Rozwiązanie złożonych nierówności online. Kilka punktów dotyczących rozwiązywania nierówności

Najpierw kilka tekstów, aby wyczuć problem, który rozwiązuje metoda interwałowa. Załóżmy, że musimy rozwiązać następującą nierówność:

(x − 5)(x + 3) > 0

Jakie są opcje? Pierwszą rzeczą, która przychodzi do głowy większości uczniów, są zasady „plus razy plus daje plus” i „minus razy minus daje plus”. Dlatego wystarczy rozważyć przypadek, w którym oba nawiasy są dodatnie: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Następnie rozważymy również przypadek, w którym oba nawiasy są ujemne: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Bardziej zaawansowani uczniowie będą pamiętać (być może), że po lewej stronie znajduje się funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą. Co więcej, parabola ta przecina oś OX w punktach x = 5 i x = -3. Do dalszej pracy musisz otworzyć wsporniki. Mamy:

x 2 − 2x − 15 > 0

Teraz jest jasne, że gałęzie paraboli są skierowane w górę, ponieważ współczynnik a = 1 > 0. Spróbujmy narysować diagram tej paraboli:

Funkcja jest większa od zera, gdy przechodzi nad osią OX. W naszym przypadku są to przedziały (−∞ −3) i (5; +∞) – oto odpowiedź.

Należy pamiętać, że obraz pokazuje dokładnie schemat funkcji, a nie jej harmonogram. Ponieważ dla prawdziwego wykresu trzeba policzyć współrzędne, obliczyć offsety i inne bzdury, których teraz w ogóle nie potrzebujemy.

Dlaczego te metody są nieskuteczne?

Rozważyliśmy więc dwa rozwiązania tej samej nierówności. Obie okazały się bardzo uciążliwe. Pojawia się pierwsza decyzja - pomyśl o tym! to zbiór systemów nierówności. Drugie rozwiązanie również nie jest bardzo proste: musisz zapamiętać wykres paraboli i kilka innych drobnych faktów.

To była bardzo prosta nierówność. Ma tylko 2 mnożniki. Teraz wyobraź sobie, że nie będzie 2 mnożników, ale co najmniej 4. Na przykład:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Jak rozwiązać taką nierówność? Przejrzyj wszystkie możliwe kombinacje zalet i wad? Tak, szybciej zaśniemy, niż znajdziemy rozwiązanie. Rysowanie wykresu również nie wchodzi w grę, ponieważ nie jest jasne, jak taka funkcja zachowuje się na płaszczyźnie współrzędnych.

Dla takich nierówności potrzebny jest specjalny algorytm rozwiązania, który rozważymy dzisiaj.

Jaka jest metoda interwałowa

Metoda przedziałowa to specjalny algorytm przeznaczony do rozwiązywania złożonych nierówności postaci f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Rozwiąż równanie f (x) \u003d 0. W ten sposób zamiast nierówności otrzymujemy równanie, które jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania;
Zaznacz wszystkie uzyskane korzenie na linii współrzędnych. W ten sposób linia prosta zostanie podzielona na kilka przedziałów;
Znajdź znak (plus lub minus) funkcji f (x) na skrajnym prawym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy podstawić w f (x) dowolną liczbę, która będzie na prawo od wszystkich zaznaczonych pierwiastków;
Zaznacz znaki na innych interwałach. Aby to zrobić, wystarczy pamiętać, że przechodząc przez każdy korzeń, znak się zmienia.

To wszystko! Potem pozostaje tylko wypisać interesujące nas interwały. Oznaczono je znakiem „+”, jeśli nierówność była postaci f (x) > 0, lub znakiem „−”, jeśli nierówność była postaci f (x)< 0.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że metoda interwałowa to jakaś cyna. Ale w praktyce wszystko będzie bardzo proste. Potrzeba trochę praktyki - i wszystko stanie się jasne. Spójrz na przykłady i przekonaj się sam:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

(x − 2)(x + 7)< 0

Pracujemy nad metodą interwałów. Krok 1: Zastąp nierówność równaniem i rozwiąż je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7.

Ma dwa korzenie. Przejdź do kroku 2: zaznacz te korzenie na linii współrzędnych. Mamy:

Teraz krok 3: znajdujemy znak funkcji na skrajnym prawym przedziale (na prawo od zaznaczonego punktu x = 2). Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną liczbę, która jest większa niż liczba x = 2. Na przykład weźmy x = 3 (ale nikt nie zabrania x = 4, x = 10, a nawet x = 10 000). Otrzymujemy:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Otrzymujemy, że f (3) = 10 > 0, więc wstawiamy znak plus w skrajnym prawym przedziale.

Przechodzimy do ostatniego punktu – należy zanotować znaki na pozostałych interwałach. Pamiętaj, że przechodząc przez każdy korzeń, znak musi się zmienić. Na przykład na prawo od pierwiastka x = 2 znajduje się plus (zapewniliśmy to w poprzednim kroku), więc po lewej musi być minus.

Ten minus rozciąga się na cały przedział (−7; 2), więc jest minus na prawo od pierwiastka x = -7. Dlatego na lewo od pierwiastka x = -7 znajduje się plus. Pozostaje zaznaczyć te znaki na osi współrzędnych. Mamy:

Wróćmy do pierwotnej nierówności, która wyglądała tak:

(x − 2)(x + 7)< 0

Więc funkcja musi być mniejsza od zera. Oznacza to, że interesuje nas znak minus, który występuje tylko na jednym przedziale: (−7; 2). To będzie odpowiedź.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Krok 1: Zrównaj lewą stronę z zero:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pamiętaj: iloczyn wynosi zero, gdy przynajmniej jeden z czynników wynosi zero. Dlatego mamy prawo zrównać do zera każdy nawias z osobna.

Krok 2: zaznacz wszystkie korzenie na linii współrzędnych:

Krok 3: znajdź znak najbardziej prawej luki. Bierzemy dowolną liczbę większą niż x = 1. Na przykład możemy przyjąć x = 10. Mamy:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

Krok 4: Umieść pozostałe znaki. Pamiętaj, że przechodząc przez każdy korzeń, znak się zmienia. W rezultacie nasze zdjęcie będzie wyglądało tak:

To wszystko. Pozostaje tylko napisać odpowiedź. Spójrz jeszcze raz na pierwotną nierówność:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

To jest nierówność postaci f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

To jest odpowiedź.

Uwaga o znakach funkcyjnych

Praktyka pokazuje, że największe trudności w metodzie interwałowej pojawiają się na dwóch ostatnich krokach, tj. podczas umieszczania znaków. Wielu uczniów zaczyna się mylić: jakie liczby wziąć i gdzie umieścić znaki.

Aby ostatecznie zrozumieć metodę interwałową, rozważ dwie uwagi, na których jest zbudowana:

Funkcja ciągła zmienia znak tylko w punktach gdzie jest równe zero. Takie punkty rozbijają oś współrzędnych na kawałki, w obrębie których znak funkcji nigdy się nie zmienia. Dlatego rozwiązujemy równanie f (x) \u003d 0 i zaznaczamy znalezione pierwiastki na linii prostej. Znalezione liczby są punktami „granicznymi” oddzielającymi plusy od minusów.
Aby znaleźć znak funkcji na dowolnym przedziale, wystarczy podstawić do funkcji dowolną liczbę z tego przedziału. Na przykład dla przedziału (-5; 6) możemy przyjąć x = -4, x = 0, x = 4, a nawet x = 1,29374, jeśli chcemy. Dlaczego to jest ważne? Tak, ponieważ wielu uczniów zaczyna dręczyć wątpliwości. Na przykład, co jeśli dla x = −4 dostaniemy plus, a dla x = 0 dostaniemy minus? Nic takiego się nigdy nie wydarzy. Wszystkie punkty w tym samym przedziale dają ten sam znak. Pamiętaj to.

To wszystko, co musisz wiedzieć o metodzie interwałowej. Oczywiście zdemontowaliśmy go w najprostszej postaci. Istnieją bardziej złożone nierówności - nieścisłe, ułamkowe i z powtarzającymi się korzeniami. Dla nich można również zastosować metodę interwałową, ale to temat na osobną dużą lekcję.

Teraz chciałbym przeanalizować zaawansowaną sztuczkę, która drastycznie upraszcza metodę interwałową. Dokładniej, uproszczenie dotyczy tylko trzeciego kroku - obliczenia znaku na skrajnym prawym fragmencie linii. Z jakiegoś powodu ta technika nie jest stosowana w szkołach (przynajmniej nikt mi tego nie wyjaśnił). Ale na próżno - w rzeczywistości ten algorytm jest bardzo prosty.

Tak więc znak funkcji znajduje się na prawym fragmencie osi numerycznej. Ten kawałek ma postać (a; +∞), gdzie a jest największym pierwiastkiem równania f (x) = 0. Aby nie wysadzić naszych mózgów, rozważmy konkretny przykład:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1) (2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Mamy 3 korzenie. Podajemy je w porządku rosnącym: x = −2, x = 1 i x = 7. Oczywiście największym pierwiastkiem jest x = 7.

Dla tych, którym łatwiej jest rozumować graficznie, zaznaczę te pierwiastki na linii współrzędnych. Zobaczmy co się stanie:

Wymagane jest znalezienie znaku funkcji f(x) na skrajnym prawym przedziale, tj. na (7; +∞). Ale jak już zauważyliśmy, aby określić znak, możesz wziąć dowolną liczbę z tego przedziału. Na przykład możesz wziąć x = 8, x = 150 itd. A teraz - ta sama technika, której nie uczy się w szkołach: weźmy nieskończoność jako liczbę. Dokładniej, plus nieskończoność, tj. +∞.

"Jesteś naćpany? Jak możesz zastąpić nieskończoność funkcją? być może pytasz. Ale pomyśl o tym: nie potrzebujemy wartości samej funkcji, potrzebujemy tylko znaku. Zatem np. wartości f (x) = -1 i f (x) = -938 740 576 215 oznaczają to samo: funkcja jest ujemna na tym przedziale. Dlatego wszystko, co jest od ciebie wymagane, to znalezienie znaku, który występuje w nieskończoności, a nie wartości funkcji.

W rzeczywistości zastąpienie nieskończoności jest bardzo proste. Wróćmy do naszej funkcji:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Wyobraź sobie, że x jest bardzo dużą liczbą. Miliard, a nawet bilion. Zobaczmy teraz, co dzieje się w każdym nawiasie.

Pierwszy nawias: (x − 1). Co się stanie, jeśli odejdziesz jeden od miliarda? Wynik będzie liczbą niewiele różniącą się od miliarda, a liczba ta będzie dodatnia. Podobnie z drugim nawiasem: (2 + x). Jeśli dodamy miliard do dwóch, otrzymamy miliard kopiejek - to liczba dodatnia. Wreszcie trzeci nawias: (7 − x ). Tutaj będzie minus miliard, z którego nędzny kawałek w postaci siódemki został „odgryziony”. Tych. wynikowa liczba nie będzie się zbytnio różnić od minus miliarda - będzie ujemna.

