Formula intensității maxime a curentului în circuitul oscilator. Circuit oscilator

Un câmp electromagnetic poate exista și în absența sarcinilor electrice sau a curenților: tocmai aceste câmpuri electrice și magnetice „auto-susținute” reprezintă undele electromagnetice care includ lumina vizibilă, infraroșu, ultravioletă și radiații cu raze X, unde radio etc.

§ 25. Circuit oscilator

Cel mai simplu sistem în care sunt posibile oscilații electromagnetice naturale este așa-numitul circuit oscilator, format dintr-un condensator și un inductor conectate între ele (Fig. 157). Ca un oscilator mecanic, cum ar fi un corp masiv pe un arc elastic, oscilațiile naturale din circuit sunt însoțite de transformări de energie.

Orez. 157. Circuit oscilator

Analogie între oscilațiile mecanice și electromagnetice. Pentru un circuit oscilator, analogul energiei potențiale a unui oscilator mecanic (de exemplu, energia elastică a unui arc deformat) este energia câmpului electric dintr-un condensator. Un analog al energiei cinetice a unui corp în mișcare este energia camp magneticîn inductor. Într-adevăr, energia arcului este proporțională cu pătratul deplasării din poziția de echilibru, iar energia condensatorului este proporțională cu pătratul sarcinii.Energia cinetică a corpului este proporțională cu pătratul vitezei sale, iar energia câmpului magnetic din bobină este proporțională cu pătratul curentului.

Energia mecanică totală a oscilatorului cu arc E este egală cu suma energiilor potențiale și cinetice:

Energia de vibrație.În mod similar, energia electromagnetică totală a unui circuit oscilator este egală cu suma energiilor câmpului electric din condensator și ale câmpului magnetic din bobină:

Dintr-o comparație a formulelor (1) și (2) rezultă că analogul rigidității k a oscilatorului cu arc în circuitul oscilator este valoarea reciprocă a capacității C, iar analogul masei este inductanța bobinei.

Reamintim că într-un sistem mecanic, a cărui energie este dată de expresia (1), pot apărea oscilații armonice proprii neamortizate. Pătratul frecvenței unor astfel de oscilații este egal cu raportul coeficienților la pătratele deplasării și vitezei în expresia energiei:

Frecvența proprie.Într-un circuit oscilator, a cărui energie electromagnetică este dată de expresia (2), pot apărea oscilații armonice proprii neamortizate, pătratul frecvenței cărora este, de asemenea, egal cu raportul coeficienților corespunzători (adică coeficienții). la pătratele de sarcină și puterea curentului):

Din (4) urmează expresia pentru perioada de oscilație, numită formula Thomson:

În cazul oscilațiilor mecanice, dependența deplasării x de timp este determinată de o funcție cosinus, al cărei argument se numește faza de oscilație:

Amplitudinea si faza initiala. Amplitudinea A și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale, adică de valorile deplasării și vitezei la

În mod similar, cu oscilații naturale electromagnetice în circuit, sarcina condensatorului depinde de timp conform legii

unde frecvența este determinată, în conformitate cu (4), numai de proprietățile circuitului însuși, iar amplitudinea oscilațiilor de sarcină și faza inițială a, ca în cazul unui oscilator mecanic, sunt determinate

condițiile inițiale, adică valorile sarcinii condensatorului și puterea curentului la. Astfel, frecvența naturală nu depinde de metoda de excitare a oscilațiilor, în timp ce amplitudinea și faza inițială sunt determinate precis de condițiile de excitare .

Transformări energetice. Să luăm în considerare mai detaliat transformările de energie în timpul oscilațiilor mecanice și electromagnetice. Pe fig. 158 prezintă schematic stările oscilatoarelor mecanice și electromagnetice la intervale de timp de un sfert de perioadă

Orez. 158. Transformări de energie în timpul vibrațiilor mecanice și electromagnetice

De două ori în timpul perioadei de oscilație, energia este convertită dintr-o formă în alta și invers. Energia totală a circuitului oscilator, ca și energia totală a oscilatorului mecanic, rămâne neschimbată în absența disipării. Pentru a verifica acest lucru, este necesar să înlocuiți expresia (6) pentru și expresia pentru puterea curentă în formula (2)

Folosind formula (4) pentru obținem

Orez. 159. Grafice ale energiei câmpului electric al condensatorului și ale energiei câmpului magnetic din bobină în funcție de timpul de încărcare al condensatorului

Energia totală constantă coincide cu energia potențială în momentele în care sarcina condensatorului este maximă și coincide cu energia câmpului magnetic al bobinei - energie "cinetică" - în momentele în care sarcina condensatorului dispare și curentul este la maxim. În timpul transformărilor reciproce, două tipuri de energie fac oscilații armonice cu aceeași amplitudine în antifază între ele și cu o frecvență relativă la valoarea lor medie. Acest lucru este ușor de verificat ca din fig. 158, iar cu ajutorul formulelor funcții trigonometrice jumatate de argument:

Grafice ale dependenței energiei câmpului electric și energiei câmpului magnetic de timpul de încărcare al condensatorului sunt prezentate în fig. 159 pentru faza inițială

Regularitățile cantitative ale oscilațiilor electromagnetice naturale pot fi stabilite direct pe baza legilor pentru curenții cvasi-staționari, fără a se recurge la analogia cu oscilațiile mecanice.

Ecuația pentru oscilații în circuit. Luați în considerare cel mai simplu circuit oscilator prezentat în Fig. 157. Când ocoliți circuitul, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic, suma tensiunilor de pe inductor și condensator într-un astfel de circuit în serie închisă este zero:

Tensiunea de pe condensator este legată de sarcina plăcii și de capacitatea Cu relația Tensiunea de pe inductanță în orice moment este egală în valoare absolută și opusă în semn Auto-inducție EMF, deci curentul din circuit este egal cu rata de schimbare a sarcinii condensatorului:

Obținem Acum expresia (10) ia forma

Să rescriem această ecuație în mod diferit, introducând prin definiție:

Ecuația (12) coincide cu ecuația vibratii armonice oscilator mecanic cu frecvență naturală Soluția unei astfel de ecuații este dată de funcția armonică (sinusoidală) a timpului (6) cu valori arbitrare ale amplitudinii și fazei inițiale a. De aici rezultă toate rezultatele de mai sus referitoare la oscilațiile electromagnetice din circuit.

Atenuarea oscilațiilor electromagnetice. Până acum, am discutat despre propriile oscilații într-un sistem mecanic idealizat și un circuit LC idealizat. Idealizarea a fost neglijarea frecării în oscilator și a rezistenței electrice în circuit. Numai în acest caz sistemul va fi conservator și energia oscilațiilor va fi conservată.

Orez. 160. Circuit oscilator cu rezistenţă

Contabilitatea disipării energiei oscilațiilor în circuit poate fi efectuată în același mod ca și în cazul unui oscilator mecanic cu frecare. Prezența rezistenței electrice a bobinei și a firelor de conectare este inevitabil asociată cu eliberarea de căldură Joule. Ca și înainte, această rezistență poate fi privită ca element independentîn schema de conexiuni circuit oscilator, considerând bobina și firele ideale (Fig. 160). Când se consideră un curent cvasi-staționar într-un astfel de circuit, în ecuația (10) este necesar să se adauge tensiunea pe rezistență.

Înlocuind în obținem

Introducerea notației

rescriem ecuația (14) sub forma

Ecuația (16) pentru are exact aceeași formă ca ecuația pentru pentru vibrațiile unui oscilator mecanic cu

frecare proporţională cu viteza (frecare vâscoasă). Prin urmare, în prezența rezistenței electrice în circuit, oscilațiile electromagnetice apar după aceeași lege ca și oscilațiile mecanice ale unui oscilator cu frecare vâscoasă.

