Wzory redukcji logarytmów. Logarytm naturalny, funkcja ln x

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Logarytm z b (b > 0) do podstawy a (a > 0, a ≠ 1) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę a, aby uzyskać b.

Logarytm o podstawie 10 z b można zapisać jako log(b), a logarytm o podstawie e (logarytm naturalny) - W(b).

Często używane przy rozwiązywaniu problemów z logarytmami:

Własności logarytmów

Istnieją cztery główne własności logarytmów.

Niech a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Własność 1. Logarytm iloczynu

Logarytm produktu równa się sumie logarytmów:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Własność 2. Logarytm ilorazu

Logarytm ilorazu jest równa różnicy logarytmów:

log a (x / y) = log a x – log a y

Własność 3. Logarytm stopnia

logarytm stopnia jest równy iloczynowi stopnia i logarytmu:

Jeżeli podstawa logarytmu jest wykładnikiem, to obowiązuje inna formuła:

Własność 4. Logarytm pierwiastka

Własność tę można otrzymać z własności logarytmu stopnia, ponieważ pierwiastek n-tego stopnia jest równy potędze 1/n:

Wzór na przejście od logarytmu o jednej podstawie do logarytmu o innej podstawie

Formuła ta jest również często używana przy rozwiązywaniu różnych zadań dla logarytmów:

Szczególny przypadek:

Porównanie logarytmów (nierówności)

Załóżmy, że mamy 2 funkcje f(x) i g(x) pod logarytmami o tych samych podstawach i istnieje między nimi znak nierówności:

Aby je porównać, musisz najpierw spojrzeć na podstawę logarytmów a:

• Jeśli a > 0, to f(x) > g(x) > 0
• Jeśli 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak rozwiązywać problemy z logarytmami: przykłady

Zadania z logarytmami zawarte w USE z matematyki dla klasy 11 w zadaniu 5 i zadaniu 7, zadania z rozwiązaniami można znaleźć na naszej stronie internetowej w odpowiednich sekcjach. Również zadania z logarytmami znajdują się w banku zadań matematycznych. Wszystkie przykłady można znaleźć, przeszukując witrynę.

Co to jest logarytm

Logarytmy zawsze były uważane za trudny temat na szkolnym kursie matematyki. Istnieje wiele różnych definicji logarytmu, ale z jakiegoś powodu większość podręczników używa najbardziej złożonej i niefortunnej z nich.

Logarytm zdefiniujemy w prosty i przejrzysty sposób. Stwórzmy do tego tabelę:

Mamy więc moc dwojga.

Logarytmy - właściwości, wzory, jak rozwiązywać

Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć siłę, do której musisz podnieść dwójkę, aby uzyskać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do czwartej potęgi. Aby uzyskać 64, musisz podnieść dwa do szóstej potęgi. Widać to z tabeli.

A teraz - właściwie definicja logarytmu:

podstawa a argumentu x jest potęgą, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę x.

Notacja: log a x \u003d b, gdzie a jest podstawą, x jest argumentem, b jest w rzeczywistości równa logarytmowi.

Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Równie dobrze może logować 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.

Wywołuje się operację znajdowania logarytmu liczby do danej podstawy. Dodajmy więc nowy wiersz do naszej tabeli:

Niestety nie wszystkie logarytmy są tak łatwo brane pod uwagę. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Liczba 5 nie znajduje się w tabeli, ale logika podpowiada, że ​​logarytm będzie leżał gdzieś w segmencie. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takie liczby nazywane są irracjonalnymi: liczby po przecinku można pisać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej zostawić to tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem z dwiema zmiennymi (podstawą i argumentem). Na początku wiele osób myli się, gdzie jest podstawa, a gdzie jest argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, spójrz na zdjęcie:

Przed nami nic innego jak definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm to potęga, do którego trzeba podnieść podstawę, aby uzyskać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest podświetlona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę mówię moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie ma zamieszania.

Jak liczyć logarytmy

Ustaliliśmy definicję - pozostaje nauczyć się liczyć logarytmy, tj. pozbyć się znaku "dziennika". Na początek zauważamy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:

1. Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z określenia stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
2. Podstawa musi być inna niż jedność, ponieważ jednostka do dowolnej potęgi nadal jest jednostką. Z tego powodu pytanie „do jakiej władzy należy podnieść jednego, aby uzyskać dwóch” jest bez znaczenia. Nie ma takiego stopnia!

Takie ograniczenia nazywają się Prawidłowy zakres(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda tak: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Zauważ, że nie ma żadnych ograniczeń co do liczby b (wartość logarytmu), która nie jest narzucona. Na przykład logarytm może być również ujemny: log 2 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.

Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w których nie jest wymagana znajomość ODZ logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez kompilatorów problemów. Ale kiedy w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DHS staną się obowiązkowe. Rzeczywiście, w podstawie i argumencie mogą znajdować się bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.

Rozważmy teraz ogólny schemat obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:

1. Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o najmniejszej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
2. Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
3. Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.

To wszystko! Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, będzie to widoczne już na pierwszym etapie. Wymóg, aby podstawa była większa niż jeden, jest bardzo istotny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Podobnie z ułamkami dziesiętnymi: jeśli od razu przekonwertujesz je na zwykłe, będzie wiele razy mniej błędów.

Zobaczmy, jak ten schemat działa na konkretnych przykładach:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25

1. Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zróbmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Otrzymano odpowiedź: 2.

Zadanie. Oblicz logarytm:

Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64

1. Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Zróbmy i rozwiążmy równanie:
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Otrzymano odpowiedź: 3.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1

1. Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Zróbmy i rozwiążmy równanie:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Otrzymano odpowiedź: 0.

Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14

1. Przedstawmy podstawę i argument jako potęgę liczby siedem: 7 = 7 1 ; 14 nie jest reprezentowany jako potęga siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z poprzedniego paragrafu wynika, że ​​logarytm nie jest brany pod uwagę;
3. Odpowiedź jest bez zmian: log 7 14.

Mała uwaga na temat ostatniego przykładu. Jak upewnić się, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? Bardzo proste - wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. Jeśli w ekspansji są co najmniej dwa różne czynniki, liczba nie jest dokładną potęgą.

Zadanie. Dowiedz się, czy dokładne potęgi liczby to: 8; 48; 81; 35; czternaście.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 5 - znowu niezbyt dokładny stopień;
14 \u003d 7 2 - znowu nie dokładny stopień;

Zauważ również, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.

Logarytm dziesiętny

Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i oznaczenie.

argumentu x jest logarytmem o podstawie 10, tj. potęga, do której należy podnieść 10, aby uzyskać x. Oznaczenie: lgx.

Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się fraza typu „Find lg 0.01”, wiedz, że to nie jest literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie jesteś przyzwyczajony do takiego oznaczenia, zawsze możesz je przepisać:
log x = log 10 x

Wszystko, co jest prawdziwe dla zwykłych logarytmów, jest również prawdziwe dla ułamków dziesiętnych.

naturalny logarytm

Jest jeszcze inny logarytm, który ma swój własny zapis. W pewnym sensie jest nawet ważniejszy niż dziesiętny. To jest logarytm naturalny.

argumentu x jest logarytmem podstawy e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lnx.

Wielu zapyta: jaka jest liczba e? Jest to liczba niewymierna, jej dokładnej wartości nie można znaleźć i zapisać. Oto tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459…

Nie będziemy zagłębiać się w to, co to za liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x

Zatem ln e = 1; loge 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie rzecz biorąc, logarytm naturalny dowolnej liczby wymiernej jest niewymierny. Z wyjątkiem, oczywiście, jedności: ln 1 = 0.

W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie reguły prawdziwe dla logarytmów zwykłych.

Zobacz też:

Logarytm. Własności logarytmu (potęga logarytmu).

Jak przedstawić liczbę jako logarytm?

Używamy definicji logarytmu.

Logarytm jest wskaźnikiem potęgi, do której należy podnieść podstawę, aby uzyskać liczbę pod znakiem logarytmu.

Tak więc, aby reprezentować pewną liczbę c jako logarytm o podstawie a, konieczne jest postawienie stopnia pod znakiem logarytmu o tej samej podstawie co podstawa logarytmu i wpisanie tej liczby c do wykładnika :

W postaci logarytmu możesz przedstawić absolutnie dowolną liczbę - dodatnią, ujemną, całkowitą, ułamkową, wymierną, niewymierną:

Aby nie pomylić a i c w stresujących warunkach testu lub egzaminu, możesz użyć następującej zasady do zapamiętania:

to, co jest na dole, schodzi w dół, to, co na górze, wznosi się.

Na przykład chcesz przedstawić liczbę 2 jako logarytm o podstawie 3.

Mamy dwie liczby - 2 i 3. Te liczby to podstawa i wykładnik, które zapiszemy pod logarytmem. Pozostaje ustalić, które z tych liczb należy zapisać w podstawie stopnia, a które w górę w wykładniku.

Podstawa 3 w zapisie logarytmu znajduje się na dole, co oznacza, że ​​gdy przedstawimy dwójkę jako logarytm o podstawie 3, zapiszemy również 3 do podstawy.

