Mažiausias bendrasis skaičiaus kartotinis 2. Kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, bet dviem ar daugiau skaičių
Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį?
Kaip rasti NOC
Čia yra vaizdo įrašas, kuriame bus parodyti du būdai, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Praktikuodami naudodami pirmąjį iš siūlomų metodų, galite geriau suprasti, kas yra rečiausias kartotinis.
- Kiekvieną skaičių pavaizduojame kaip jo pirminių veiksnių sandaugą:
- Užrašome visų pirminių veiksnių galias:
- Parenkame visus pirminius daliklius (daugiklius) su didžiausiais laipsniais, juos padauginame ir randame LCM:
- Pirmas žingsnis yra išskaidyti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.
- Išrašome veiksnius, kurie yra įtraukti į skaičiaus 30 išplėtimą. Tai yra 2 x 3 x 5.
- Dabar reikia juos padauginti iš trūkstamo koeficiento, kurį turime skaidydami 42, ir tai yra 7. Gauname 2 x 3 x 5 x 7.
- Mes randame, kas yra lygi 2 x 3 x 5 x 7, ir gauname 210.
- Abu skaičius išskaidome į pirminius koeficientus: 8=2*2*2 ir 12=3*2*2
- Vieno iš skaičių sumažiname tuos pačius daugiklius. Mūsų atveju 2 * 2 sutampa, sumažiname juos iki 12, tada 12 turės vieną koeficientą: 3.
- Raskite visų likusių faktorių sandaugą: 2*2*2*3=24
Būtina rasti kiekvieną iš dviejų skaičių, kurių randame mažiausią bendrąjį kartotinį, koeficientą, o tada koeficientus, kurie sutapo su pirmuoju ir antruoju skaičiais, padauginti vienas iš kito. Produkto rezultatas bus norimas kartotinis.
Pavyzdžiui, turime skaičius 3 ir 5 ir turime rasti LCM (mažiausią bendrą kartotinį). JAV turi būti padauginta ir trys ir penki visiems skaičiams, prasidedantiems nuo 1 2 3 ... ir taip toliau, kol pamatysime tas pats numerisČia ir ten.
Padauginame tris ir gauname: 3, 6, 9, 12, 15
Padauginkite penkis ir gaukite: 5, 10, 15
Pirminio faktorizavimo metodas yra pats klasikinis, norint rasti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį (LCM). Šis metodas aiškiai ir paprastai parodytas šiame vaizdo įraše:
Sudėti, dauginti, padalyti, sumažinti iki bendro vardiklio ir kt aritmetinės operacijos labai jaudinanti veikla, ypač žavisi visą lapą užimantys pavyzdžiai.
Taigi raskite bendrą dviejų skaičių kartotinį, kuris bus mažiausias skaičius, iš kurio dalijasi du skaičiai. Noriu pastebėti, kad norint rasti tai, ko ieškote, nebūtina ateityje griebtis formulių, jei galite mintyse skaičiuoti (ir tai galima išmokyti), tada jūsų galvoje iškyla patys skaičiai ir tada trupmenos spragteli kaip riešutai.
Pirmiausia sužinome, kad galime padauginti du skaičius vienas iš kito, o tada sumažinti šį skaičių ir padalyti pakaitomis iš šių dviejų skaičių, taip rasime mažiausią kartotinį.
Pavyzdžiui, du skaičiai 15 ir 6. Padauginame ir gauname 90. Tai aišku daugiau numerio. Be to, 15 dalijasi iš 3, o 6 dalijasi iš 3, tai reiškia, kad mes taip pat dalijame 90 iš 3. Gauname 30. Bandome padalinti 30 iš 15, tai yra 2. O 30 dalijasi 6 yra 5. Kadangi 2 yra riba, pasirodo, kad mažiausias skaičių 15 ir 6 kartotinis bus 30.
Su daugiau skaičių bus šiek tiek sunkiau. bet jei žinai, kurie skaičiai dalijant ar dauginant duoda nulį, tai iš esmės didelių sunkumų nekyla.
Štai dar vienas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį. Pažvelkime į iliustruojantį pavyzdį.
Iš karto reikia rasti trijų skaičių LCM: 16, 20 ir 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16; 20; 28) = 560.
Taigi, atlikus skaičiavimą, gautas skaičius 560. Tai mažiausias bendras kartotinis, tai yra dalijasi iš kiekvieno iš trijų skaičių be liekanos.
Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti iš kelių nurodytų skaičių be liekanos. Norėdami apskaičiuoti tokį skaičių, turite paimti kiekvieną skaičių ir išskaidyti jį į paprastus veiksnius. Sutampantys skaičiai pašalinami. Palieka visus po vieną, padaugina juos tarpusavyje ir gauna norimą – mažiausią bendrą kartotinį.