Disiparea energiei de vibrație. Ca și în cazul vibrațiilor mecanice, se poate stabili legea scăderii energiei vibrațiilor naturale în timp, aplicând legea Joule-Lenz pentru a calcula căldura degajată:

Ca urmare, în cazul unei amortizari scăzute pentru intervale de timp mult mai lungi decât perioada de oscilații, rata de scădere a energiei oscilațiilor se dovedește a fi proporțională cu energia însăși:

Soluția ecuației (18) are forma

Energia oscilațiilor electromagnetice naturale într-un circuit cu rezistență scade exponențial.

Energia oscilațiilor este proporțională cu pătratul amplitudinii lor. Pentru oscilațiile electromagnetice, aceasta rezultă, de exemplu, din (8). Prin urmare, amplitudinea oscilațiilor amortizate, în conformitate cu (19), scade conform legii

Durata de viață a oscilațiilor. După cum se poate observa din (20), amplitudinea oscilațiilor scade cu un factor de 1 într-un timp egal cu, indiferent de valoarea inițială a amplitudinii.Acest timp x se numește durata de viață a oscilațiilor, deși, așa cum se poate. se vede din (20), oscilațiile continuă formal la nesfârșit. În realitate, desigur, are sens să vorbim despre oscilații doar atâta timp cât amplitudinea lor depășește valoarea caracteristică a nivelului de zgomot termic dintr-un circuit dat. Prin urmare, de fapt, oscilațiile din circuit „trăiesc” pentru un timp finit, care, totuși, poate fi de câteva ori mai mare decât durata de viață x introdusă mai sus.

Este adesea important să se cunoască nu durata de viață a oscilațiilor x în sine, ci numărul de oscilații complete care vor avea loc în circuit în acest timp x. Acest număr înmulțit cu se numește factor de calitate al circuitului.

Strict vorbind, oscilațiile amortizate nu sunt periodice. Cu o mică atenuare, putem vorbi condiționat de o perioadă, care este înțeleasă ca fiind intervalul de timp dintre doi

valori maxime succesive ale sarcinii condensatorului (de aceeași polaritate) sau valori maxime ale curentului (de o direcție).

Amortizarea oscilațiilor afectează perioada, ducând la creșterea acesteia în comparație cu cazul idealizat al lipsei de amortizare. Cu o amortizare scăzută, creșterea perioadei de oscilație este foarte mică. Cu toate acestea, cu o atenuare puternică, este posibil să nu existe deloc oscilații: un condensator încărcat se va descărca aperiodic, adică fără a schimba direcția curentului din circuit. Asa va fi cu i.e. cu

Solutie exacta. Modelele de oscilații amortizate formulate mai sus decurg din soluția exactă a ecuației diferențiale (16). Prin substituție directă se poate verifica dacă are forma

unde sunt constante arbitrare ale căror valori sunt determinate din condițiile inițiale. Pentru o amortizare scăzută, multiplicatorul cosinus poate fi văzut ca o amplitudine de oscilație care variază lent.

O sarcină

Reîncărcarea condensatoarelor printr-un inductor. În circuit, a cărui diagramă este prezentată în Fig. 161, sarcina condensatorului superior este egală, iar cel inferior nu este încărcat. Momentan cheia este închisă. Găsiți dependența de timp a sarcinii condensatorului superior și a curentului din bobină.

Orez. 161. Un singur condensator este încărcat la momentul inițial de timp

Orez. 162. Încărcările condensatoarelor și curentul din circuit după închiderea cheii

Orez. 163. Analogie mecanică pentru circuitul electric prezentat în fig. 162

Soluţie. După ce cheia este închisă, în circuit apar oscilații: condensatorul superior începe să se descarce prin bobină, în timp ce se încarcă pe cel inferior; apoi totul se întâmplă în sens invers. Fie, de exemplu, la , placa superioară a condensatorului să fie încărcată pozitiv. Apoi

după o perioadă scurtă de timp, semnele sarcinilor plăcilor condensatorului și direcția curentului vor fi așa cum se arată în Fig. 162. Notați prin sarcinile acelor plăci ale condensatoarelor superioare și inferioare, care sunt interconectate printr-un inductor. Pe baza legii conservării incarcare electrica

Suma tensiunilor asupra tuturor elementelor unui circuit închis în fiecare moment de timp este egală cu zero:

Semnul tensiunii de pe condensator corespunde distribuției sarcinilor din fig. 162. iar sensul de curent indicat. Expresia curentului prin bobină poate fi scrisă în oricare dintre două forme:

Să excludem din ecuație folosind relațiile (22) și (24):

Introducerea notației

rescriem (25) în următoarea formă:

Dacă în loc să introducă funcţia

și luați în considerare că (27) ia forma

Aceasta este ecuația obișnuită a oscilațiilor armonice neamortizate, care are o soluție

unde și sunt constante arbitrare.

Revenind din funcție, obținem următoarea expresie pentru dependența de timpul de încărcare al condensatorului superior:

Pentru a determina constantele și a, ținem cont că la momentul inițial sarcina a curent Pentru puterea curentului de la (24) și (31) avem

Deoarece de aici rezultă că Substituind acum în și ținând cont că obținem

Deci, expresiile pentru încărcare și puterea curentului sunt

Natura oscilațiilor de sarcină și curent este evidentă mai ales când aceleasi valori capacitatile condensatorului. În acest caz

Sarcina condensatorului superior oscilează cu o amplitudine de aproximativ o valoare medie egală cu Jumătate din perioada de oscilație, scade de la valoarea maximă din momentul inițial la zero, când întreaga sarcină se află pe condensatorul inferior.

Expresia (26) pentru frecvența de oscilație, desigur, ar putea fi scrisă imediat, deoarece în circuitul luat în considerare condensatorii sunt conectați în serie. Cu toate acestea, este dificil să scrieți expresiile (34) în mod direct, deoarece în astfel de condiții inițiale este imposibil să înlocuiți condensatorii incluse în circuit cu unul echivalent.

O reprezentare vizuală a proceselor care au loc aici este dată de analogul mecanic al acestui circuit electric, prezentat în Fig. 163. Arcurile identice corespund în cazul condensatoarelor de aceeași capacitate. În momentul inițial, arcul din stânga este comprimat, care corespunde unui condensator încărcat, iar cel din dreapta este într-o stare nedeformată, deoarece gradul de deformare al arcului servește ca analog al sarcinii condensatorului. La trecerea prin poziția de mijloc, ambele arcuri sunt parțial comprimate, iar în poziția extremă dreaptă, arcul din stânga nu este deformat, iar cel din dreapta este comprimat la fel ca și cel din stânga la momentul inițial, ceea ce corespunde cu flux complet de sarcină de la un condensator la altul. Deși bila realizează oscilațiile armonice obișnuite în jurul poziției de echilibru, deformarea fiecăruia dintre arcuri este descrisă de o funcție a cărei valoare medie este diferită de zero.

Spre deosebire de un circuit oscilator cu un singur condensator, unde în timpul oscilațiilor are loc reîncărcarea sa completă repetitivă, în sistemul considerat, condensatorul încărcat inițial nu este complet reîncărcat. De exemplu, atunci când sarcina sa scade la zero și apoi este restabilită în aceeași polaritate. În caz contrar, aceste oscilații nu diferă de oscilațiile armonice dintr-un circuit convențional. Energia acestor oscilații este conservată, dacă, desigur, rezistența bobinei și a firelor de legătură poate fi neglijată.

Explicați de ce, dintr-o comparație a formulelor (1) și (2) pentru energiile mecanice și electromagnetice, s-a ajuns la concluzia că analogul rigidității k este și analogul masei este inductanța și nu invers.

Oferiți justificare pentru derivarea expresiei (4) pentru frecvența naturală a oscilațiilor electromagnetice din circuit din analogia cu un oscilator cu arc mecanic.

