Funkcje trygonometryczne i ich funkcje. Czym jest sinus i cosinus to procenty

W tym artykule zostaną omówione trzy główne własności funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Pierwsza właściwość to znak funkcji, w zależności od tego, do której ćwiartki okręgu jednostkowego należy kąt α. Drugą właściwością jest okresowość. Zgodnie z tą właściwością funkcja tygonometryczna nie zmienia swojej wartości, gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia właściwość określa, jak zmieniają się wartości funkcje grzechu, cos, tg, ctg pod przeciwległymi kątami α i - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Często w tekście matematycznym lub w kontekście problemu można znaleźć frazę: „kąt pierwszej, drugiej, trzeciej lub czwartej ćwiartki współrzędnych”. Co to jest?

Spójrzmy na okrąg jednostek. Dzieli się na cztery ćwiartki. Na okręgu zaznaczamy punkt początkowy A 0 (1, 0) i obracając go wokół punktu O o kąt α, dochodzimy do punktu A 1 (x, y) . W zależności od tego, w której ćwiartce będzie leżeć punkt A 1 (x, y), kąt α będzie nazywany odpowiednio kątem pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartki.

Dla jasności podajemy ilustrację.

Kąt α = 30° leży w pierwszej ćwiartce. Kąt - 210° to druga ćwiartka kąta. Kąt 585° to kąt trzeciej ćwiartki. Kąt - 45° to kąt czwartej ćwiartki.

W tym przypadku kąty ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° nie należą do żadnej ćwiartki, ponieważ leżą na osiach współrzędnych.

Teraz rozważ znaki, które przyjmują sinus, cosinus, tangens i cotangens, w zależności od tego, w której ćwiartce leży kąt.

Aby określić znaki sinusa w ćwiartkach, przypomnij sobie definicję. Sinus jest rzędną punktu A 1 (x , y) . Z wykresu wynika, że ​​w pierwszym i drugim kwartale jest dodatni, aw trzecim i czterokrotnym ujemny.

Cosinus jest odciętą punktu A 1 (x, y) . Zgodnie z tym określamy znaki cosinusa na kole. Cosinus jest dodatni w pierwszym i czwartym kwartale i ujemny w drugim i trzecim kwartale.

Aby określić znaki tangensa i cotangensa przez ćwiartki, przywołujemy również definicje tych funkcji trygonometrycznych. Styczna - stosunek rzędnej punktu do odciętej. Czyli zgodnie z zasadą dzielenia liczb przez różne znaki kiedy rzędna i odcięta mają identyczne znaki, znak stycznej na okręgu będzie dodatni, a gdy rzędna i odcięta mają różne znaki, będzie ujemny. Podobnie określa się znaki cotangensa w ćwiartkach.

Ważne do zapamiętania!

1. Sinus kąta α ma znak plus w 1. i 2. ćwiartce oraz znak minus w 3. i 4. ćwiartce.
2. Cosinus kąta α ma znak plus w 1. i 4. ćwiartce oraz znak minus w 2. i 3. ćwiartce.
3. Tangens kąta α ma znak plus w 1. i 3. ćwiartce oraz znak minus w 2. i 4. ćwiartce.
4. Cotangens kąta α ma znak plus w 1. i 3. ćwiartce, znak minus w 2. i 4. ćwiartce.

Właściwość okresowości

Własność okresowości jest jedną z najbardziej oczywistych własności funkcji trygonometrycznych.

Właściwość okresowości

Przy zmianie kąta o całkowitą liczbę pełnych obrotów wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa danego kąta pozostają niezmienione.

Rzeczywiście, zmieniając kąt o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dostaniemy się od punktu początkowego A na okręgu jednostkowym do punktu A 1 o tych samych współrzędnych. W związku z tym wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa nie ulegną zmianie.

Matematycznie właściwość ta jest zapisana w następujący sposób:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Jakie jest praktyczne zastosowanie tej właściwości? Własność okresowości, podobnie jak wzory redukcyjne, jest często wykorzystywana do obliczania wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów dużych kątów.