Pozostaje znaleźć znak całej pracy. Ponieważ mieliśmy plus w pierwszym nawiasie i minus w ostatnim, otrzymujemy następującą konstrukcję:

(+) · (+) · (−) = (−)

Ostatni znak to minus! Nie ma znaczenia, jaka jest wartość samej funkcji. Najważniejsze, że ta wartość jest ujemna, tj. w skrajnym prawym przedziale znajduje się znak minus. Pozostaje dokończyć czwarty krok metody interwałowej: ułożyć wszystkie znaki. Mamy:

Pierwotna nierówność wyglądała tak:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Dlatego interesują nas interwały oznaczone minusem. Piszemy odpowiedź:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To cała sztuczka, którą chciałem opowiedzieć. Podsumowując, jest jeszcze jedna nierówność, którą rozwiązuje się metodą przedziałową z wykorzystaniem nieskończoności. Aby wizualnie skrócić rozwiązanie, nie będę pisał numerów kroków i szczegółowych komentarzy. Napiszę tylko to, co naprawdę trzeba napisać przy rozwiązywaniu rzeczywistych problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Zastępujemy nierówność równaniem i rozwiązujemy ją:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Zaznaczamy wszystkie trzy pierwiastki na linii współrzędnych (natychmiast znakami):

Po prawej stronie osi współrzędnych znajduje się plus, ponieważ funkcja wygląda tak:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

A jeśli podstawimy nieskończoność (na przykład miliard), otrzymamy trzy dodatnie nawiasy. Ponieważ oryginalne wyrażenie musi być większe od zera, interesują nas tylko plusy. Pozostaje napisać odpowiedź:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

A dziś nie każdy potrafi rozwiązać racjonalne nierówności. Mówiąc dokładniej, nie tylko każdy może decydować. Niewiele osób to potrafi.
Kliczko

Ta lekcja będzie trudna. Tak trudne, że tylko Wybrańcy dotrą do końca. Dlatego przed przeczytaniem zalecam usunięcie kobiet, kotów, dzieci w ciąży i ...

OK, to właściwie całkiem proste. Załóżmy, że opanowałeś metodę interwałową (jeśli jej nie opanowałeś, polecam wrócić i przeczytać ją) i nauczyłeś się rozwiązywać nierówności w postaci $P\left(x \right) \gt 0$, gdzie $P \left(x \right)$ to jakiś wielomian lub iloczyn wielomianów.

Uważam, że nie będzie ci trudno rozwiązać np. taką grę (swoją drogą spróbuj na rozgrzewkę):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Teraz trochę skomplikujmy zadanie i rozważmy nie tylko wielomiany, ale tak zwane ułamki wymierne postaci:

gdzie $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ są tymi samymi wielomianami postaci $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1)+...+((a)_(0))$ lub iloczyn takich wielomianów.

Będzie to racjonalna nierówność. Podstawową kwestią jest obecność zmiennej $x$ w mianowniku. Na przykład, oto racjonalne nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(wyrównaj)\]

I nie jest to racjonalna, ale najczęstsza nierówność, którą rozwiązuje metoda przedziałowa:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Patrząc w przyszłość, powiem od razu: istnieją co najmniej dwa sposoby rozwiązywania racjonalnych nierówności, ale wszystkie w taki czy inny sposób sprowadzają się do znanej nam już metody przedziałów. Dlatego przed analizą tych metod przypomnijmy stare fakty, inaczej z nowego materiału nie będzie sensu.

Co już musisz wiedzieć

Nie ma wielu ważnych faktów. Tak naprawdę potrzebujemy tylko czterech.

Skrócone wzory mnożenia

Tak, tak: będą nas prześladować przez cały program nauczania matematyki w szkole. I na uniwersytecie też. Takich formuł jest sporo, ale potrzebujemy tylko:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\prawo); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\prawo). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Zwróć uwagę na dwie ostatnie formuły - jest to suma i różnica sześcianów (a nie sześcian sumy lub różnicy!). Łatwo je zapamiętać, jeśli zauważysz, że znak w pierwszym nawiasie jest tym samym, co znak w wyrażeniu oryginalnym, a w drugim nawiasie jest przeciwieństwem znaku w wyrażeniu oryginalnym.

Równania liniowe

Są to najprostsze równania postaci $ax+b=0$, gdzie $a$ i $b$ to liczby zwykłe, a $a\ne 0$. To równanie jest łatwe do rozwiązania:

\[\begin(wyrównaj) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Zaznaczam, że mamy prawo podzielić przez współczynnik $a$, ponieważ $a\ne 0$. To wymaganie jest dość logiczne, ponieważ przy $a=0$ otrzymujemy to:

Po pierwsze, w tym równaniu nie ma zmiennej $x$. To, ogólnie rzecz biorąc, nie powinno nas dezorientować (zdarza się to, powiedzmy, w geometrii i dość często), ale nadal nie jesteśmy już równaniem liniowym.

Po drugie, rozwiązanie tego równania zależy wyłącznie od współczynnika $b$. Jeśli $b$ również wynosi zero, to nasze równanie to 0$=0$. Ta równość jest zawsze prawdziwa; stąd $x$ to dowolna liczba (zazwyczaj zapisywana jako $x\in \mathbb(R)$). Jeżeli współczynnik $b$ nie jest równy zero, to równość $b=0$ nigdy nie jest spełniona, tj. brak odpowiedzi (napisane $x\w \varnothing $ i przeczytaj "zestaw rozwiązań jest pusty").

Aby uniknąć tych wszystkich zawiłości, po prostu zakładamy $a\ne 0$, co w żaden sposób nie ogranicza nas do dalszych rozważań.

Równania kwadratowe

Przypomnę, że nazywa się to równaniem kwadratowym:

Tutaj po lewej jest wielomian drugiego stopnia i znowu $a\ne 0$ (w przeciwnym razie zamiast równania kwadratowego otrzymamy równanie liniowe). Następujące równania są rozwiązywane za pomocą dyskryminatora:

Jeśli $D \gt 0$, otrzymujemy dwa różne pierwiastki;
Jeśli $D=0$, to pierwiastek będzie jednym, ale z drugiej wielokrotności (co to za wielokrotność i jak to brać pod uwagę - o tym później). Albo możemy powiedzieć, że równanie ma dwa identyczne pierwiastki;
Dla $D \lt 0$ nie ma w ogóle pierwiastków, a znak wielomianu $a((x)^(2))+bx+c$ dla dowolnego $x$ pokrywa się ze znakiem współczynnika $a $. Nawiasem mówiąc, jest to bardzo przydatny fakt, o którym z jakiegoś powodu zapomina się mówić na lekcjach algebry.

Same korzenie są obliczane według znanego wzoru:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Stąd, nawiasem mówiąc, ograniczenia dotyczące dyskryminatora. W końcu pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje. Co do pierwiastków, to wielu uczniów ma w głowie straszny bałagan, więc specjalnie nagrałem całą lekcję: co to jest pierwiastek w algebrze i jak go obliczyć - gorąco polecam lekturę :)

Działania na ułamkach wymiernych

Wszystko, co zostało napisane powyżej, już wiesz, jeśli studiowałeś metodę interwałów. Ale to, co teraz przeanalizujemy, nie ma analogii w przeszłości - to zupełnie nowy fakt.

Definicja. Ułamek wymierny jest wyrazem formy

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

gdzie $P\left(x \right)$ i $Q\left(x \right)$ są wielomianami.

Oczywiste jest, że łatwo jest uzyskać nierówność z takiego ułamka - wystarczy przypisać znak „większy niż” lub „mniejszy niż” po prawej stronie. A trochę dalej przekonamy się, że rozwiązywanie takich problemów to przyjemność, tam wszystko jest bardzo proste.

Problemy zaczynają się, gdy w jednym wyrażeniu jest kilka takich ułamków. Trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika – i to właśnie w tym momencie popełnianych jest wiele obraźliwych błędów.

Dlatego, aby skutecznie rozwiązywać równania wymierne, konieczne jest zdecydowane opanowanie dwóch umiejętności:

Faktoryzacja wielomianu $P\left(x \right)$;
Właściwie doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Jak rozłożyć na czynniki wielomian? Bardzo prosta. Niech mamy wielomian postaci

Przyrównajmy to do zera. Otrzymujemy równanie $n-tego stopnia:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1)((x)^(n-1)+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Powiedzmy, że rozwiązaliśmy to równanie i otrzymaliśmy pierwiastki $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nie martw się: w większości przypadków nie będzie więcej niż dwa z tych korzeni) . W takim przypadku nasz oryginalny wielomian można przepisać w ten sposób:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \w prawo) \end(wyrównaj)\]

To wszystko! Uwaga: wiodący współczynnik $((a)_(n))$ nigdzie nie zniknął - będzie to osobny czynnik przed nawiasami i w razie potrzeby można go wstawić w którykolwiek z tych nawiasów (praktyka pokazuje że przy $((a)_ (n))\ne \pm 1$ prawie zawsze są ułamki między pierwiastkami).

Zadanie. Uprość wyrażenie:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Decyzja. Najpierw spójrzmy na mianowniki: wszystkie są dwumianami liniowymi i nie ma tu nic do faktoryzacji. Rozłóżmy więc liczniki na czynniki:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\prawo)\lewo(x-1\prawo); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \prawo)\lewo(2-5x \prawo). \\\koniec(wyrównaj)\]

Uwaga: w drugim wielomianu współczynnik seniora „2”, zgodnie z naszym schematem, najpierw pojawił się przed nawiasem, a następnie został uwzględniony w pierwszym nawiasie, ponieważ pojawił się tam ułamek.

To samo wydarzyło się w trzecim wielomianu, tylko tam kolejność wyrazów również jest pomieszana. Jednak współczynnik „−5” znalazł się w drugim nawiasie (pamiętaj: można wpisać czynnik w jednym i tylko jednym nawiasie!), co uchroniło nas przed niedogodnościami związanymi z pierwiastkami ułamkowymi.

Co do pierwszego wielomianu, wszystko jest tam proste: jego pierwiastków szuka się albo w standardowy sposób poprzez dyskryminację, albo za pomocą twierdzenia Vieta.

Wróćmy do pierwotnego wyrażenia i przepiszmy je z licznikami rozłożonymi na czynniki:

\[\begin(macierz) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \koniec(matryca)\]

Odpowiedź: 5 $ + 4 $.

Jak widać, nic skomplikowanego. Trochę matematyki z 7-8 klasy i to wszystko. Celem wszystkich transformacji jest przekształcenie złożonej i przerażającej ekspresji w coś prostego i łatwego w obsłudze.

Jednak nie zawsze tak będzie. Więc teraz rozważymy poważniejszy problem.

Ale najpierw zastanówmy się, jak połączyć dwa ułamki do wspólnego mianownika. Algorytm jest niezwykle prosty:

Faktoryzuj oba mianowniki;
Rozważ pierwszy mianownik i dodaj do niego czynniki obecne w drugim mianowniku, ale nie w pierwszym. Otrzymany iloczyn będzie wspólnym mianownikiem;
Dowiedz się, jakich współczynników brakuje w każdym z pierwotnych ułamków, aby mianowniki były równe wspólnemu.

Być może ten algorytm wyda ci się tylko tekstem, w którym jest „dużo liter”. Spójrzmy więc na konkretny przykład.

Zadanie. Uprość wyrażenie:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \prawo)\]

Decyzja. Takie obszerne zadania najlepiej rozwiązywać w częściach. Napiszmy, co jest w pierwszym nawiasie:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

W przeciwieństwie do poprzedniego problemu, tutaj mianowniki nie są takie proste. Rozłóżmy każdy z nich na czynniki.

