Wartości równań trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Wymaga znajomości podstawowych wzorów trygonometrii - sumy kwadratów sinusa i cosinusa, wyrażenia tangensa przez sinus i cosinus i innych. Dla tych, którzy zapomnieli lub ich nie znają, zalecamy przeczytanie artykułu „”.
Znamy więc podstawowe wzory trygonometryczne, czas wprowadzić je w życie. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych przy odpowiednim podejściu jest to dość ekscytujące zajęcie, jak na przykład ułożenie kostki Rubika.

Z samej nazwy jasno wynika, że równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma jest pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
Są tak zwane proste równania trygonometryczne. Oto jak one wyglądają: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Rozważać, jak rozwiązywać takie równania trygonometryczne, dla jasności użyjemy znanego już koła trygonometrycznego.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

łóżeczko x = a

Każde równanie trygonometryczne jest rozwiązywane w dwóch etapach: doprowadzamy równanie do najprostszej postaci, a następnie rozwiązujemy je jako najprostsze równanie trygonometryczne.
Istnieje 7 głównych metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zmienna substytucja i metoda substytucji

Rozwiąż równanie 2cos 2 (x + /6) - 3sin(/3 - x) +1 = 0

Korzystając ze wzorów redukcyjnych otrzymujemy:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Dla uproszczenia zamieńmy cos(x+/6) na y i otrzymamy zwykłe równanie kwadratowe:

2 lata 2 – 3 lata + 1 + 0

Korzenie których y 1 = 1, y 2 = 1/2

Teraz chodźmy wstecz

Podstawiamy znalezione wartości y i otrzymujemy dwie odpowiedzi:

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych poprzez faktoryzację

Jak rozwiązać równanie sin x + cos x = 1 ?

Przesuńmy wszystko w lewo, aby po prawej pozostało 0:

sin x + cos x - 1 = 0

Powyższe tożsamości wykorzystujemy do uproszczenia równania:

grzech x - 2 grzech 2 (x/2) = 0

Zróbmy faktoryzację:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2 sin(x/2) * = 0

Otrzymujemy dwa równania

Redukcja do równania jednorodnego

Równanie jest jednorodne względem sinusa i cosinusa, jeśli wszystkie jego wyrazy względem sinusa i cosinusa mają ten sam stopień i ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, wykonaj następujące czynności:

a) przenieść wszystkich swoich członków na lewą stronę;

b) usuń wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;

c) zrównaj wszystkie czynniki i nawiasy z 0;

d) w nawiasach otrzymujemy jednorodne równanie mniejszego stopnia, które z kolei jest dzielone przez sinus lub cosinus w większym stopniu;

e) rozwiązać otrzymane równanie na tg.

Rozwiąż równanie 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Użyjmy wzoru sin 2 x + cos 2 x = 1 i pozbądźmy się dwóch otwartych po prawej stronie:

3sin 2 x + 4 grzech x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

grzech 2 x + 4 grzech x cos x + 3 cos 2 x = 0

Podziel przez cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamieniamy tg x na y i otrzymujemy równanie kwadratowe:

y 2 + 4y +3 = 0 których pierwiastki to y 1 =1, y 2 = 3

Stąd znajdujemy dwa rozwiązania pierwotnego równania:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Rozwiązywanie równań, poprzez przejście do półkąta

Rozwiąż równanie 3sin x - 5cos x = 7

Przejdźmy do x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Przesuwam wszystko w lewo:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Podziel przez cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Wprowadzenie kąta pomocniczego

Dla rozważenia weźmy równanie postaci: a sin x + b cos x \u003d c,

gdzie a, b, c są pewnymi arbitralnymi współczynnikami, a x jest niewiadomą.

Podziel obie strony równania przez:

Teraz współczynniki równania, zgodnie ze wzorami trygonometrycznymi, mają własności sin i cos, a mianowicie: ich moduł jest nie większy niż 1, a suma kwadratów = 1. Oznaczmy je odpowiednio jako cos i sin, gdzie jest tak zwany kąt pomocniczy. Wtedy równanie przyjmie postać:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

lub sin(x + ) = C

Rozwiązaniem tego prostego równania trygonometrycznego jest

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, gdzie

Należy zauważyć, że oznaczenia cos i sin są wymienne.