NOC arba mažiausias bendras kartotinis, yra mažiausias natūralusis skaičius du ar daugiau skaičių, kurie dalijasi iš kiekvieno iš pateiktų skaičių be liekanos.
Štai pavyzdys, kaip rasti mažiausią bendrą skaičių 30 ir 42 kartotinį.
Už 30 tai yra 2 x 3 x 5.
42 atveju tai yra 2 x 3 x 7. Kadangi 2 ir 3 yra skaičiaus 30 plėtinyje, juos išbraukiame.
Dėl to gauname, kad skaičių 30 ir 42 LCM yra 210.
Norėdami rasti mažiausią bendrą kartotinį, turite iš eilės atlikti kelis paprastus veiksmus. Apsvarstykite tai naudodami dviejų skaičių pavyzdį: 8 ir 12
Tikrindami įsitikiname, kad 24 dalijasi ir iš 8, ir iš 12, ir tai yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Štai ir mes rasti mažiausią bendrą kartotinį.
Pabandysiu paaiškinti naudodamas skaičių 6 ir 8 pavyzdį. Mažiausias bendras kartotinis yra skaičius, kurį galima padalyti iš šių skaičių (mūsų atveju iš 6 ir 8) ir likučio nebus.
Taigi, mes pradedame dauginti pirmiausia 6 iš 1, 2, 3 ir tt ir 8 iš 1, 2, 3 ir tt.
Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklisšiuos skaičius. Pažymėkite GCD(a, b).
Apsvarstykite galimybę rasti GCD naudodami dviejų natūraliųjų skaičių 18 ir 60 pavyzdį:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 Ir 432
Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Išbraukus iš pirmojo skaičiaus, kurio faktoriai nėra antrame ir trečiame skaičiuose, gauname:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Dėl GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
GCD paieška naudojant Euklido algoritmą
Antrasis būdas rasti didžiausią bendrą daliklį naudojant Euklido algoritmas. Euklido algoritmas yra labiausiai efektyvus būdas radimas GCD, naudojant jį reikia nuolat rasti skaičių padalijimo likutį ir taikyti pasikartojanti formulė.
Pasikartojanti formulė GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b yra a dalijimo iš b liekana.
Euklido algoritmas
Pavyzdys Raskite didžiausią bendrąjį skaičių daliklį 7920 Ir 594
Raskime GCD( 7920 , 594 ) naudodami Euklido algoritmą, skaičiuotuvu apskaičiuosime likusią dalybos dalį.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Dėl to gauname GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Mažiausias bendras kartotinis
Bendro vardiklio radimas sudedant ir atimant trupmenas skirtingus vardiklius reikia žinoti ir mokėti skaičiuoti mažiausias bendras kartotinis(NOC).
Skaičiaus „a“ kartotinis yra skaičius, kuris pats dalijasi iš skaičiaus „a“ be liekanos.
Skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai (tai yra, šie skaičiai bus padalinti iš 8 be likučio): tai skaičiai 16, 24, 32 ...
9 kartotiniai: 18, 27, 36, 45…
Tam tikro skaičiaus a kartotinių yra be galo daug, priešingai nei to paties skaičiaus daliklių. Dalikliai – baigtinis skaičius.
Bendrasis dviejų natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų šių skaičių..
Mažiausias bendras kartotinis Dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris pats dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.
Kaip rasti NOC
LCM galima rasti ir parašyti dviem būdais.
Pirmasis būdas rasti LCM
Šis metodas dažniausiai naudojamas mažiems skaičiams.
- Rašome kiekvieno skaičiaus kartotinius į eilutę, kol gaunamas vienodas abiejų skaičių kartotinis.
- Skaičiaus „a“ kartotinis žymimas didžiąja raide „K“.
Pavyzdys. Raskite LCM 6 ir 8.
Antrasis būdas rasti LCM
Šį metodą patogu naudoti norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Identiškų veiksnių skaičius skaičių plėtime gali būti skirtingas.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Atsakymas: LCM (24, 60) = 120
Mažiausiojo kartotinio (LCM) radimą taip pat galite formalizuoti taip. Raskime LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kaip matome iš skaičių išplėtimo, visi 12 faktoriai yra įtraukti į 24 (didžiausias iš skaičių) išplėtimą, todėl prie LCM pridedame tik vieną 2 iš skaičiaus 16 išplėtimo.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Atsakymas: LCM (12, 16, 24) = 48
Ypatingi NOC radimo atvejai
Pavyzdžiui, LCM(60, 15) = 60
Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai.
Mūsų svetainėje taip pat galite naudoti specialų skaičiuotuvą, kad internete rastumėte rečiausią kartotinį ir patikrintumėte savo skaičiavimus.
Jei natūralusis skaičius dalijasi tik iš 1 ir savęs, tada jis vadinamas pirminiu.
Bet kuris natūralusis skaičius visada dalijasi iš 1 ir savęs.