Oscilațiile armonice din -circuit se caracterizează prin amplitudine, frecvență, perioadă, faza de oscilație, faza inițială. Care dintre aceste mărimi sunt determinate de proprietățile circuitului oscilator însuși și care depind de metoda de excitare a oscilațiilor?

Demonstrați că valorile medii ale energiilor electrice și magnetice în timpul oscilațiilor naturale din circuit sunt egale între ele și reprezintă jumătate din energia electromagnetică totală a oscilațiilor.

Cum se aplică legile fenomenelor cvasi-staționare într-un circuit electric pentru a obține o ecuație diferențială (12) pentru oscilațiile armonice într-un circuit?

Ce ecuație diferențială satisface curentul dintr-un circuit LC?

Deduceți o ecuație pentru viteza de scădere a energiei vibrațiilor la amortizare scăzută în același mod în care s-a făcut pentru un oscilator mecanic cu frecare proporțională cu viteza și arătați că pentru intervalele de timp care depășesc semnificativ perioada de oscilație, această scădere are loc. conform unei legi exponenţiale. Care este sensul termenului „atenuare mică” folosit aici?

Arătați că funcția dată de formula (21) satisface ecuația (16) pentru orice valori ale și a.

Luați în considerare sistemul mecanic prezentat în fig. 163 și găsiți dependența de timpul de deformare al arcului stâng și viteza corpului masiv.

Buclă fără rezistență cu pierderi inevitabile.În problema considerată mai sus, în ciuda condițiilor inițiale nu tocmai obișnuite pentru încărcările pe condensatoare, a fost posibilă aplicarea ecuațiilor obișnuite pentru circuitele electrice, deoarece acolo au fost îndeplinite condițiile pentru cvasi-staționaritatea proceselor în curs. Dar în circuit, a cărui diagramă este prezentată în Fig. 164, cu o asemănare exterioară formală cu diagrama din fig. 162, condițiile de cvasi-staționaritate nu sunt îndeplinite dacă în momentul inițial un condensator este încărcat, iar al doilea nu.

Să discutăm mai detaliat aici motivele pentru care sunt încălcate condițiile de cvasi-staționaritate. Imediat dupa inchidere

Orez. 164. Circuit electric pentru care nu sunt îndeplinite condiţiile de cvasi-staţionaritate

Cheia este că toate procesele sunt desfășurate numai în condensatoare interconectate, deoarece creșterea curentului prin inductor are loc relativ lent și la început ramificarea curentului în bobină poate fi neglijată.

Când cheia este închisă, au loc oscilații rapide amortizate într-un circuit format din condensatori și fire care le conectează. Perioada unor astfel de oscilații este foarte mică, deoarece inductanța firelor de conectare este mică. Ca urmare a acestor oscilații, sarcina de pe plăcile condensatorului este redistribuită, după care cei doi condensatori pot fi considerați ca unul singur. Dar în primul moment acest lucru nu se poate face, deoarece alături de redistribuirea sarcinilor, există și o redistribuire a energiei, din care o parte ajunge în căldură.

După amortizarea oscilațiilor rapide, în sistem apar oscilații, ca într-un circuit cu un condensator de capacitate, a cărui sarcină la momentul inițial este egală cu sarcina inițială a condensatorului.Condiția pentru validitatea raționamentului de mai sus este micimea inductanței firelor de legătură în comparație cu inductanța bobinei.

Ca și în problema luată în considerare, este util să găsim și aici o analogie mecanică. Dacă acolo cele două arcuri corespunzătoare condensatoarelor au fost amplasate pe ambele părți ale unui corp masiv, atunci aici trebuie să fie amplasate pe o parte a acestuia, astfel încât vibrațiile unuia dintre ele să poată fi transmise celuilalt în timp ce corpul este staționar . În loc de două arcuri, puteți lua unul, dar numai la momentul inițial ar trebui să fie deformat neomogen.

Prindem arcul de mijloc și întindem jumătatea stângă a acestuia pe o anumită distanță.A doua jumătate a arcului va rămâne într-o stare nedeformată, astfel încât sarcina din momentul inițial este deplasată din poziția de echilibru la dreapta cu o distanță. si se odihneste. Atunci să eliberăm arcul. Ce caracteristici vor rezulta din faptul ca la momentul initial arcul este deformat neomogen? căci, după cum este ușor de observat, rigiditatea „jumătății” arcului este. Dacă masa arcului este mică în comparație cu masa bilei, frecvența naturală a arcului ca sistem extins este mult mai mare decât frecvența mingii pe arc. Aceste oscilații „rapide” se vor stinge într-un timp care reprezintă o mică fracțiune din perioada oscilațiilor mingii. După amortizarea oscilațiilor rapide, tensiunea din arc este redistribuită, iar deplasarea sarcinii rămâne practic aceeași, deoarece sarcina nu are timp să se miște vizibil în acest timp. Deformarea arcului devine uniformă, iar energia sistemului este egală cu

Astfel, rolul oscilațiilor rapide ale arcului s-a redus la faptul că rezerva de energie a sistemului a scăzut la valoarea care corespunde deformației inițiale uniforme a arcului. Este clar că procesele ulterioare din sistem nu diferă de cazul unei deformări inițiale omogene. Dependența deplasării sarcinii de timp este exprimată prin aceeași formulă (36).

În exemplul luat în considerare, ca urmare a fluctuațiilor rapide, s-a transformat în energie interna(în căldură) jumătate din aportul inițial de energie mecanică. Este clar că prin supunerea deformației inițiale nu la jumătate, ci la o parte arbitrară a arcului, este posibilă transformarea oricărei fracțiuni din sursa inițială de energie mecanică în energie internă. Dar în toate cazurile, energia vibrațiilor sarcinii pe arc corespunde rezervei de energie pentru aceeași deformare inițială uniformă a arcului.

Într-un circuit electric, ca urmare a oscilațiilor rapide amortizate, energia unui condensator încărcat este parțial eliberată sub formă de căldură Joule în firele de conectare. Cu capacități egale, aceasta va fi jumătate din rezerva inițială de energie. Cealaltă jumătate rămâne sub formă de energie a oscilațiilor electromagnetice relativ lente într-un circuit format dintr-o bobină și doi condensatori C conectați în paralel și

Astfel, în acest sistem, idealizarea este fundamental inacceptabilă, în care se neglijează disiparea energiei de oscilație. Motivul pentru aceasta este că aici sunt posibile oscilații rapide, fără a afecta inductorii sau corpul masiv dintr-un sistem mecanic similar.

Circuit oscilator cu elemente neliniare. Studiind vibrațiile mecanice, am văzut că vibrațiile nu sunt în niciun caz întotdeauna armonice. Vibrațiile armonice sunt proprietate caracteristică sisteme liniare, in care

forța de restabilire este proporțională cu abaterea de la poziția de echilibru, iar energia potențială este proporțională cu pătratul abaterii. Sistemele mecanice reale, de regulă, nu posedă aceste proprietăți, iar oscilațiile din ele pot fi considerate armonice numai pentru mici abateri de la poziția de echilibru.

În cazul oscilațiilor electromagnetice dintr-un circuit, se poate avea impresia că avem de-a face cu sisteme ideale în care oscilațiile sunt strict armonice. Cu toate acestea, acest lucru este adevărat numai atâta timp cât capacitatea condensatorului și inductanța bobinei pot fi considerate constante, adică independente de sarcină și curent. Un condensator cu un dielectric și o bobină cu un miez sunt, strict vorbind, elemente neliniare. Când condensatorul este umplut cu un feroelectric, adică o substanță a cărei constantă dielectrică depinde puternic de câmpul electric aplicat, capacitatea condensatorului nu mai poate fi considerată constantă. În mod similar, inductanța unei bobine cu miez feromagnetic depinde de puterea curentului, deoarece un feromagnet are proprietatea de saturație magnetică.