Trójmianu kwadratowego $((x)^(2))+2x+4$ nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ równanie $((x)^(2))+2x+4=0$ nie ma pierwiastków (dyskryminant jest ujemny) . Zostawiamy to bez zmian.

Drugi mianownik, wielomian sześcienny $((x)^(3))-8$, po bliższym przyjrzeniu się jest różnicą sześcianów i można go łatwo rozłożyć za pomocą skróconych wzorów mnożenia:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \prawo)\]

Nic innego nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ pierwszy nawias zawiera dwumian liniowy, a drugi jest już nam znaną konstrukcją, która nie ma prawdziwych pierwiastków.

Wreszcie trzeci mianownik to liniowy dwumian, którego nie można rozłożyć. Zatem nasze równanie przyjmie postać:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Jest całkiem oczywiste, że wspólnym mianownikiem będzie $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ i aby zredukować do niego wszystkie ułamki należy pomnożyć pierwszy ułamek przez $\left(x-2 \right)$, a ostatni przez $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Następnie pozostaje tylko przynieść:

\[\begin(macierz) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ lewo(((x)^(2))+2x+4 \prawo)). \\ \koniec(matryca)\]

Zwróć uwagę na drugą linię: kiedy mianownik jest już wspólny, tj. zamiast trzech oddzielnych ułamków napisaliśmy jedną dużą, nie należy od razu pozbywać się nawiasów. Lepiej napisać dodatkową linię i zauważyć, że, powiedzmy, przed trzecim ułamkiem był minus - i nigdzie nie pójdzie, ale „zawiesi się” w liczniku przed nawiasem. Dzięki temu zaoszczędzisz wielu błędów.

Cóż, w ostatnim wierszu warto rozłożyć licznik na czynniki. Co więcej, jest to dokładny kwadrat, a skrócone wzory mnożenia znów przychodzą nam z pomocą. Mamy:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Zajmijmy się teraz drugim nawiasem w ten sam sposób. Tutaj po prostu napiszę łańcuch równości:

\[\begin(macierz) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \koniec(matryca)\]

Wracamy do pierwotnego problemu i patrzymy na produkt:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Odpowiedź: \[\frac(1)(x+2)\].

Znaczenie tego problemu jest takie samo jak poprzedniego: pokazać, jak bardzo można uprościć wyrażenia wymierne, jeśli mądrze podejdziesz do ich transformacji.

A teraz, kiedy już to wszystko wiesz, przejdźmy do głównego tematu dzisiejszej lekcji - rozwiązywania ułamkowych racjonalnych nierówności. Co więcej, po takim przygotowaniu same nierówności będą klikać jak orzechy :)

Główny sposób rozwiązywania racjonalnych nierówności

Istnieją co najmniej dwa podejścia do rozwiązywania racjonalnych nierówności. Teraz rozważymy jeden z nich - ten, który jest ogólnie akceptowany na szkolnym kursie matematyki.

Ale najpierw zwróćmy uwagę na ważny szczegół. Wszystkie nierówności dzielą się na dwa typy:

Ścisłe: $f\left(x \right) \gt 0$ lub $f\left(x \right) \lt 0$;
Nieścisłe: $f\left(x \right)\ge 0$ lub $f\left(x \right)\le 0$.

Nierówności drugiego typu łatwo sprowadza się do pierwszego, podobnie jak równanie:

Ten mały "dodatek" $f\left(x \right)=0$ prowadzi do tak nieprzyjemnej rzeczy jak wypełnione punkty - spotkaliśmy się z nimi w metodzie interwałowej. W przeciwnym razie nie ma różnic między ścisłymi i nieścisłymi nierównościami, więc przeanalizujmy uniwersalny algorytm:

Zbierz wszystkie niezerowe elementy po jednej stronie znaku nierówności. Na przykład po lewej;

Doprowadź wszystkie ułamki do wspólnego mianownika (jeśli takich ułamków jest kilka), przynieś podobne. Następnie, jeśli to możliwe, uwzględnij w liczniku i mianowniku faktoryzację. Tak czy inaczej, otrzymujemy nierówność postaci $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, gdzie tik jest znakiem nierówności.

Zrównaj licznik do zera: $P\left(x \right)=0$. Rozwiązujemy to równanie i otrzymujemy pierwiastki $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Następnie wymagamy że mianownik nie był równy zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Oczywiście w gruncie rzeczy musimy rozwiązać równanie $Q\left(x \right)=0$ i otrzymujemy pierwiastki $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (w rzeczywistych problemach takich pierwiastków nie będzie więcej niż trzy).

Zaznaczamy wszystkie te pierwiastki (zarówno z gwiazdkami, jak i bez) na jednej osi liczbowej, a pierwiastki bez gwiazdek są zamalowane, a te z gwiazdkami wybite.

Umieszczamy znaki plus i minus, wybieramy potrzebne interwały. Jeżeli nierówność ma postać $f\left(x \right) \gt 0$, to odpowiedzią będą przedziały oznaczone znakiem „plus”. Jeśli $f\left(x \right) \lt 0$, to patrzymy na przedziały z "minusami".

Praktyka pokazuje, że największe trudności przysparzają punkty 2 i 4 - właściwe przekształcenia i prawidłowe ułożenie liczb w porządku rosnącym. Cóż, na ostatnim etapie bądź bardzo ostrożny: zawsze umieszczamy znaki w oparciu o ostatnia nierówność zapisana przed przejściem do równań. Jest to uniwersalna zasada odziedziczona z metody interwałowej.

Jest więc schemat. Poćwiczmy.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Decyzja. Mamy ścisłą nierówność postaci $f\left(x \right) \lt 0$. Oczywiście punkty 1 i 2 naszego schematu zostały już zakończone: wszystkie elementy nierówności są zebrane po lewej stronie, niczego nie trzeba sprowadzać do wspólnego mianownika. Przejdźmy więc do trzeciego punktu.

Ustaw licznik na zero:

\[\begin(wyrównaj) & x-3=0; \\ &x=3. \koniec(wyrównaj)\]

A mianownik:

\[\begin(wyrównaj) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \koniec(wyrównaj)\]

W tym miejscu wiele osób utknęło, bo teoretycznie trzeba wpisać $x+7\ne 0$, zgodnie z wymaganiami ODZ (nie da się dzielić przez zero, to wszystko). Ale w końcu w przyszłości wystawimy punkty, które pochodzą z mianownika, więc nie powinieneś ponownie komplikować swoich obliczeń - napisz wszędzie znak równości i nie martw się. Nikt nie odejmie za to punktów :)

Czwarty punkt. Uzyskane korzenie zaznaczamy na osi liczbowej:
Wszystkie punkty są przebite, ponieważ nierówność jest ścisła
Notatka: wszystkie punkty są przebite, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. I tutaj to już nie ma znaczenia: te punkty pochodzą z licznika lub z mianownika.

Spójrz na znaki. Weź dowolną liczbę $((x)_(0)) \gt 3$. Na przykład $((x)_(0))=100$ (ale równie dobrze możesz wziąć $((x)_(0))=3.1$ lub $((x)_(0)) = 1\000\000$). Otrzymujemy:

Tak więc na prawo od wszystkich korzeni mamy pozytywny obszar. A przechodząc przez każdy rdzeń, znak się zmienia (nie zawsze tak będzie, ale o tym później). Dlatego przechodzimy do piątego punktu: umieszczamy znaki i wybieramy właściwy:

Wracamy do ostatniej nierówności, która była przed rozwiązaniem równań. Właściwie pokrywa się z pierwotną, ponieważ nie dokonaliśmy w tym zadaniu żadnych przekształceń.

Ponieważ konieczne jest rozwiązanie nierówności postaci $f\left(x \right) \lt 0$, zacieniowałem przedział $x\in \left(-7;3 \right)$ - jest to jedyny oznaczone znakiem minus. To jest odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \lewo(-7;3 \prawo)$

To wszystko! Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Rzeczywiście było to łatwe zadanie. Teraz trochę skomplikujmy misję i rozważmy bardziej „wymyślną” nierówność. Rozwiązując go, nie będę już podawał tak szczegółowych obliczeń - po prostu nakreślę kluczowe punkty. Generalnie zaaranżujemy to tak, jak byśmy to zrobili na samodzielnej pracy lub egzaminie :)

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Decyzja. Jest to nieścisła nierówność postaci $f\left(x \right)\ge 0$. Wszystkie niezerowe elementy są zbierane po lewej stronie, nie ma różnych mianowników. Przejdźmy do równań.

Licznik ułamka:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Mianownik:

\[\begin(wyrównaj) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Nie wiem, jaki zboczeniec wymyślił ten problem, ale korzenie nie wypadły najlepiej: trudno będzie je ułożyć na osi liczbowej. A jeśli wszystko jest mniej więcej jasne z pierwiastkiem $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (to jedyna liczba dodatnia - będzie po prawej), to $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ i $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ wymagają dalszych badań: który jest większy?

Możesz się tego dowiedzieć na przykład:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Mam nadzieję, że nie ma potrzeby wyjaśniać, dlaczego ułamek liczbowy $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? W razie potrzeby polecam pamiętać, jak wykonywać akcje z ułamkami.

I zaznaczamy wszystkie trzy pierwiastki na osi liczbowej:
Punkty z licznika są zacieniowane, z mianownika są wycinane
Rozstawiamy znaki. Na przykład możesz wziąć $((x)_(0))=1$ i znaleźć znak w tym momencie:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(wyrównaj)\]

Ostatnia nierówność przed równaniami to $f\left(x \right)\ge 0$, więc interesuje nas znak plus.

Mamy dwa zestawy: jeden to zwykły segment, a drugi to otwarty promień na osi liczbowej.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Ważna uwaga na temat liczb, które zastępujemy, aby znaleźć znak w skrajnym prawym przedziale. Nie ma potrzeby podstawiania liczby blisko prawego pierwiastka. Możesz wziąć miliardy, a nawet „plus-nieskończoność” - w tym przypadku znak wielomianu w nawiasie, licznik lub mianownik jest określony wyłącznie przez znak wiodącego współczynnika.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz funkcji $f\left(x \right)$ z ostatniej nierówności:

Zawiera trzy wielomiany:

\[\begin(wyrównaj) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\lewo(x\prawo)=13x-4. \koniec(wyrównaj)\]

Wszystkie są dwumianami liniowymi i wszystkie mają dodatnie współczynniki (liczby 7, 11 i 13). Dlatego przy podstawieniu bardzo dużych liczb same wielomiany również będą dodatnie :)

Ta zasada może wydawać się zbyt skomplikowana, ale tylko na początku, gdy analizujemy bardzo łatwe problemy. W przypadku poważnych nierówności podstawienie „plus-nieskończoność” pozwoli nam znaleźć znaki znacznie szybciej niż standardowe $((x)_(0))=100$.

Już niedługo zmierzymy się z takimi wyzwaniami. Ale najpierw spójrzmy na alternatywny sposób rozwiązywania ułamkowych nierówności racjonalnych.

Alternatywny sposób

Technikę tę zasugerował mi jeden z moich uczniów. Ja sam nigdy z niego nie korzystałem, ale praktyka pokazała, że wielu studentom naprawdę wygodniej jest rozwiązywać nierówności w ten sposób.

