Jak opisać własności wykresu funkcji paraboli. Funkcja kwadratowa i jej wykres

Na lekcjach matematyki w szkole zapoznałeś się już z najprostszymi własnościami i wykresem funkcji y=x2. Poszerzmy naszą wiedzę funkcja kwadratowa.

Ćwiczenie 1.

Wykreśl funkcję y=x2. Skala: 1 = 2 cm Zaznacz punkt na osi Oy F(0; 1/4). Za pomocą cyrkla lub paska papieru zmierz odległość od punktu F do pewnego momentu M parabole. Następnie przypnij pasek w punkcie M i obróć go wokół tego punktu, aby stał się pionowy. Koniec paska spadnie nieco poniżej osi x (rys. 1). Zaznacz na pasku, jak daleko wykracza poza oś x. Zrób teraz kolejny punkt na paraboli i powtórz pomiar jeszcze raz. O ile krawędź paska spadła teraz poza oś x?

Wynik: bez względu na punkt na paraboli y \u003d x 2, odległość od tego punktu do punktu F (0; 1/4) będzie większa niż odległość od tego samego punktu do osi x zawsze o to samo liczba - o 1/4.

Można powiedzieć inaczej: odległość od dowolnego punktu paraboli do punktu (0; 1/4) jest równa odległości od tego samego punktu paraboli do prostej y = -1/4. Ten wspaniały punkt F(0; 1/4) nazywa się centrum parabole y \u003d x 2, a linia prosta y \u003d -1/4 - dyrektorka szkoły ta parabola. Każda parabola ma kierownicę i ognisko.

Ciekawe właściwości paraboli:

1. Każdy punkt paraboli jest równoodległy od pewnego punktu, zwanego ogniskiem paraboli, i pewnej linii zwanej jej kierownicą.

2. Jeśli obrócisz parabolę wokół osi symetrii (na przykład parabolę y \u003d x 2 wokół osi Oy), otrzymasz bardzo interesującą powierzchnię, zwaną paraboloidą obrotu.

Powierzchnia cieczy w wirującym naczyniu ma kształt paraboloidy obrotowej. Możesz zobaczyć tę powierzchnię, jeśli mocno zamieszasz łyżką w niepełnej szklance herbaty, a następnie wyjmiesz łyżkę.

3. Jeśli rzucisz kamień w pustkę pod pewnym kątem do horyzontu, poleci on wzdłuż paraboli (rys. 2).

4. Jeśli przetniesz powierzchnię stożka płaszczyzną równoległą do jednego z jego generatorów, to w sekcji otrzymasz parabolę (rys. 3).

5. W wesołych miasteczkach urządzają czasem zabawną atrakcję zwaną Paraboloidem Cudów. Każdemu ze stojących wewnątrz obracającego się paraboloidy wydaje się, że stoi na podłodze, a pozostali jakimś cudem trzymają się ścian.

6. W teleskopach lustrzanych stosuje się również lustra paraboliczne: światło odległej gwiazdy, poruszającej się w równoległym wiązce, padającej na lustro teleskopu, jest skupiane w ognisku.

7. W przypadku reflektorów lustro jest zwykle wykonane w formie paraboloidy. Jeśli umieścisz źródło światła w ognisku paraboloidy, to promienie odbite od parabolicznego lustra tworzą wiązkę równoległą.

Wykreślanie funkcji kwadratowej

Na lekcjach matematyki uczyłeś się, jak uzyskać wykresy funkcji postaci z wykresu funkcji y \u003d x 2:

1) y=ax2– rozwinięcie wykresu y = x 2 wzdłuż osi Oy w |a| razy (dla |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, Ryż. 4).

2) y=x2+n– przesunięcie wykresu o n jednostek wzdłuż osi Oy, a jeśli n > 0, to przesunięcie jest w górę, a jeśli n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi Ox: jeśli m< 0, то вправо, а если m >0, potem w lewo, (rys. 5).

4) y=-x2- symetryczne wyświetlanie wokół osi Ox wykresu y = x 2 .

Zajmijmy się bardziej szczegółowym kreśleniem wykresu funkcji. y = a(x - m) 2 + n.

Funkcję kwadratową postaci y = ax 2 + bx + c można zawsze sprowadzić do postaci

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdzie m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Udowodnijmy to.

Naprawdę,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Wprowadźmy nową notację.

Zostawiać m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

wtedy otrzymujemy y = a(x - m) 2 + n lub y - n = a(x - m) 2 .

Zróbmy jeszcze kilka podstawień: niech y - n = Y, x - m = X (*).

Następnie otrzymujemy funkcję Y = aX 2 , której wykres jest parabolą.

Wierzchołek paraboli znajduje się na początku. x=0; Y = 0.

Podstawiając współrzędne wierzchołka w (*), otrzymujemy współrzędne wierzchołka grafu y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Tak więc, aby wykreślić funkcję kwadratową reprezentowaną jako

y = a(x - m) 2 + n

przez przekształcenie możesz postępować w następujący sposób:

a) zbuduj wykres funkcji y = x 2 ;

b) przez przesunięcie równoległe wzdłuż osi Ox o m jednostek i wzdłuż osi Oy o n jednostek - przenieś wierzchołek paraboli od początku do punktu o współrzędnych (m; n) (rys. 6).

Napisz przekształcenia:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Przykład.

Korzystając z przekształceń, skonstruuj wykres funkcji y = 2(x - 3) 2 w kartezjańskim układzie współrzędnych – 2.

Decyzja.

Łańcuch przekształceń:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Konstrukcję wykresu przedstawiono na Ryż. 7.

Możesz samodzielnie ćwiczyć wykreślanie funkcji kwadratowej. Na przykład zbuduj wykres funkcji y = 2(x + 3) 2 + 2 w jednym układzie współrzędnych za pomocą przekształceń.Jeśli masz pytania lub chcesz uzyskać poradę od nauczyciela, masz możliwość przeprowadzenia bezpłatna 25-minutowa lekcja z korepetytorem online po . Do dalszej pracy z nauczycielem możesz wybrać ten, który Ci odpowiada

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak narysować funkcję kwadratową?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.