tabelul trigonometric Bradis. Dar înainte de a obține unghiul dintre vectori, formula poate fi simplificată pentru a scăpa de semnul negativ suplimentar:

Răspunsul final poate fi lăsat în această formă pentru a menține acuratețea, sau puteți calcula valoarea unghiului în grade. Conform tabelului Bradis, valoarea acestuia va fi de aproximativ 116 grade și 70 de minute, iar calculatorul va afișa o valoare de 116,57 grade.

Calculul unghiului în spațiu n-dimensional

Când luăm în considerare doi vectori din spațiul tridimensional, este mult mai dificil de înțeles despre ce unghi vorbim dacă nu se află în același plan. Pentru a simplifica percepția, puteți desena două segmente care se intersectează care formează cel mai mic unghi între ele, iar acesta va fi cel dorit. În ciuda prezenței unei a treia coordonate în vector, procesul de calcul al unghiurilor dintre vectori nu se va schimba. Calculați produsul scalar și modulele vectorilor, arccosinusul coeficientului lor și va fi răspunsul la această problemă.

În geometrie, problemele apar adesea cu spații care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Una dintre greșelile frecvente atunci când scrieți un răspuns la o problemă concepută pentru a calcula unghiul dintre vectori este decizia de a scrie că vectorii sunt paraleli, adică unghiul dorit sa dovedit a fi de 0 sau 180 de grade. Acest răspuns este incorect.

După ce a primit o valoare a unghiului de 0 grade ca rezultat al soluției, răspunsul corect ar fi de a desemna vectorii ca co-direcționali, adică vectorii vor avea aceeași direcție. In cazul obtinerii a 180 de grade, vectorii vor fi de natura unor directii opuse.

Vectori specifici

Găsind unghiurile dintre vectori se poate găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele co-direcționate și direcționate opus descrise mai sus.

Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
Vectorii care se află pe aceeași linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
Dacă lungimea vectorului este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci se numește unu.

Unghiul dintre doi vectori:

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor punctual este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produsul scalar a doi vectori nenuli este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

Sarcina. Găsiți unghiul dintre vectori și

Soluţie. Cosinusul unghiului dorit

16. Calcularea unghiului dintre drepte, o dreaptă și un plan

Unghiul dintre linie și plan intersectând această dreaptă și nu perpendicular pe ea este unghiul dintre linie și proiecția ei pe acest plan.

Determinarea unghiului dintre o linie și un plan ne permite să concluzionam că unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre două drepte care se intersectează: linia însăși și proiecția ei pe plan. Prin urmare, unghiul dintre o linie și un plan este un unghi ascuțit.

Unghiul dintre o dreaptă perpendiculară și un plan este considerat egal, iar unghiul dintre o dreaptă paralelă și un plan fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal cu .

§ 69. Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan (§ 32). Notați cu φ unghiul dintre drepte l 1 și l 2 , iar prin ψ - unghiul dintre vectorii de direcție dar Și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ 90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Este evident că în ambele cazuri egalitatea cos φ = |cos ψ| este adevărată. Prin formula (1) § 20 avem

Prin urmare,

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

17. Drepte paralele, Teoreme pe drepte paralele

Definiție. Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu au puncte comune.

Se numesc două linii în trei dimensiuni paralel dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Unghiul dintre doi vectori.

Din definiția produsului punctual:

Condiția de ortogonalitate a doi vectori:

Condiție de coliniaritate pentru doi vectori:

Rezultă din definiția 5 - . Într-adevăr, din definiția produsului unui vector cu un număr, rezultă. Prin urmare, pe baza regulii egalității vectoriale, scriem , , , ceea ce implică . Dar vectorul rezultat din înmulțirea unui vector cu un număr este coliniar cu vectorul .

Proiecție vector la vector:

Exemplul 4. Punctele date , , , .

Găsiți produsul scalar.

Soluţie. găsim prin formula produsului scalar al vectorilor dat de coordonatele lor. În măsura în care

, ,

Exemplul 5 Punctele date , , , .

Găsiți proiecția.