Dacă în sistemele oscilatoare mecanice masa, de regulă, poate fi considerată constantă, iar neliniaritatea apare doar datorită naturii neliniare a forței care acționează, atunci într-un circuit oscilator electromagnetic, neliniaritatea poate apărea atât datorită unui condensator (analog unui elastic arc) și datorită unui inductor (analog de masă).

De ce idealizarea este inaplicabilă pentru un circuit oscilator cu doi condensatori paralel (Fig. 164), în care sistemul este considerat conservator?

De ce oscilațiile rapide duc la disiparea energiei de oscilație în circuitul din Fig. 164 nu a apărut în circuitul cu două condensatoare în serie prezentate în fig. 162?

Ce motive pot duce la nesinusoiditatea oscilațiilor electromagnetice din circuit?

Un circuit electric oscilator este un sistem de excitare și întreținere a oscilațiilor electromagnetice. În forma sa cea mai simplă, acesta este un circuit format dintr-o bobină cu o inductanță L, un condensator cu o capacitate C și un rezistor cu o rezistență R conectat în serie (Fig. 129). Când comutatorul P este setat în poziția 1, condensatorul C este încărcat la o tensiune U T. În acest caz, între plăcile condensatorului se formează câmp electric, a cărui energie maximă este egală cu

Când comutatorul este mutat în poziția 2, circuitul se închide și în el au loc următoarele procese. Condensatorul începe să se descarce și curentul curge prin circuit i, a cărui valoare crește de la zero la valoarea maximă și apoi scade înapoi la zero. Deoarece în circuit circulă un curent alternativ, în bobină este indus un EMF, care împiedică descărcarea condensatorului. Prin urmare, procesul de descărcare a condensatorului nu are loc instantaneu, ci treptat. Ca urmare a apariției curentului în bobină, apare un câmp magnetic, a cărui energie este
atinge valoarea maximă la un curent egal cu . Energia maximă a câmpului magnetic va fi egală cu

După atingerea valorii maxime, curentul din circuit va începe să scadă. În acest caz, condensatorul va fi reîncărcat, energia câmpului magnetic din bobină va scădea, iar energia câmpului electric din condensator va crește. La atingerea valorii maxime. Procesul va începe să se repete și în circuit apar oscilații ale câmpurilor electrice și magnetice. Dacă presupunem că rezistenţa
(adică nu se cheltuiește energie pentru încălzire), atunci, conform legii conservării energiei, energia totală W ramane constant

Și
;
.

Un circuit în care nu există pierderi de energie se numește ideal. Tensiunea și curentul din circuit se modifică conform legii armonice

;

Unde - frecvența de oscilație circulară (ciclică).
.

Frecvența circulară este legată de frecvența de oscilație și perioadele de fluctuații raportul T.

H iar fig. 130 prezintă grafice ale tensiunii U și ale curentului I în bobina unui circuit oscilator ideal. Se poate observa că puterea curentului este în fază cu tensiunea cu .

;
;
- Formula lui Thomson.

În cazul în care rezistenţa
, formula Thomson ia forma

Fundamentele teoriei lui Maxwell

Teoria lui Maxwell este teoria unui singur câmp electromagnetic creat de un sistem arbitrar de sarcini și curenți. Teoretic, se rezolvă problema principală a electrodinamicii - în funcție de o distribuție dată a sarcinilor și a curenților, se găsesc caracteristicile câmpurilor electrice și magnetice create de acestea. Teoria lui Maxwell este o generalizare a celor mai importante legi care descriu fenomenele electrice și electromagnetice - teorema Ostrogradsky-Gauss pentru câmpurile electrice și magnetice, legea curentului total, legea inductie electromagneticași teoreme privind circulația vectorului intensității câmpului electric. Teoria lui Maxwell este de natură fenomenologică, adică. nu are în vedere mecanismul intern al fenomenelor care au loc în mediu şi provocând apariția câmpuri electrice și magnetice. În teoria lui Maxwell, mediul este descris folosind trei caracteristici - permeabilitatea dielectrică ε și μ magnetică a mediului și conductivitatea electrică γ.

Oscilațiile electrice sunt înțelese ca modificări periodice ale sarcinii, curentului și tensiunii. Cel mai simplu sistem în care sunt posibile oscilații electrice libere este așa-numitul circuit oscilator. Acesta este un dispozitiv format dintr-un condensator și o bobină conectate între ele. Vom presupune că nu există rezistență activă a bobinei, în acest caz circuitul se numește ideal. Când energia este comunicată acestui sistem, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate ale sarcinii de pe condensator, tensiune și curent.

Este posibil să se informeze circuitul oscilator al energiei căi diferite. De exemplu, prin încărcarea unui condensator de la o sursă curent continuu sau curent de excitație în inductor. În primul caz, câmpul electric dintre plăcile condensatorului posedă energie. În al doilea, energia este conținută în câmpul magnetic al curentului care circulă prin circuit.

§1 Ecuaţia oscilaţiilor în circuit

Să demonstrăm că atunci când energie este transmisă circuitului, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate. Pentru a face acest lucru, este necesar să obțineți o ecuație diferențială a oscilațiilor armonice de forma .

Să presupunem că condensatorul este încărcat și închis la bobină. Condensatorul va începe să se descarce, curentul va curge prin bobină. Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma căderilor de tensiune de-a lungul unui circuit închis este egală cu suma EMF din acest circuit. .

În cazul nostru, căderea de tensiune se datorează faptului că circuitul este ideal. Condensatorul din circuit se comportă ca o sursă de curent, diferența de potențial dintre plăcile condensatorului acționează ca un EMF, unde este sarcina condensatorului, este capacitatea condensatorului. În plus, atunci când un curent în schimbare trece prin bobină, în ea apare un EMF de auto-inducție, unde este inductanța bobinei, este rata de schimbare a curentului în bobină. Deoarece EMF de auto-inducție împiedică procesul de descărcare a condensatorului, a doua lege Kirchhoff ia forma

Dar curentul din circuit este curentul de descărcare sau încărcare a condensatorului, prin urmare. Apoi

Ecuația diferențială este transformată în forma

Prin introducerea notației , obținem binecunoscuta ecuație diferențială a oscilațiilor armonice.

Aceasta înseamnă că sarcina condensatorului din circuitul oscilator se va modifica conform legii armonice

unde este valoarea maximă a sarcinii pe condensator, este frecvența ciclică, este faza inițială a oscilațiilor.

Perioada de oscilație a sarcinii . Această expresie se numește formula Thompson.

Tensiunea condensatorului

Curentul circuitului

Vedem că pe lângă sarcina de pe condensator, conform legii armonice, se vor modifica și curentul din circuit și tensiunea de pe condensator. Tensiunea oscilează în fază cu sarcina, iar curentul este înaintea sarcinii în

faza pe .

Energia câmpului electric al condensatorului

Energia curentului câmpului magnetic

Astfel, energiile câmpurilor electrice și magnetice se modifică și ele conform legii armonice, dar cu o frecvență dublată.

Rezuma

Oscilațiile electrice trebuie înțelese ca modificări periodice ale sarcinii, tensiunii, intensității curentului, energiei câmpului electric, energiei câmpului magnetic. Aceste oscilații, ca și cele mecanice, pot fi atât libere, cât și forțate, armonice și nearmonice. Oscilațiile electrice armonice libere sunt posibile într-un circuit oscilator ideal.

§2 Procese care au loc într-un circuit oscilator

Am demonstrat matematic existența oscilațiilor armonice libere într-un circuit oscilator. Cu toate acestea, rămâne neclar de ce este posibil un astfel de proces. Ce cauzează oscilațiile într-un circuit?