Podajmy przykłady.

grzech 13 π 5 \u003d grzech 3 π 5 + 2 π \u003d grzech 3 π 5

tg(-689°) = tg(31°+360°(-2))=tg 31°tg(-689°)=tg(-329°+360°(-1))=tg(-329°)

Przyjrzyjmy się jeszcze raz okręgowi jednostek.

Punkt A 1 (x, y) jest wynikiem obrócenia punktu początkowego A 0 (1, 0) wokół środka okręgu o kąt α. Punkt A 2 (x, - y) jest wynikiem obrócenia punktu początkowego o kąt - α.

Punkty A 1 i A 2 są symetryczne względem osi x. W przypadku gdy α = 0° , ± 180° , ± 360° punkty A1 i A2 pokrywają się. Niech jeden punkt ma współrzędne (x , y) , a drugi - (x , - y) . Przypomnij definicje sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa i napisz:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Oznacza to własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów przeciwległe rogi.

Własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Zgodnie z tą właściwością, równości

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Rozważana właściwość jest często wykorzystywana w rozwiązywaniu praktycznych problemów w przypadkach, gdy konieczne jest pozbycie się ujemnych znaków kątów w argumentach funkcji trygonometrycznych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Pozwala ustalić szereg charakterystycznych wyników - właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. W tym artykule przyjrzymy się trzem głównym właściwościom. Pierwsza z nich wskazuje znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, w zależności od tego, który kąt ćwiartki współrzędnej jest α. Następnie rozważamy właściwość okresowości, która określa niezmienność wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta α, gdy kąt ten zmienia się o całkowitą liczbę obrotów. Trzecia własność wyraża zależność między wartościami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów przeciwnych α i −α.

Jeśli interesują Cię właściwości funkcji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, możesz je zbadać w odpowiedniej sekcji artykułu.

Nawigacja po stronach.

Znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w ćwiartkach

Poniżej w tym akapicie znajdzie się wyrażenie „kąt I, II, III i IV ćwiartki współrzędnych”. Wyjaśnijmy, czym są te rogi.

Weźmy okrąg jednostkowy, zaznaczmy na nim punkt początkowy A(1,0) i obróćmy go wokół punktu O o kąt α, zakładając, że dochodzimy do punktu A 1 (x, y) .

Mówią, że kąt α to kąt I , II , III , IV współrzędnej ćwiartkowej jeśli punkt A 1 leży odpowiednio w I, II, III, IV ćwiartce; jeśli kąt α jest taki, że punkt A 1 leży na dowolnej z linii współrzędnych Ox lub Oy , to ten kąt nie należy do żadnej z czterech ćwiartek.

Dla jasności przedstawiamy ilustrację graficzną. Poniższe rysunki pokazują kąty obrotu 30 , -210 , 585 i -45 stopni, które są odpowiednio kątami I , II , III i IV ćwiartek współrzędnych.

rogi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stopnie nie należą do żadnej z ćwiartek współrzędnych.

Teraz zastanówmy się, które znaki mają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta obrotu α, w zależności od tego, który kąt ćwiartki jest α.

Dla sinusa i cosinusa jest to łatwe.

Z definicji sinus kąta α jest rzędną punktu A 1 . Jest oczywiste, że w I i II ćwiartce współrzędnych jest dodatni, aw III i IV ujemna. Zatem sinus kąta α ma znak plus w ćwiartce I i II oraz znak minus w ćwiartce III i VI.

Z kolei cosinus kąta α jest odciętą punktu A 1 . W kwartale I i IV jest dodatni, aw kwartale II i III ujemna. Dlatego wartości cosinusa kąta α w ćwiartce I i IV są dodatnie, aw ćwiartce II i III są ujemne.