Soluţie. În măsura în care

, ,

Pe baza formulei de proiecție, avem

Exemplul 6 Punctele date , , , .

Aflați unghiul dintre vectorii și .

Soluţie. Rețineți că vectorii

, ,

nu sunt coliniare, deoarece coordonatele lor nu sunt proporționale:

Acești vectori nu sunt, de asemenea, perpendiculari, deoarece produsul lor punctual este .

Sa gasim,

Injecţie afla din formula:

Exemplul 7 Determinați pentru ce vectori și coliniare.

Soluţie. În cazul coliniarității, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor și trebuie să fie proporționale, adică:

De aici și .

Exemplul 8. Determinați la ce valoare a vectorului Și sunt perpendiculare.

Soluţie. Vector și sunt perpendiculare dacă produsul lor scalar este zero. Din această condiție obținem: . Acesta este, .

Exemplul 9. A găsi , dacă , , .

Soluţie. Datorită proprietăților produsului scalar, avem:

Exemplul 10. Aflați unghiul dintre vectorii și , unde și - vectori unitari si unghiul dintre vectori si este egal cu 120o.

Soluţie. Avem: , ,

În sfârșit avem: .

5 B. produs vectorial.

Definiția 21.arta vectoriala vector la vector se numește vector , sau , definit de următoarele trei condiții:

1) Modulul vectorului este , unde este unghiul dintre vectori și , i.e. .

Rezultă că modulul produsului vectorial este numeric egal cu suprafata paralelogram construit pe vectori și ca pe laturi.

2) Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și ( ; ), adică. perpendicular pe planul paralelogramului construit pe vectorii si .

3) Vectorul este direcționat astfel încât, dacă este privit de la capătul său, atunci cea mai scurtă rotație de la vector la vector ar fi în sens invers acelor de ceasornic (vectorii , , formează un triplu drept).

Cum se calculează unghiurile dintre vectori?

Când studiem geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a lua în considerare unghiurile dintre vectori, este necesar să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Formula soluției

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind un tabel trigonometric.

Exemplu

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimilor vectorilor și produsul lor scalar necesar rezolvării. Folosind descrierea de mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Calculul unghiului în spațiu n-dimensional

În geometrie, problemele apar adesea cu spații care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Vectori specifici

Găsind unghiurile dintre vectori se poate găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele co-direcționate și direcționate opus descrise mai sus.

Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
Vectorii care se află pe aceeași linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
Dacă lungimea vectorului este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci se numește unu.

Cum se află unghiul dintre vectori?

ajuta-ma te rog! Cunosc formula, dar nu o pot da seama
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alexandru Titov

Unghiul dintre vectori dat de coordonatele lor se găsește conform algoritmului standard. Mai întâi trebuie să găsiți produsul scalar al vectorilor a și b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Inlocuim aici coordonatele acestor vectori si consideram:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
În continuare, determinăm lungimile fiecăruia dintre vectori. Lungimea sau modulul unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale:
|a| = rădăcina lui (x1^2 + y1^2 + z1^2) = rădăcina lui (8^2 + 10^2 + 4^2) = rădăcina lui (64 + 100 + 16) = rădăcina lui 180 = 6 rădăcini ale cinci
|b| = rădăcina pătrată a lui (x2^2 + y2^2 + z2^2) = rădăcina pătrată a lui (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = rădăcina pătrată a lui (25 + 400 + 100 ) = rădăcină pătrată din 525 = 5 rădăcini din 21.
Înmulțim aceste lungimi. Obținem 30 de rădăcini din 105.
Și, în final, împărțim produsul scalar al vectorilor la produsul lungimilor acestor vectori. Obținem -200 / (30 rădăcini din 105) sau
- (4 rădăcini ale lui 105) / 63. Acesta este cosinusul unghiului dintre vectori. Și unghiul în sine este egal cu arcul cosinus al acestui număr
f \u003d arccos (-4 rădăcini de 105) / 63.
Dacă am numărat corect.