În cazul vibrațiilor mecanice libere, a fost găsit un astfel de motiv - acesta este Forta interioara, care apare atunci când sistemul este scos din echilibru. Această forță în orice moment este direcționată către poziția de echilibru și este proporțională cu coordonatele corpului (cu semnul minus). Să încercăm să găsim un motiv similar pentru apariția oscilațiilor în circuitul oscilator.

Lăsați oscilațiile din circuit să se excite încărcând condensatorul și închizându-l pe bobină.

În momentul inițial de timp, încărcarea condensatorului este maximă. În consecință, tensiunea și energia câmpului electric al condensatorului sunt de asemenea maxime.

Nu există curent în circuit, energia câmpului magnetic al curentului este zero.

Primul trimestru al perioadei- descărcarea condensatorului.

Plăcile condensatorului, având potențiale diferite, sunt conectate printr-un conductor, astfel încât condensatorul începe să se descarce prin bobină. Sarcina, tensiunea pe condensator și energia câmpului electric scad.

Curentul care apare în circuit crește, cu toate acestea, creșterea acestuia este împiedicată de EMF de auto-inducție care apare în bobină. Energia câmpului magnetic al curentului crește.

A trecut un sfert- condensatorul este descărcat.

Condensatorul s-a descărcat, tensiunea pe el a devenit egală cu zero. Energia câmpului electric în acest moment este, de asemenea, egală cu zero. Conform legii conservării energiei, aceasta nu putea dispărea. Energia câmpului condensatorului s-a transformat complet în energia câmpului magnetic al bobinei, care în acest moment atinge valoarea maximă. Curentul maxim din circuit.

S-ar părea că în acest moment curentul din circuit ar trebui să se oprească, deoarece cauza curentului, câmpul electric, a dispărut. Cu toate acestea, dispariția curentului este din nou împiedicată de EMF de auto-inducție în bobină. Acum va menține un curent în scădere și va continua să curgă în aceeași direcție, încărcând condensatorul. Începe al doilea trimestru al perioadei.

Al doilea trimestru al perioadei - Reincarcare condensator.

Curentul susținut de EMF de auto-inducție continuă să curgă în aceeași direcție, scăzând treptat. Acest curent încarcă condensatorul în polaritate opusă. Sarcina și tensiunea pe condensator cresc.

Energia câmpului magnetic al curentului, în scădere, trece în energia câmpului electric al condensatorului.

Al doilea trimestru al perioadei a trecut - condensatorul s-a reîncărcat.

Condensatorul se reîncarcă atâta timp cât există curent. Prin urmare, în momentul în care curentul se oprește, sarcina și tensiunea de pe condensator capătă o valoare maximă.

Energia câmpului magnetic în acest moment sa transformat complet în energia câmpului electric al condensatorului.

Situația din circuit în acest moment este echivalentă cu cea inițială. Procesele din circuit se vor repeta, dar în sens invers. O oscilație completă în circuit, care durează o perioadă, se va încheia atunci când sistemul revine la starea inițială, adică atunci când condensatorul este reîncărcat în polaritatea sa inițială.

Este ușor de observat că cauza oscilațiilor în circuit este fenomenul de autoinducție. EMF de auto-inducție previne schimbarea curentului: nu îi permite să crească instantaneu și să dispară instantaneu.

Apropo, nu ar fi de prisos să comparăm expresiile pentru calcularea forței cvasi-elastice într-un sistem oscilator mecanic și EMF de auto-inducție în circuit:

Anterior, s-au obținut ecuații diferențiale pentru sisteme oscilatorii mecanice și electrice:

În ciuda diferențe fundamentale procese fizice pentru sistemele oscilatorii mecanice și electrice, identitatea matematică a ecuațiilor care descriu procesele din aceste sisteme este clar vizibilă. Acest lucru ar trebui să fie discutat mai detaliat.

§3 Analogie între vibraţiile electrice şi mecanice

O analiză atentă a ecuațiilor diferențiale pentru un pendul cu arc și un circuit oscilator, precum și a formulelor care relaționează mărimile care caracterizează procesele din aceste sisteme, face posibilă identificarea ce mărimi se comportă în același mod (Tabelul 2).

Pendul de primăvară	Circuit oscilator
Coordonatele corpului ()	Încărcare pe condensator ()
viteza corpului	Curent de buclă
Energia potențială a unui arc deformat elastic	Energia câmpului electric al condensatorului
Energia cinetică a sarcinii	Energia câmpului magnetic al bobinei cu curent
Reciprocul rigidității arcului	Capacitatea condensatorului
Greutatea încărcăturii	Inductanța bobinei
Forță elastică	EMF de auto-inducție, egală cu tensiunea de pe condensator

masa 2

Este importantă nu doar o asemănare formală între mărimile care descriu procesele de oscilație a pendulului și procesele din circuit. Procesele în sine sunt identice!

Pozițiile extreme ale pendulului sunt echivalente cu starea circuitului când sarcina pe condensator este maximă.

Poziția de echilibru a pendulului este echivalentă cu starea circuitului când condensatorul este descărcat. În acest moment, forța elastică dispare și nu există tensiune pe condensatorul din circuit. Viteza pendulului și curentul din circuit sunt maxime. Energia potențială de deformare elastică a arcului și energia câmpului electric al condensatorului sunt egale cu zero. Energia sistemului constă din energia cinetică a sarcinii sau energia câmpului magnetic al curentului.

Descărcarea condensatorului se desfășoară în mod similar cu mișcarea pendulului din poziție extremă la o poziţie de echilibru. Procesul de reîncărcare a condensatorului este identic cu procesul de îndepărtare a sarcinii din poziția de echilibru în poziția extremă.

Energia totală a sistemului oscilator sau rămâne neschimbată în timp.

O analogie similară poate fi urmărită nu numai între un pendul cu arc și un circuit oscilator. Modele generale de oscilații libere de orice natură! Aceste modele, ilustrate prin exemplul a două sisteme oscilatoare (un pendul cu arc și un circuit oscilator), sunt nu numai posibile, dar trebuie sa vezi în vibraţiile oricărui sistem.

În principiu, este posibil să se rezolve problema oricărui proces oscilator prin înlocuirea acestuia cu oscilații pendulului. Pentru a face acest lucru, este suficient să construiți în mod competent un sistem mecanic echivalent, să rezolvați o problemă mecanică și să schimbați valorile în rezultatul final. De exemplu, trebuie să găsiți perioada de oscilație într-un circuit care conține un condensator și două bobine conectate în paralel.

Circuitul oscilator conține un condensator și două bobine. Deoarece bobina se comportă ca greutatea unui pendul cu arc, iar condensatorul se comportă ca un arc, sistemul mecanic echivalent trebuie să conțină un arc și două greutăți. Întreaga problemă este modul în care greutățile sunt atașate la arc. Sunt posibile două cazuri: un capăt al arcului este fix și o greutate este atașată la capătul liber, al doilea este pe primul sau greutățile sunt atașate la diferite capete ale arcului.

La conexiune paralelă prin ele circulă bobine cu curenți de inductanță diferiti. În consecință, vitezele sarcinilor într-un sistem mecanic identic trebuie să fie și ele diferite. Evident, acest lucru este posibil doar în al doilea caz.

Am găsit deja perioada acestui sistem oscilator. El este egal . Înlocuind masele greutăților cu inductanța bobinelor și inversul rigidității arcului cu capacitatea condensatorului, obținem .

§4 Circuit oscilator cu sursă de curent continuu

Luați în considerare un circuit oscilator care conține o sursă de curent continuu. Lăsați condensatorul să fie inițial neîncărcat. Ce se va întâmpla în sistem după ce cheia K este închisă? Se vor observa oscilații în acest caz și care este frecvența și amplitudinea lor?

Evident, după ce cheia este închisă, condensatorul va începe să se încarce. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff:

Prin urmare, curentul din circuit este curentul de încărcare al condensatorului. Apoi . Ecuația diferențială este transformată în forma

*Rezolvați ecuația prin modificarea variabilelor.