Aby określić znaki za pomocą ćwiartek stycznej i cotangensa, należy pamiętać o ich definicjach: tangens to stosunek rzędnej punktu A 1 do odciętej, a cotangens to stosunek odciętej punktu A 1 do rzędnej. Następnie od zasady dzielenia liczb z tymi samymi i różnymi znakami wynika, że ​​tangens i cotangens mają znak plus, gdy znaki odciętej i rzędnej punktu A 1 są takie same, oraz znak minus, gdy znaki odciętej i rzędne punktu A 1 są różne. Dlatego tangens i cotangens kąta mają znak + w ćwiartkach współrzędnych I i III oraz znak minus w ćwiartkach II i IV.

Rzeczywiście np. w pierwszej ćwiartce zarówno odcięta x jak i rzędna y punktu A 1 są dodatnie, to zarówno iloraz x/y jak i iloraz y/x są dodatnie, zatem tangens i cotangens mają znaki + . A w drugiej ćwiartce odcięta x jest ujemna, a rzędna y jest dodatnia, więc zarówno x / y, jak i y / x są ujemne, stąd styczna i cotangens mają znak minus.

Przejdźmy do następnej własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Właściwość okresowości

Teraz przeanalizujemy być może najbardziej oczywistą właściwość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta. Polega ona na tym, że gdy kąt zmienia się o całkowitą liczbę pełnych obrotów, wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa tego kąta nie ulegają zmianie.

Jest to zrozumiałe: gdy kąt zmieni się o całkowitą liczbę obrotów, zawsze dojdziemy od punktu początkowego A do punktu A 1 na okręgu jednostkowym, dlatego wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa pozostają niezmienione, ponieważ współrzędne punktu A 1 pozostają niezmienione.

Korzystając ze wzorów, rozważaną własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa można zapisać następująco: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , gdzie α jest kątem obrotu w radianach, z jest dowolnym , którego wartość bezwzględna wskazuje liczbę pełnych obrotów, o jaką zmienia się kąt α, oraz znak liczba z wskazuje kierunek skrętu.

Jeżeli kąt obrotu α zostanie podany w stopniach, to te wzory zostaną przepisane jako sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .

Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład, , dlatego , ale . Oto kolejny przykład: lub .

Ta właściwość wraz ze wzorami redukcyjnymi jest bardzo często wykorzystywana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa „dużych” kątów.

Rozważana własność sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa jest czasami nazywana własnością okresowości.

Własności sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych

Niech А 1 będzie punktem otrzymanym w wyniku obrotu punktu początkowego А(1, 0) wokół punktu O o kąt α , a punkt А 2 będzie wynikiem obrotu punktu А o kąt −α przeciwnie do kąta α .

Własność sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów kątów przeciwnych opiera się na wystarczająco oczywisty fakt: wspomniane powyżej punkty A 1 i A 2 albo pokrywają się (w ) albo są usytuowane symetrycznie względem osi Ox. Oznacza to, że jeśli punkt A 1 ma współrzędne (x, y) , to punkt A 2 będzie miał współrzędne (x, −y) . Stąd, zgodnie z definicjami sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, zapisujemy równości i .
Porównując je, dochodzimy do relacji między sinusami, cosinusami, tangensami i cotangensami o kątach przeciwnych α i −α postaci .
Jest to rozważana właściwość w postaci formuł.

Podajmy przykłady użycia tej własności. Na przykład równości i .

Pozostaje tylko zauważyć, że właściwość sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów o przeciwnych kątach, podobnie jak poprzednia właściwość, jest często używana przy obliczaniu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa i pozwala na całkowite odejście z ujemnych kątów.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Oświecenie, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. Szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz abrakadabra, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, najbardziej zwróć uwagę na naszego nawigatora przydatny zasób dla

Sinus, cosinus, tangens, cotangens

Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te na pierwszy rzut oka skomplikowane koncepcje (które wywołują u wielu uczniów stan przerażenia) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od początku i zrozum pojęcie kąta.

Pojęcie kąta: radian, stopień

Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Tak więc miarą tego obrotu w stosunku do pozycji początkowej będzie zastrzyk.