Tak więc oryginalne dane są takie same. Musimy rozwiązać ułamkową racjonalną nierówność:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Zastanówmy się: dlaczego wielomian $Q\left(x \right)$ jest „gorszy” niż wielomian $P\left(x \right)$? Dlaczego musimy brać pod uwagę oddzielne grupy pierwiastków (z gwiazdką i bez), myśleć o wykrawanych punktach itp.? To proste: ułamek ma dziedzinę definicji, zgodnie z którą ułamek ma sens tylko wtedy, gdy jego mianownik jest różny od zera.

W przeciwnym razie nie ma różnic między licznikiem a mianownikiem: również przyrównujemy go do zera, szukamy pierwiastków, a następnie zaznaczamy je na osi liczbowej. Dlaczego więc nie zastąpić kreski ułamkowej (w rzeczywistości znaku dzielenia) zwykłym mnożeniem i zapisać wszystkich wymagań DHS jako oddzielnej nierówności? Na przykład tak:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Uwaga: takie podejście pozwoli sprowadzić problem do metody interwałów, ale wcale nie skomplikuje rozwiązania. W każdym razie przyrównamy wielomian $Q\left(x \right)$ do zera.

Zobaczmy, jak to działa na prawdziwych zadaniach.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Decyzja. Przejdźmy więc do metody interwałowej:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

Pierwsza nierówność została rozwiązana elementarnie. Po prostu ustaw każdy nawias na zero:

\[\begin(wyrównaj) & x+8=0\Strzałka w prawo ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=11. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Z drugą nierównością wszystko jest również proste:

Zaznaczamy punkty $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$ na prostej rzeczywistej. Wszystkie są przebite, ponieważ nierówność jest ścisła:
Właściwy punkt okazał się dwukrotnie przebity. Jest okej.
Zwróć uwagę na punkt $x=11$. Okazuje się, że jest „dwukrotnie wyżłobiony”: z jednej strony żłobimy go ze względu na powagę nierówności, z drugiej zaś ze względu na dodatkowy wymóg ODZ.

W każdym razie będzie to tylko przebity punkt. Dlatego umieszczamy znaki dla nierówności $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ostatni, który widzieliśmy przed przystąpieniem do rozwiązywania równań:

Interesują nas regiony dodatnie, ponieważ rozwiązujemy nierówność postaci $f\left(x \right) \gt 0$ i pokolorujemy je. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Posługując się tym rozwiązaniem jako przykładem, chciałbym przestrzec przed częstym błędem wśród początkujących studentów. Mianowicie: nigdy nie otwieraj nawiasów w nierównościach! Wręcz przeciwnie, spróbuj rozłożyć wszystko na czynniki - uprości to rozwiązanie i zaoszczędzi ci wielu problemów.

Teraz spróbujmy czegoś trudniejszego.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Decyzja. Jest to nieścisła nierówność postaci $f\left(x \right)\le 0$, więc tutaj musisz uważnie monitorować wypełnione punkty.

Przejdźmy do metody interwałowej:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

Przejdźmy do równania:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Strzałka w prawo ((x)_(3))=-2,2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Uwzględniamy dodatkowy wymóg:

Zaznaczamy wszystkie uzyskane korzenie na osi liczbowej:
Jeśli punkt jest jednocześnie wybijany i wypełniany, uważa się go za wycięty.
Znowu dwa punkty „nachodzą” na siebie – to normalne, zawsze tak będzie. Ważne jest tylko, aby zrozumieć, że punkt oznaczony zarówno jako przebity, jak i wypełniony, jest w rzeczywistości punktem przebitym. Tych. „Żłobienie” jest działaniem silniejszym niż „zamalowywanie”.

Jest to absolutnie logiczne, ponieważ przebijając zaznaczamy punkty, które wpływają na znak funkcji, ale same nie biorą udziału w odpowiedzi. A jeśli w pewnym momencie liczba przestanie nam odpowiadać (na przykład nie wchodzi w ODZ), usuwamy ją z rozważań do samego końca zadania.

Ogólnie rzecz biorąc, przestań filozofować. Układamy znaki i malujemy w tych odstępach, które są oznaczone znakiem minus:

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

I znowu chciałem zwrócić waszą uwagę na to równanie:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Jeszcze raz: nigdy nie otwieraj nawiasów w takich równaniach! Tylko sobie to utrudniasz. Pamiętaj: iloczyn wynosi zero, gdy przynajmniej jeden z czynników wynosi zero. W konsekwencji to równanie po prostu „rozpada się” na kilka mniejszych, które rozwiązaliśmy w poprzednim zadaniu.

Biorąc pod uwagę wielość korzeni

Z poprzednich problemów łatwo zauważyć, że to nieścisłe nierówności są najtrudniejsze, bo w nich trzeba śledzić wypełnione punkty.

Ale na świecie jest jeszcze większe zło – są to wielorakie korzenie nierówności. Tutaj trzeba już podążać za niektórymi wypełnionymi punktami - tutaj znak nierówności nie może nagle zmienić się podczas przechodzenia przez te same punkty.

Nie rozważaliśmy jeszcze czegoś takiego w tej lekcji (chociaż podobny problem często napotykano w metodzie interwałowej). Wprowadźmy więc nową definicję:

Definicja. Pierwiastek równania $((\left(x-a \right))^(n))=0$ jest równy $x=a$ i jest nazywany pierwiastkiem $n$-tej wielokrotności.

Właściwie nie interesuje nas dokładna wartość krotności. Jedyną ważną rzeczą jest to, czy ta sama liczba $n$ jest parzysta czy nieparzysta. Ponieważ:

Jeśli $x=a$ jest pierwiastkiem parzystej krotności, to znak funkcji nie zmienia się podczas jej przechodzenia;
I odwrotnie, jeśli $x=a$ jest pierwiastkiem nieparzystej wielokrotności, to znak funkcji ulegnie zmianie.

Szczególnym przypadkiem pierwiastka nieparzystej wielokrotności są wszystkie poprzednie problemy rozważane w tej lekcji: tam krotność jest wszędzie równa jeden.

I dalej. Zanim zaczniemy rozwiązywać problemy, chciałbym zwrócić uwagę na jedną subtelność, która dla doświadczonego ucznia wydaje się oczywista, ale wprawia wielu początkujących w osłupienie. Mianowicie:

Pierwiastek wielokrotności $n$ występuje tylko wtedy, gdy całe wyrażenie jest podniesione do tej potęgi: $((\left(x-a \right))^(n))$, a nie $\left(((x)^( n) )-a\prawo)$.

Jeszcze raz: nawias $((\left(x-a \right))^(n))$ daje nam pierwiastek $x=a$ krotności $n$, ale nawias $\left(((x)^( n)) -a \right)$ lub, jak to często bywa, $(a-((x)^(n)))$ daje nam pierwiastek (lub dwa pierwiastki, jeśli $n$ jest parzyste) z pierwszej wielokrotności , bez względu na to, co jest równe $n$.

Porównywać:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Tutaj wszystko jest jasne: cały nawias został podniesiony do piątej potęgi, więc na wyjściu otrzymaliśmy pierwiastek piątego stopnia. I teraz:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Mamy dwa pierwiastki, ale oba mają pierwszą wielokrotność. Albo oto jeszcze jeden:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

I nie dajcie się zmylić dziesiątym stopniem. Najważniejsze jest to, że 10 jest liczbą parzystą, więc na wyjściu mamy dwa pierwiastki i oba ponownie mają pierwszą krotność.

Ogólnie uważaj: wielość występuje tylko wtedy, gdy stopień dotyczy całego przedziału, a nie tylko zmiennej.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Decyzja. Spróbujmy rozwiązać go w sposób alternatywny - poprzez przejście od konkretu do produktu:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5)\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\Prawidłowy.\]

Z pierwszą nierównością mamy do czynienia metodą interwałową:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Strzałka w prawo x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Dodatkowo rozwiązujemy drugą nierówność. Właściwie już to rozwiązaliśmy, ale aby recenzenci nie znaleźli w rozwiązaniu błędu, lepiej rozwiązać go ponownie:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Zauważ, że w ostatniej nierówności nie ma mnogości. Rzeczywiście: jaka to różnica, ile razy przekreślić punkt $x=-7$ na osi liczbowej? Przynajmniej raz, przynajmniej pięć razy - wynik będzie taki sam: przebity punkt.

Zanotujmy wszystko, co mamy na osi liczbowej:

Jak powiedziałem, punkt $x=-7$ zostanie ostatecznie usunięty. Wielokrotności ułożone są w oparciu o rozwiązanie nierówności metodą przedziałową.

Pozostaje umieścić znaki:

Ponieważ punkt $x=0$ jest pierwiastkiem parzystej krotności, znak nie zmienia się podczas przechodzenia przez niego. Pozostałe punkty mają dziwną mnogość i wszystko jest z nimi proste.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Zwróć uwagę na $x=0$ ponownie. Ze względu na równomierną mnogość powstaje ciekawy efekt: wszystko po lewej stronie jest zamalowane, po prawej też, a sam punkt jest całkowicie zamalowany.

Dzięki temu nie trzeba go izolować podczas rejestrowania odpowiedzi. Tych. nie musisz pisać czegoś takiego jak $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (choć formalnie taka odpowiedź też byłaby poprawna). Zamiast tego od razu piszemy $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Takie efekty są możliwe tylko dla korzeni nawet wielokrotnych. A w kolejnym zadaniu spotkamy się z odwrotną „manifestacją” tego efektu. Gotowy?

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Decyzja. Tym razem będziemy postępować zgodnie ze standardowym schematem. Ustaw licznik na zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Strzałka w prawo ((x)_(2))=4. \\ \koniec(wyrównaj)\]

A mianownik:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność postaci $f\left(x \right)\ge 0$, pierwiastki z mianownika (które mają gwiazdki) zostaną wycięte, a te z licznika zostaną zamalowane .

Układamy znaki i obrysowujemy obszary oznaczone „plusem”:
Punkt $x=3$ jest izolowany. To jest część odpowiedzi
Zanim zapiszesz ostateczną odpowiedź, przyjrzyj się uważnie obrazkowi:

Punkt $x=1$ ma parzystą wielokrotność, ale sam jest przebity. W związku z tym w odpowiedzi będzie musiał zostać wyizolowany: należy wpisać $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.

Punkt $x=3$ również ma wielokrotność parzystą i jest zacieniony. Układ znaków wskazuje, że sam punkt nam odpowiada, ale krok w lewo i prawo – i znajdujemy się w obszarze, który zdecydowanie nam nie odpowiada. Takie punkty nazywane są izolowanymi i zapisywane jako $x\in \left$ 3 \right$$.

Wszystkie otrzymane elementy łączymy w jeden zestaw i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definicja. Rozwiązanie nierówności oznacza znajdź zestaw wszystkich jego rozwiązań lub udowodnij, że ten zestaw jest pusty.