Să notăm. Diferențiem de două ori și, ținând cont de faptul că , obținem . Ecuația diferențială ia forma

Aceasta este o ecuație diferențială a oscilațiilor armonice, soluția ei este funcția

unde este frecvența ciclică, constantele de integrare și se găsesc din condițiile inițiale.

Sarcina unui condensator se modifică conform legii

Imediat după ce întrerupătorul este închis, încărcarea condensatorului zeroși nu există curent în circuit . Ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații:

Rezolvând sistemul, obținem și . După ce cheia este închisă, încărcarea condensatorului se modifică conform legii.

Este ușor de observat că în circuit apar oscilații armonice. Prezența unei surse de curent continuu în circuit nu a afectat frecvența de oscilație, aceasta a rămas egală. „Poziția de echilibru” s-a schimbat - în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este încărcat. Amplitudinea oscilațiilor de sarcină pe condensator este egală cu Cε.

Același rezultat poate fi obținut mai simplu utilizând analogia dintre oscilațiile dintr-un circuit și oscilațiile unui pendul cu arc. Sursa DC este echivalentă cu DC Câmp de forță, în care este plasat un pendul cu arc, de exemplu, un câmp gravitațional. Absența sarcinii pe condensator în momentul închiderii circuitului este identică cu absența deformării arcului în momentul aducerii pendulului în mișcare oscilatorie.

Într-un câmp de forță constant, perioada de oscilație a pendulului cu arc nu se modifică. Perioada de oscilație în circuit se comportă în același mod - rămâne neschimbată atunci când o sursă de curent continuu este introdusă în circuit.

În poziția de echilibru, când viteza de sarcină este maximă, arcul este deformat:

Când curentul din circuitul oscilator este maxim . A doua lege a lui Kirchhoff este scrisă după cum urmează

În acest moment, sarcina condensatorului este egală cu Același rezultat s-ar putea obține pe baza expresiei (*) prin înlocuirea

§5 Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcina 1 Legea conservării energiei

L\u003d 0,5 μH și un condensator cu o capacitate DIN= apar oscilații electrice de 20 pF. Care este tensiunea maximă pe condensator dacă amplitudinea curentului din circuit este de 1 mA? Rezistența activă a bobinei este neglijabilă.

Soluţie:

(1)

2 În momentul în care tensiunea pe condensator este maximă (încărcare maximă pe condensator), nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului

(2)

3 În momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este complet descărcat. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului magnetic al bobinei

(3)

4 Pe baza expresiilor (1), (2), (3), obținem egalitatea . Tensiunea maximă pe condensator este

Sarcina 2 Legea conservării energiei

Într-un circuit oscilator format dintr-o bobină de inductanță L si un condensator DIN, oscilaţiile electrice apar cu o perioadă T = 1 μs. Valoarea maximă de încărcare . Care este curentul în circuit în momentul în care sarcina condensatorului este egală cu? Rezistența activă a bobinei este neglijabilă.

Soluţie:

1 Deoarece rezistența activă a bobinei poate fi neglijată, energia totală a sistemului, constând din energia câmpului electric al condensatorului și energia câmpului magnetic al bobinei, rămâne neschimbată în timp:

(1)

2 În momentul în care încărcarea condensatorului este maximă, nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului

(2)

3 Pe baza (1) și (2), obținem egalitatea . Curentul din circuit este .

4 Perioada de oscilație în circuit este determinată de formula Thomson. De aici. Apoi pentru curentul din circuit obținem

Sarcina 3 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în paralel

Într-un circuit oscilator format dintr-o bobină de inductanță L si un condensator DIN, oscilațiile electrice apar cu o amplitudine a sarcinii. În momentul în care sarcina de pe condensator este maximă, cheia K este închisă. Care va fi perioada de oscilații în circuit după ce cheia este închisă? Care este amplitudinea curentului în circuit după închiderea comutatorului? Ignorați rezistența ohmică a circuitului.

Soluţie:

1 Închiderea cheii duce la apariția în circuit a unui alt condensator conectat în paralel cu primul. Capacitatea totală a doi condensatoare conectate în paralel este .

Perioada de oscilații în circuit depinde numai de parametrii săi și nu depinde de modul în care au fost excitate oscilațiile în sistem și de ce energie a fost transmisă sistemului pentru aceasta. Conform formulei Thomson.

2 Pentru a afla amplitudinea curentului, să aflăm ce procese au loc în circuit după ce cheia este închisă.

Al doilea condensator a fost conectat în momentul în care încărcarea primului condensator era maximă, prin urmare, nu exista curent în circuit.

Condensatorul de buclă ar trebui să înceapă să se descarce. Curentul de descărcare, care a ajuns la nod, ar trebui împărțit în două părți. Totuși, în ramura cu bobina, apare un EMF de autoinducție, care împiedică creșterea curentului de descărcare. Din acest motiv, întregul curent de descărcare va curge în ramura cu condensatorul, a cărui rezistență ohmică este zero. Curentul se va opri de îndată ce tensiunile de pe condensatoare sunt egale, în timp ce sarcina inițială a condensatorului este redistribuită între cei doi condensatori. Timpul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori este neglijabil datorită absenței rezistenței ohmice în ramurile condensatorului. În acest timp, curentul din ramura cu bobina nu va avea timp să apară. fluctuatii in sistem nou continuă după ce încărcarea este redistribuită între condensatori.

Este important de înțeles că în procesul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori, energia sistemului nu este conservată! Înainte ca cheia să fie închisă, un condensator, un condensator în buclă, avea energie:

După ce încărcarea este redistribuită, o baterie de condensatoare posedă energie:

Este ușor de observat că energia sistemului a scăzut!

3 Găsim noua amplitudine a curentului folosind legea conservării energiei. În procesul de oscilații, energia băncii de condensatoare este convertită în energia câmpului magnetic al curentului:

Vă rugăm să rețineți că legea conservării energiei începe să „funcționeze” numai după finalizarea redistribuirii sarcinii între condensatori.

Sarcina 4 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în serie

Circuitul oscilator este format dintr-o bobină cu o inductanță L și doi condensatori C și 4C conectați în serie. Un condensator cu o capacitate de C este încărcat la o tensiune, un condensator cu o capacitate de 4C nu este încărcat. După ce cheia este închisă, încep oscilațiile în circuit. Care este perioada acestor oscilații? Determinați amplitudinea curentului, valorile maxime și minime ale tensiunii pe fiecare condensator.

Soluţie:

1 În momentul în care curentul din circuit este maxim, nu există EMF de auto-inducție în bobină . Notam pentru acest moment a doua lege a lui Kirchhoff

Vedem că în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorii sunt încărcați la aceeași tensiune, dar în polaritate opusă:

2 Înainte de a închide cheia, energia totală a sistemului a constat doar din energia câmpului electric al condensatorului C:

În momentul în care curentul din circuit este maxim, energia sistemului este suma energiei câmpului magnetic al curentului și a energiei a doi condensatoare încărcate la aceeași tensiune:

Conform legii conservării energiei

Pentru a găsi tensiunea pe condensatoare, folosim legea conservării sarcinii - sarcina plăcii inferioare a condensatorului C s-a transferat parțial pe placa superioară a condensatorului 4C:

Înlocuim valoarea tensiunii găsite în legea conservării energiei și găsim amplitudinea curentului în circuit:

3 Să găsim limitele în care tensiunea de pe condensatoare se modifică în timpul procesului de oscilație.

Este clar că în momentul în care circuitul a fost închis, a existat o tensiune maximă pe condensatorul C. Condensatorul 4C nu a fost încărcat, prin urmare, .