2 jest wyższe niż 3. A w notacji stopnia piszemy dwa nad trzema, czyli w wykładniku:

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Logarytmy

logarytm Liczba dodatnia b z powodu a, gdzie a > 0, a 1, jest wykładnikiem, do którego należy podnieść liczbę. a, Pozyskać b.

Definicja logarytmu można krótko napisać tak:

Ta równość obowiązuje dla b > 0, a > 0, a 1. Jest zwykle nazywany tożsamość logarytmiczna.
Akcja znajdowania logarytmu liczby nazywa się logarytm.

Własności logarytmów:

Logarytm iloczynu:

Logarytm ilorazu z dzielenia:

Wymiana podstawy logarytmu:

Logarytm stopnia:

logarytm pierwiastkowy:

Logarytm z podstawą mocy:

Logarytmy dziesiętne i naturalne.

Logarytm dziesiętny liczby nazywamy logarytmem dziesiętnym tej liczby i piszemy   lg b
naturalny logarytm liczby przywołują logarytm tej liczby do podstawy mi, gdzie mi jest liczbą niewymierną, w przybliżeniu równą 2,7. W tym samym czasie piszą ln b.

Inne uwagi dotyczące algebry i geometrii

Podstawowe własności logarytmów

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować w każdy możliwy sposób. Ale ponieważ logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które nazywają się podstawowe właściwości.

Zasady te muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tej samej podstawie: log ax i log ay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj - te same podstawy. Jeśli podstawy są różne, te zasady nie działają!

Te formuły pomogą obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie są brane pod uwagę jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

log 6 4 + log 6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru sumy:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Zasady są takie same, stosujemy wzór różnicy:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Znowu podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane oddzielnie. Ale po przekształceniach okazują się całkiem normalne liczby. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usunięcie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A co, jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyciągnąć ze znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia zasada jest zgodna z ich dwoma pierwszymi. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzegany jest logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie podziały się logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki - otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Spójrzmy teraz na główną frakcję. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 0, możemy zmniejszyć ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Rezultatem jest odpowiedź: 2.

Przejście do nowej fundacji

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A jeśli podstawy są różne? A jeśli nie są to dokładne potęgi o tej samej liczbie?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech logarytm logarytmuje x. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, równość jest prawdziwa:

W szczególności, jeśli postawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiej formuły wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Wzory te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Ocenę, jak wygodne są one, można ocenić tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeniesiemy się do nowej fundacji. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Pozbądźmy się teraz logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy.

W takim przypadku pomogą nam formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem w argumencie. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to po prostu wartość logarytmu.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to tak:

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b zostanie podniesiona do takiego stopnia, że ​​liczba b w tym stopniu da liczbę a? Zgadza się: to ten sam numer a. Przeczytaj uważnie ten akapit ponownie - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z Unified State Examination 🙂

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami - są to raczej konsekwencje definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet „zaawansowanym” studentom.

1. log a = 1 jest. Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z samej tej podstawy jest równy jeden.
2. log a 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument jest jeden, logarytm wynosi zero! Ponieważ 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.

wywodzi się z jego definicji. A więc logarytm liczby b z powodu ale zdefiniowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a zdobyć numer b(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenia x=log a b, jest równoważne rozwiązaniu równania topór=b. Na przykład, log 2 8 = 3 dlatego 8 = 2 3 . Sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=a c, to logarytm liczby b z powodu a równa się od. Jasne jest również, że temat logarytmu jest ściśle związany z tematem potęgi liczby.

Z logarytmami, tak jak z dowolnymi liczbami, możesz wykonać operacje dodawania, odejmowania i przekształcać się w każdy możliwy sposób. Ale biorąc pod uwagę fakt, że logarytmy nie są całkiem zwykłymi liczbami, obowiązują tutaj ich własne specjalne zasady, które są nazywane podstawowe właściwości.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów.

Weź dwa logarytmy o tej samej podstawie: log x I zaloguj się. Następnie usuń możliwe jest wykonywanie operacji dodawania i odejmowania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

zaloguj się(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + zaloguj a x k.

Od twierdzenia o logarytmie ilorazowym można uzyskać jeszcze jedną właściwość logarytmu. Powszechnie wiadomo, że log a 1= 0, zatem

Dziennik a 1 /b= log a 1 - log b= -log b.

Więc jest równość:

log a 1 / b = - log a b.

Logarytmy dwóch wzajemnie odwrotnych liczb na tej samej podstawie będą się różnić od siebie jedynie znakiem. Więc:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.