Oblic numit acest tip de încovoiere, în care toate sarcinile externe care provoacă încovoiere acționează într-un singur plan de forță care nu coincide cu niciunul dintre planurile principale.

Luați în considerare o bară prinsă la un capăt și încărcată la capătul liber cu o forță F(Fig. 11.3).

Orez. 11.3. Schemă de proiectare pentru o îndoire oblică

Forta externa F aplicat în unghi față de axă y. Să descompunem forța Fîn componente situate în planurile principale ale fasciculului, apoi:

Momente încovoietoare într-o secțiune arbitrară luate la distanță z de la capătul liber, va fi egal cu:

Astfel, in fiecare sectiune a grinzii actioneaza simultan doua momente incovoietoare care creeaza o indoire in planurile principale. Prin urmare, o îndoire oblică poate fi considerată un caz special de îndoire spațială.

Tensiunile normale în secțiunea transversală a grinzii cu încovoiere oblică sunt determinate de formulă

Pentru a găsi cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune în îndoirea oblică, este necesar să selectați secțiunea periculoasă a grinzii.

Dacă momentele încovoietoare | M x| și | Ale mele| ating valorile maxime într-o anumită secțiune, atunci aceasta este secțiunea periculoasă. Prin urmare,

Secțiunile periculoase includ și secțiunile în care momentele încovoietoare | M x| și | Ale mele| atinge în același timp valori suficient de mari. Prin urmare, cu îndoirea oblică, pot exista mai multe secțiuni periculoase.

În general, când - secțiune asimetrică, adică axa neutră nu este perpendiculară pe planul forței. Pentru secțiunile simetrice, îndoirea oblică nu este posibilă.

11.3. Poziția axei neutre și a punctelor periculoase

în secțiune transversală. Condiție de rezistență pentru îndoirea oblică.

Determinarea dimensiunilor secțiunii transversale.

Mișcări în îndoire oblică

Poziția axei neutre în îndoire oblică este determinată de formula

unde este unghiul de înclinare al axei neutre față de axă X;

Unghiul de înclinare a planului forței față de axă la(Fig. 11.3).

În secțiunea periculoasă a grinzii (în încadrare, Fig. 11.3), tensiunile la punctele de colț sunt determinate de formulele:

Cu îndoirea oblică, precum și cu îndoirea spațială, axa neutră împarte secțiunea transversală a fasciculului în două zone - zona de tensiune și zona de compresie. Pentru o secțiune dreptunghiulară, aceste zone sunt prezentate în fig. 11.4.

Orez. 11.4. Schema unei secțiuni a unui fascicul ciupit într-un cot oblic

Pentru a determina tensiunile extreme de tracțiune și compresiune, este necesar să se tragă tangente la secțiune în zonele de tracțiune și compresiune, paralele cu axa neutră (Fig. 11.4).

Punctele de contact cele mai îndepărtate de axa neutră DARși Cu sunt puncte periculoase în zonele de compresie și respectiv de tensiune.

Pentru materialele ductile, când rezistența de proiectare a materialului grinzii în tensiune și compresiune este egală între ele, adică [ σ p] = = [s c] = [σ ], în secțiunea periculoasă se determină și starea de rezistență poate fi reprezentată ca

Pentru secțiuni simetrice (dreptunghi, secțiune I), condiția de rezistență are următoarea formă:

Din condiția de rezistență decurg trei tipuri de calcule:

Control;

Proiectare - determinarea dimensiunilor geometrice ale secțiunii;

Determinarea capacității portante a grinzii (sarcină admisă).

Dacă relația dintre laturile secțiunii transversale este cunoscută, de exemplu, pentru un dreptunghi h = 2b, apoi din starea rezistenței fasciculului ciupit, este posibil să se determine parametrii bși h in felul urmator:

sau

definitiv .