După ce întrerupătorul este închis, condensatorul C începe să se descarce, iar un condensator cu o capacitate de 4C începe să se încarce. Procesul de descărcare a primului și de încărcare a celui de-al doilea condensator se termină imediat ce curentul din circuit se oprește. Acest lucru se va întâmpla într-o jumătate de perioadă. Conform legilor de conservare a energiei și a sarcinii electrice:

Rezolvând sistemul, găsim:

Semnul minus înseamnă că după o jumătate de perioadă, capacitatea C este încărcată în polaritatea inversă a originalului.

Sarcina 5 Circuit oscilator cu două bobine conectate în serie

Circuitul oscilant este format dintr-un condensator cu o capacitate C și două bobine cu o inductanță L1Și L2. În momentul în care curentul din circuit a atins valoarea maximă, un miez de fier este introdus rapid în prima bobină (față de perioada de oscilație), ceea ce duce la creșterea inductanței sale de μ ori. Care este amplitudinea tensiunii în procesul de oscilații ulterioare în circuit?

Soluţie:

1 Odată cu introducerea rapidă a miezului în bobină, flux magnetic(fenomenul inducției electromagnetice). Prin urmare, o schimbare rapidă a inductanței uneia dintre bobine va avea ca rezultat o schimbare rapidă a curentului din circuit.

2 În timpul introducerii miezului în bobină, sarcina de pe condensator nu a avut timp să se schimbe, a rămas neîncărcată (miezul a fost introdus în momentul în care curentul din circuit era maxim). După un sfert din perioadă, energia câmpului magnetic al curentului se va transforma în energia unui condensator încărcat:

Înlocuiți în expresia rezultată valoarea curentului euși găsiți amplitudinea tensiunii pe condensator:

Sarcina 6 Circuit oscilator cu două bobine conectate în paralel

Inductoarele L 1 și L 2 sunt conectate prin cheile K1 și K2 la un condensator cu o capacitate C. În momentul inițial, ambele chei sunt deschise, iar condensatorul este încărcat la o diferență de potențial. În primul rând, cheia K1 este închisă și, când tensiunea pe condensator devine egală cu zero, K2 este închis. Determinați tensiunea maximă pe condensator după închiderea K2. Ignorați rezistențele bobinei.

Soluţie:

1 Când cheia K2 este deschisă, au loc oscilații în circuitul format din condensator și prima bobină. În momentul în care K2 este închis, energia condensatorului s-a transferat în energia câmpului magnetic al curentului din prima bobină:

2 După închiderea K2, în circuitul oscilator apar două bobine conectate în paralel.

Curentul din prima bobină nu se poate opri din cauza fenomenului de autoinducție. La nod, se împarte: o parte a curentului merge la a doua bobină, iar cealaltă parte încarcă condensatorul.

3 Tensiunea de pe condensator va deveni maximă atunci când curentul se oprește eu condensator de încărcare. Este evident că în acest moment curenții din bobine vor fi egali.

: Greutățile sunt supuse aceluiași modul de forță - ambele greutăți sunt atașate arcului Imediat după închiderea K2, a existat un curent în prima bobină La momentul inițial, prima sarcină avea o viteză Imediat după închiderea K2, nu a existat curent în a doua bobină La momentul inițial, a doua încărcătură era în repaus Care este tensiunea maximă pe condensator? Care este forța elastică maximă care apare în primăvară în timpul oscilației?

Pendulul se deplasează înainte cu viteza centrului de masă și oscilează în jurul centrului de masă.

Forta elastica este maxima in momentul deformarii maxime a arcului. Evident, în acest moment, viteza relativă a greutăților devine egală cu zero, iar față de tabel, greutățile se mișcă cu viteza centrului de masă. Scriem legea conservării energiei:

Rezolvând sistemul, găsim

Facem un înlocuitor

și obține pentru tensiune maxima valoare găsită anterior

§6 Sarcini pentru soluție independentă

Exerciţiul 1 Calculul perioadei şi frecvenţei oscilaţiilor naturale

1 Circuitul oscilator include o bobină de inductanță variabilă, variind în interior L1= 0,5 uH la L2\u003d 10 μH și un condensator, a cărui capacitate poate varia de la De la 1= 10 pF la

De la 2\u003d 500 pF. Ce interval de frecvență poate fi acoperit prin reglarea acestui circuit?

2 De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă inductanța acestuia este crescută de 10 ori, iar capacitatea este redusă de 2,5 ori?

3 Un circuit oscilator cu un condensator de 1 uF este reglat la o frecvență de 400 Hz. Dacă conectați un al doilea condensator în paralel cu acesta, atunci frecvența de oscilație în circuit devine egală cu 200 Hz. Determinați capacitatea celui de-al doilea condensator.

4 Circuitul oscilator este format dintr-o bobină și un condensator. De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă un al doilea condensator este conectat în serie în circuit, a cărui capacitate este de 3 ori mai mică decât capacitatea primului?

5 Determinați perioada de oscilație a circuitului, care include o bobină (fără miez) de lungime în= 50 cm m aria secțiunii transversale

S\u003d 3 cm 2, având N\u003d 1000 de spire și un condensator de capacitate DIN= 0,5 uF.

6 Circuitul oscilator include un inductor L\u003d 1,0 μH și un condensator de aer, ale cărui zone ale plăcilor S\u003d 100 cm 2. Circuitul este reglat la o frecvență de 30 MHz. Determinați distanța dintre plăci. Rezistența activă a circuitului este neglijabilă.

OSCILAȚII ȘI UNDE ELECTROMAGNETICE

§1 Circuit oscilator.

Vibrații naturale în circuitul oscilator.

formula Thomson.

Oscilații amortizate și forțate în c.c.

Vibrații libere în c.c.

Un circuit oscilator (c.c.) este un circuit format dintr-un condensator și un inductor. În anumite condiții în c.c. pot apărea fluctuații electromagnetice în sarcină, curent, tensiune și energie.

Luați în considerare circuitul prezentat în figura 2. Dacă puneți cheia în poziția 1, atunci condensatorul va fi încărcat și o încărcare va apărea pe plăcuțele saleQși tensiune U C. Dacă apoi întoarceți cheia în poziția 2, condensatorul va începe să se descarce, curentul va curge în circuit, în timp ce energia câmpului electric închis între plăcile condensatorului va fi convertită în energie de câmp magnetic concentrată în inductor.L. Prezența unui inductor duce la faptul că curentul din circuit nu crește instantaneu, ci treptat datorită fenomenului de autoinducție. Pe măsură ce condensatorul se descarcă, sarcina de pe plăcile sale va scădea, curentul din circuit va crește. Valoarea maximă a curentului buclei va atinge atunci când sarcina de pe plăci este egală cu zero. Din acest punct, curentul buclei va începe să scadă, dar, datorită fenomenului de autoinducție, acesta va fi menținut de câmpul magnetic al inductorului, adică. când condensatorul este complet descărcat, energia câmpului magnetic stocat în inductor va începe să se transforme în energia unui câmp electric. Din cauza curentului de buclă, condensatorul va începe să se reîncarce și o sarcină opusă celei originale va începe să se acumuleze pe plăcile sale. Condensatorul va fi reîncărcat până când toată energia câmpului magnetic al inductorului este convertită în energia câmpului electric al condensatorului. Apoi procesul se va repeta în sens opus și, astfel, în circuit vor apărea oscilații electromagnetice.

Să notăm legea a 2-a lui Kirchhoff pentru k.k. considerat,

Ecuația diferențială k.k.

Am obținut o ecuație diferențială pentru oscilațiile sarcinii într-un c.c. Această ecuație este similară cu o ecuație diferențială care descrie mișcarea unui corp sub acțiunea unei forțe cvasi-elastice. Prin urmare, soluția acestei ecuații se va scrie în mod similar

Ecuația fluctuațiilor de sarcină în c.c.

