Tipinių užduočių sprendimas. Egzamino užduočių funkcijų apimtis Kaip ieškoti funkcijų reikšmių rinkinio

Funkcija yra modelis. Apibrėžkime X kaip nepriklausomo kintamojo reikšmių rinkinį // nepriklausomas reiškia bet kurį.

Funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekvienai nepriklausomo kintamojo reikšmei iš aibės X galima rasti vienintelę priklausomo kintamojo reikšmę. // t.y. kiekvienam x yra vienas y.

Iš apibrėžimo matyti, kad yra dvi sąvokos - nepriklausomas kintamasis (kurį žymime x ir jis gali turėti bet kokią reikšmę) ir priklausomas kintamasis (kurį žymime y arba f (x) ir jis apskaičiuojamas iš funkcijos, kai pakeičiame x).

PAVYZDŽiui, y=5+x

1. Nepriklausomas yra x, todėl imame bet kokią reikšmę, tegul x = 3

2. o dabar apskaičiuojame y, taigi y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y priklauso nuo x, nes kokį x pakeičiame, gauname tokį y)

Sakome, kad kintamasis y funkciškai priklauso nuo kintamojo x ir tai žymima taip: y = f (x).

PAVYZDŽIUI.

1.y=1/x. (vadinama hiperbole)

2. y=x^2. (vadinama parabole)

3.y=3x+7. (vadinama tiesia linija)

4. y \u003d √ x. (vadinama parabolės šaka)

Nepriklausomas kintamasis (kurį žymime x) vadinamas funkcijos argumentu.

Funkcijos apimtis

Visų reikšmių rinkinys, kurį naudoja funkcijos argumentas, vadinamas funkcijos domenu ir žymimas D(f) arba D(y).

Apsvarstykite D(y) 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) ir (0;+∞) //visa realiųjų skaičių aibė, išskyrus nulį.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daugelis realiųjų skaičių

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daugelis realiųjų skaičių

4. D (y) \u003d. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę šiame segmente.

Išvestinė yra teigiama visiems x nuo intervalo (-1; 1) , tai yra, arcsininė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Todėl ji turi mažiausią vertę x=-1, o didžiausias adresu x=1.

Gavome arcsininės funkcijos diapazoną .

Raskite funkcijų reikšmių rinkinį segmente .

Sprendimas.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.

Nustatykime atkarpai priklausančius ekstremumo taškus :

Daugelis užduočių verčia mus ieškoti funkcijų reikšmių rinkinio tam tikrame segmente arba visoje apibrėžimo srityje. Tokios užduotys apima įvairius posakių vertinimus, nelygybių sprendimą.

Šiame straipsnyje apibrėžsime funkcijos diapazoną, apsvarstysime jos radimo būdus ir išsamiai išanalizuosime pavyzdžių sprendimą nuo paprastų iki sudėtingesnių. Visa medžiaga aiškumo dėlei bus su grafinėmis iliustracijomis. Taigi šis straipsnis yra išsamus atsakymas į klausimą, kaip rasti funkcijos diapazoną.

Apibrėžimas.

Funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinys intervale X vadinamas visų funkcijos reikšmių rinkiniu, kurio reikia, kai kartojama per visus .

Apibrėžimas.

Funkcijos y = f(x) diapazonas vadinamas visų funkcijos reikšmių rinkiniu, kurio ji paima, kai kartojama per visą x iš apibrėžimo srities.

Funkcijos diapazonas žymimas E(f) .

Funkcijos diapazonas ir funkcijos reikšmių rinkinys nėra tas pats dalykas. Šios sąvokos bus laikomos lygiavertėmis, jei intervalas X ieškant funkcijos y = f(x) reikšmių aibės sutampa su funkcijos sritimi.

Be to, nesupainiokite funkcijos diapazono su kintamuoju x, skirtu reiškiniui dešinėje lygties y=f(x) pusėje. Leidžiamų kintamojo x reikšmių sritis f(x) išraiškai yra funkcijos y=f(x) apibrėžimo sritis.

Paveiksle parodyti keli pavyzdžiai.

Funkcijų grafikai rodomi paryškintomis mėlynomis linijomis, plonos raudonos linijos yra asimptotės, raudoni taškai ir linijos Oy ašyje rodo atitinkamos funkcijos diapazoną.

Kaip matote, funkcijos diapazonas gaunamas projektuojant funkcijos grafiką į y ašį. Tai gali būti vienas skaičius (pirmasis atvejis), skaičių rinkinys (antrasis atvejis), segmentas (trečiasis atvejis), intervalas (ketvirtasis atvejis), atviras spindulys (penktasis atvejis), sąjunga (šeštasis atvejis) ir kt. .

Taigi, ką reikia padaryti norint rasti funkcijos diapazoną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo: parodysime, kaip nustatyti nuolatinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervale .

Yra žinoma, kad funkcija, kuri tęsiasi segmente, pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes. Taigi segmento pradinės funkcijos reikšmių rinkinys bus segmentas . Todėl mūsų užduotis sumažinama iki didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių intervale .

Pavyzdžiui, suraskime arcsininės funkcijos diapazoną.

Pavyzdys.

Nurodykite funkcijos y = arcsinx diapazoną.

Sprendimas.

Arsinuso apibrėžimo sritis yra atkarpa [-1; vienas]. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę šiame segmente.

Išvestinė yra teigiama visiems x iš intervalo (-1; 1) , tai yra, arcsininė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Todėl ji turi mažiausią reikšmę, kai x = -1, ir didžiausią, kai x = 1.

Gavome arcsininės funkcijos diapazoną .

Pavyzdys.

Raskite funkcijų reikšmių rinkinį segmente.

Sprendimas.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.

Apibrėžkime segmentui priklausančius ekstremumo taškus:

Apskaičiuojame pradinės funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir taškuose :

Todėl segmento funkcijos reikšmių rinkinys yra segmentas .