Rozwiąż równanie sin 3x - cos 3x = 1

W tym równaniu współczynniki to:

a \u003d, b \u003d -1, więc dzielimy obie części przez \u003d 2

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” zawiera wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie egzaminu z matematyki za 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 egzamin profilowy matematyka. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Podstępne sztuczki rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania wymagające zadania 2 części egzaminu.

Nie jest tajemnicą, że sukces lub porażka w procesie rozwiązywania prawie każdego problemu zależy głównie od poprawności definicji typu. podane równanie, a także na poprawnym odtworzeniu sekwencji wszystkich etapów jego rozwiązania. Jednak w przypadku równań trygonometrycznych stwierdzenie, że równanie jest trygonometryczne wcale nie jest trudne. Ale w procesie określania sekwencji działań, które powinny nas doprowadzić do prawidłowej odpowiedzi, możemy napotkać pewne trudności. Zastanówmy się, jak poprawnie rozwiązywać równania trygonometryczne od samego początku.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować wykonać następujące punkty:

Wszystkie funkcje zawarte w naszym równaniu doprowadzamy do „tych samych kątów”;
Musisz przynieść podane równanie do "tych samych funkcji";
Rozkładamy lewą stronę danego równania na czynniki lub inne niezbędne składniki.

Metody

Metoda 1. Konieczne jest rozwiązywanie takich równań w dwóch etapach. Najpierw przekształcamy równanie w celu uzyskania jego najprostszej (uproszczonej) postaci. Równanie: Cosx = a, Sinx = a i tym podobne nazywane są najprostszymi równaniami trygonometrycznymi. Drugim krokiem jest rozwiązanie powstałego prostego równania. Należy zauważyć, że najprostsze równanie można rozwiązać metodą algebraiczną, która jest nam dobrze znana ze szkolnego kursu algebry. Nazywana jest również metodą substytucji i substytucji zmiennych. Za pomocą formuł redukcyjnych musisz najpierw przekonwertować, następnie dokonać wymiany, a następnie znaleźć korzenie.

Następnie musisz rozłożyć nasze równanie na możliwe czynniki, w tym celu musisz przesunąć wszystkie wyrazy w lewo, a następnie możesz rozłożyć na czynniki. Teraz musisz doprowadzić to równanie do jednorodnego, w którym wszystkie wyrazy są równe w tym samym stopniu, a cosinus i sinus mają ten sam kąt.

Przed rozwiązaniem równań trygonometrycznych należy przenieść jego wyrazy na lewą stronę, biorąc je z prawej strony, a następnie wyjmujemy wszystkie wspólne mianowniki w nawiasach. Przyrównujemy nasze nawiasy i czynniki do zera. Nasze nawiasy równoważne są równaniem jednorodnym o zredukowanym stopniu, które należy podzielić przez sin(cos) do najwyższej potęgi. Teraz decydujemy równanie algebraiczne, który uzyskano, w stosunku do tan.

Metoda 2. Inną metodą rozwiązania równania trygonometrycznego jest przejście do kąta połówkowego. Na przykład rozwiązujemy równanie: 3sinx-5cosx=7.

Musimy przejść do połowy kąta, w naszym przypadku jest to: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2) Następnie redukujemy wszystkie warunki do jednej części (dla wygody lepiej wybrać właściwą) i przystępujemy do rozwiązywania równania.

W razie potrzeby możesz wprowadzić kąt pomocniczy. Dzieje się tak, gdy trzeba zastąpić liczbę całkowitą sin (a) lub cos (a), a znak „a” działa tylko jako kąt pomocniczy.

produkt do zsumowania

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne za pomocą iloczynu sumy? Do rozwiązywania takich równań można również zastosować metodę znaną jako konwersja iloczynu na sumę. W takim przypadku konieczne jest skorzystanie ze wzorów odpowiadających równaniu.

Na przykład mamy równanie: 2sinx * sin3x= cos4x

Musimy rozwiązać ten problem, przeliczając lewą stronę na sumę, a mianowicie:

cos 4x –cos8x=cos4x ,

x = p/16 + pk/8.

Jeśli powyższe metody nie są odpowiednie, a nadal nie wiesz, jak rozwiązać najprostsze równania trygonometryczne, możesz użyć innej metody - uniwersalnego podstawienia. Dzięki niemu możesz przekształcić wyrażenie i dokonać wymiany. Na przykład: Cos(x/2)=u. Teraz możemy rozwiązać równanie z zadanym parametrem u. A po otrzymaniu pożądanego rezultatu nie zapomnij przetłumaczyć tej wartości na coś przeciwnego.