Ecuația fluctuațiilor de tensiune pe plăcile condensatoarelor din c.c.

Ecuația fluctuațiilor curentului în k.k.

Oscilații amortizate în QC

Luați în considerare un C.C. care conține capacitatea, inductanța și rezistența. Legea a 2-a a lui Kirchhoff în acest caz va fi scrisă în formă

- factor de atenuare,

Frecvență ciclică proprie.

- - ecuația diferențială a oscilațiilor amortizate în c.c.

Ecuația oscilațiilor de sarcină amortizată într-un c.c.

Legea modificării amplitudinii sarcinii în timpul oscilațiilor amortizate în c.c.;

Perioada oscilațiilor amortizate.

Scăderea atenuării.

- scădere logaritmică de amortizare.

Bunătatea circuitului.

Dacă amortizarea este slabă, atunci T ≈T 0

Investigăm modificarea tensiunii de pe plăcile condensatoarelor.

Modificarea curentului este defazată cu φ de la tensiune.

la - sunt posibile oscilații amortizate,

la - situaţie critică

o cravată. R > RLA- nu apar fluctuatii (descarcare aperiodica a condensatorului).

Vibrații electromagnetice sunt modificări periodice în timp în electrice şi cantități magneticeîntr-un circuit electric.

gratuit sunt numite astfel fluctuatii, care apar într-un sistem închis datorită abaterii acestui sistem de la o stare de echilibru stabil.

În timpul oscilațiilor are loc un proces continuu de transformare a energiei sistemului dintr-o formă în alta. În caz de ezitare câmp electromagnetic schimbul poate avea loc numai între componentele electrice şi magnetice ale acestui câmp. Cel mai simplu sistem în care poate avea loc acest proces este circuit oscilator.

Circuit oscilator ideal (Circuit LC) - un circuit electric format dintr-o bobină de inductanță L si un condensator C.

Spre deosebire de un circuit oscilator real, care are rezistență electrică R, rezistență electrică conturul ideal este întotdeauna zero. Prin urmare, un circuit oscilator ideal este un model simplificat al unui circuit real.

Figura 1 prezintă o diagramă a unui circuit oscilator ideal.

Energia circuitului

Energia totală a circuitului oscilator

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Unde Noi- energia câmpului electric al circuitului oscilator în acest moment timp DIN este capacitatea condensatorului, u- valoarea tensiunii de pe condensator la un moment dat, q- valoarea sarcinii condensatorului la un moment dat, Wm- energia câmpului magnetic al circuitului oscilator la un moment dat, L- inductanța bobinei, i- valoarea curentului din bobină la un moment dat.

Procese în circuitul oscilator

Luați în considerare procesele care au loc în circuitul oscilator.

Pentru a scoate circuitul din poziția de echilibru, încărcăm condensatorul astfel încât să existe o sarcină pe plăcile sale Qm(Fig. 2, poziție 1 ). Ținând cont de ecuația \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) găsim valoarea tensiunii pe condensator. Nu există curent în circuit în acest moment, adică i = 0.

După ce cheia este închisă, sub acțiunea câmpului electric al condensatorului din circuit, electricitate, puterea curentă i care va crește în timp. Condensatorul în acest moment va începe să se descarce, deoarece. electronii care creează curentul (vă reamintesc că direcția de mișcare a sarcinilor pozitive este luată ca direcție a curentului) părăsesc placa negativă a condensatorului și vin în cea pozitivă (vezi fig. 2, poziția). 2 ). Alături de încărcare q tensiunea va scădea u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Pe măsură ce puterea curentului crește, o FEM de auto-inducție va apărea prin bobină, prevenind o schimbare a puterii curentului. Ca urmare, puterea curentului în circuitul oscilator va crește de la zero la o anumită valoare maximă nu instantaneu, ci într-o anumită perioadă de timp, determinată de inductanța bobinei.

Încărcarea condensatorului q scade și la un moment dat devine egal cu zero ( q = 0, u= 0), curentul din bobină va atinge o anumită valoare Sunt(vezi fig. 2, poziție 3 ).

Fără câmpul electric al condensatorului (și rezistența), electronii care creează curent continuă să se miște prin inerție. În acest caz, electronii care ajung la placa neutră a condensatorului îi conferă o sarcină negativă, electronii care părăsesc placa neutră îi conferă o sarcină pozitivă. Condensatorul începe să se încarce q(și tensiunea u), dar de semn opus, i.e. condensatorul este reîncărcat. Acum noul câmp electric al condensatorului împiedică mișcarea electronilor, deci curentul iîncepe să scadă (vezi Fig. 2, poziția 4 ). Din nou, acest lucru nu se întâmplă instantaneu, deoarece acum EMF de auto-inducție încearcă să compenseze scăderea curentului și o „sprijină”. Și valoarea curentului Sunt(gravidă 3 ) se dovedește curent maximîn contur.

Și din nou, sub acțiunea câmpului electric al condensatorului, un curent electric va apărea în circuit, dar îndreptat în direcția opusă, puterea curentului i care va crește în timp. Și condensatorul va fi descărcat în acest moment (vezi Fig. 2, poziția 6 ) la zero (vezi Fig. 2, poziția 7 ). etc.

Din moment ce încărcarea condensatorului q(și tensiunea u) determină energia câmpului electric al acestuia Noi\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) și curentul din bobină i- energia câmpului magnetic wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) apoi, împreună cu schimbările de sarcină, tensiune și curent, energiile se vor schimba și ele.

Denumiri din tabel:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Energia totală a unui circuit oscilator ideal este conservată în timp, deoarece există pierderi de energie în el (fără rezistență). Apoi

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Astfel, în mod ideal LC- circuitul va experimenta modificări periodice ale valorilor intensității curentului i, taxa q si stres u, iar energia totală a circuitului va rămâne constantă. În acest caz, spunem că există oscilații electromagnetice libere.

Oscilații electromagnetice libereîn circuit - acestea sunt modificări periodice ale încărcăturii de pe plăcile condensatoarelor, ale puterii curentului și ale tensiunii din circuit, care apar fără consumul de energie din surse externe.

Astfel, apariția oscilațiilor electromagnetice libere în circuit se datorează reîncărcării condensatorului și apariției EMF de auto-inducție în bobină, care „oferă” această reîncărcare. Rețineți că încărcarea condensatorului qși curentul din bobină i atinge valorile lor maxime QmȘi Suntîn diferite momente de timp.

Oscilațiile electromagnetice libere în circuit apar conform legii armonice:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Cea mai mică perioadă de timp în care LC- circuitul revine la starea inițială (la valoarea inițială a sarcinii acestei căptușeli), se numește perioada oscilațiilor electromagnetice libere (naturale) din circuit.

Perioada oscilațiilor electromagnetice libere în LC-conturul este determinat de formula Thomson:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Din punct de vedere al analogiei mecanice, unui pendul cu arc fără frecare corespunde unui circuit oscilator ideal, iar unuia real - cu frecare. Datorită acțiunii forțelor de frecare, oscilațiile unui pendul cu arc se atenuează în timp.

*Derivarea formulei Thomson

Din moment ce energia totală a idealului LC-contur, egal cu suma energiilor câmp electrostatic condensator și câmpul magnetic al bobinei este păstrat, apoi în orice moment egalitatea

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Obținem ecuația oscilațiilor în LC-circuit, folosind legea conservării energiei. Diferenţierea expresiei pentru energia sa totală în raport cu timpul, ţinând cont de faptul că

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere într-un circuit ideal:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Rescriindu-l ca:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

rețineți că aceasta este ecuația oscilațiilor armonice cu o frecvență ciclică

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

În consecință, perioada oscilațiilor luate în considerare

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Literatură

Zhilko, V.V. Fizica: manual. indemnizatie pentru invatamantul general de clasa a 11-a. şcoală din rusă lang. antrenament / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.