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kąta!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Kąt (jeden stopień) to kąt środkowy okręgu, oparty na łuku kołowym równym części okręgu. Tak więc cały okrąg składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.

Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje równy kąt, to znaczy ten kąt jest oparty na łuku kołowym o rozmiarze obwodu.

Kąt w radianach nazywany jest kątem środkowym okręgu, opartym na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, zrozumiałeś? Jeśli nie, spójrzmy na zdjęcie.

Rysunek pokazuje więc kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promień jest równy długość łuku). Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:

Gdzie jest kąt środkowy w radianach.

Wiedząc o tym, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód koła. Tutaj jest:

Cóż, teraz skorelujmy te dwie formuły i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg jest równy. To znaczy, skorelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy to. Odpowiednio . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.

Ile jest radianów? Zgadza się!

Rozumiem? Następnie przewiń do przodu:

Jakieś trudności? Potem spójrz odpowiedzi:

Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Tak więc, z koncepcją kąta. Ale jaki jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta? Rozwiążmy to. W tym celu pomożemy trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona, która leży po przeciwnej stronie prosty kąt(w naszym przykładzie jest to strona); nogi są dwoma pozostałymi bokami i (te, które sąsiadują z kątem prostym), ponadto, jeśli weźmiemy nogi pod kątem kąta, to noga jest nogą sąsiednią, a noga przeciwną. A teraz odpowiedzmy na pytanie: jaki jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Styczna kąta- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

w naszym trójkącie.

Cotangens kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).

w naszym trójkącie.

Te definicje są niezbędne Zapamiętaj! Aby łatwiej było zapamiętać, którą nogę podzielić przez co, musisz to jasno zrozumieć w tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

cosinus→dotyk→dotyk→sąsiadujący;

Cotangens→dotyk→dotyk→sąsiadujący.

Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie ufaj? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale możemy obliczyć cosinus kąta z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je napraw!

Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.

Cóż, dostałeś to? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla rogu.

Koło jednostkowe (trygonometryczne)

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważyliśmy okrąg o promieniu równym. Taki krąg nazywa się pojedynczy. Jest bardzo przydatny w badaniach trygonometrii. Dlatego zajmiemy się tym bardziej szczegółowo.

Jak widać, okrąg ten zbudowany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu równy jeden, podczas gdy środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).

Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. Co to za współrzędne? A ogólnie, co mają wspólnego z omawianym tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe prawe trójkąty. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do ​​osi.

Co jest równe z trójkąta? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, a więc . Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:

A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:

Czy możesz mi powiedzieć, jakie są współrzędne punktu należącego do okręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! Jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Tak więc punkt.

A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.

Co jeśli kąt jest większy? Tutaj na przykład jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w ten przykład? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (jako sąsiadujący z kątem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te relacje mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.

Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, dostaniesz też kąt o określonej wielkości, ale tylko to będzie ujemne. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! Dlatego w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.

W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi i tak dalej. Ta lista może być kontynuowana w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)

Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:

Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:

Jakieś trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:

Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg w odpowiada punktowi o współrzędnych, a zatem:

Nie istnieje;

Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym łatwo wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

W ten sposób możemy wykonać następującą tabelę:

Nie trzeba pamiętać wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i podane w poniższej tabeli: trzeba pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta () oraz wartość tangensa kąta w. Znając te wartości dość łatwo odtworzyć całą tabelę - wartości cosinusów są przekazywane zgodnie ze strzałkami, czyli:

Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” będzie zgodny, a mianownik „ ” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać całą wartość z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?

Oczywiście, że możesz! Wydobądźmy ogólna formuła znaleźć współrzędne punktu.

Tutaj np. mamy taki krąg:

Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrót punktu o stopnie.

Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:

Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.

Zgodnie z tą samą logiką znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. W ten sposób,

tak w ogólny widok współrzędne punktów wyznaczają wzory:

Współrzędne środka okręgu,

promień okręgu,

Kąt obrotu wektora promienia.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:

Cóż, wypróbujmy te formuły dla smaku, ćwicząc znajdowanie punktów na kole?