Parametrii oricărei secțiuni sunt determinați într-un mod similar. Deplasarea completă a secțiunii grinzii în timpul îndoirii oblice, ținând cont de principiul independenței acțiunii forțelor, este definită ca suma geometrică a deplasărilor în planurile principale.

Determinați deplasarea capătului liber al grinzii. Să folosim metoda Vereshchagin. Găsim deplasarea verticală înmulțind diagramele (Fig. 11.5) după formula

În mod similar, definim deplasarea orizontală:

Apoi deplasarea totală este determinată de formula

Orez. 11.5. Schema de determinare a deplasării complete

la o curbă oblică

Direcția mișcării complete este determinată de unghi β (Fig. 11.6):

Formula rezultată este identică cu formula pentru determinarea poziției axei neutre a secțiunii fasciculului. Acest lucru ne permite să concluzionam că , adică direcția de deviere este perpendiculară pe axa neutră. În consecință, planul de deviere nu coincide cu planul de încărcare.

Orez. 11.6. Schema de determinare a planului de deformare

la o curbă oblică

Unghiul de abatere al planului de deviere față de axa principală y va fi mai mare, cu cât deplasarea este mai mare. Prin urmare, pentru o grindă cu o secțiune elastică, pentru care raportul J x/Jyîndoirea mare, oblică, este periculoasă, deoarece provoacă deviații și solicitări mari în planul de rigiditate minimă. Pentru un bar cu J x= Jy, deformarea totală se află în planul forței și îndoirea oblică este imposibilă.

11.4. Tensiunea și compresia excentrică a fasciculului. Normal

tensiuni în secțiunile transversale ale grinzii

Tensiune excentrică (comprimare) este un tip de deformare în care forța de tracțiune (de compresie) este paralelă cu axa longitudinală a grinzii, dar punctul de aplicare a acesteia nu coincide cu centrul de greutate al secțiunii transversale.

Acest tip de problemă este adesea folosit în construcții la calcularea stâlpilor de construcție. Luați în considerare compresia excentrică a unei grinzi. Notăm coordonatele punctului de aplicare a forței F prin x Fși la F, iar axele principale ale secțiunii transversale - prin x și y. Axă z direcţionaţi în aşa fel încât coordonatele x Fși la F au fost pozitive (Fig. 11.7, a)

Dacă transferi puterea F paralel cu sine dintr-un punct Cu la centrul de greutate al secțiunii, atunci compresia excentrică poate fi reprezentată ca suma a trei deformații simple: compresiune și încovoiere în două plane (Fig. 11.7, b). Făcând acest lucru, avem:

Tensiuni într-un punct arbitrar al secțiunii sub compresie excentrică, situată în primul cadran, cu coordonate x și y pot fi găsite pe baza principiului independenței acțiunii forțelor:

razele de inerție pătrate ale secțiunii, atunci

Unde Xși y sunt coordonatele punctului de secțiune la care se determină solicitarea.

La determinarea tensiunilor, este necesar să se țină cont de semnele coordonatelor atât ale punctului de aplicare a forței exterioare, cât și ale punctului în care se determină solicitarea.

Orez. 11.7. Schema unei grinzi cu compresie excentrică

În cazul tensiunii excentrice a fasciculului în formula rezultată, semnul „minus” trebuie înlocuit cu semnul „plus”.

întindere (compresie)- acesta este tipul de încărcare a grinzii, în care în secțiunile sale transversale apare un singur factor de forță intern - forța longitudinală N.

În tensiune și compresie, forțele externe sunt aplicate de-a lungul axei longitudinale z (Figura 109).

Figura 109

Folosind metoda secțiunilor, este posibil să se determine valoarea VSF - forța longitudinală N sub încărcare simplă.

Forțele interne (tensiunile) care apar într-o secțiune transversală arbitrară în timpul tensiunii (compresiei) sunt determinate folosind conjecturi ale secțiunilor plane ale lui Bernoulli:

Secțiunea transversală a grinzii, plană și perpendiculară pe ax înainte de încărcare, rămâne aceeași la încărcare.