Skaičius 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Tai vienintelis lyginis pirminis skaičius, likusieji pirminiai skaičiai yra nelyginiai.
Yra daug pirminių skaičių, o pirmasis iš jų yra skaičius 2. Tačiau paskutinio pirminio skaičiaus nėra. Skiltyje „Studijuoti“ galite atsisiųsti pirminių skaičių lentelę iki 997.
Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.
- skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
- 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.
- išskaidyti skaičių daliklius į pirminius veiksnius;
Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi tolygiai (12 atveju tai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičiaus dalikliais.
Natūralaus skaičiaus a daliklis yra toks natūralusis skaičius, kuris dalija duotą skaičių „a“ be liekanos.
Natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.
Dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ bendras daliklis yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.
Didžiausias bendras daliklis(gcd) iš dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai „a“ ir „b“ dalijasi be liekanos.
Trumpai tariant, didžiausias bendras skaičių „a“ ir „b“ daliklis parašytas taip:
Pavyzdys: gcd (12; 36) = 12 .
Skaičių dalikliai sprendimo įraše žymimi didžiąja raide „D“.
Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami pirminiai skaičiai.
Kopirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Jų GCD yra 1.
Kaip rasti didžiausią bendrą daliklį
Norėdami rasti dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių gcd, jums reikia:
Skaičiavimai patogiai rašomi naudojant vertikalią juostą. Į kairę nuo eilutės pirmiausia užrašykite dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome privačias reikšmes.
Iš karto paaiškinkime pavyzdžiu. Suskaidykime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.
- Abiejuose skaičiuose pabraukite tuos pačius pirminius veiksnius.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Randame identiškų pirminių faktorių sandaugą ir užrašome atsakymą;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Atsakymas: GCD (28; 64) = 4
GCD vietą galite išdėstyti dviem būdais: stulpelyje (kaip buvo padaryta aukščiau) arba „eilėje“.
Pirmasis GCD rašymo būdas
Raskite GCD 48 ir 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Antrasis GCD rašymo būdas
Dabar parašykime GCD paieškos sprendimą eilutėje. Raskite GCD 10 ir 15.
Mūsų informacinėje svetainėje taip pat galite rasti didžiausią bendrą daliklį internete, naudodami pagalbinę programą, kad patikrintumėte savo skaičiavimus.
Mažiausio bendro kartotinio radimas, LCM radimo metodai, pavyzdžiai.
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio, pavadinto LCM – Mažiausias dažnas kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, LCM ir GCD ryšys. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), Ir Ypatingas dėmesys Pažvelkime į pavyzdžius. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstydami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ir LCM suradimą daugiau skaičiai, taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas ryšiu tarp LCM ir GCD. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.
Raskite mažiausiąjį bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Panaudokime LCM sąsają su GCD, kuri išreiškiama formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.
Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Kas yra LCM(68, 34)?
Kadangi 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrą kartotinį: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .
LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.
Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kas aprašyta skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).
Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus: 
Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .
Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Taigi LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .
LCM(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a išplėtimo, tai gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui.
Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 išplėtimo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.
Trijų ar daugiau skaičių LCM radimas
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, ak, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis mk randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .
Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Pirmiausia randame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .
Dabar randame m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.
Belieka rasti m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250) = 10, taigi LCM(3 780, 250) = 3 780 250:gcd(3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500. Tai yra, m 4 \u003d 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tuo pačiu metu reikia laikytis kita taisyklė. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaroma taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų veiksnių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11 13 .
Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.
Todėl LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048 .
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Kartais yra užduočių, kuriose reikia rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį, tarp kurių vienas, keli arba visi skaičiai yra neigiami. Tokiais atvejais visi neigiami skaičiai turi būti pakeisti priešingais skaičiais, po kurių turėtų būti rasta teigiamų skaičių LCM. Taip galima rasti neigiamų skaičių LCM. Pavyzdžiui, LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ir LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tai galime padaryti, nes a kartotinių aibė yra tokia pati kaip −a kartotinių aibė (a ir −a yra priešingi skaičiai). Iš tiesų, tegul b yra koks nors a kartotinis, tada b dalijasi iš a, o dalijimosi sąvoka teigia, kad egzistuoja toks sveikasis skaičius q, kad b=a q . Tačiau bus teisinga ir lygybė b=(−a)·(−q), kuri, remiantis ta pačia dalijimosi samprata, reiškia, kad b dalijasi iš −a , tai yra, b yra −a kartotinis. Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei b yra koks nors −a kartotinis, tai b taip pat yra a kartotinis.
Raskite neigiamų skaičių –145 ir –45 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.