1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrót punktu.

3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

4. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

5. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?

Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Sinus kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).

Cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te linijki, to jesteś bardzo fajny.

Ponieważ tylko 5% ludzi jest w stanie opanować coś samodzielnie. A jeśli doczytałeś do końca, to jesteś w 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Rozgryzłeś teorię na ten temat. I powtarzam, to jest… po prostu super! Już jesteś lepszy niż większość twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za sukces zdanie egzaminu, o przyjęcie do instytutu z budżetu i, CO NAJWAŻNIEJ, na całe życie.

Do niczego Cię nie przekonam, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy jej nie otrzymali. To są statystyki.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Może dlatego, że otwiera się przed nimi znacznie więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? Nie wiem...

Ale pomyśl sam...

Co trzeba zrobić, aby być lepszym od innych na egzaminie i być ostatecznie… szczęśliwszym?

WYPEŁNIJ SWOJĄ RĘKĘ, ROZWIĄZUJĄC PROBLEMY W TYM TEMACIE.

Na egzaminie nie zostaniesz zapytany o teorię.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie zdążysz na czas.

To jak w sporcie – trzeba wiele razy powtórzyć, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję w dowolnym miejscu koniecznie z rozwiązaniami szczegółowa analiza i zdecyduj, zdecyduj, zdecyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (niekoniecznie) i na pewno je polecamy.

Aby uzyskać pomoc w naszych zadaniach, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który właśnie czytasz.

W jaki sposób? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach samouczka — Kup podręcznik - 499 rubli

Tak, mamy w podręczniku 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań i wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez cały okres użytkowania witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie lubisz naszych zadań, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Zrozumiałem” i „Wiem, jak rozwiązać” to zupełnie inne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż!

Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.

Kąt jest wskazany przez odpowiedni grecki list.

Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciw(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć to wszystko funkcje trygonometryczne według specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.

1. W trójkącie kąt to , . Znajdować .

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

O ile , .

2. W trójkącie kąt to , , . Znajdować .

Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.

Problem rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!

Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W UŻYJ opcji w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są głównymi kategoriami trygonometrii - gałęzi matematyki i są nierozerwalnie związane z definicją kąta. Posiadanie tej matematycznej nauki wymaga zapamiętywania i rozumienia wzorów i twierdzeń oraz rozwiniętego myślenia przestrzennego. Dlatego obliczenia trygonometryczne często sprawiają trudności uczniom i studentom. Aby je przezwyciężyć, powinieneś lepiej zapoznać się z funkcjami i wzorami trygonometrycznymi.

Pojęcia w trygonometrii

Aby zrozumieć podstawowe pojęcia trygonometrii, musisz najpierw zdecydować, czym jest trójkąt prostokątny i kąt w kole oraz dlaczego wszystkie podstawowe obliczenia trygonometryczne są z nimi powiązane. Trójkąt, w którym jeden z kątów wynosi 90 stopni, jest trójkątem prostokątnym. Historycznie figura ta była często wykorzystywana przez ludzi w architekturze, nawigacji, sztuce, astronomii. W związku z tym, studiując i analizując właściwości tej figury, ludzie doszli do obliczenia odpowiednich stosunków jej parametrów.

Główne kategorie związane z trójkątami prostokątnymi to przeciwprostokątna i nogi. Przeciwprostokątna to bok trójkąta, który jest przeciwny do kąta prostego. Nogi, odpowiednio, to dwie pozostałe strony. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi zawsze 180 stopni.

Trygonometria sferyczna to część trygonometrii, której nie uczy się w szkole, ale w naukach stosowanych, takich jak astronomia i geodezja, używają jej naukowcy. Cechą trójkąta w trygonometrii sferycznej jest to, że zawsze ma sumę kątów większą niż 180 stopni.

Kąty trójkąta

W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest stosunkiem nogi przeciwległej do pożądanego kąta do przeciwprostokątnej trójkąta. W związku z tym cosinus jest stosunkiem sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej. Obie te wartości zawsze mają wartość mniejszą niż jeden, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż noga.

Tangens kąta jest wartością równą stosunkowi przeciwległego ramienia do sąsiedniego ramienia żądanego kąta lub sinusa do cosinusa. Z kolei cotangens jest stosunkiem sąsiedniej nogi o pożądanym kącie do przeciwległego kakteta. Cotangens kąta można również otrzymać dzieląc jednostkę przez wartość tangensa.

koło jednostkowe

Okrąg jednostkowy w geometrii to okrąg, którego promień jest równy jeden. Okrąg taki konstruowany jest w układzie współrzędnych kartezjańskich, przy czym środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, a położenie początkowe wektora promienia określa dodatni kierunek osi X (oś odciętej). Każdy punkt okręgu ma dwie współrzędne: XX i YY, czyli współrzędne odciętej i rzędnej. Zaznaczając dowolny punkt na okręgu w płaszczyźnie XX i opuszczając z niego prostopadłą do osi odciętej, otrzymujemy trójkąt prostokątny utworzony przez promień do wybranego punktu (oznaczmy go literą C), prostopadłą narysowaną do oś X (punkt przecięcia oznaczono literą G) oraz odcinek osi odciętej między początkiem (punkt oznaczono literą A) a punktem przecięcia G. Otrzymany trójkąt ACG jest trójkątem prostokątnym wpisanym w okrąg, gdzie AG to przeciwprostokątna, a AC i GC to nogi. Kąt między promieniem okręgu AC a odcinkiem osi odciętej o oznaczeniu AG określamy jako α (alfa). A więc cos α = AG/AC. Biorąc pod uwagę, że AC jest promieniem okręgu jednostkowego i jest równy jeden, okazuje się, że cos α=AG. Podobnie sin α=CG.

Dodatkowo znając te dane można wyznaczyć współrzędną punktu C na okręgu, ponieważ cos α=AG, a sin α=CG, co oznacza, że ​​punkt C ma podane współrzędne (cos α; sin α). Wiedząc, że tangens jest równy stosunkowi sinusa do cosinusa, możemy określić, że tg α \u003d y / x i ctg α \u003d x / y. Biorąc pod uwagę kąty w ujemnym układzie współrzędnych, można obliczyć, że wartości sinus i cosinus niektórych kątów mogą być ujemne.

Obliczenia i podstawowe wzory

Wartości funkcji trygonometrycznych

Po rozważeniu istoty funkcji trygonometrycznych poprzez koło jednostkowe możemy wyprowadzić wartości tych funkcji dla niektórych kątów. Wartości są wymienione w poniższej tabeli.

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Równania, w których pod znakiem funkcji trygonometrycznej znajduje się nieznana wartość, nazywane są trygonometrycznymi. Tożsamości o wartości sin x = α, k to dowolna liczba całkowita:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tożsamości o wartości cos x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ± arccos α + 2πk.

Tożsamości o wartości tg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Tożsamości o wartości ctg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formuły odlewane

Ta kategoria formuł stałych oznacza metody, za pomocą których można przejść od funkcji trygonometrycznych postaci do funkcji argumentu, czyli zamienić sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wartości na odpowiednie wskaźniki kąta przedział od 0 do 90 stopni dla większej wygody obliczeń.

Wzory na funkcje redukujące dla sinusa kąta wyglądają tak:

• grzech(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• grzech(1800 - α) = grzech α;
• grzech(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• grzech(3600 - α) = -sin α;
• grzech(3600 + α) = grzech α.

Dla cosinusa kąta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Stosowanie powyższych wzorów jest możliwe z zachowaniem dwóch zasad. Po pierwsze, jeśli kąt można przedstawić jako wartość (π/2 ± a) lub (3π/2 ± a), wartość funkcji zmienia się:

• od grzechu do kosmosu;
• od cos do grzechu;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Wartość funkcji pozostaje niezmieniona, jeśli kąt można przedstawić jako (π ± a) lub (2π ± a).

Po drugie, znak funkcji zredukowanej się nie zmienia: jeśli początkowo był dodatni, to taki pozostaje. To samo dotyczy funkcji ujemnych.

Formuły dodawania

Wzory te wyrażają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa sumy i różnicy dwóch kątów obrotu pod względem ich funkcji trygonometrycznych. Kąty są zwykle oznaczane jako α i β.

Formuły wyglądają tak:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Wzory te obowiązują dla dowolnych kątów α i β.

Formuły podwójnego i potrójnego kąta

Wzory trygonometryczne podwójnego i potrójnego kąta to wzory, które wiążą funkcje kątów 2α i 3α z funkcjami trygonometrycznymi kąta α. Pochodzi z formuł dodawania:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Przejście od sumy do produktu

Biorąc pod uwagę, że 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), upraszczając ten wzór, otrzymujemy tożsamość sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobnie sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Przejście od produktu do sumy

Te formuły wynikają z tożsamości dla przejścia sumy na iloczyn:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formuły redukcyjne

W tych tożsamościach potęgi kwadratowe i sześcienne sinusa i cosinusa mogą być wyrażone w postaci sinusa i cosinusa pierwszej potęgi kąta wielokrotnego:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Uniwersalna substytucja

Uniwersalne wzory podstawienia trygonometrycznego wyrażają funkcje trygonometryczne jako tangens półkąta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), natomiast x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdzie x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdzie x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), natomiast x \u003d π + 2πn.

Przypadki specjalne

Szczególne przypadki najprostszych równania trygonometryczne podano poniżej (k jest dowolną liczbą całkowitą).

Prywatne dla sinusa:

grzech x wartość	x wartość
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk lub 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk lub -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk lub 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk lub -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk lub 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk lub -2π/3 + 2πk

Iloraz cosinusów:

cos x wartość	x wartość
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Prywatny dla stycznej:

tg x wartość	x wartość
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Iloraz cotangensa:

ctg x wartość	x wartość
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Twierdzenia

Twierdzenie sinus

Istnieją dwie wersje twierdzenia - prosta i rozszerzona. Proste twierdzenie o sinusach: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. W tym przypadku a, b, c to boki trójkąta, a α, β, γ to odpowiednio przeciwne kąty.

Twierdzenie o sinusach rozszerzonych dla dowolnego trójkąta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. W tej tożsamości R oznacza promień okręgu, w który wpisany jest dany trójkąt.

twierdzenie cosinus

Tożsamość jest wyświetlana w następujący sposób: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. We wzorze a, b, c to boki trójkąta, a α to kąt po przeciwnej stronie a.

Twierdzenie styczne

Wzór wyraża zależność między stycznymi dwóch kątów a długością boków przeciwległych. Boki są oznaczone jako a, b, c, a odpowiadające im przeciwne kąty to α, β, γ. Wzór twierdzenia o stycznej: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Twierdzenie cotangensa

Wiąże promień okręgu wpisanego w trójkąt z długością jego boków. Jeśli a, b, c są bokami trójkąta, a odpowiednio A, B, C są ich przeciwległymi kątami, r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem trójkąta, następujące tożsamości utrzymać:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikacje

Trygonometria to nie tylko nauka teoretyczna związana ze wzorami matematycznymi. Jego właściwości, twierdzenia i reguły są wykorzystywane w praktyce przez różne branże ludzka aktywność– astronomia, nawigacja powietrzna i morska, teoria muzyki, geodezja, chemia, akustyka, optyka, elektronika, architektura, ekonomia, inżynieria mechaniczna, praca pomiarowa, grafika komputerowa, kartografia, oceanografia i wiele innych.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe pojęcia trygonometrii, za pomocą których można matematycznie wyrazić związek między kątami i długościami boków w trójkącie oraz znaleźć żądane wielkości za pomocą tożsamości, twierdzeń i reguł.