Rezultă că fibrele fasciculului (Figura 110) sunt alungite cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că forțele interne (adică tensiunile) care acționează asupra fiecărei fibre vor fi aceleași și vor fi distribuite uniform pe secțiunea transversală.

Figura 110

Deoarece N este rezultanta forțelor interne, atunci N \u003d σ · A înseamnă că tensiunile normale σ în tensiune și compresie sunt determinate de formula:

[N/mm2 = MPa], (72)

unde A este aria secțiunii transversale.

Exemplul 24. Două tije: o secțiune circulară cu diametrul d = 4 mm și o secțiune pătrată cu latura de 5 mm sunt întinse cu aceeași forță F = 1000 N. Care dintre tije este mai încărcată?

Dat: d = 4 mm; a = 5 mm; F = 1000 N.

Defini: σ 1 și σ 2 - în tijele 1 și 2.

Decizie:

În tensiune, forța longitudinală în tije este N = F = 1000 N.

Zonele secțiunii transversale ale tijelor:

; .

Tensiuni normale în secțiunile transversale ale tijelor:

, .

Deoarece σ 1 > σ 2, prima tijă rotundă este încărcată mai mult.

Exemplul 25. Un cablu răsucit din 80 de fire cu diametrul de 2 mm este întins cu o forță de 5 kN. Determinați tensiunea în secțiune transversală.

Dat: k = 80; d = 2 mm; F = 5 kN.

Defini: σ.

Decizie:

N = F = 5 kN, ,

apoi .

Aici A 1 este aria secțiunii transversale a unui fir.

Notă: secțiunea cablului nu este un cerc!

2.2.2 Diagrame ale forțelor longitudinale N și ale tensiunilor normale σ de-a lungul lungimii barei

Pentru a calcula rezistența și rigiditatea unei grinzi încărcate complex în tensiune și compresie, este necesar să se cunoască valorile lui N și σ în diferite secțiuni transversale.

Pentru aceasta se construiesc diagrame: reprezentați N și reprezentați σ.

Diagramă- acesta este un grafic al modificărilor forței longitudinale N și a tensiunilor normale σ de-a lungul lungimii barei.

Forța longitudinală Nîntr-o secțiune transversală arbitrară a fasciculului este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe aplicate părții rămase, i.e. o parte a secțiunii

Forțele externe F, care întind grinda și îndreptate departe de secțiune, sunt considerate pozitive.

Ordinea trasării N și σ

1 Secțiunile transversale împart grinda în secțiuni, ale căror limite sunt:

a) secțiuni la capetele grinzii;

b) unde se aplica fortele F;

c) unde se modifică aria secțiunii transversale A.

2 Numerotăm secțiunile, începând cu

capăt liber.

3 Pentru fiecare parcelă, folosind metoda

secțiuni, determinăm forța longitudinală N

și reprezentați graficul N pe o scară.

4 Determinați efortul normal σ

pe fiecare amplasament și încorporați

scara grafică σ.

Exemplul 26. Construiți diagrame N și σ pe lungimea barei în trepte (Figura 111).

Dat: F 1 \u003d 10 kN; F2 = 35 kN; A 1 \u003d 1 cm 2; A 2 \u003d 2 cm 2.

Decizie:

1) Împărțim grinda în secțiuni, ale căror limite sunt: ​​secțiuni la capetele grinzii, unde se aplică forțe externe F, unde se modifică aria secțiunii transversale A - sunt 4 secțiuni în total.

2) Numerotăm secțiunile, începând de la capătul liber:

de la I la IV. Figura 111

3) Pentru fiecare secțiune, folosind metoda secțiunilor, determinăm forța longitudinală N.

Forța longitudinală N este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe aplicate restului grinzii. Mai mult decât atât, forțele externe F, de întindere a fasciculului sunt considerate pozitive.