Dabar parodysime, kaip rasti nuolatinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervaluose (a; b) , .

Pirmiausia nustatome ekstremumo taškus, funkcijos ekstremumus, funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo intervalus tam tikrame intervale. Toliau apskaičiuojame intervalo galuose ir (arba) ribas begalybėje (tai yra, tiriame funkcijos elgseną intervalo arba begalybės ribose). Šios informacijos pakanka, kad būtų galima rasti funkcijų reikšmių rinkinį tokiais intervalais.

Pavyzdys.

Nustatykite funkcijų reikšmių rinkinį intervale (-2; 2) .

Sprendimas.

Raskime funkcijos kraštutinius taškus, patenkančius į intervalą (-2; 2) :

Taškas x = 0 yra maksimalus taškas, nes eidama per jį išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o funkcijos grafikas pereina iš didėjančio į mažėjantį.

yra atitinkamas funkcijos maksimumas.

Išsiaiškinkime funkcijos elgseną, kai x dešinėje linkęs į -2, o kai x linkęs į 2 kairėje, tai yra, rasime vienpuses ribas:

Ką mes gavome: kai argumentas pasikeičia iš -2 į nulį, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki minus ketvirtadalio (funkcijos maksimumas esant x = 0), kai argumentas pasikeičia iš nulio į 2, funkcija vertės sumažėja iki minus begalybės. Taigi intervalo (-2; 2) funkcijų reikšmių rinkinys yra .

Pavyzdys.

Nurodykite tangentinės funkcijos y = tgx verčių rinkinį intervale .

Sprendimas.

Intervalo liestinės funkcijos išvestinė yra teigiama , o tai rodo funkcijos padidėjimą. Mes tiriame funkcijos elgesį intervalo ribose:

Taigi, kai argumentas pasikeičia iš į, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki plius begalybės, tai yra, liestinių verčių rinkinys šiame intervale yra visų realiųjų skaičių rinkinys.

Pavyzdys.

Raskite natūraliojo logaritmo funkcijos diapazoną y = lnx .

Sprendimas.

Natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta teigiamoms argumento reikšmėms . Šiame intervale išvestinė yra teigiama , tai rodo jo funkcijos padidėjimą. Raskime vienpusę funkcijos ribą, nes argumentas linkęs į nulį iš dešinės, o riba kaip x linkusi į plius begalybę:

Matome, kad kai x keičiasi iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki plius begalybės. Todėl natūralaus logaritmo funkcijos diapazonas yra visa realiųjų skaičių rinkinys.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Ši funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms. Nustatykime ekstremumo taškus, taip pat funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Todėl funkcija mažėja ties , didėja ties , x = 0 yra didžiausias taškas, atitinkamą funkcijos maksimumą.

Pažvelkime į funkcijos elgseną begalybėje:

Taigi begalybėje funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie nulio.

Mes nustatėme, kad kai argumentas keičiasi iš minus begalybės į nulį (maksimalus taškas), funkcijos reikšmės padidėja nuo nulio iki devynių (iki funkcijos maksimumo), o kai x keičiasi iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės sumažėja nuo devynių iki nulio.

Pažiūrėkite į scheminį brėžinį.

Dabar aiškiai matyti, kad funkcijos diapazonas yra .

Norint rasti funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervalais, reikia panašių tyrimų. Dabar mes nenagrinėsime šių atvejų išsamiai. Mes juos pamatysime toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

Tegul funkcijos y = f(x) sritis yra kelių intervalų sąjunga. Surandant tokios funkcijos diapazoną, nustatomos kiekvieno intervalo reikšmių rinkiniai ir imamasi jų sąjungos.

Pavyzdys.

Raskite funkcijos diapazoną.

Sprendimas.

Mūsų funkcijos vardiklis neturi eiti į nulį, tai yra, .

Pirmiausia suraskime funkcijos reikšmių rinkinį atvirame spindulyje.

Funkcijos išvestinė yra neigiamas šiame intervale, tai yra, funkcija jame sumažėja.

Mes nustatėme, kad argumentui atėmus begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie vienybės. Kai x keičiasi iš minus begalybės į du, funkcijos reikšmės sumažėja nuo vienos iki minus begalybės, tai yra, nagrinėjamame intervale funkcija įgauna reikšmių rinkinį. Vienybės neįtraukiame, nes funkcijos reikšmės jos nepasiekia, o tik asimptotiškai linksta prie minus begalybės.

Panašiai elgiamės su atvira sija.

Funkcija taip pat mažėja šiuo intervalu.

Funkcijų reikšmių rinkinys šiame intervale yra rinkinys .

Taigi, norimas funkcijų reikšmių diapazonas yra rinkinių ir sąjunga.

Grafinė iliustracija.

Atskirai turėtume pasilikti ties periodinėmis funkcijomis. Periodinių funkcijų diapazonas sutampa su verčių rinkiniu intervale, atitinkančiame šios funkcijos laikotarpį.

Pavyzdys.

Raskite sinusinės funkcijos y = sinx diapazoną.

Sprendimas.

Ši funkcija yra periodinė su dviejų pi periodu. Paimkime segmentą ir apibrėžkime jame esančių reikšmių rinkinį.

Segmentą sudaro du ekstremumo taškai ir .

Šiuose taškuose ir atkarpos ribose apskaičiuojame funkcijos reikšmes, pasirenkame mažiausią ir didžiausią reikšmes:

Vadinasi, .

Pavyzdys.

Raskite funkcijos diapazoną .

Sprendimas.

Mes žinome, kad arckosino diapazonas yra segmentas nuo nulio iki pi, tai yra, arba kitame įraše. Funkcija galima gauti iš arccosx perkeliant ir ištempiant išilgai x ašies. Tokios transformacijos neturi įtakos diapazonui, todėl . Funkcija ateina iš ištempti tris kartus išilgai Oy ašies, tai yra, . Ir paskutinis transformacijų etapas yra poslinkis keturiais vienetais žemyn išilgai y ašies. Tai veda prie dvigubos nelygybės

Taigi norimas verčių diapazonas yra .

Pateikiame kito pavyzdžio sprendimą, bet be paaiškinimų (jie nebūtini, nes yra visiškai panašūs).

Pavyzdys.

Apibrėžkite funkcijų diapazoną .

Sprendimas.

Formoje įrašome pradinę funkciją . Eksponentinės funkcijos diapazonas yra intervalas . T.y, . Tada

Vadinasi, .

Norėdami užbaigti vaizdą, turėtume pakalbėti apie funkcijos diapazono, kuris nėra tęstinis apibrėžimo srityje, radimą. Šiuo atveju apibrėžimo sritis lūžio taškais padalijama į intervalus ir kiekviename iš jų randame reikšmių rinkinius. Sujungę gautus reikšmių rinkinius, gauname pradinės funkcijos reikšmių diapazoną. Rekomenduojame prisiminti 3 kairėje, funkcijos reikšmės linkusios į minus vieną, o kai x linkęs į 3 dešinėje, funkcijos reikšmės linkusios didinti begalybę.

Taigi funkcijos apibrėžimo sritis yra padalinta į tris intervalus.

Intervale turime funkciją . Nuo tada

Taigi pradinės funkcijos reikšmių rinkinys intervale yra [-6;2] .

Pusės intervale turime pastovią funkciją y = -1 . Tai reiškia, kad pradinės funkcijos reikšmių rinkinys intervale susideda iš vieno elemento .

Funkcija apibrėžta visoms galiojančioms argumento reikšmėms. Išsiaiškinkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Išvestinė išnyksta ties x=-1 ir x=3 . Šiuos taškus pažymime realioje ašyje ir gautuose intervaluose nustatome išvestinės ženklus.

Funkcija sumažėja , padidėja [-1; 3] , x = -1 mažiausias taškas, x = 3 maksimalus taškas.

Apskaičiuojame atitinkamas minimalias ir maksimalias funkcijas:

Patikrinkime funkcijos elgseną begalybėje:

Antroji riba buvo skaičiuojama nuo .

Padarykime scheminį brėžinį.

Kai argumentas keičiasi iš minus begalybės į -1, funkcijos reikšmės sumažėja nuo plius begalybės iki -2e, kai argumentas keičiasi nuo -1 iki 3, funkcijos reikšmės padidėja nuo -2e iki , kai argumentas keičiasi nuo Nuo 3 iki begalybės, funkcijos reikšmės mažėja nuo iki nulio, tačiau jos nepasiekia nulio.

Dažnai, sprendžiant problemas, turime ieškoti funkcijos reikšmių rinkinio apibrėžimo srityje arba segmente. Pavyzdžiui, tai reikėtų daryti sprendžiant įvairaus tipo nelygybes, vertinant išraiškas ir pan.

Šioje medžiagoje papasakosime, koks yra funkcijos diapazonas, pateiksime pagrindinius metodus, kuriais galima ją apskaičiuoti, ir analizuosime įvairaus sudėtingumo problemas. Aiškumo dėlei atskiros pozicijos iliustruojamos grafikais. Perskaitę šį straipsnį visapusiškai suprasite funkcijos apimtį.

Pradėkime nuo pagrindinių apibrėžimų.

1 apibrėžimas

Funkcijos y = f (x) reikšmių rinkinys tam tikrame intervale x yra visų reikšmių, kurias ši funkcija įgauna kartodama per visas x ∈ X reikšmes, rinkinys.

2 apibrėžimas

Funkcijos y = f (x) diapazonas yra visų jos reikšmių, kurias ji gali gauti kartodama reikšmes x iš diapazono x ∈ (f) , rinkinys.

Kai kurios funkcijos diapazonas paprastai žymimas E (f) .

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos reikšmių rinkinio samprata ne visada sutampa su jos reikšmių sritimi. Šios sąvokos bus lygiavertės tik tuo atveju, jei x reikšmių diapazonas ieškant reikšmių rinkinio sutaps su funkcijos sritimi.

Taip pat svarbu atskirti kintamojo x diapazoną ir diapazoną, kai išraiška yra dešinėje y = f (x) . Priimtinų reikšmių x sritis išraiškai f (x) bus šios funkcijos apibrėžimo sritis.

Žemiau yra iliustracija, kurioje pateikiami keli pavyzdžiai. Mėlynos linijos yra funkcijų grafikai, raudonos yra asimptotės, raudoni taškai ir linijos y ašyje yra funkcijos diapazonai.

Akivaizdu, kad funkcijos diapazoną galima gauti projektuojant funkcijos grafiką į ašį O y . Tuo pačiu metu tai gali būti vienas skaičius arba skaičių rinkinys, segmentas, intervalas, atviras spindulys, skaitinių intervalų sąjunga ir kt.

Apsvarstykite pagrindinius būdus, kaip rasti funkcijos diapazoną.

Pradėkime apibrėždami ištisinės funkcijos y = f (x) reikšmių rinkinį tam tikrame segmente, pažymėtame [ a ; b]. Žinome, kad funkcija, kuri yra ištisinė tam tikrame intervale, jame pasiekia savo minimumą ir maksimumą, tai yra, maksimumą m a x x ∈ a ; b f (x) ir mažiausia reikšmė m i n x ∈ a ; b f (x) . Taigi, gauname atkarpą m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , kuriame bus pradinės funkcijos reikšmių rinkiniai. Tada tereikia rasti nurodytą minimalų ir maksimalų taškų šiame segmente.

Paimkime problemą, kurioje reikia nustatyti arcsinuso verčių diapazoną.

1 pavyzdys

Būklė: raskite diapazoną y = a r c sin x .

Sprendimas

Bendruoju atveju arcsinuso apibrėžimo sritis yra intervale [ - 1 ; vienas]. Turime nustatyti didžiausią ir mažiausią nurodytos funkcijos reikšmę.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Žinome, kad funkcijos išvestinė bus teigiama visoms x reikšmėms, esančioms intervale [-1; 1 ] , tai yra, visoje apibrėžimo srityje arcsininė funkcija padidės. Tai reiškia, kad ji įgis mažiausią reikšmę, kai x yra lygi – 1, o didžiausia – kai x lygi 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Taigi arcsininės funkcijos diapazonas bus lygus E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Atsakymas: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

2 pavyzdys

Būklė: duotame intervale apskaičiuokite diapazoną y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 [ 1 ; 4].

Sprendimas

Viskas, ką turime padaryti, tai apskaičiuoti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale.

Norint nustatyti kraštutinius taškus, būtina atlikti šiuos skaičiavimus:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 ir l ir 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Dabar suraskime duotosios funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir taškuose x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 ≉ + 165 33 512 2 . 08 m. 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 m. (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Tai reiškia, kad funkcijų reikšmių rinkinį nustatys segmentas 117 - 165 33 512 ; 32 .

Atsakymas: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Pereikime prie tolydžios funkcijos y = f (x) reikšmių rinkinio paieškos intervaluose (a ; b) ir a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Pradėkime nuo didžiausio ir mažiausio taškų, taip pat padidėjimo ir mažėjimo intervalų nustatymo tam tikrame intervale. Po to turėsime apskaičiuoti vienpuses ribas intervalo galuose ir (arba) ribas begalybėje. Kitaip tariant, turime nustatyti funkcijos elgesį tam tikromis sąlygomis. Tam turime visus reikiamus duomenis.

3 pavyzdys

Būklė: apskaičiuokite funkcijos y = 1 x 2 - 4 diapazoną intervale (- 2 ; 2) .

Sprendimas

Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame intervale

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Gavome maksimalią reikšmę, lygią 0 , nes būtent šioje vietoje pasikeičia funkcijos ženklas ir grafikas pradeda mažėti. Žiūrėti iliustraciją:

Tai yra, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bus didžiausia funkcijos reikšmė.

Dabar apibrėžkime funkcijos elgseną x, kuri linkusi būti - 2 dešinėje ir + 2 kairėje pusėje. Kitaip tariant, randame vienpuses ribas:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Gavome, kad funkcijos reikšmės padidės nuo minus begalybės iki -1 4, kai argumentas pasikeis nuo -2 iki 0. Ir kai argumentas pasikeičia nuo 0 iki 2, funkcijos reikšmės mažėja link minus begalybės. Todėl nurodytos funkcijos reikšmių rinkinys mums reikalingame intervale bus (- ∞ ; - 1 4 ] .

Atsakymas: (- ∞ ; - 1 4 ] .

4 pavyzdys

Būklė: nurodykite dydžių rinkinį y = t g x duotame intervale - π 2 ; π 2 .

Sprendimas

Žinome, kad apskritai liestinės išvestinė in - π 2; π 2 bus teigiamas, tai yra, funkcija padidės. Dabar apibrėžkime, kaip funkcija elgiasi nurodytose ribose:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Gavome funkcijos reikšmių padidėjimą nuo minus begalybės iki plius begalybės, kai argumentas pasikeičia iš -π 2 į π 2, ir galime sakyti, kad šios funkcijos sprendinių aibė bus visų realiųjų aibė. numeriai.

Atsakymas: - ∞ ; + ∞ .

5 pavyzdys

Būklė: nustatykite, koks yra natūraliosios logaritmo funkcijos diapazonas y = ln x.

Sprendimas

Žinome, kad ši funkcija yra apibrėžta teigiamoms argumento D (y) = 0 reikšmėms; +∞ . Išvestinė duotame intervale bus teigiama: y " = ln x " = 1 x . Tai reiškia, kad jo funkcija didėja. Toliau turime apibrėžti vienpusę ribą tuo atveju, kai argumentas eina į 0 (dešinėje pusėje) ir kai x eina į begalybę:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Mes nustatėme, kad funkcijos reikšmės padidės nuo minus begalybės iki plius begalybės, kai x reikšmės pasikeis iš nulio į pliusinę begalybę. Tai reiškia, kad visų realiųjų skaičių aibė yra natūraliojo logaritmo funkcijos diapazonas.

Atsakymas: visų realiųjų skaičių aibė yra natūraliojo logaritmo funkcijos diapazonas.

6 pavyzdys

Būklė: nustatykite, koks yra funkcijos y = 9 x 2 + 1 diapazonas.

Sprendimas

Ši funkcija apibrėžiama, jei x yra tikrasis skaičius. Apskaičiuokime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes, taip pat jos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Dėl to nustatėme, kad ši funkcija sumažės, jei x ≥ 0; padidinti, jei x ≤ 0 ; jo maksimalus taškas y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, kai kintamasis yra 0 .

Pažiūrėkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Iš įrašo matyti, kad funkcijos reikšmės šiuo atveju asimptotiškai artėja prie 0.

Apibendrinant: kai argumentas pasikeičia iš minus begalybės į nulį, tada funkcijos reikšmės padidėja nuo 0 iki 9. Kai argumentų reikšmės pereina nuo 0 iki plius begalybės, atitinkamos funkcijos reikšmės sumažės nuo 9 iki 0. Mes tai pavaizdavome paveikslėlyje:

Tai rodo, kad funkcijos diapazonas bus intervalas E (y) = (0 ; 9 ]

Atsakymas: E (y) = (0 ; 9 ]

Jei reikia nustatyti funkcijos y = f (x) reikšmių rinkinį intervaluose [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , tada reikės atlikti lygiai tokius pačius tyrimus Šių atvejų dar neanalizuosime: su jais susidursime vėliau problemose .

Bet ką daryti, jei tam tikros funkcijos sritis yra kelių intervalų sąjunga? Tada turime apskaičiuoti kiekvieno iš šių intervalų verčių rinkinius ir juos sujungti.

7 pavyzdys

Būklė: nustatyti, koks bus y = x x - 2 diapazonas.

Sprendimas

Kadangi funkcijos vardiklis neturi būti paverstas 0 , tai D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞ .

Pradėkime apibrėždami funkcijų reikšmių rinkinį pirmame segmente - ∞ ; 2, kuri yra atvira sija. Žinome, kad jame esanti funkcija sumažės, tai yra šios funkcijos išvestinė bus neigiama.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Tada tais atvejais, kai argumentas keičiasi link minus begalybės, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie 1. Jei x reikšmės pasikeis nuo minus begalybės iki 2, tai reikšmės sumažės nuo 1 iki minus begalybės, t.y. funkcija šiame segmente paims reikšmes iš intervalo - ∞ ; vienas . Iš savo samprotavimo neįtraukiame vienybės, nes funkcijos reikšmės jos nepasiekia, o tik asimptotiškai artėja prie jos.

Atvirai sijai 2 ; + ∞ atliekame lygiai tuos pačius veiksmus. Funkcija jame taip pat mažėja:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Funkcijos reikšmės šiame segmente nustatomos pagal aibę 1 ; +∞ . Tai reiškia, kad mums reikalingoje sąlygoje nurodytos funkcijos reikšmių diapazonas bus aibių sąjunga - ∞; 1 ir 1; +∞ .

Atsakymas: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1; +∞ .

Tai galima pamatyti diagramoje:

Ypatingas atvejis yra periodinės funkcijos. Jų vertės sritis sutampa su verčių rinkiniu intervale, kuris atitinka šios funkcijos laikotarpį.

8 pavyzdys

Būklė: nustatyti sinuso y = sin x diapazoną.

Sprendimas

Sinusas reiškia periodinę funkciją, o jos periodas yra 2 pi. Imame atkarpą 0 ; 2 π ir pažiūrėkite, kokia bus reikšmių rinkinys.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Per 0; 2 π funkcija turės kraštutinius taškus π 2 ir x = 3 π 2 . Paskaičiuokime, kam bus lygios funkcijos reikšmės jose, taip pat segmento ribose, po kurių pasirenkame didžiausią ir mažiausią reikšmę.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Atsakymas: E (sinx) = -1; vienas .

Jei jums reikia žinoti tokių funkcijų diapazonus kaip eksponentinė, eksponentinė, logaritminė, trigonometrinė, atvirkštinė trigonometrinė, patariame dar kartą perskaityti straipsnį apie pagrindines elementarias funkcijas. Čia pateikta teorija leidžia patikrinti ten nurodytas vertes. Pageidautina jų išmokti, nes dažnai jų reikia sprendžiant problemas. Jei žinote pagrindinių funkcijų diapazonus, galite lengvai rasti funkcijų diapazonus, kurie gaunami iš elementarių, naudodami geometrinę transformaciją.

9 pavyzdys

Būklė: nustatykite diapazoną y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Sprendimas

Žinome, kad atkarpa nuo 0 iki pi yra atvirkštinio kosinuso diapazonas. Kitaip tariant, E (a r c cos x) = 0 ; π arba 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciją a r c cos x 3 + 5 π 7 galime gauti iš lanko kosinuso, paslinkę ir ištempę ją išilgai O x ašies, bet tokios transformacijos mums nieko neduos. Vadinasi, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkciją 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 galima gauti iš atvirkštinio kosinuso a r c cos x 3 + 5 π 7 tempiant išilgai y ašies, t.y. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Galutinė transformacija yra poslinkis išilgai O y ašies 4 reikšmėmis. Dėl to gauname dvigubą nelygybę:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 lankai x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Gavome, kad mums reikalingas diapazonas bus lygus E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Atsakymas: E (y) = -4; 3 pi - 4 .

Parašykime dar vieną pavyzdį be paaiškinimų, nes jis visiškai panašus į ankstesnįjį.

10 pavyzdys

Būklė: apskaičiuokite, koks bus funkcijos y = 2 2 x - 1 + 3 diapazonas.

Sprendimas

Perrašykime sąlygoje pateiktą funkciją taip, kad y = 2 · (2 ​​× - 1) - 1 2 + 3 . Laipsnio funkcijai y = x-1 2 diapazonas bus apibrėžtas intervale 0; + ∞ , t.y. x - 1 2 > 0 . Tokiu atveju:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Taigi E (y) = 3 ; +∞ .

Atsakymas: E (y) = 3; +∞ .

Dabar pažiūrėkime, kaip rasti funkcijos diapazoną, kuris nėra tęstinis. Norėdami tai padaryti, turime padalyti visą sritį į intervalus ir rasti kiekvieno iš jų verčių rinkinius, o tada sujungti tai, ką turime. Norėdami tai geriau suprasti, patariame peržiūrėti pagrindinius funkcijų lūžio taškų tipus.

11 pavyzdys

Būklė: duota funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Apskaičiuokite jo diapazoną.

Sprendimas

Ši funkcija apibrėžta visoms x reikšmėms. Išanalizuokime jo tęstinumą su argumento reikšmėmis, lygiomis - 3 ir 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Turime nepataisomą pirmosios rūšies nenuoseklumą su argumento verte - 3 . Kai artėsite prie jos, funkcijos reikšmės linkusios į - 2 sin 3 2 - 4 , o kai x linkęs į - 3 dešinėje pusėje, reikšmės bus link - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

3 taške turime nepašalinamą antrojo tipo pertrūkį. Kai funkcija linkusi į ją, jos reikšmės artėja prie - 1, o linkusios į tą patį tašką dešinėje - iki minus begalybės.

Tai reiškia, kad visa šios funkcijos apibrėžimo sritis yra padalinta į 3 intervalus (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

Pirmajame iš jų gavome funkciją y \u003d 2 sin x 2 - 4. Kadangi -1 ≤ sin x ≤ 1 , gauname:

1 ≤ nuodėmė x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Tai reiškia, kad šiame intervale (- ∞ ; - 3 ] funkcijos reikšmių rinkinys yra [ - 6 ; 2 ] .

Pusės intervale (- 3 ; 3 ] gauname pastovią funkciją y = - 1 . Vadinasi, visas jos reikšmių rinkinys šiuo atveju bus sumažintas iki vieno skaičiaus - 1 .

Antrame intervale 3; + ∞ turime funkciją y = 1 x - 3 . Jis mažėja, nes y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Taigi pradinės funkcijos reikšmių rinkinys, kai x > 3, yra rinkinys 0 ; +∞ . Dabar sujungkime rezultatus: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

Atsakymas: E (y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

Sprendimas parodytas diagramoje:

12 pavyzdys

Sąlyga: yra funkcija y = x 2 - 3 e x . Nustatykite jo reikšmių rinkinį.

Sprendimas

Jis apibrėžiamas visoms argumentų reikšmėms, kurios yra tikrieji skaičiai. Nustatykime, kokiais intervalais ši funkcija didės, o kokiais mažės:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Žinome, kad išvestinė bus 0, jei x = - 1 ir x = 3 . Šiuos du taškus pastatome ant ašies ir išsiaiškiname, kokius ženklus išvestinė turės gautuose intervaluose.

Funkcija sumažės (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) ir padidės [ - 1 ; 3]. Minimalus taškas bus -1, maksimalus -3.

Dabar suraskime atitinkamas funkcijos reikšmes:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Pažvelkime į funkcijos elgseną begalybėje:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Antrajai ribai apskaičiuoti buvo naudojama L'Hopital taisyklė. Pavaizduokime savo sprendimą grafike.

Tai rodo, kad funkcijos reikšmės sumažės nuo pliusinės begalybės iki -2e, kai argumentas pasikeis iš minus begalybės į -1. Jei jis pasikeis nuo 3 iki plius begalybės, tada reikšmės sumažės nuo 6 e - 3 iki 0, bet 0 nebus pasiektas.

Taigi, E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Atsakymas: E (y) = [-2e; +∞)

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Funkcijos sąvoka ir viskas, kas su ja susijusi, tradiciškai yra sudėtinga, nevisiškai suprantama. Ypatingas kliūtis tiriant funkciją ir ruošiantis egzaminui yra apibrėžimo sritis ir funkcijos reikšmių (pakeitimų) diapazonas.
Dažnai mokiniai nemato skirtumo tarp funkcijos srities ir jos reikšmių srities.
Ir jei studentams pavyksta įvaldyti funkcijos apibrėžimo srities paieškos užduotis, tai užduotys surasti funkcijos reikšmių rinkinį jiems sukelia didelių sunkumų.
Šio straipsnio tikslas: susipažinti su funkcijos reikšmių radimo metodais.
Svarstant šią temą, buvo išstudijuota teorinė medžiaga, apsvarstyti funkcijų reikšmių aibių suradimo problemų sprendimo būdai, parinkta didaktinė medžiaga savarankiškam studentų darbui.
Šiuo straipsniu mokytojas gali naudotis ruošdamas mokinius baigiamiesiems ir stojamiesiems egzaminams, nagrinėdamas temą „Funkcijos apimtis“ pasirenkamosiose matematikos kursų pamokose.

I. Funkcijos apimties nustatymas.

Funkcijos y = f(x) reikšmių E(y) sritis (aibė) yra aibė tokių skaičių y 0 , kurių kiekvienam yra toks skaičius x 0, kad: f(x 0) = y 0 .

Prisiminkime pagrindinių elementariųjų funkcijų diapazonus.

Apsvarstykite lentelę.

Funkcija	Daug vertybių
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad bet kurio lyginio laipsnio daugianario diapazonas yra intervalas , kur n yra didžiausia šio daugianario reikšmė.

II. Funkcijos savybės, naudojamos ieškant funkcijos diapazono

Norint sėkmingai rasti funkcijos reikšmių rinkinį, reikia gerai išmanyti pagrindinių elementariųjų funkcijų savybes, ypač jų apibrėžimo sritis, reikšmių diapazonus ir monotoniškumo pobūdį. Pateiksime ištisinių, monotoniškų diferencijuojamų funkcijų savybes, kurios dažniausiai naudojamos ieškant funkcijų reikšmių aibės.

Savybės 2 ir 3 paprastai naudojamos kartu su elementariosios funkcijos savybe būti tolydžios savo srityje. Šiuo atveju paprasčiausias ir trumpiausias funkcijos reikšmių rinkinio suradimo problemos sprendimas pasiekiamas remiantis 1 savybe, jei galima paprastais metodais nustatyti funkcijos monotoniškumą. Uždavinio sprendimas dar labiau supaprastinamas, jei funkcija, be to, yra lyginė ar nelyginė, periodinė ir pan. Taigi, sprendžiant funkcijų reikšmių rinkinių radimo problemas, reikia patikrinti ir prireikus naudoti šias funkcijos savybes:

• tęstinumas;
• monotoniškas;
• diferencijavimas;
• lyginis, nelyginis, periodinis ir kt.

Paprastos užduotys ieškant funkcijų reikšmių rinkinio dažniausiai yra orientuotos:

a) paprasčiausių įverčių ir apribojimų naudojimas: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 ir tt);

b) norėdami pasirinkti visą kvadratą: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) trigonometrinių išraiškų transformacijai: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) naudojant funkcijos monotoniškumą x 1/3 + 2 x-1 padidėja R.

III. Apsvarstykite būdus, kaip rasti funkcijų diapazonus.

a) nuoseklus sudėtingų funkcijų argumentų reikšmių radimas;
b) vertinimo metodas;
c) naudojant funkcijos tęstinumo ir monotoniškumo savybes;
d) išvestinės priemonės naudojimas;
e) didžiausių ir mažiausių funkcijos reikšmių naudojimas;
f) grafinis metodas;
g) parametrų įvedimo būdas;
h) atvirkštinės funkcijos metodas.

Šių metodų esmę atskleisime konkrečiais pavyzdžiais.

1 pavyzdys: raskite diapazoną E(y) funkcijos y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Išspręskime šį pavyzdį nuosekliai surasdami sudėtingų funkcijų argumentų reikšmes. Pasirinkę visą kvadratą po logaritmu, funkciją transformuojame

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Ir nuosekliai suraskite jos sudėtingų argumentų verčių rinkinius:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Pažymėti t= 5 – (3 x +1) 2 , kur -∞≤ t≤4. Taigi, problema sumažinama iki funkcijos y = log 0,5 t reikšmių rinkinio radimo ant spindulio (-∞;4) . Kadangi funkcija y = log 0,5 t apibrėžiama tik ties, tai jos reikšmių rinkinys spindulyje (-∞;4) sutampa su funkcijos reikšmių rinkiniu intervale (0;4), kuris yra spindulio (-∞;4) sankirta su logaritminės funkcijos apibrėžimo sritimi (0;+∞). Intervale (0;4) ši funkcija yra nuolatinė ir mažėjanti. At t> 0, jis linkęs į +∞ ir kada t = 4 įgyja reikšmę -2, taigi E(y) =(-2, +∞).

2 pavyzdys: Raskite funkcijos diapazoną

y = cos7x + 5cosx

Išspręskime šį pavyzdį įverčių metodu, kurio esmė – įvertinti ištisinę funkciją iš apačios ir iš viršaus ir įrodyti, kad funkcija pasiekia apatinę ir viršutinę įverčių ribas. Šiuo atveju funkcijos reikšmių rinkinio sutapimas su intervalu nuo apatinės įverčio ribos iki viršutinės priklauso nuo funkcijos tęstinumo ir kitų jai skirtų reikšmių nebuvimo.

Iš nelygybių -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 gauname įvertį -6≤y?6. Jei x = p ir x = 0, funkcija įgauna reikšmes -6 ir 6, t.y. pasiekia apatinę ir viršutinę ribas. Kaip tiesinis ištisinių funkcijų cos7x ir cosx derinys, funkcija y yra ištisinė visoje skaičiaus ašyje, todėl pagal ištisinės funkcijos savybę ji ima visas reikšmes nuo -6 iki 6 imtinai ir tik jas, nes , dėl nelygybių -6≤y?6, kitos reikšmės ji neįmanoma. Vadinasi, E(y)= [-6;6].

3 pavyzdys: raskite diapazoną E(f) funkcijas f(x)= cos2x + 2cosx.

Naudodami dvigubo kampo kosinuso formulę transformuojame funkciją f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 ir pažymėkite t= cosx. Tada f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Kadangi E (cosx) =

[-1;1], tada funkcijos diapazonas f(x) sutampa su funkcijos g reikšmių rinkiniu (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 atkarpoje [-1; 1], kurią rasime grafiniu metodu. Nubraižę funkciją y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 intervale [-1; 1], randame E(f) = [-1,5; 3].

Pastaba - daugelis parametro problemų yra sumažintos iki funkcijos reikšmių rinkinio, daugiausia susijusių su lygties ir nelygybių išsprendžiamumu ir sprendinių skaičiumi, paieška. Pavyzdžiui, lygtis f(x)= a galima išspręsti tada ir tik tada

aE(f) Panašiai ir lygtis f(x)= a turi bent vieną šaknį, esančią kokiame nors intervale X, arba neturi šaknies šiame intervale tada ir tik tada, jei a priklauso arba nepriklauso funkcijos reikšmių rinkiniui f(x) intervale X. Taip pat tiriame naudodamiesi funkcijos ir nelygybių reikšmių rinkiniu f(x)≠ a, f(x)> a ir kt. Visų pirma, f(x)≠ ir visoms leistinoms x reikšmėms, jei E(f)

4 pavyzdys. Kokioms parametro a reikšmėms lygtis (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) atkarpoje [-4;-1] turi vieną šaknį.

Parašykime lygtį forma (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Paskutinė lygtis turi bent vieną šaknį segmente [-4;-1] tada ir tik tada, jei a priklauso funkcijos reikšmių rinkiniui f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) atkarpoje [-4;-1]. Raskime šią aibę naudodami funkcijos tęstinumo ir monotoniškumo savybę.

Atkarpoje [-4;-1] funkcija y = xІ + 4 yra ištisinė, mažėjanti ir teigiama, todėl funkcija g(x) = 1/(x 2 + 4) yra tęstinis ir didėja šiame segmente, nes dalijant iš teigiamos funkcijos, funkcijos monotoniškumo pobūdis pasikeičia į priešingą. Funkcija h(x) =(x + 5) 1/2 yra tęstinis ir didėjantis savo srityje D(h) =[-5;+∞) ir ypač intervale [-4;-1], kur jis taip pat yra teigiamas. Tada funkcija f(x)=g(x) h(x), kaip dviejų tęstinių, didėjančių ir teigiamų funkcijų sandauga, taip pat yra tęstinis ir didėja segmente [-4;-1], todėl jo reikšmių rinkinys [-4;-1] yra segmentas [ f(-4); f(-1)] = . Todėl lygtis turi atkarpos [-4;-1] sprendinį ir vienintelį (pagal nuolatinės monotoninės funkcijos savybę), kai 0,05 ≤ a ≤ 0,4

komentuoti. Lygties išsprendžiamumas f(x) = a tam tikrame intervale X yra lygus priklausymui parametro reikšmėms a funkcijų reikšmių rinkinys f(x) ant X. Todėl funkcijos reikšmių rinkinys f(x) intervale X sutampa su parametrų reikšmių rinkiniu a, kuriai lygtis f(x) = a turi bent vieną šaknį intervale X. Visų pirma, reikšmių diapazonas E(f) funkcijas f(x) atitinka parametrų reikšmių rinkinį a, kuriai lygtis f(x) = a turi bent vieną šaknį.

5 pavyzdys: raskite diapazoną E(f) funkcijas

Išspręskime pavyzdį įvesdami parametrą, pagal kurį E(f) atitinka parametrų reikšmių rinkinį a, kuriai lygtis

turi bent vieną šaknį.

Kai a=2, lygtis yra tiesinė - 4x - 5 = 0 su nenuliniu koeficientu nežinomam x, todėl turi sprendinį. Jei a≠2 lygtis yra kvadratinė, todėl ją galima išspręsti tada ir tik tada, kai jos diskriminantas

Kadangi taškas a = 2 priklauso atkarpai

tada norimą parametrų reikšmių rinkinį a, taigi ir verčių diapazonas E(f) bus visas segmentas.

Kaip tiesioginis parametro įvedimo metodo plėtojimas ieškant funkcijos reikšmių rinkinio, galime apsvarstyti atvirkštinės funkcijos metodą, kurį norint rasti reikia išspręsti x lygtį. f(x)=y, laikant y parametru. Jei ši lygtis turi unikalų sprendimą x=g(y), tada diapazonas E(f) originali funkcija f(x) sutampa su apibrėžimo sritimi D(g) atvirkštinė funkcija g(y). Jei lygtis f(x)=y turi daug sprendimų x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) ir tt, tada E(f) yra lygus funkcijų apibrėžimų apimčių sąjungai g 1 (y), g 2 (y) ir tt

6 pavyzdys: raskite diapazoną E(y) funkcijos y = 5 2/(1-3x).

Iš lygties

Raskite atvirkštinę funkciją x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) ir jos sritį D(x):

Kadangi x lygtis turi unikalų sprendimą, tada

E(y) = D(x) = (0; 1) (25;+∞ ).

Jei funkcijos domenas susideda iš kelių intervalų arba funkcija skirtinguose intervaluose pateikiama skirtingomis formulėmis, tada norint rasti funkcijos sritį, reikia rasti kiekvieno intervalo funkcijos reikšmių rinkinius ir paimti jų sąjunga.

7 pavyzdys: raskite diapazonus f(x) ir f(f(x)), kur

f(x) ant spindulio (-∞;1], kur jis sutampa su išraiška 4 x + 9 4 -x + 3. Pažymėkite t = 4 x. Tada f(x) = t + 9/t + 3, kur 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) ant spindulio (-∞;1] sutampa su funkcijos reikšmių rinkiniu g(t) = t + 9/t + 3, intervale (0;4]), kurį randame naudodami išvestinę g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Ant intervalo (0;4] išvestinė g'(t) yra apibrėžtas ir išnyksta ten t = 3. 0 val<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) mažėja, o intervale (3;4) didėja, išlikdamas nenutrūkstamas visame intervale (0;4), todėl g (3)= 9 - mažiausia šios funkcijos reikšmė intervale (0; 4], o didžiausia jos reikšmė neegzistuoja, todėl kai t→0 teisinga funkcija g(t)→+∞. Tada pagal ištisinės funkcijos savybę funkcijos reikšmių rinkinys g(t) intervale (0;4]), taigi ir reikšmių aibėje f(x) ant (-∞;-1] bus spindulys .

Dabar, sujungus intervalus – funkcijų reikšmių rinkinius f(f(x)), žymi t = f(x). Tada f(f(x)) = f(t), kur t funkcija f(t)= 2cos ( x-1) 1/2+ 7 ir vėl paimamos visos reikšmės nuo 5 iki 9 imtinai, t.y. diapazonas E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Panašiai, nurodant z = f(f(x)), galite rasti asortimentą E(f3) funkcijas f(f(f(x))) = f(z), kur 5 ≤ z ≤ 9 ir kt. Įsitikinti, kad E(f 3) = .

Universaliausias būdas rasti funkcijos reikšmių rinkinį yra naudoti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes tam tikrame intervale.

8 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms R nelygybė 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x galioja visiems -1 ≤ x< 2.

Žymintys t = 2 x, rašome nelygybę kaip p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Kaip t = 2 x yra nuolat didėjanti funkcija R, tada -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R skiriasi nuo funkcijų reikšmių f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t esant 0,5 ≤ t< 4.

Pirmiausia suraskime funkcijos reikšmių rinkinį f(t) intervale, kur jis visur turi išvestinę f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Vadinasi, f(t) yra diferencijuojamas, todėl tęsiasi segmente . Iš lygties f'(t) = 0 rasti kritinius funkcijos taškus t = 1/3, t = 1, iš kurių pirmasis nepriklauso segmentui , o antrasis priklauso jam. Kaip f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, tada pagal diferencijuojamos funkcijos savybę 0 yra mažiausia, o 36 yra didžiausia funkcijos reikšmė f(t) segmente. Tada f(t), kaip ištisinė funkcija, segmente įgauna visas reikšmes nuo 0 iki 36 imtinai, o vertė 36 – tik tada, kai t=4, taigi už 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }