Dyspersja zmiennej losowej. Jak narysować prawo rozkładu zmiennej losowej przykłady Znajdź wariancję zgodnie z prawem rozkładu

Jak wiadomo, zmienna losowa nazywana jest zmienną, która w zależności od przypadku może przyjmować określone wartości. Zmienne losowe oznaczono wielkimi literami alfabetu łacińskiego (X, Y, Z), a ich wartości oznaczono odpowiednimi małymi literami (x, y, z). Zmienne losowe dzielą się na nieciągłe (dyskretne) i ciągłe.

Dyskretna zmienna losowa jest zmienną losową, która przyjmuje tylko skończony lub nieskończony (policzalny) zbiór wartości z pewnymi niezerowymi prawdopodobieństwami.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to funkcja łącząca wartości zmiennej losowej z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Prawo dystrybucji można określić na jeden z poniższych sposobów.

1 . Prawo dystrybucji można podać za pomocą tabeli:

gdzie λ>0, k = 0, 1, 2, … .

w) przez funkcja rozkładu F(x) , który określa dla każdej wartości x prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj. F(x) = P(X< x).

Własności funkcji F(x)

3 . Prawo dystrybucji można ustawić graficznie – wielokąt rozkładu (wielokąt) (patrz problem 3).

Należy pamiętać, że do rozwiązania niektórych problemów nie jest konieczna znajomość prawa dystrybucji. W niektórych przypadkach wystarczy znać jedną lub więcej liczb, które odzwierciedlają najważniejsze cechy prawa dystrybucji. Może to być liczba, która ma znaczenie „średniej wartości” zmiennej losowej lub liczba, która pokazuje średnią wielkość odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej. Liczby tego rodzaju nazywamy liczbowymi cechami zmiennej losowej.

Podstawowe charakterystyki liczbowe dyskretnej zmiennej losowej :

• Matematyczne oczekiwanie (wartość średnia) dyskretnej zmiennej losowej M(X)=Σ x i p i.
  Dla rozkładu dwumianowego M(X)=np, dla rozkładu Poissona M(X)=λ
• Dyspersja Dyskretna zmienna losowa D(X)=M2 lub D(X) = M(X2) − 2. Różnica X–M(X) nazywana jest odchyleniem zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania.
  Dla rozkładu dwumianowego D(X)=npq, dla rozkładu Poissona D(X)=λ
• Odchylenie standardowe (odchylenie standardowe) σ(X)=√D(X).

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej”

Zadanie 1.

Wydano 1000 losów na loterię: 5 z nich wygrywa 500 rubli, 10-100 rubli, 20-50 rubli, 50-10 rubli. Wyznacz prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X – wygrane na kupon.

Decyzja. W zależności od stanu problemu możliwe są następujące wartości zmiennej losowej X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Liczba losów bez wygranej wynosi 1000 - (5+10+20+50) = 915, następnie P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobnie znajdujemy wszystkie inne prawdopodobieństwa: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Powstałe prawo przedstawiamy w formie tabeli:

Znajdź matematyczne oczekiwanie X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadanie 3.

Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo uszkodzenia każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Opracuj prawo rozkładu dla liczby elementów, które uległy uszkodzeniu w jednym eksperymencie, zbuduj wielokąt rozkładu. Znajdź funkcję dystrybucji F(x) i wykreśl ją. Znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej.

Decyzja. 1. Dyskretna zmienna losowa X=(liczba elementów nieudanych w jednym eksperymencie) ma następujące możliwe wartości: x 1 =0 (żaden z elementów urządzenia nie uległ awarii), x 2 =1 (jeden element uległ awarii), x 3 =2 ( dwa elementy nie powiodły się ) i x 4 \u003d 3 (trzy elementy nie powiodły się).

Awarie elementów są od siebie niezależne, prawdopodobieństwa awarii każdego elementu są sobie równe, dlatego ma zastosowanie Wzór Bernoulliego . Biorąc pod uwagę warunek, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, określamy prawdopodobieństwa wartości:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Sprawdź: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Zatem pożądane prawo rozkładu dwumianowego X ma postać:

Na osi odciętej wykreślamy możliwe wartości x i, a na osi rzędnych odpowiednie prawdopodobieństwa р i . Skonstruujmy punkty M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Łącząc te punkty z odcinkami liniowymi, otrzymujemy pożądany wielokąt rozkładu.

3. Znajdź dystrybuantę F(x) = P(X

Dla x ≤ 0 mamy F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
Za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
dla 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
dla x > 3 będzie to F(x) = 1, ponieważ wydarzenie jest pewne.

Wykres funkcji F(x)

4. Dla rozkładu dwumianowego X:
- oczekiwanie matematyczne М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dyspersja D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- odchylenie standardowe σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Zmienne losowe”.

Zadanie 1 . W loterii wystawionych jest 100 losów. Rozegrano jedną wygraną w wysokości 50 USD. i dziesięć wygranych po 10 dolarów każda. Znajdź prawo rozkładu wartości X - koszt możliwego zysku.

Decyzja. Możliwe wartości X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Ponieważ jest 89 „pustych” biletów, to p 1 = 0,89, prawdopodobieństwo wygranej wynosi 10 j.u. (10 biletów) – p 2 = 0,10 i za wygraną 50 j.u. -p 3 = 0,01. Zatem:

	0,89	0,10	0,01

Łatwy do kontrolowania: .

Zadanie 2. Prawdopodobieństwo wcześniejszego zapoznania się przez kupującego z reklamą produktu wynosi 0,6 (p = 0,6). Selektywna kontrola jakości reklamy jest przeprowadzana przez ankietowanie kupujących przed pierwszym, który wcześniej zapoznał się z reklamą. Zrób serię rozkładów liczby ankietowanych kupujących.

Decyzja. Zgodnie ze stanem problemu p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zastępując te wartości, otrzymujemy: i skonstruuj szereg dystrybucyjny:

Liczba Pi		0,24

Zadanie 3. Komputer składa się z trzech niezależnie działających elementów: jednostki systemowej, monitora i klawiatury. Przy pojedynczym gwałtownym wzroście napięcia prawdopodobieństwo awarii każdego elementu wynosi 0,1. Na podstawie rozkładu Bernoulliego sporządź prawo rozkładu dla liczby uszkodzonych elementów podczas przepięcia w sieci.

Decyzja. Rozważać Dystrybucja Bernoulliego(lub dwumianowy): prawdopodobieństwo, że in n testy, zdarzenie A pojawi się dokładnie k raz: , lub:

	q n					p n

W wróćmy do zadania.

Możliwe wartości X (liczba awarii):

x 0 =0 - żaden z elementów nie zawiódł;

x 1 =1 - awaria jednego elementu;

x 2 =2 - awaria dwóch elementów;

x 3 =3 - awaria wszystkich elementów.

Ponieważ pod warunkiem p = 0,1, to q = 1 – p = 0,9. Korzystając ze wzoru Bernoulliego, otrzymujemy

, ,

, .

Kontrola: .

Dlatego pożądane prawo dystrybucji:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Zadanie 4. Wyprodukowano 5000 pocisków. Prawdopodobieństwo, że jeden wkład jest uszkodzony . Jakie jest prawdopodobieństwo, że w całej partii będą dokładnie 3 wadliwe wkłady?

Decyzja. Odpowiedni Rozkład Poissona: ten rozkład służy do określenia prawdopodobieństwa, że ​​przy bardzo dużym

liczba prób (próby masowych), w każdej z których prawdopodobieństwo zdarzenia A jest bardzo małe, zdarzenie A wystąpi k razy: , gdzie .

Tutaj n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Znajdujemy , a następnie pożądane prawdopodobieństwo: .

Zadanie 5. Przy strzelaniu przed pierwszym trafieniem z prawdopodobieństwem trafienia p = 0,6 dla strzału, musisz obliczyć prawdopodobieństwo, że trafienie nastąpi przy trzecim strzale.

Decyzja. Zastosujmy rozkład geometryczny: niech wykonane zostaną niezależne próby, w których każde zdarzenie A ma prawdopodobieństwo wystąpienia p (i niewystąpienie q = 1 - p). Próby kończą się natychmiast po wystąpieniu zdarzenia A.

W takich warunkach prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w k-tym teście określa wzór: . Tutaj p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Dlatego .

Zadanie 6. Niech będzie dane prawo rozkładu zmiennej losowej X:

Znajdź matematyczne oczekiwanie.

Decyzja. .

Zauważ, że probabilistyczne znaczenie matematycznego oczekiwania to średnia wartość zmiennej losowej.

Zadanie 7. Znajdź wariancję zmiennej losowej X z następującym prawem rozkładu:

Decyzja. Tutaj .

Prawo rozkładu kwadratu X 2 :

X 2

Wymagana wariancja: .

Dyspersja charakteryzuje stopień odchylenia (rozproszenia) zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.

Zadanie 8. Niech zmienną losową da rozkład:

			10m

Znajdź jego cechy liczbowe.

Rozwiązanie: m, m 2 ,

M 2 , m.

O zmiennej losowej X można też powiedzieć - jej matematyczne oczekiwanie wynosi 6,4 m przy wariancji 13,04 m 2 lub - jego matematyczne oczekiwanie wynosi 6,4 mz odchyleniem m. Drugie sformułowanie jest oczywiście jaśniejsze.

Zadanie 9. Wartość losowa X dana przez funkcję dystrybucji:
.

Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu wartość X przyjmie wartość zawartą w przedziale .

Decyzja. Prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość z danego przedziału jest równe przyrostowi funkcji całkowej w tym przedziale, tj. . W naszym przypadku, a zatem

.

Zadanie 10. Dyskretna zmienna losowa X nadane przez prawo dystrybucyjne:

Znajdź funkcję dystrybucji F(x ) i zbuduj jego wykres.

Decyzja. Ponieważ funkcja dystrybucji

dla , następnie

w ;

w ;

w ;

w ;

Odpowiedni wykres:

Zadanie 11. Ciągła zmienna losowa X dana przez funkcję dystrybucji różniczkowej: .

Znajdź prawdopodobieństwo trafienia X do przedziału

Decyzja. Zauważ, że jest to szczególny przypadek prawa rozkładu wykładniczego.

Użyjmy wzoru: .

Zadanie 12. Znajdź charakterystykę liczbową dyskretnej zmiennej losowej X określoną przez prawo rozkładu:

	–5
	X 2 : x2 . , gdzie jest funkcją Laplace'a. Wartości tej funkcji można znaleźć za pomocą tabeli. W naszym przypadku: . Zgodnie z tabelą znajdujemy :, a zatem:

Przypisanie usługi. Kalkulator online służy do zbudowania tabeli rozkładu zmiennej losowej X - liczby przeprowadzonych eksperymentów oraz obliczenia wszystkich cech szeregu: oczekiwanie matematyczne, wariancja i odchylenie standardowe. Protokół z decyzją sporządzony jest w formacie Word. Przykład 1. Wyrzucane są trzy monety. Prawdopodobieństwo wypadnięcia herbu w jednym rzucie wynosi 0,5. Stwórz prawo rozkładu dla zmiennej losowej X - liczba herbów, które spadły.
Decyzja.
Prawdopodobieństwo, że żaden herb nie wypadł: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Prawdopodobieństwo wypadnięcia trzech herbów: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Prawo rozkładu zmiennej losowej X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Sprawdź: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Przykład #2. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę jednego strzelca jednym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego strzelca 0,85. Strzelcy oddali jeden strzał do tarczy. Zakładając trafienie w tarczę dla poszczególnych strzelców jako zdarzenia niezależne, znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia A - dokładnie jedno trafienie w tarczę.
Decyzja.
Rozważmy zdarzenie A - jedno trafienie w cel. Możliwe wystąpienia tego zdarzenia są następujące:

1. Trafienie pierwszego strzelca, chybienie drugiego strzelca: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Pierwszy strzelec chybił, drugi strzelec trafił w cel: P(A/H2)=(1-p1)*p2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Pierwszy i drugi strzelec niezależnie trafiają w cel: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A - dokładnie jednego trafienia w tarczę wyniesie: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Definicja.Dyspersja (rozproszenie) Dyskretna zmienna losowa nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania:

Przykład. W powyższym przykładzie znajdujemy

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej to:

Możliwe wartości odchylenia kwadratowego:

; ;

Dyspersja to:

Jednak w praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennej losowej. Dlatego stosuje się inną metodę.

Obliczanie wariancji

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między oczekiwaniem matematycznym kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej oczekiwań matematycznych:

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne i kwadrat oczekiwanego matematycznego są wartościami stałymi, możemy napisać:

Zastosujmy tę formułę do powyższego przykładu:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Właściwości dyspersji

1) Rozrzut stałej wartości wynosi zero:

2) Współczynnik stały można wyciągnąć ze znaku dyspersji przez podniesienie go do kwadratu:

.

3) Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych:

4) Wariancja różnicy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych:

Ważność tej równości wynika z własności 2.

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwo wystąpienia i prawdopodobieństwo zdarzenia nie występuje w każdym badaniu:

Przykład. Zakład wytwarza 96% wyrobów pierwszego gatunku i 4% wyrobów drugiego gatunku. 1000 przedmiotów jest wybieranych losowo. Zostawiać X- liczba produktów pierwszego gatunku w tej próbce. Znajdź prawo rozkładu, oczekiwanie matematyczne i wariancję zmiennej losowej.

Zatem prawo dystrybucji można uznać za dwumianowe.

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej X– liczba wystąpień zdarzenia ALE w dwóch niezależnych próbach, jeżeli prawdopodobieństwa wystąpienia tego zdarzenia w każdej próbie są równe i wiadomo, że

Ponieważ wartość losowa X rozłożone zgodnie z prawem dwumianowym, to

Przykład. Niezależne testy są przeprowadzane z takim samym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia ALE w każdym teście. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia ALE jeśli wariancja liczby wystąpień zdarzenia w trzech niezależnych próbach wynosi 0,63.

Zgodnie ze wzorem dyspersyjnym prawa dwumianowego otrzymujemy:

;

Przykład. Testowane jest urządzenie składające się z czterech niezależnie działających urządzeń. Prawdopodobieństwo awarii każdego z urządzeń jest odpowiednio równe ; ; . Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję liczby uszkodzonych urządzeń.

Przyjmując liczbę uszkodzonych urządzeń jako zmienną losową, widzimy, że ta zmienna losowa może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3 lub 4.

Aby sporządzić prawo rozkładu dla tej zmiennej losowej, konieczne jest określenie odpowiednich prawdopodobieństw. Zaakceptujmy.

1) Żadne urządzenie nie uległo awarii:

2) Jedno z urządzeń uległo awarii.