Tabelul 13

4) Construim diagrama N pe o scară. Scara este indicată numai prin valori pozitive ale lui N, pe diagramă semnul plus sau minus (extensie sau compresie) este indicat într-un cerc în dreptunghiul diagramei. Valorile pozitive ale lui N sunt reprezentate grafic deasupra axei zero a diagramei, negative - sub axa.

5) Verificare (oral):În secțiunile în care se aplică forțe externe F, pe diagrama N vor exista salturi verticale egale ca mărime cu aceste forțe.

6) Determinăm tensiunile normale în secțiunile fiecărei secțiuni:

; ;

; .

Construim diagrama σ pe o scară.

7) Examinare: Semnele lui N și σ sunt aceleași.

Gândește-te și răspunde la întrebări

1) este imposibil; 2) este posibil.

53 Tensiunile de tensiune (compresie) ale tijelor depind de forma secțiunii lor transversale (pătrat, dreptunghi, cerc etc.)?

1) depind; 2) nu depind.

54 Cantitatea de solicitare în secțiunea transversală depinde de materialul din care este fabricată tija?

1) depinde; 2) nu depinde.

55 Ce puncte ale secțiunii transversale a unei tije rotunde sunt încărcate mai mult în tensiune?

1) pe axa grinzii; 2) pe suprafața cercului;

3) în toate punctele secțiunii transversale tensiunile sunt aceleași.

56 Tijele din oțel și lemn cu aceeași secțiune transversală sunt întinse cu aceleași forțe. Tensiunile care apar în tije vor fi egale?

1) în oțel, solicitarea este mai mare;

2) la lemn, tensiunea este mai mare;

3) în tije vor apărea tensiuni egale.

57 Pentru o bară (Figura 112), reprezentați diagramele N și σ dacă F 1 = 2 kN; F 2 \u003d 5 kN; A 1 \u003d 1,2 cm 2; A 2 \u003d 1,4 cm 2.

Calculul unei grinzi cu secțiune transversală rotundă pentru rezistență și rigiditate la torsiune

Calculul unei grinzi cu secțiune transversală rotundă pentru rezistență și rigiditate la torsiune