Wielu „doświadczonym” studentom radzi się, aby zwracali się do ludzi online w celu rozwiązania równań. Jak rozwiązać równanie trygonometryczne online, pytasz. Do rozwiązania online problemy, możesz zwrócić się do odpowiednich forów tematycznych, gdzie mogą pomóc w poradach lub w rozwiązaniu problemu. Ale najlepiej spróbować samemu sobie poradzić.

Umiejętności i umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych są bardzo ważne i przydatne. Ich rozwój będzie wymagał od Ciebie dużego wysiłku. Z rozwiązaniem takich równań związanych jest wiele problemów w fizyce, stereometrii itp. A sam proces rozwiązywania takich problemów implikuje obecność umiejętności i wiedzy, które można zdobyć podczas studiowania elementów trygonometrii.

Naucz się formuł trygonometrycznych

W procesie rozwiązywania równania możesz napotkać potrzebę użycia dowolnego wzoru z trygonometrii. Możesz oczywiście zacząć szukać go w swoich podręcznikach i ściągawkach. A jeśli te formuły włożysz sobie do głowy, nie tylko oszczędzisz nerwy, ale też znacznie ułatwisz sobie zadanie, nie tracąc czasu na szukanie potrzebnych informacji. W ten sposób będziesz miał okazję przemyśleć najbardziej racjonalny sposób rozwiązania problemu.

Lekcja złożona aplikacja wiedza, umiejętności.

Cele lekcji.

Rozważać różne metody rozwiązania równań trygonometrycznych.
Rozwój kreatywność studenci rozwiązując równania.
Zachęcanie uczniów do samokontroli, wzajemnej kontroli, samoanalizy swoich działań edukacyjnych.

Wyposażenie: ekran, projektor, materiały referencyjne.

Podczas zajęć

Rozmowa wprowadzająca.

Główną metodą rozwiązywania równań trygonometrycznych jest ich najprostsza redukcja. W tym przypadku stosowane są zwykłe metody, na przykład faktoryzacja, a także techniki stosowane tylko do rozwiązywania równań trygonometrycznych. Tych sztuczek jest całkiem sporo, na przykład różne podstawienia trygonometryczne, transformacje kątów, transformacje funkcji trygonometrycznych. Masowe zastosowanie dowolnych przekształceń trygonometrycznych zwykle nie upraszcza równania, ale je katastrofalnie komplikuje. Aby ćwiczyć w W ogólnych warunkach zaplanować rozwiązanie równania, nakreślić sposób sprowadzenia równania do najprostszego, należy najpierw przeanalizować kąty - argumenty funkcji trygonometrycznych zawartych w równaniu.

Dzisiaj porozmawiamy o metodach rozwiązywania równań trygonometrycznych. Prawidłowo dobrana metoda często pozwala na znaczne uproszczenie rozwiązania, dlatego wszystkie przestudiowane przez nas metody powinny zawsze pozostawać w strefie naszej uwagi, aby jak najwłaściwiej rozwiązywać równania trygonometryczne.

II. (Za pomocą projektora powtarzamy metody rozwiązywania równań.)

1. Metoda redukcji równania trygonometrycznego do równania algebraicznego.

Wszystko musi być wyrażone funkcje trygonometryczne przez jeden, z tym samym argumentem. Można to zrobić za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej i jej następstw. Otrzymujemy równanie z jedną funkcją trygonometryczną. Traktując to jako nową niewiadomą, otrzymujemy równanie algebraiczne. Odnajdujemy jego korzenie i wracamy do dawnej nieznanej, rozwiązując najprostsze równania trygonometryczne.

2. Metoda faktoryzacji.

Do zmiany kątów często przydają się formuły redukcyjne, sumy i różnice argumentów, a także formuły przeliczające sumę (różnicę) funkcji trygonometrycznych na iloczyn i odwrotnie.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Sposób wprowadzenia dodatkowego kąta.

4. Sposób zastosowania uniwersalnej substytucji.

Równania postaci F(sinx, cosx, tgx) = 0 sprowadza się do równań algebraicznych za pomocą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego

Wyrażenie sinusa, cosinusa i tangensa w postaci tangensa półkąta. Ta sztuczka może prowadzić do równania wyższego rzędu. Decyzja o której jest trudna.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o tym wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.