Wydawałoby się: co może być tutaj niezrozumiałe? Tak, faktem jest, że zestawy można określać na różne sposoby. Przepiszmy odpowiedź na ostatni problem:

Dosłownie czytamy to, co jest napisane. Zmienna „x” należy do pewnego zestawu, który uzyskuje się przez połączenie (symbol „U”) czterech oddzielnych zestawów:

Przedział $\left(-\infty ;1 \right)$, który dosłownie oznacza „wszystkie liczby mniejsze niż jeden, ale nie jedna”;
Przedziałem jest $\left(1;2 \right)$, tj. „wszystkie liczby od 1 do 2, ale nie same liczby 1 i 2”;
Zbiór $\left$ 3 \right$$ składający się z jednej liczby - trzy;
Przedział $\left[ 4;5 \right)$ zawierający wszystkie liczby od 4 do 5 plus samo 4, ale nie 5.

Trzeci punkt jest tutaj interesujący. W przeciwieństwie do przedziałów, które definiują nieskończone zbiory liczb i oznaczają tylko granice tych zbiorów, zbiór $\left$ 3 \right$$ definiuje dokładnie jedną liczbę przez wyliczenie.

Aby zrozumieć, że wymieniamy konkretne liczby zawarte w zestawie (a nie ustalamy granic ani nic innego), używamy nawiasów klamrowych. Na przykład zapis $\left$ 1;2 \right$$ oznacza dokładnie „zbiór składający się z dwóch liczb: 1 i 2”, ale nie segmentu od 1 do 2. W żadnym wypadku nie myl tych pojęć .

Zasada dodawania krotności

Cóż, na koniec dzisiejszej lekcji mała puszka od Pavla Berdova :)

Uważni uczniowie zapewne zadawali sobie już pytanie: co się stanie, jeśli w liczniku i mianowniku znajdą się te same pierwiastki? Tak więc działa następująca zasada:

Dodaje się wielokrotności identycznych korzeni. Zawsze. Nawet jeśli ten pierwiastek występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku.

Czasami lepiej zdecydować niż rozmawiać. Dlatego rozwiązujemy następujący problem:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \prawo))\ge 0\]

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jak dotąd nic specjalnego. Ustaw mianownik na zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Znaleziono dwa identyczne pierwiastki: $((x)_(1))=-2$ i $x_(4)^(*)=-2$. Obie mają pierwszą wielość. Dlatego zastępujemy je jednym pierwiastkiem $x_(4)^(*)=-2$, ale z wielokrotnością 1+1=2.

Dodatkowo istnieją również identyczne pierwiastki: $((x)_(2))=-4$ i $x_(2)^(*)=-4$. Są one również pierwszej krotności, więc pozostaje tylko $x_(2)^(*)=-4$ krotności 1+1=2.

Uwaga: w obu przypadkach zostawiliśmy dokładnie „wycięty” korzeń, a wyrzuciliśmy „zamalowany” z rozważań. Bo już na początku lekcji zgodziliśmy się: jeśli punkt jest jednocześnie wybijany i zamalowany, to nadal uważamy go za wybity.

W rezultacie mamy cztery korzenie i wszystkie okazały się wydłubane:

\[\begin(wyrównaj) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

Zaznaczamy je na osi liczbowej, biorąc pod uwagę krotność:

Umieszczamy znaki i malujemy na interesujących nas obszarach:

Wszystko. Żadnych odosobnionych punktów i innych perwersji. Możesz zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

reguła mnożenia

Czasami zdarza się jeszcze bardziej nieprzyjemna sytuacja: równanie, które ma wiele pierwiastków, samo zostaje podniesione do pewnej potęgi. Zmienia to wielość wszystkich pierwotnych korzeni.

Jest to rzadkie, dlatego większość uczniów nie ma doświadczenia w rozwiązywaniu takich problemów. A tutaj zasada brzmi:

Gdy równanie zostanie podniesione do potęgi $n$, krotność wszystkich jego pierwiastków również wzrasta o czynnik $n$.

Innymi słowy, wzniesienie się do potęgi skutkuje pomnożeniem wielości przez tę samą potęgę. Weźmy tę zasadę jako przykład:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Decyzja. Ustaw licznik na zero:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Wszystko jest jasne z pierwszym mnożnikiem: $x=0$. I tu zaczynają się problemy:

\[\begin(wyrównaj) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Jak widać, równanie $((x)^(2))-6x+9=0$ ma unikalny pierwiastek z drugiej krotności: $x=3$. Całe równanie jest następnie podnoszone do kwadratu. Dlatego krotność pierwiastka wyniesie $2\cdot 2=4$, co w końcu zapisaliśmy.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nie ma też problemu z mianownikiem:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \koniec(wyrównaj)\]

W sumie zdobyliśmy pięć punktów: dwa wybite i trzy wypełnione. W liczniku i mianowniku nie ma zbieżnych pierwiastków, więc po prostu zaznaczamy je na osi liczbowej:

Układamy znaki z uwzględnieniem wielokrotności i malujemy w interesujących nas interwałach:
Znowu jeden izolowany punkt i jeden przebity
Ze względu na nawet wielość korzeni, ponownie otrzymaliśmy kilka „niestandardowych” elementów. Jest to $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, a nie $x\in \left[ 0;2 \right)$, a także punkt izolowany $ x\w \lewo$ 3 \prawo$$.

Odpowiedź. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Jak widać, wszystko nie jest takie trudne. Najważniejsze jest uważność. Ostatnia część tej lekcji poświęcona jest przekształceniom – tym, o których mówiliśmy na samym początku.

Konwersje wstępne

Nierówności, które omówimy w tej sekcji, nie są złożone. Jednak w przeciwieństwie do poprzednich zadań, tutaj będziesz musiał zastosować umiejętności z teorii ułamków wymiernych - faktoryzacji i redukcji do wspólnego mianownika.

Omówiliśmy tę kwestię szczegółowo na samym początku dzisiejszej lekcji. Jeśli nie jesteś pewien, czy rozumiesz, o co chodzi, zdecydowanie polecam wrócić i powtórzyć. Ponieważ nie ma sensu wkuwać metod rozwiązywania nierówności, jeśli „pływasz” w przeliczaniu ułamków.

Nawiasem mówiąc, w pracy domowej będzie też wiele podobnych zadań. Umieszczono je w osobnej podsekcji. A znajdziesz tam bardzo nietrywialne przykłady. Ale to będzie w pracy domowej, ale teraz przeanalizujmy kilka takich nierówności.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Decyzja. Przesuwam wszystko w lewo:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Sprowadzamy się do wspólnego mianownika, otwieramy nawiasy, podajemy podobne wyrażenia w liczniku:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ prawo))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Teraz mamy klasyczną ułamkową nierówność racjonalną, której rozwiązanie nie jest już trudne. Proponuję rozwiązać go alternatywną metodą - metodą interwałów:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Nie zapomnij o ograniczeniu wynikającym z mianownika:

Wszystkie liczby i ograniczenia zaznaczamy na osi liczbowej:

Wszystkie korzenie mają pierwszą wielokrotność. Nie ma problemu. Po prostu umieszczamy znaki i malujemy na obszarach, których potrzebujemy:

To wszystko. Możesz zapisać odpowiedź.

Odpowiedź. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Oczywiście był to bardzo prosty przykład. Przyjrzyjmy się teraz bliżej problemowi. A tak przy okazji, poziom tego zadania jest dość zgodny z samodzielną i kontrolną pracą nad tym tematem w 8 klasie.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Decyzja. Przesuwam wszystko w lewo:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Przed sprowadzeniem obu ułamków do wspólnego mianownika rozkładamy te mianowniki na czynniki. Nagle wyjdą te same nawiasy? Z pierwszym mianownikiem to proste:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Drugi jest trochę trudniejszy. Możesz dodać stały mnożnik do nawiasu, w którym znaleziono ułamek. Pamiętaj: oryginalny wielomian miał współczynniki całkowite, więc jest bardzo prawdopodobne, że rozkład na czynniki będzie miał również współczynniki całkowite (w rzeczywistości zawsze będzie, z wyjątkiem przypadków, gdy dyskryminator jest irracjonalny).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Jak widać, istnieje wspólny nawias: $\left(x-1 \right)$. Wracamy do nierówności i sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ lewo(3x-2\prawo))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ustaw mianownik na zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( wyrównywać)\]

Bez mnogości i zbiegających się korzeni. Na linii prostej zaznaczamy cztery liczby:

Umieszczamy znaki:

Zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dobrze)$.

Wszystko! W ten sposób czytam do tej linii :)

W artykule rozważymy rozwiązanie nierówności. Porozmawiajmy otwarcie jak zbudować rozwiązanie nierówności z jasnymi przykładami!

Zanim rozważymy rozwiązanie nierówności na przykładach, zajmijmy się podstawowymi pojęciami.

Wprowadzenie do nierówności

nierówność nazywamy wyrażeniem, w którym funkcje są połączone znakami relacji >, . Nierówności mogą być zarówno numeryczne, jak i alfabetyczne.
Nierówności z dwoma znakami relacji nazywane są podwójnymi, z trzema - potrójnymi itd. Na przykład:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nierówności zawierające znak > lub lub nie są ścisłe.
Rozwiązanie nierówności to dowolna wartość zmiennej, dla której ta nierówność jest prawdziwa.
"Rozwiąż nierówności" oznacza, że trzeba znaleźć zestaw wszystkich jego rozwiązań. Są różne metody rozwiązywania nierówności. Do rozwiązania nierówności użyj linii liczbowej, która jest nieskończona. Na przykład, rozwiązywanie nierówności x > 3 to przedział od 3 do +, a liczba 3 nie jest w tym przedziale, więc punkt na prostej jest oznaczony pustym kółkiem, ponieważ nierówność jest ścisła.
+
Odpowiedzią będzie: x (3; +).
Wartość x=3 nie jest zawarta w zbiorze rozwiązań, więc nawias jest okrągły. Znak nieskończoności jest zawsze ujęty w nawias. Znak oznacza „przynależność”.
Zastanów się, jak rozwiązać nierówności na innym przykładzie ze znakiem:
x2
-+
Wartość x=2 jest zawarta w zbiorze rozwiązań, więc nawias kwadratowy i punkt na prostej są oznaczone wypełnionym kółkiem.
Odpowiedzią będzie: x

Mówiąc prościej, moduł to „liczba bez minusa”. I to w tej dwoistości (gdzieś nie trzeba nic robić z oryginalną liczbą, ale gdzieś trzeba usunąć tam jakiś minus) i cała trudność dla początkujących studentów tkwi.

Jest też definicja geometryczna. Warto o tym wiedzieć, ale będziemy się do niego odnosić tylko w skomplikowanych i niektórych szczególnych przypadkach, gdzie podejście geometryczne jest wygodniejsze niż podejście algebraiczne (spoiler: nie dzisiaj).

Definicja. Niech punkt $a$ będzie zaznaczony na prostej. Następnie moduł $\left| x-a \right|$ to odległość od punktu $x$ do punktu $a$ na tej linii.

Jeśli narysujesz obrazek, otrzymasz coś takiego:

Definicja modułu graficznego

Tak czy inaczej, jego kluczowa właściwość wynika bezpośrednio z definicji modułu: moduł liczby jest zawsze wartością nieujemną. Ten fakt będzie dziś czerwoną nitką przewijającą się przez całą naszą historię.

Rozwiązanie nierówności. Metoda odstępów

Zajmijmy się teraz nierównościami. Jest ich bardzo dużo, ale naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie przynajmniej najprostszego z nich. Te, które sprowadzają się do nierówności liniowych, a także do metody interwałów.

Mam dwa duże tutoriale na ten temat (swoją drogą bardzo, BARDZO przydatne - polecam studiować):

Metoda interwałowa dla nierówności (zwłaszcza obejrzyj wideo);
Nierówności ułamkowo-racjonalne to bardzo obszerna lekcja, ale po niej nie pozostanie już żadnych pytań.

Jeśli to wszystko wiesz, jeśli zdanie „przejdźmy od nierówności do równania” nie sprawia, że niejasno chcesz się zabić pod ścianą, to jesteś gotowy: witaj w piekle w głównym temacie lekcji :)

1. Nierówności postaci „Moduł mniejszy niż funkcja”

To jedno z najczęściej spotykanych zadań z modułami. Wymagane jest rozwiązanie nierówności formy:

\[\lewo| f\prawo| \ltg\]

Wszystko może działać jako funkcje $f$ i $g$, ale zazwyczaj są to wielomiany. Przykłady takich nierówności:

Wszystkie są rozwiązywane dosłownie w jednej linii zgodnie ze schematem:

\[\lewo| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]

Łatwo zauważyć, że pozbywamy się modułu, ale zamiast tego otrzymujemy podwójną nierówność (lub, to samo, system dwóch nierówności). Ale to przejście uwzględnia absolutnie wszystkie możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; jeśli jest ujemny, nadal działa; i nawet przy najbardziej nieodpowiedniej funkcji zamiast $f$ lub $g$, metoda nadal będzie działać.

Naturalnie pojawia się pytanie: czy nie jest łatwiej? Niestety nie możesz. To jest cały punkt modułu.

Ale dość filozofowania. Rozwiążmy kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 2x+3\prawo| \ltx+7\]

Decyzja. Mamy więc klasyczną nierówność postaci „moduł jest mniejszy niż” - nie ma nawet czego przekształcać. Pracujemy według algorytmu:

\[\begin(wyrównaj) & \left| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \lewo| 2x+3\prawo| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nie spiesz się, aby otworzyć nawiasy poprzedzone „minusem”: całkiem możliwe, że z powodu pośpiechu popełnisz obraźliwy błąd.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problem został sprowadzony do dwóch podstawowych nierówności. Odnotowujemy ich rozwiązania na równoległych liniach rzeczywistych:
Przecięcie wielu
Przecięcie tych zbiorów będzie odpowiedzią.

Odpowiedź: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Decyzja. To zadanie jest trochę trudniejsze. Na początek izolujemy moduł, przesuwając drugi termin w prawo:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]

Oczywiście znowu mamy nierówność postaci „moduł jest mniejszy”, więc pozbywamy się modułu według znanego już algorytmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz uwaga: ktoś powie, że jestem trochę zboczeńcem z tymi wszystkimi nawiasami. Ale jeszcze raz przypominam, że naszym głównym celem jest poprawnie rozwiąż nierówności i uzyskaj odpowiedź. Później, gdy już doskonale opanujesz wszystko, co jest opisane w tej lekcji, możesz zboczyć, jak chcesz: otwierać nawiasy, dodawać minusy itp.

A na początek po prostu pozbywamy się podwójnego minusa po lewej stronie:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]

Teraz otwórzmy wszystkie nawiasy w podwójnej nierówności:

Przejdźmy do podwójnej nierówności. Tym razem obliczenia będą poważniejsze:

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\w prawo.\]

Obie nierówności są kwadratowe i są rozwiązywane metodą interwałową (dlatego mówię: jeśli nie wiesz, co to jest, lepiej jeszcze nie brać modułów). Przechodzimy do równania w pierwszej nierówności:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lewo(x+5 \prawo)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\koniec(wyrównaj)\]

Jak widać, wynik okazał się niepełnym równaniem kwadratowym, które jest rozwiązywane elementarnie. Zajmijmy się teraz drugą nierównością systemu. Tam musisz zastosować twierdzenie Viety:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymane liczby zaznaczamy na dwóch równoległych liniach (oddzielnych dla pierwszej nierówności i oddzielnych dla drugiej):
Ponownie, ponieważ rozwiązujemy system nierówności, interesuje nas przecięcie zacieniowanych zbiorów: $x\in \left(-5;-2 \right)$. To jest odpowiedź.
Odpowiedź: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myślę, że po tych przykładach schemat rozwiązania jest bardzo jasny:

Wyizoluj moduł, przesuwając wszystkie inne wyrazy na przeciwną stronę nierówności. W ten sposób otrzymujemy nierówność postaci $\left| f\prawo| \ltg$.
Rozwiąż tę nierówność, pozbywając się modułu, jak opisano powyżej. W pewnym momencie konieczne będzie przejście od podwójnej nierówności do systemu dwóch niezależnych wyrażeń, z których każde można już rozwiązać osobno.
Na koniec pozostaje tylko skrzyżować rozwiązania tych dwóch niezależnych wyrażeń - i tyle, otrzymamy ostateczną odpowiedź.

Podobny algorytm istnieje dla nierówności następującego typu, gdy moduł jest większy niż funkcja. Jest jednak kilka poważnych „ale”. Porozmawiamy teraz o tych „ale”.

2. Nierówności postaci „Moduł jest większy niż funkcja”

Wyglądają tak:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\]

Podobny do poprzedniego? Wydaje się być. Niemniej jednak takie zadania rozwiązywane są w zupełnie inny sposób. Formalnie schemat wygląda następująco:

\[\lewo| f\prawo| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Innymi słowy, rozważamy dwa przypadki:

Najpierw po prostu ignorujemy moduł - rozwiązujemy zwykłą nierówność;
Wtedy faktycznie otwieramy moduł ze znakiem minus, a następnie mnożymy obie części nierówności przez -1 ze znakiem.

W tym przypadku opcje są połączone nawiasem kwadratowym, tj. Mamy kombinację dwóch wymagań.

Zwróć uwagę: przed nami nie jest system, ale agregat, dlatego w odpowiedzi zestawy są połączone, a nie przecinane. To zasadnicza różnica w stosunku do poprzedniego akapitu!

Ogólnie rzecz biorąc, wielu uczniów ma wiele zamieszania ze związkami i skrzyżowaniami, więc przyjrzyjmy się temu problemowi raz na zawsze:

„∪” to znak konkatenacji. W rzeczywistości jest to stylizowana litera „U”, która przyszła do nas z języka angielskiego i jest skrótem od „Union”, czyli "Wspomnienia".
„∩” to znak skrzyżowania. To gówno nie wzięło się znikąd, tylko pojawiło się jako opozycja do „∪”.

Aby jeszcze łatwiej było to zapamiętać, po prostu dodaj nogi do tych znaków, aby zrobić okulary (tylko nie oskarżaj mnie teraz o promowanie narkomanii i alkoholizmu: jeśli poważnie studiujesz tę lekcję, to już jesteś narkomanem):

Różnica między przecięciem a sumą zbiorów

W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, że: związek (kolekcja) zawiera elementy z obu zestawów, a więc nie mniej niż każdy z nich; ale skrzyżowanie (system) obejmuje tylko te elementy, które znajdują się zarówno w pierwszym, jak i drugim zestawie. Dlatego przecięcie zbiorów nigdy nie jest większe niż zbiory źródłowe.

Więc stało się jaśniej? To wspaniale. Przejdźmy do praktyki.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]

Decyzja. Działamy według schematu:

\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Prawidłowy.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność populacji:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(wyrównaj) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(wyrównaj) \right.\]

Każdy wynikowy zestaw zaznaczamy na osi liczbowej, a następnie łączymy je:
Unia zbiorów
Oczywiście odpowiedź brzmi: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpowiedź: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

Decyzja. Dobrze? Nie, to wszystko jedno. Przechodzimy od nierówności z modułem do zbioru dwóch nierówności:

\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(wyrównaj) \w prawo.\]

Rozwiązujemy każdą nierówność. Niestety korzenie nie będą tam zbyt dobre:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugiej nierówności jest też trochę gry:

\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]

Teraz musimy oznaczyć te liczby na dwóch osiach - jedna oś dla każdej nierówności. Punkty należy jednak zaznaczyć w odpowiedniej kolejności: im większa liczba, tym bardziej punkt przesunie się w prawo.

A tu czekamy na setup. Jeśli wszystko jest jasne z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (warunki w liczniku pierwszego ułamki są mniejsze niż wyrazy w liczniku drugiego , więc suma jest również mniejsza), z liczbami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ też nie będzie trudności (liczba dodatnia oczywiście bardziej ujemna), ale z ostatnią parą wszystko nie jest takie proste. Który jest większy: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpowiedzi na to pytanie będzie zależeć rozmieszczenie punktów na liniach liczbowych, a właściwie odpowiedź.

Porównajmy więc:

\[\begin(macierz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(macierz)\]

Wyizolowaliśmy pierwiastek, otrzymaliśmy liczby nieujemne po obu stronach nierówności, więc mamy prawo do kwadratu obu stron:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(macierz)\]

Myślę, że nie ma sensu, że $4\sqrt(13) \gt 3$, więc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, na końcu punkty na osiach będą ułożone w następujący sposób:
Przypadek brzydkich korzeni
Przypomnę, że rozwiązujemy zestaw, więc odpowiedzią będzie suma, a nie przecięcie zestawów cieniowanych.

Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Jak widać, nasz schemat świetnie sprawdza się zarówno w przypadku prostych zadań, jak i tych bardzo trudnych. Jedynym „słabym punktem” w tym podejściu jest to, że musisz poprawnie porównywać liczby niewymierne (i uwierz mi: to nie są tylko pierwiastki). Ale osobna (i bardzo poważna lekcja) będzie poświęcona kwestiom porównawczym. I ruszamy dalej.

3. Nierówności z nieujemnymi „ogonami”

Dotarliśmy więc do najciekawszych. Są to nierówności formy:

\[\lewo| f\prawo| \gt\lewo| g\prawo|\]

Ogólnie rzecz biorąc, algorytm, o którym teraz będziemy mówić, jest prawdziwy tylko dla modułu. Działa we wszystkich nierównościach, w których po lewej i prawej stronie istnieją gwarantowane wyrażenia nieujemne:

Co zrobić z tymi zadaniami? Tylko pamiętaj:

W nierównościach z nieujemnymi ogonami obie strony mogą zostać podniesione do dowolnej naturalnej siły. Nie będzie żadnych dodatkowych ograniczeń.

Przede wszystkim zainteresuje nas kwadrat - spala moduły i korzenie:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\koniec(wyrównaj)\]

Tylko nie myl tego z wyciągnięciem pierwiastka z kwadratu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \prawo|\ne f\]

Popełniono niezliczoną ilość błędów, gdy uczeń zapomniał zainstalować moduł! Ale to zupełnie inna historia (są to jakby irracjonalne równania), więc teraz nie będziemy się w to wchodzić. Lepiej rozwiążmy kilka problemów:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \w prawo|\]

Decyzja. Od razu zauważamy dwie rzeczy:

To jest nieścisła nierówność. Punkty na osi liczbowej zostaną wybite.

Obie strony nierówności są oczywiście nieujemne (jest to właściwość modułu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Dlatego możemy podważyć obie strony nierówności, aby pozbyć się modułu i rozwiązać problem przy użyciu zwykłej metody przedziałowej:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

W ostatnim kroku trochę oszukałem: zmieniłem kolejność wyrazów, używając parzystości modułu (w rzeczywistości pomnożyłem wyrażenie $1-2x$ przez −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dobrze)\prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rozwiązujemy metodą interwałową. Przejdźmy od nierówności do równania:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

Znalezione korzenie zaznaczamy na osi liczbowej. Jeszcze raz: wszystkie punkty są zacienione, ponieważ pierwotna nierówność nie jest ścisła!
Pozbywanie się znaku modułu
Przypomnę dla szczególnie upartych: bierzemy znaki z ostatniej nierówności, która została spisana przed przejściem do równania. I malujemy wymagane obszary w tej samej nierówności. W naszym przypadku jest to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Otóż to. Problem rozwiązany.

Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Decyzja. Wszystko robimy tak samo. Nie będę komentował - wystarczy spojrzeć na kolejność działań.

Rozwiążmy to:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda odstępów:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\koniec(wyrównaj)\]

Na osi liczbowej jest tylko jeden pierwiastek:
Odpowiedzią jest cała gama
Odpowiedź: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Mała notka o ostatnim zadaniu. Jak trafnie zauważył jeden z moich uczniów, oba wyrażenia submodułowe w tej nierówności są oczywiście pozytywne, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.

Ale to już zupełnie inny poziom myślenia i inne podejście - można to warunkowo nazwać metodą konsekwencji. O nim - w osobnej lekcji. A teraz przejdźmy do ostatniej części dzisiejszej lekcji i rozważmy uniwersalny algorytm, który zawsze działa. Nawet gdy wszystkie poprzednie podejścia były bezsilne :)

4. Sposób wyliczania opcji

A jeśli wszystkie te sztuczki nie zadziałają? Czy nierówność nie sprowadza się do nieujemnych ogonów, czy nie da się wyizolować modułu, czy w ogóle ból-smutek-tęsknota?

Wtedy na scenę wkracza „ciężka artyleria” wszelkiej matematyki – metoda wyliczania. W odniesieniu do nierówności z modułem wygląda to tak:

Wypisz wszystkie wyrażenia podmodułów i przyrównaj je do zera;
Rozwiąż powstałe równania i zaznacz znalezione korzenie na jednej linii liczbowej;
Linia prosta zostanie podzielona na kilka odcinków, w obrębie których każdy moduł ma stały znak i dzięki temu jednoznacznie się rozszerza;
Rozwiąż nierówność na każdym takim odcinku (możesz osobno rozważyć pierwiastki graniczne uzyskane w paragrafie 2 - dla niezawodności). Połącz wyniki - to będzie odpowiedź :)

Cóż, jak? Słaby? Łatwo! Tylko przez długi czas. Zobaczmy w praktyce:

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

\[\lewo| x+2 \prawo| \lt\lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Decyzja. To gówno nie sprowadza się do nierówności takich jak $\left| f\prawo| \lt g$, $\lewo| f\prawo| \gt g$ lub $\lewo| f\prawo| \lt\lewo| g \right|$, więc przejdźmy dalej.

Wypisujemy wyrażenia submodułów, przyrównujemy je do zera i znajdujemy pierwiastki:

\[\begin(wyrównaj) & x+2=0\Strzałka w prawo x=-2; \\ & x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

W sumie mamy dwa pierwiastki, które dzielą oś liczbową na trzy sekcje, wewnątrz których każdy moduł jest ujawniany w unikalny sposób:
Dzielenie osi liczbowej przez zera funkcji submodularnych
Rozważmy każdą sekcję osobno.

1. Niech $x \lt -2$. Wtedy oba wyrażenia podmodułów są ujemne, a pierwotna nierówność zostaje przepisana w następujący sposób:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\koniec(wyrównaj)\]

Mamy dość proste ograniczenie. Przetnijmy to z pierwotnym założeniem, że $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnic \]

Oczywiście zmienna $x$ nie może być jednocześnie mniejsza niż −2 ale większa niż 1,5. W tym obszarze nie ma rozwiązań.

1.1. Rozważmy osobno przypadek brzegowy: $x=-2$. Zamieńmy tę liczbę na pierwotną nierówność i sprawdźmy: czy to się sprawdza?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lewo| -3 \prawo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]

Oczywiście łańcuch obliczeń doprowadził nas do niewłaściwej nierówności. Dlatego pierwotna nierówność jest również fałszywa, a $x=-2$ nie jest uwzględnione w odpowiedzi.

2. Teraz niech $-2 \lt x \lt 1$. Lewy moduł otworzy się już z „plusem”, ale prawy nadal z „minusem”. Mamy:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\koniec(wyrównaj)\]

Ponownie przecinamy się z pierwotnym wymaganiem:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

I znowu pusty zbiór rozwiązań, ponieważ nie ma liczb, które są jednocześnie mniejsze od -2,5 i większe od -2.

2.1. I znowu przypadek szczególny: $x=1$. Zastępujemy do pierwotnej nierówności:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lewo| 3\prawo| \lt\lewo| 0 \prawo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]

Podobnie jak w poprzednim "przypadku szczególnym", liczba $x=1$ wyraźnie nie jest zawarta w odpowiedzi.

3. Ostatni kawałek linii: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są rozszerzone o znak plus:

\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(wyrównaj)\ ]

I znowu przecinamy znaleziony zbiór z pierwotnym wiązaniem:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \Prawidłowy)\]

Wreszcie! Znaleźliśmy interwał, który będzie odpowiedzią.

Odpowiedź: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na koniec jedna uwaga, która może uchronić Cię przed głupimi błędami przy rozwiązywaniu prawdziwych problemów:

Rozwiązania nierówności z modułami to zazwyczaj ciągłe zbiory na osi liczbowej - odstępy i odcinki. Punkty izolowane są znacznie rzadsze. A jeszcze rzadziej zdarza się, że granice rozwiązania (koniec segmentu) pokrywają się z granicą rozważanego zakresu.

Dlatego też, jeśli granice (te bardzo „szczególne przypadki”) nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi, to obszary na lewo od tych granic prawie na pewno nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi. I odwrotnie: granica weszła w odpowiedzi, co oznacza, że niektóre obszary wokół niej również będą odpowiedziami.

Pamiętaj o tym, sprawdzając swoje rozwiązania.

Po otrzymaniu wstępnych informacji o nierównościach ze zmiennymi przechodzimy do pytania o ich rozwiązanie. Przeanalizujmy rozwiązanie nierówności liniowych z jedną zmienną i wszystkie metody ich rozwiązywania za pomocą algorytmów i przykładów. Rozważane będą tylko równania liniowe z jedną zmienną.

Czym jest nierówność liniowa?

Najpierw musisz zdefiniować równanie liniowe i dowiedzieć się, jaka jest jego standardowa postać i czym będzie się różniła od innych. Z kursu szkolnego wynika, że nierówności nie mają zasadniczej różnicy, dlatego należy użyć kilku definicji.

Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną zmienną x jest nierównością postaci a x + b > 0, gdy używany jest dowolny znak nierówności zamiast >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicja 2

Nierówności a x< c или a · x >c , gdzie x jest zmienną, a a i c niektórymi liczbami, nazywa się nierówności liniowe z jedną zmienną.

Ponieważ nic nie jest powiedziane o tym, czy współczynnik może być równy 0 , to ścisła nierówność postaci 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich różnice to:

notacja a · x + b > 0 w pierwszym, a a · x > c – w drugim;
dopuszczalność zerowego współczynnika a , a ≠ 0 - w pierwszym, a a = 0 - w drugim.

Uważa się, że nierówności a x + b > 0 oraz ax > c są równoważne, ponieważ uzyskuje się je poprzez przeniesienie wyrazu z jednej części na drugą. Rozwiązanie nierówności 0 · x + 5 > 0 doprowadzi do tego, że będzie trzeba ją rozwiązać, a przypadek a = 0 nie zadziała.

Definicja 3

Uważa się, że nierówności liniowe jednej zmiennej x są nierównościami postaci ax + b< 0 , a · x + b >0 , ax + b ≤ 0 oraz ax + b ≥ 0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Zamiast x może być zwykła liczba.

Na podstawie reguły mamy, że 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nazywane są liniowymi.

Jak rozwiązać nierówność liniową?

Głównym sposobem rozwiązania takich nierówności jest użycie przekształceń równoważnych w celu znalezienia elementarnych nierówności x< p (≤ , >, ≥) , gdzie p jest pewną liczbą, dla a ≠ 0 i postaci a< p (≤ , >, ≥) dla a = 0 .

Aby rozwiązać nierówność za pomocą jednej zmiennej, możesz zastosować metodę interwałową lub przedstawić ją graficznie. Każdy z nich może być używany w izolacji.

Używając równoważnych przekształceń

Aby rozwiązać nierówność liniową postaci a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , konieczne jest zastosowanie równoważnych przekształceń nierówności. Współczynnik może, ale nie musi, wynosić zero. Rozważmy oba przypadki. Aby wyjaśnić, konieczne jest przestrzeganie schematu składającego się z 3 punktów: istoty procesu, algorytmu, samego rozwiązania.

Definicja 4

Algorytm rozwiązywania nierówności liniowej ax + b< 0 (≤ , >, ≥) dla ≠ 0

liczba b zostanie przeniesiona na prawą stronę nierówności z przeciwnym znakiem, co pozwoli nam dojść do ekwiwalentu a x< − b (≤ , > , ≥) ;
obie części nierówności zostaną podzielone przez liczbę nie równą 0. Co więcej, gdy a jest dodatnie, znak pozostaje, gdy a jest ujemne, zmienia się na przeciwne.

Rozważ zastosowanie tego algorytmu do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność postaci 3 · x + 12 ≤ 0 .

Decyzja

Ta liniowa nierówność ma a = 3 i b = 12 . Stąd współczynnik a od x nie jest równy zeru. Zastosujmy powyższe algorytmy i rozwiążmy.

Konieczne jest przeniesienie wyrazu 12 do innej części nierówności ze zmianą znaku przed nim. Wtedy otrzymujemy nierówność postaci 3 · x ≤ − 12 . Konieczne jest podzielenie obu części przez 3. Znak nie zmieni się, ponieważ 3 jest liczbą dodatnią. Otrzymujemy, że (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , co da wynik x ≤ − 4 .

Nierówność postaci x ≤ − 4 jest równoważna. Oznacza to, że rozwiązaniem dla 3 x + 12 ≤ 0 jest dowolna liczba rzeczywista, która jest mniejsza lub równa 4 . Odpowiedź zapisujemy jako nierówność x ≤ − 4 lub przedział liczbowy postaci (− ∞ , − 4 ] .

Cały opisany powyżej algorytm jest napisany w następujący sposób:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Odpowiedź: x ≤ − 4 lub (− ∞ , − 4 ] .

Przykład 2

Wskaż wszystkie dostępne rozwiązania nierówności − 2 , 7 · z > 0 .

Decyzja

Z warunku widzimy, że współczynnik a przy z jest równy - 2, 7, a b jest wyraźnie nieobecne lub równe zero. Nie możesz użyć pierwszego kroku algorytmu, ale od razu przejdź do drugiego.

Obie części równania dzielimy przez liczbę - 2, 7. Ponieważ liczba jest ujemna, konieczna jest zmiana znaku nierówności na przeciwny. Oznacza to, że otrzymujemy (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Cały algorytm piszemy w krótkiej formie:

- 2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Odpowiedź: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Przykład 3

Rozwiąż nierówność - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Decyzja

Zgodnie z tym warunkiem widzimy, że konieczne jest rozwiązanie nierówności współczynnikiem a dla zmiennej x, który jest równy -5, współczynnikiem b, który odpowiada ułamkowi -15 22 . Należy rozwiązać nierówność według algorytmu, czyli: przenieść - 15 22 do innej części o przeciwnym znaku, podzielić obie części przez - 5, zmienić znak nierówności:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

W ostatnim przejściu, po prawej stronie, stosuje się zasadę dzielenia liczby z różnymi znakami 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, po czym dzielimy zwykły ułamek przez liczbę naturalną - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Odpowiedź: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .

Rozważ przypadek, gdy a = 0. Wyrażenie liniowe postaci a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Wszystko opiera się na definicji rozwiązania nierówności. Dla dowolnej wartości x otrzymujemy nierówność liczbową postaci b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Rozważamy wszystkie osądy w postaci algorytmu rozwiązywania nierówności liniowych 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicja 5

Nierówność liczbowa postaci b< 0 (≤ , >, ≥) jest prawdziwe, to pierwotna nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości, a fałsz, gdy pierwotna nierówność nie ma rozwiązań.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność 0 · x + 7 > 0 .

Decyzja

Ta liniowa nierówność 0 · x + 7 > 0 może przyjąć dowolną wartość x . Wtedy otrzymujemy nierówność postaci 7 > 0 . Ostatnia nierówność jest uważana za prawdziwą, więc jej rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Odpowiedź: przedział (− ∞ , + ∞) .

Przykład 5

Znajdź rozwiązanie nierówności 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Decyzja

Podstawiając zmienną x na dowolną liczbę, otrzymujemy, że nierówność przyjmie postać − 12 , 7 ≥ 0 . To jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

Rozważ rozwiązanie nierówności liniowych, gdzie oba współczynniki są równe zeru.

Przykład 6

Wyznacz nierozwiązywalną nierówność z 0 · x + 0 > 0 i 0 · x + 0 ≥ 0 .

Decyzja

Podstawiając dowolną liczbę zamiast x, otrzymujemy dwie nierówności postaci 0 > 0 i 0 ≥ 0 . Pierwszy jest niepoprawny. Oznacza to, że 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, a 0 x + 0 ≥ 0 ma nieskończoną liczbę rozwiązań, czyli dowolną liczbę.

Odpowiedź: nierówność 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, a 0 x + 0 ≥ 0 ma rozwiązania.

Ta metoda jest uwzględniana w szkolnym kursie matematyki. Metoda interwałowa umożliwia rozwiązywanie różnego rodzaju nierówności, w tym liniowych.

Metodę przedziałową stosuje się do nierówności liniowych, gdy wartość współczynnika x nie jest równa 0 . W przeciwnym razie będziesz musiał obliczyć inną metodą.

Definicja 6

Metoda odstępów to:

wprowadzenie funkcji y = a x + b ;
szukaj zer, aby podzielić dziedzinę definicji na przedziały;
określenie znaków dla pojęcia ich na interwałach.

Zbierzmy algorytm rozwiązywania równań liniowych a x + b< 0 (≤ , >, ≥) dla a ≠ 0 metodą interwałową:

znalezienie zer funkcji y = a · x + b w celu rozwiązania równania postaci a · x + b = 0 . Jeśli a ≠ 0, to rozwiązaniem będzie jedyny pierwiastek, który przyjmie oznaczenie x 0;
budowa linii współrzędnej z obrazem punktu o współrzędnej x 0, ze ścisłą nierównością, punkt jest wybity, z nieścisłą nierównością, jest zacieniony;
określenie znaków funkcji y = a x + b na przedziałach, w tym celu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach na przedziale;
rozwiązanie nierówności ze znakami > lub ≥ na linii współrzędnych, kreskowanie dodaje się nad dodatnią przerwą,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Rozważ kilka przykładów rozwiązania nierówności liniowej metodą przedziałową.

Przykład 6

Rozwiąż nierówność − 3 · x + 12 > 0 .

Decyzja

Z algorytmu wynika, że najpierw musisz znaleźć pierwiastek równania − 3 · x + 12 = 0 . Otrzymujemy, że − 3 · x = − 12 , x = 4 . Konieczne jest zobrazowanie linii współrzędnych, w której zaznaczamy punkt 4. Zostanie przebity, ponieważ nierówność jest ścisła. Rozważ poniższy rysunek.

Konieczne jest określenie znaków na interwałach. Aby ją wyznaczyć na przedziale (− ∞ , 4) , należy obliczyć funkcję y = − 3 · x + 12 dla x = 3 . Stąd otrzymujemy, że − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na przedziale jest dodatni.

Określamy znak z przedziału (4, + ∞), a następnie podstawiamy wartość x \u003d 5. Mamy − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Wykonujemy rozwiązanie nierówności znakiem > , a kreskowanie wykonujemy nad luką dodatnią. Rozważ poniższy rysunek.

Z rysunku widać, że pożądane rozwiązanie ma postać (− ∞ , 4) lub x< 4 .

Odpowiedź: (− ∞ , 4) lub x< 4 .

Aby zrozumieć, jak przedstawiać graficznie, konieczne jest rozważenie 4 nierówności liniowych jako przykładu: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0,5 x - 1 ≥ 0 . Ich rozwiązania będą x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2 . Aby to zrobić, narysuj poniżej wykres funkcji liniowej y = 0 , 5 · x − 1 .

Jest oczywiste, że

Definicja 7

rozwiązanie nierówności 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
rozwiązanie 0 , 5 x − 1 ≤ 0 jest przedziałem, w którym funkcja y = 0 , 5 x − 1 jest mniejsza niż 0 x lub pokrywa się;
za rozwiązanie 0 , 5 x − 1 > 0 uważa się przedział, w którym funkcja znajduje się powyżej O x;
rozwiązanie 0 , 5 x − 1 ≥ 0 to przedział, w którym wykres jest wyższy niż O x lub pokrywa się.

Znaczenie graficznego rozwiązania nierówności polega na znalezieniu luk, które należy przedstawić na wykresie. W tym przypadku otrzymujemy, że lewa strona ma y \u003d a x + b, a prawa strona ma y \u003d 0 i pokrywa się z około x.

Definicja 8

Wykreśla się funkcję y = a x + b:

przy rozwiązywaniu nierówności a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
przy rozwiązywaniu nierówności a x + b ≤ 0 wyznacza się przedział, w którym wykres jest wyświetlany poniżej osi O x lub pokrywa się;
przy rozwiązywaniu nierówności a x + b > 0 wyznaczany jest przedział, w którym wykres wyświetlany jest powyżej O x;
przy rozwiązywaniu nierówności a x + b ≥ 0 wyznacza się przedział, w którym wykres znajduje się powyżej O x lub jest zbieżny.

Przykład 7

Rozwiąż nierówność - 5 · x - 3 > 0 za pomocą wykresu.

Decyzja

Konieczne jest zbudowanie wykresu funkcji liniowej - 5 · x - 3 > 0 . Ta linia maleje, ponieważ współczynnik x jest ujemny. Aby wyznaczyć współrzędne punktu jego przecięcia z O x - 5 · x - 3 > 0, otrzymujemy wartość - 3 5 . Narysujmy to.

Rozwiązanie nierówności ze znakiem >, to trzeba zwrócić uwagę na przedział powyżej O x. Zaznaczamy niezbędną część samolotu na czerwono i otrzymujemy to

Wymagana przerwa to część O x koloru czerwonego. Zatem promień liczby otwartej - ∞ , - 3 5 będzie rozwiązaniem nierówności. Gdyby z warunku mieli nieścisłą nierówność, to wartość punktu - 3 5 również byłaby rozwiązaniem tej nierówności. I zbiegłoby się z Ox.

Odpowiedź: - , - 3 5 lub x< - 3 5 .

Rozwiązanie graficzne jest stosowane, gdy lewa strona będzie odpowiadać funkcji y = 0 x + b , czyli y = b . Wtedy linia będzie równoległa do O x lub zbiegnie się przy b \u003d 0. Przypadki te pokazują, że nierówność może nie mieć rozwiązań, lub że rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Przykład 8

Wyznacz z nierówności 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Decyzja

Reprezentacja y = 0 x + 7 to y = 7 , wtedy zostanie podana płaszczyzna współrzędnych z linią prostą równoległą do O x i powyżej O x. Więc 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Wykres funkcji y \u003d 0 x + 0 jest uważany za y \u003d 0, to znaczy linia pokrywa się z O x. Stąd nierówność 0 · x + 0 ≥ 0 ma wiele rozwiązań.

Odpowiedź: druga nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości x .

Nierówności liniowe

Rozwiązanie nierówności można sprowadzić do rozwiązania równania liniowego, które nazywamy nierównościami liniowymi.

Nierówności te zostały uwzględnione w toku szkolnym, ponieważ były szczególnym przypadkiem rozwiązywania nierówności, co prowadziło do otwierania nawiasów i redukcji podobnych terminów. Załóżmy na przykład, że 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Podane powyżej nierówności są zawsze sprowadzane do postaci równania liniowego. Następnie nawiasy są otwierane i podawane są podobne terminy, przeniesione z różnych części, zmieniając znak na przeciwny.

Redukując nierówność 5 − 2 x > 0 na liniową, przedstawiamy ją w taki sposób, że ma postać − 2 x + 5 > 0 , a zmniejszając drugą, otrzymujemy 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Należy otworzyć nawiasy, przywieźć terminy podobne, przesunąć wszystkie terminy na lewą stronę i przywieźć terminy podobne. To wygląda tak:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Daje to rozwiązanie liniowej nierówności.

Nierówności te są uważane za liniowe, ponieważ mają tę samą zasadę rozwiązania, po czym można je sprowadzić do nierówności elementarnych.

Aby rozwiązać tego rodzaju nierówność tego rodzaju, konieczne jest sprowadzenie jej do nierówności liniowej. Należy to zrobić tak:

Definicja 9

otwarte nawiasy;
zbierz zmienne po lewej, a liczby po prawej;
przynieść podobne warunki;
podzielić obie części przez współczynnik x .

Przykład 9

Rozwiąż nierówność 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Decyzja

Rozszerzamy nawiasy i otrzymujemy nierówność postaci 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po skróceniu podobnych wyrazów mamy, że 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Po przesunięciu wyrazów od lewej do prawej otrzymujemy, że 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Ma więc nierówność postaci 32 ≤ 0 z wyniku otrzymanego w obliczeniach 0 · x + 32 ≤ 0 . Widać, że nierówność jest fałszywa, co oznacza, że nierówność podana przez warunek nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Warto zauważyć, że istnieje wiele nierówności innego rodzaju, które można sprowadzić do nierówności liniowych lub nierówności o charakterze przedstawionym powyżej. Na przykład 5 2 x − 1 ≥ 1 jest równaniem wykładniczym, które redukuje się do rozwiązania liniowego 2 · x − 1 ≥ 0 . Przypadki te będą brane pod uwagę przy rozwiązywaniu tego typu nierówności.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter