Wykres funkcji y cosinus x 2. Prezentacja na lekcję algebry (klasa 10) na temat: Funkcje y \u003d sin x i y \u003d cos x i ich wykresy

W tej lekcji szczegółowo omówimy funkcję y \u003d cos x, jej główne właściwości i wykres. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y \u003d koszt na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i linii. Pokażmy okresowość tej funkcji na wykresie i rozważmy jej główne właściwości. Na końcu lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów za pomocą wykresu funkcji i jej właściwości.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=koszt, jej główne własności i wykres

Funkcja to prawo, zgodnie z którym każdej wartości niezależnego argumentu przypisywana jest unikalna wartość funkcji.

Zapamiętajmy definicja funkcji Zostawiać T- dowolna liczba rzeczywista. Odpowiada jednemu punktowi m na kółku z cyframi. W punkcie m jest tylko jedna odcięta. Nazywa się to cosinusem liczby. T. Każda wartość argumentu T odpowiada tylko jednej wartości funkcji (rys. 1).

Kąt środkowy jest liczbowo równy wielkości łuku w radianach, tj. liczba Dlatego argument może być liczbą rzeczywistą lub kątem w radianach.

Jeśli możemy określić dla każdej wartości, możemy wykreślić funkcję

Wykres funkcji można uzyskać w inny sposób. Zgodnie z formułami redukcyjnymi więc wykres cosinus jest sinusoidą przesuniętą wzdłuż osi x w lewo (rys. 2).

Właściwości funkcji

1) Dziedzina definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja jest parzysta:

4) Najmniejszy dodatni okres:

5) Współrzędne punktów przecięcia z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia z osią y:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Interwały malejące:

11) Niskie punkty:

12) Funkcja minimalna: .

13) Najważniejsze punkty:

14) Maksymalne cechy:

Rozważyliśmy główne własności i wykres funkcji, które następnie zostaną wykorzystane w rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Samouczek dla instytucje edukacyjne(poziom profilu) wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, ocena 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov OS, Shvartsburd S.I. Algebra i Analiza matematyczna dla klasy 10 ( instruktaż dla uczniów szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki).-M.: Edukacja, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dogłębne badanie algebry i analizy matematycznej.-M .: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów na uczelnie techniczne (pod redakcją M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Trener algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zadania z algebry i początki analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 ogólnokształcących instytucji edukacyjnych).-M.: Edukacja, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów z algebry i początków analizy: podręcznik. dodatek na 10-11 komórek. z głębokim badanie matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra and the Beginnings of Analysis, klasa 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotować się do egzaminów ().

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( rachunek) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Funkcje y \u003d sin x i y \u003d cos x i ich wykresy (towarzysząca prezentacja do lekcji) TATYANA SERGEEVNA KORPUSOVA nauczyciel matematyki MBOU LSOSH Nie. N.F.Struchenkowa obwód briański

DEFINICJA Funkcje liczbowe podane we wzorach odpowiednio y \u003d sin x i y \u003d cos x są nazywane sinus i cosinus. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funkcja y=sin x , wykres i własności. 10.11.2013 Korpusova T.S.

Sinusoida y 1 - π / 2 π 2 π 3 π x -3 π / 2 - π 0 π / 2 3 π / 2 5 π / 2 -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y \u003d grzech (x + a) PRZYKŁAD y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d grzech x + a 1) y \u003d grzech x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1

Wykres y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 Korpusova T.S.

Funkcja y = cos x , jej własności i wykres. 10.11.2013 Korpusova T.S.

y \u003d cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 Korpusova T.S.

Wykres y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x-π/4)+2 10.11.2013 Korpusova T.S.

Wykres y=k sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 Korpusova T.S.

Znalezienie okresu funkcje trygonometryczne Jeśli y=f(x) jest okresowe i ma najmniejszy dodatni okres T₁, to funkcja y=A f(kx+b), gdzie A, k i b są stałymi, a k ≠ 0 , również jest okresowa z okresem Przykłady : 11.10.2013 Korpusova T.S. 1) y=sin 6 x +2, T₁=2 π T₁=2 π

Wykreślanie funkcji okresowych 10 listopada 2013 Korpusova T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Dana funkcja y= f(x) . Wykreśl jego wykres, jeśli okres jest znany. y x 1 1 3)T= 3

Skonstruuj wykres funkcji: y=2cos(2x-π/3)-0,5 i znajdź dziedzinę definicji oraz zakres wartości funkcji 10.11.2013 Korpusova T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.

Temat lekcji: „Funkcja y=cosx”

Lekcja 1

Cele lekcji: Zapoznanie uczniów z właściwościami funkcji

Cele Lekcji.

Edukacyjne - tworzenie funkcjonalnych reprezentacji na materiale wizualnym, kształtowanie umiejętności kreślenia wykresów funkcji y \u003d cosx, kształtowanie umiejętności swobodnego czytania wykresów, umiejętność odzwierciedlania właściwości funkcji na wykresie.

Podczas zajęć

№	Etap lekcji	Pokaz slajdów	Czas
1	Organizowanie czasu. Pozdrowienia
2	Ogłoszenie tematu i celu lekcji
3	Aktualizacja podstawowej wiedzy Wykonywanie ćwiczeń ustnych.	Badanie przednie
4	Prezentacja nowego materiału Zadanie wykreślenia y \u003d cosx na segmencie Omówienie własności funkcji y = cosx na odcinku Zadanie skonstruowania szkicu wykresu funkcji y \u003d cosx Omówienie własności funkcji y = cosx	Wprowadzanie właściwości do tabeli
5	Rozwiązywanie problemów według podręcznika nr 708, nr 709	Decyzji towarzyszy slajd nr 4
6	Zadanie wykreślenia wykresu funkcji z przesunięciem wzdłuż osi rzędnych i wzdłuż osi odciętej. Omówienie właściwości funkcji
7	Niezależna praca według podręcznika	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Zreasumowanie. Wyniki lekcji. Cieniowanie.
9	Praca domowa	§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Skonstruuj wykresy funkcji y \u003d cosx i opisz właściwości tej funkcji. Dodatkowe #717 (1)

Cel lekcji: Zapoznanie uczniów z właściwościami funkcji y \u003d cosx, nauka rysowania wykresu funkcji y \u003d cosx, czytanie tego wykresu, wykorzystywanie właściwości i wykresu funkcji podczas rozwiązywania równań i nierówności .

2. Ogłoszeniu tematu i celu lekcji towarzyszy slajd nr 2

3. Aktualizacja podstawowej wiedzy

Wykonywanie ćwiczeń ustnych.

Powtórz definicję funkcji trygonometrycznych i znaki wartości tych funkcji.
Zwróć uwagę uczniów na fakt, że dla każdego prawdziwy numer możesz określić odpowiedni punkt na okręgu jednostkowym, a więc jego odciętą i rzędną, czyli cosinus i sinus liczby x: y \u003d cosx i y \u003d sinx, którego domeną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Następnie uczniowie odpowiadają na pytania:

Przy jakich wartościach x funkcja y=cosx przyjmuje wartość równą 0? jeden? -jeden?
Czy funkcja y=cosx może przyjąć wartość większą niż 1, mniejszą niż -1?
Przy jakich wartościach x funkcja y=cosx przyjmuje największą (najmniejszą) wartość?
Jaki jest zbiór wartości funkcji y=cosx?

Odpowiedziom na te i kolejne pytania towarzyszy ilustracja na okręgu jednostkowym.

Po powtórzeniu znaków wartości funkcji trygonometrycznych w każdej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych uczniowie proszeni są o wskazanie kilku punktów koła jednostkowego odpowiadających liczbom, których cosinus jest liczbą dodatnią (ujemną). Wtedy odpowiedz na pytania:

1) Jaki jest znak funkcji y \u003d cosx, jeśli x \u003d, x \u003d,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Wskaż kilka wartości x, przy których wartości funkcji y \u003d cosx są dodatnie, ujemne.

3) Czy można wymienić wszystkie wartości liczby, której cosinus jest dodatni, ujemny?

4) Czy można wymienić wszystkie wartości argumentu x, dla których wartości funkcji y = cosx są dodatnie lub ujemne?

5) Funkcja parzysta lub nieparzysta y = cosx.

6) Jaki jest okres tej funkcji?

4. Prezentacja nowego materiału.

Uogólnienie i konkretyzacja zdobytej wcześniej wiedzy: badanie dziedziny definicji, zbioru wartości, parzystości, okresowości pozwala zbudować wykres najpierw na odcinku, potem na odcinku, a następnie na całej osi liczbowej. Wyjaśnieniu towarzyszy slajd #3.

Następnie uczniowie uczą się rysować szkic wykresu funkcji y \u003d cosx w punktach (0; 1), (; 0),

(:-1), (;0), (;1) i uogólniaj właściwości funkcji, zapisując je do tabeli.

Sprawdzamy za pomocą slajdu nr 4.

(Na tym etapie wydawane są uwagi uzupełniające (Załącznik 1))

5. Konsolidacja wiedzy podstawowej.

Za pomocą szkicu wykresu funkcji y \u003d cosx uczniowie odpowiadają na pytania nr 708, korzystając z tabeli właściwości funkcji y \u003d cosx, odpowiadają na pytania nr 709

6. Zadanie wykreślenia wykresu funkcji z przesunięciem wzdłuż osi rzędnych i wzdłuż osi odciętej.

1. Slajd numer 5, 6

W trakcie rozmowy omawiane są właściwości tych funkcji.

7. Samodzielna praca nad podręcznikiem

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Podziel ten segment na dwa segmenty, aby funkcja y \u003d cosx wzrastała na jednym z nich, a zmniejszała się na drugim:

Spadki; - wzrosty

Korzystając z rosnącej lub malejącej właściwości funkcji y \u003d cosx, porównaj liczby:

W segmencie funkcja y \u003d cosx maleje; , W konsekwencji, .

W segmencie wzrasta funkcja y \u003d cosx;

<, следовательно, cos < cos

Znajdź wszystkie pierwiastki równania należące do segmentu:

1) cosx \u003d x \u003d ± +2 n, n Z

Odpowiedź: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Podsumowując.

Cieniowanie.

Na lekcji nauczyliśmy się rysować funkcję y = cosx, odczytywać właściwości tego wykresu, budować szkic wykresu, rozwiązywać problemy związane z wykorzystaniem wykresu i własności funkcji y = cosx.

9. Praca domowa.

§40 #710(2;4), #711(2;4), #711(2;4). Skonstruuj wykresy funkcji y \u003d cosx i opisz właściwości tej funkcji.

Dodatkowo nr 717(1).

Temat: „Funkcja y=cosx”

Lekcja 2

Cele lekcji: Powtórz zasady konstruowania wykresu funkcji y \u003d cosx, naucz się stosować techniki transformacji wykresu, przeczytaj ten wykres, użyj właściwości i wykresu funkcji podczas rozwiązywania równań i nierówności.

Cele Lekcji.

Edukacyjne - tworzenie funkcjonalnych reprezentacji na materiale wizualnym, tworzenie umiejętności kreślenia wykresów funkcji y \u003d cosx z różnymi transformacjami, kształtowanie umiejętności swobodnego czytania wykresów, umiejętność odzwierciedlania właściwości funkcji na wykres.

Rozwijające – kształtowanie umiejętności analizowania, uogólniania zdobytej wiedzy. Kształtowanie logicznego myślenia.

Edukacyjne - aktywizujące zainteresowanie zdobywaniem nowej wiedzy, kształcenie kultury graficznej, kształtowanie dokładności i dokładności przy wykonywaniu rysunków.

Wyposażenie: projektor multimedialny, ekran, system operacyjny Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Podczas zajęć

№	Etap lekcji	Pokaz slajdów	Czas
1	Organizowanie czasu. Pozdrowienia		1
2	Ogłoszenie tematu i celu lekcji		2
3	Sprawdzanie pracy domowej	№717(1), Slajd №7	5
4	Prezentacja nowego materiału Zadanie narysowania wykresu poprzez ściskanie i rozciąganie do osi OX Omówienie własności funkcji y =k cosx dla k>1 i 0 Zadanie narysowania wykresu przez ściśnięcie i rozciąganie do ori OU Omówienie własności funkcji y = cos(k x) dla k>1 i 0	Zjeżdżalnia №8, 9	12
5	Konsolidacja wiedzy podstawowej. Rozwiązywanie problemów w podręczniku №713(1;3), №715(1) №716(1)	Podręcznik nr 717 (2) s. 208. Rozwiązując nr 715 (1), nr 716 (1), użyj skonstruowanego wykresu funkcji y \u003d cos2x. Slajd #10	5
6	Zadanie polega na sporządzeniu wykresu funkcji symetrycznej względem osi x. 1. Moment organizacyjny. Pozdrowienia. 2. Ogłoszeniu tematu i celu lekcji towarzyszy slajd nr 2. 3. Sprawdzanie pracy domowej 4. Prezentacja nowego materiału 1. Zadanie wykreślenia wykresu poprzez ściskanie i rozciąganie do osi OX. Omówienie własności funkcji y =k cosx dla k>1 i 0 slajd numer 8 2. Zadanie kreślenia wykresu poprzez ściskanie i rozciąganie do osi y. Omówienie własności funkcji y = cos(kx) dla k>1 i 0 slajd numer 9 5. Konsolidacja podstawowej wiedzy Rozwiązywanie problemów według podręcznika nr 713 (1; 3), nr 715 (1) nr 716 (1) Zadanie nr 715 (1) nr 716 (1) sprawdza się za pomocą suwaka nr 10 6. Zadanie wykreślenia wykresu funkcji symetrycznej względem osi x Omówienie właściwości funkcji . Slajd nr 11 (należy skorzystać ze szkicu referencyjnego (Załącznik 1)) 7. Niezależna praca Rozwiązanie problemów testowych . (Połowa uczniów rozwiązuje testy w XL (Załącznik 2), na komputerach, druga połowa na materiałach informacyjnych (Załącznik 3). Następnie uczniowie zamieniają się miejscami.) 8. Wyniki lekcji. W wyniku przestudiowania tematu uczniowie nauczyli się rysować funkcję y \u003d cosx, czytać właściwości funkcji, budować wykresy funkcji za pomocą różnych transformacji, czytać właściwości wykresów z transformacjami, rozwiązywać proste problemy za pomocą wykresów i właściwości funkcji y \u003d cosx. Cieniowanie. 9. Praca domowa. §40 #717(3), #713(4), #715(4), #716(2). Dodatkowo nr 719(2) (Sprawdź slajd nr 13) Na początku kolejnej lekcji możesz zaprosić uczniów do pracy nad budowaniem wykresów na gotowych materiałach informacyjnych (

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja y=cos(x). Definicja i wykres funkcji”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9-11
Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:
1. Definicja.
2. Wykres funkcji.
3. Własności funkcji Y=cos(X).
4. Przykłady.

Definicja funkcji cosinus y=cos(x)

Chłopaki, spotkaliśmy się już z funkcją Y=sin(X).

Zapamiętajmy jedną z formuł duchowych: sin(X + π/2) = cos(X).

Dzięki temu wzorowi możemy stwierdzić, że funkcje sin(X + π/2) i cos(X) są identyczne, a ich wykresy funkcji są takie same.

Wykres funkcji sin(X + π/2) uzyskuje się z wykresu funkcji sin(X) przez równoległe przesunięcie jednostek π/2 w lewo. Będzie to wykres funkcji Y=cos(X).

Wykres funkcji Y=cos(X) nazywany jest również sinusoidą.

cos(x) właściwości funkcji

Domeną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja jest parzysta. Przypomnijmy definicję funkcji parzystej. Funkcja jest wywoływana, nawet jeśli zachowana jest równość y(-x)=y(x). Jak pamiętamy ze wzorów duchów: cos(-x)=-cos(x), definicja jest spełniona, wtedy cosinus jest funkcją parzystą.
Funkcja Y=cos(X) maleje na przedziale i rośnie na przedziale [π; 2π]. Możemy to zweryfikować na wykresie naszej funkcji.
Funkcja Y=cos(X) jest ograniczona od dołu i od góry. Ta właściwość wynika z faktu, że
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Najmniejsza wartość funkcji to -1 (dla x = π + 2πk). Największa wartość funkcji to 1 (dla x = 2πk).
Funkcja Y=cos(X) jest funkcją ciągłą. Spójrzmy na wykres i upewnijmy się, że nasza funkcja nie ma przerw, co oznacza ciągłość.
Zakres wartości to segment [- 1; jeden]. Widać to również wyraźnie na wykresie.
Funkcja Y=cos(X) jest funkcją okresową. Spójrzmy jeszcze raz na wykres i zobaczmy, że funkcja przyjmuje te same wartości w pewnych odstępach czasu.

Przykłady z funkcją cos(x)

1. Rozwiąż równanie cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Rozwiązanie: Zbudujmy 2 wykresy funkcji: y=cos(x) i y=(x - 2π) 2 + 1 (patrz rysunek).

y \u003d (x - 2π) 2 + 1 to parabola przesunięta w prawo o 2π i w górę o 1. Nasze wykresy przecinają się w jednym punkcie A (2π; 1), to jest odpowiedź: x \u003d 2π.

2. Wykreśl funkcję Y=cos(X) dla x ≤ 0 i Y=sin(X) dla x ≥ 0

Rozwiązanie: Aby zbudować wymagany wykres, narysujmy dwa wykresy funkcji kawałek po kawałku. Pierwszy wycinek: y=cos(x) dla x ≤ 0. Drugi wycinek: y=sin(x)
dla x ≥ 0. Przedstawmy obie „kawałki” na jednym wykresie.

3. Znajdź największy i najmniejsza wartość funkcja Y=cos(X) na odcinku [π; 7π/4]

Rozwiązanie: Zbudujmy wykres funkcji i rozważmy nasz odcinek [π; 7π/4]. Z wykresu wynika, że największe i najmniejsze wartości osiągane są na końcach odcinka: odpowiednio w punktach π i 7π/4.
Odpowiedź: cos(π) = -1 to najmniejsza wartość, cos(7π/4) = największa wartość.

4. Wykreśl funkcję y=cos(π/3 - x) + 1

Rozwiązanie: cos(-x)= cos(x), to żądany wykres uzyskamy przesuwając wykres funkcji y=cos(x) π/3 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1) Rozwiąż równanie: cos (x) \u003d x - π / 2.
2) Rozwiąż równanie: cos(x)= - (x - π) 2 - 1.
3) Wykreśl funkcję y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Wykreśl funkcję y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=cos(x) na odcinku.
6) Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=cos(x) na przedziale [-π/6; 5π/4].