Scopul calculelor de rezistență și rigiditate la torsiune este de a determina astfel de dimensiuni ale secțiunii transversale a grinzii, la care solicitările și deplasările nu vor depăși valorile specificate permise de condițiile de funcționare. Condiția de rezistență pentru tensiunile de forfecare admisibile este în general scrisă ca Această condiție înseamnă că cele mai mari solicitări de forfecare care apar într-o grindă răsucită nu trebuie să depășească tensiunile admisibile corespunzătoare pentru material. Efortul de torsiune admisibil depinde de 0 ─ efortul corespunzător stării periculoase a materialului, iar factorul de siguranță acceptat n: ─ limita de curgere, nt este factorul de siguranță pentru materialul plastic; ─ rezistență la tracțiune, nв - factor de siguranță pentru material fragil. Datorită faptului că este mai dificil să se obțină valori în experimentele de torsiune decât în ​​tensiune (compresie), atunci, cel mai adesea, tensiunile de torsiune admisibile sunt luate în funcție de tensiunile de întindere admisibile pentru același material. Deci pentru oțel [pentru fontă. La calcularea rezistenței grinzilor răsucite sunt posibile trei tipuri de sarcini, care diferă prin utilizarea condițiilor de rezistență: 1) verificarea tensiunilor (calcul de testare); 2) selectarea secțiunii (calcul de proiectare); 3) determinarea sarcinii admisibile. 1. La verificarea tensiunilor pentru sarcini și dimensiuni date ale unei grinzi, se determină cele mai mari solicitări de forfecare care apar în aceasta și se compară cu cele date prin formula (2.16). Dacă condiția de rezistență nu este îndeplinită, atunci este necesar fie să se mărească dimensiunile secțiunii transversale, fie să se reducă sarcina care acționează asupra grinzii, fie să se folosească un material de rezistență mai mare. 2. Atunci când se selectează o secțiune pentru o sarcină dată și o valoare dată a tensiunii admisibile din condiția de rezistență (2.16), se determină valoarea momentului polar de rezistență al secțiunii transversale a grinzii.Diametrele solidului circular sau secțiunea inelară a fasciculului se găsesc după mărimea momentului polar de rezistență. 3. La determinarea sarcinii admisibile pentru o anumită tensiune admisibilă și momentul polar al rezistenței WP, mai întâi, pe baza (3.16), se determină cuplul admisibil MK și apoi, folosind diagrama cuplului, se stabilește o conexiune între K M și momente exterioare de torsiune. Calculul rezistenței fasciculului nu exclude posibilitatea unor deformații care sunt inacceptabile în timpul funcționării sale. Unghiurile mari de răsucire ale barei sunt foarte periculoase, deoarece pot duce la o încălcare a preciziei pieselor de prelucrare dacă această bară este un element structural al mașinii de prelucrat sau pot apărea vibrații de torsiune dacă bara transmite momente de torsiune care variază în timp. , deci bara trebuie calculată și pentru rigiditate. Condiția de rigiditate se scrie în următoarea formă: unde ─ cel mai mare unghi relativ de răsucire a fasciculului, determinat din expresia (2.10) sau (2.11). Apoi, condiția de rigiditate a arborelui va lua forma Valoarea unghiului de răsucire relativ admisibil este determinată de norme și pentru diferite elemente structurale și diferite tipuri de sarcini variază de la 0,15 ° la 2 ° pe 1 m de lungime a grinzii. Atât în ​​condiția de rezistență, cât și în condiția de rigiditate, la determinarea max sau max , vom folosi caracteristici geometrice: WP ─ momentul polar de rezistență și IP ─ momentul polar de inerție. Evident, aceste caracteristici vor fi diferite pentru secțiunile transversale rotunde solide și inelare cu aceeași zonă a acestor secțiuni. Prin calcule specifice, se poate observa că momentele polare de inerție și momentul de rezistență pentru o secțiune inelară sunt mult mai mari decât pentru o secțiune circulară rotundă, deoarece secțiunea inelară nu are zone apropiate de centru. Prin urmare, o bară cu secțiune inelară în torsiune este mai economică decât o bară cu o secțiune rotundă solidă, adică necesită un consum mai mic de material. Cu toate acestea, fabricarea unei astfel de bare este mai complicată și, prin urmare, mai costisitoare, iar această circumstanță trebuie luată în considerare și la proiectarea barelor care funcționează la torsiune. Vom ilustra cu un exemplu metodologia de calcul a grinzii pentru rezistență și rigiditate la torsiune, precum și raționamentul despre eficiență. Exemplul 2.2 Comparați greutățile a doi arbori, ale căror dimensiuni transversale sunt selectate pentru același cuplu MK 600 Nm la aceleași solicitări admisibile între fibre (pe o lungime de cel puțin 10 cm) [cm] 90 2,5 Rcm 90 3 Despicare de-a lungul fibrelor la îndoire [u] 2 Rck 2.4 Despicarea de-a lungul fibrelor la tăierea 1 Rck 1.2 - 2.4 fibre

La întinderea (strângerea) lemnului în ea secțiuni transversale apar numai tensiuni normale. Rezultanta forțelor elementare corespunzătoare o, dA - forța longitudinală N- poate fi găsit folosind metoda secțiunii. Pentru a putea determina tensiunile normale pentru o valoare cunoscută a forței longitudinale, este necesar să se stabilească legea distribuției pe secțiunea transversală a grinzii.

Această problemă este rezolvată pe bază proteze cu secțiune plană(ipotezele lui J. Bernoulli), care scrie:

secțiunile grinzii, care sunt plate și normale față de axa sa înainte de deformare, rămân plate și normale față de axă chiar și în timpul deformării.

Când o grindă este întinsă (realizat, de exemplu, pentru vizibilitate mai mare a experienței cauciucului), la suprafață pe cine a fost aplicat un sistem de zgârieturi longitudinale și transversale (Fig. 2.7, a), vă puteți asigura că riscurile rămân drepte și reciproc perpendiculare, schimbați numai

unde A este aria secțiunii transversale a fasciculului. Omitând indicele z, obținem în final

Pentru solicitările normale se adoptă aceeași regulă de semn ca și pentru forțele longitudinale, adică. când sunt întinse, tensiunile sunt considerate pozitive.

De fapt, distribuția tensiunilor în secțiunile grinzii adiacente locului de aplicare a forțelor externe depinde de metoda de aplicare a sarcinii și poate fi neuniformă. Studiile experimentale și teoretice arată că această încălcare a uniformității distribuției tensiunii este caracter local.În secțiunile grinzii, distanțate de locul de încărcare la o distanță aproximativ egală cu cea mai mare dintre dimensiunile transversale ale grinzii, distribuția tensiunilor poate fi considerată aproape uniformă (Fig. 2.9).

Situația avută în vedere este un caz special principiul Sfântului Venant, care poate fi formulat astfel:

distribuţia tensiunilor depinde în esenţă de modul de aplicare a forţelor exterioare numai în apropierea locului de încărcare.

În părțile suficient de îndepărtate de locul de aplicare a forțelor, distribuția tensiunilor depinde practic doar de echivalentul static al acestor forțe, și nu de metoda de aplicare a acestora.

Astfel, aplicând Principiul Saint Venantși abaterea de la problema tensiunilor locale, avem ocazia (atât în ​​acest capitol, cât și în capitolele următoare ale cursului) să nu fim interesați de modalități specifice de aplicare a forțelor externe.

În locurile cu o schimbare bruscă a formei și dimensiunilor secțiunii transversale a grinzii, apar și tensiuni locale. Acest fenomen se numește concentrarea stresului, pe care nu le vom lua în considerare în acest capitol.

În cazurile în care tensiunile normale în diferite secțiuni transversale ale grinzii nu sunt aceleași, este recomandabil să se arate legea modificării lor de-a lungul lungimii grinzii sub forma unui grafic - diagrame ale tensiunilor normale.

EXEMPLU 2.3. Pentru o grindă cu o secțiune transversală variabilă în trepte (Fig. 2.10, a), reprezentați grafic forțele longitudinale și tensiuni normale.

Decizie.Împărțim fasciculul în secțiuni, începând de la mesagerul liber. Limitele secțiunilor sunt locurile de aplicare a forțelor externe și modificări ale dimensiunii secțiunii transversale, adică grinda are cinci secțiuni. Când se trasează numai diagrame N ar fi necesară împărțirea fasciculului în doar trei secțiuni.

Folosind metoda secțiunilor, determinăm forțele longitudinale în secțiunile transversale ale grinzii și construim diagrama corespunzătoare (Fig. 2.10.6). Construcția diagramei Și nu este în mod fundamental diferită de cea considerată în Exemplul 2.1, așa că omitem detaliile acestei construcție.

Calculăm tensiunile normale folosind formula (2.1), înlocuind valorile forțelor în newtoni și suprafețele - în metri pătrați.

În cadrul fiecărei secțiuni, tensiunile sunt constante, adică e. parcela din această zonă este o linie dreaptă, paralelă cu axa absciselor (Fig. 2.10, c). Pentru calculele de rezistență prezintă interes, în primul rând, acele secțiuni în care apar cele mai mari solicitări. Semnificativ este faptul că în cazul considerat nu coincid cu acele secțiuni în care forțele longitudinale sunt maxime.

În cazurile în care secțiunea transversală a grinzii pe toată lungimea este constantă, diagrama A asemănător unui complot Nși diferă de acesta doar prin scară, prin urmare, în mod firesc, are sens să construiți doar una dintre diagramele indicate.