Cum se calculează sinusul unui unghi între vectori din coordonatele vectorilor

Mihail Tkaciov

Înmulțim acești vectori. Produsul lor scalar este egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.
Unghiul ne este necunoscut, dar coordonatele sunt cunoscute.
Să o scriem matematic așa.
Fie, dați vectori a(x1;y1) și b(x2;y2)
Apoi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Ne certam.
a*b-produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale coordonatelor acestor vectori, adică egal cu x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produsul lungimii vectorului este egal cu √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Deci cosinusul unghiului dintre vectori este:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Cunoscând cosinusul unui unghi, putem calcula sinusul acestuia. Să discutăm cum să o facem:

Dacă cosinusul unui unghi este pozitiv, atunci acest unghi se află în 1 sau 4 sferturi, deci sinusul său este fie pozitiv, fie negativ. Dar, deoarece unghiul dintre vectori este mai mic sau egal cu 180 de grade, atunci sinusul său este pozitiv. Argumentăm în mod similar dacă cosinusul este negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Asta e)))) mult noroc să-ți dai seama)))

Dmitri Levișciov

Faptul că este imposibil să sinus direct nu este adevărat.
Pe langa formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Există și acesta:
||=|a|*|b|*sin A
Adică, în locul produsului scalar, puteți lua modulul produsului vectorial.

„Produs scalar vectorial” - Produsul scalar al vectorilor. Într-un triunghi echilateral ABC cu latura 1 se trasează înălțimea BD. Prin definiție, caracterizați un unghi? între vectori şi dacă: a) b) c) d). La ce valoare a lui t este vectorul perpendicular pe vector dacă (2, -1), (4, 3). Produsul scalar al vectorilor și se notează.

„Geometry 9 class „Vectors”” - Distanța dintre două puncte. Cele mai simple probleme de coordonate. Testează-te! Coordonatele vectoriale. În 1903, O. Henrichi a sugerat ca produsul scalar să fie notat cu simbolul (a, c). Un vector este un segment direcționat. Descompunerea unui vector în vectori de coordonate. Conceptul de vector. Descompunerea unui vector pe un plan în doi vectori necoliniari.

"Vector de rezolvare a problemelor" - Exprimă vectori AM, DA, CA, MB, CD în termeni de vector a și vector b. № 2 Exprimați vectorii DP, DM, AC prin vectorii a și b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Exprimați vectorii CK, RK prin vectorii a și b. BE:EC = 3: 1. K este mijlocul DC. VK: KС = 3: 4. Exprimați vectorii AK, DK prin vectorii a și b. Aplicarea vectorilor la rezolvarea problemelor (partea 1).

„Probleme pe vectori” – Teoremă. Găsiți coordonatele. Se acordă trei puncte. Vârfurile triunghiului. Aflați coordonatele vectorilor. Găsiți coordonatele punctului. Aflați coordonatele și lungimea vectorului. Exprimați lungimea vectorului. Coordonatele vectoriale. Coordonatele vectoriale. Aflați coordonatele vectorului. Se dau vectori. Numiți coordonatele vectorilor. Vectorul are coordonate.

„Metoda coordonatelor pe un plan” - Se desenează un cerc. Perpendiculare. Axa de coordonate. Valoarea sinusului. Sistem de coordonate dreptunghiular pe plan. Găsiți coordonatele vârfurilor. Luați în considerare un exemplu. Soluția la această problemă. Se acordă puncte în avion. Vârfurile unui paralelogram. Extinde vectorii. Calculati. Multe puncte. Rezolvați grafic sistemul de ecuații.

„Adunarea și scăderea vectorilor” - 1. Obiectivele lecției. 2. Partea principală. Sunteți foarte, cei mai mulți cel mai bun prieten Somnambul! Aflați cum să scădeți vectori. 2. Precizați vectorul sumei vectorilor a și b. Prietenul meu!! Să vedem ce avem aici. Obiectivele noastre: Concluzie. 3. Revizuirea capului. 4. Lista referințelor. Călătorind cu Lunatic. Din punctul A, amânăm ambii vectori.

În total sunt 29 de prezentări în subiect