Neigiamus skaičius −145 ir −45 pakeiskime jiems priešingais skaičiais 145 ir 45 . Turime LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nustačius gcd(145, 45)=5 (pavyzdžiui, naudojant Euklido algoritmą), apskaičiuojame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Taigi mažiausias bendras neigiamų sveikųjų skaičių –145 ir –45 kartotinis yra 1,305 .
www.cleverstudents.ru
Mes ir toliau studijuojame skyrių. Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip GCD Ir NOC.
GCD yra didžiausias bendras daliklis.
NOC yra mažiausias bendras kartotinis.
Tema gana nuobodi, bet būtina ją suprasti. Nesuprasdami šios temos, negalėsite efektyviai dirbti su trupmenomis, kurios yra tikra kliūtis matematikoje.
Didžiausias bendras daliklis
Apibrėžimas. Didžiausias bendras skaičių daliklis a Ir b a Ir b padalintas be liekanos.
Norėdami gerai suprasti šį apibrėžimą, vietoj kintamųjų pakeičiame a Ir b bet kokie du skaičiai, pavyzdžiui, vietoj kintamojo a pakeiskite skaičių 12, o vietoj kintamojo b skaičius 9. Dabar pabandykime perskaityti šį apibrėžimą:
Didžiausias bendras skaičių daliklis 12 Ir 9 yra didžiausias skaičius, kuriuo 12 Ir 9 padalintas be liekanos.
Iš apibrėžimo aišku, kad kalbame apie bendrą skaičių 12 ir 9 daliklį, o šis daliklis yra didžiausias iš visų esamų daliklių. Reikia rasti šį didžiausią bendrą daliklį (gcd).
Norint rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, naudojami trys metodai. Pirmasis metodas yra gana daug laiko reikalaujantis, tačiau leidžia gerai suprasti temos esmę ir pajusti visą jos prasmę.
Antrasis ir trečiasis metodai yra gana paprasti ir leidžia greitai rasti GCD. Mes apsvarstysime visus tris būdus. O ką pritaikyti praktiškai – renkatės jūs.
Pirmasis būdas – surasti visus galimus dviejų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų. Panagrinėkime šį metodą šiame pavyzdyje: Raskite didžiausią skaičių 12 ir 9 bendrąjį daliklį.
Pirmiausia randame visus galimus skaičiaus 12 daliklius. Norėdami tai padaryti, 12 padalijame į visus daliklius diapazone nuo 1 iki 12. Jei daliklis leidžia padalyti 12 be liekanos, tada paryškinsime jį mėlyna spalva ir skliausteliuose pateikti atitinkamą paaiškinimą.
12: 1 = 12
(12 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 12 daliklis)
12: 2 = 6
(12 padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 yra 12 daliklis)
12: 3 = 4
(12 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 12 daliklis)
12: 4 = 3
(12 padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 yra 12 daliklis)
12:5 = 2 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 12 daliklis)
12: 6 = 2
(12 padalintas iš 6 be liekanos, todėl 6 yra 12 daliklis)
12: 7 = 1 (likę 5)
(12 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 12 daliklis)
12: 8 = 1 (liko 4)
(12 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 12 daliklis)
12:9 = 1 (likę 3)
(12 nėra padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 nėra 12 daliklis)
12: 10 = 1 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 10 be liekanos, todėl 10 nėra 12 daliklis)
12:11 = 1 (1 liko)
(12 nėra padalintas iš 11 be liekanos, todėl 11 nėra 12 daliklis)
12: 12 = 1
(12 padalintas iš 12 be liekanos, todėl 12 yra 12 daliklis)
Dabar suraskime skaičiaus 9 daliklius. Norėdami tai padaryti, patikrinkite visus daliklius nuo 1 iki 9
9: 1 = 9
(9 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 9 daliklis)
9: 2 = 4 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 nėra 9 daliklis)
9: 3 = 3
(9 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 9 daliklis)
9: 4 = 2 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 nėra 9 daliklis)
9:5 = 1 (likę 4)
(9 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 9 daliklis)
9: 6 = 1 (liko 3)
(9 nepadalijo iš 6 be liekanos, todėl 6 nėra 9 daliklis)
9:7 = 1 (2 liko)
(9 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 9 daliklis)
9:8 = 1 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 9 daliklis)
9: 9 = 1
(9 padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 yra 9 daliklis)
Dabar užrašykite abiejų skaičių daliklius. Mėlyna spalva pažymėti skaičiai yra dalikliai. Išrašykime juos:
Išrašę daliklius, galite iš karto nustatyti, kuris iš jų yra didžiausias ir labiausiai paplitęs.
Pagal apibrėžimą didžiausias bendras 12 ir 9 daliklis yra skaičius, iš kurio 12 ir 9 dalijasi tolygiai. Didžiausias ir bendras skaičių 12 ir 9 daliklis yra skaičius 3
Ir skaičius 12, ir skaičius 9 dalijasi iš 3 be liekanos:
Taigi gcd (12 ir 9) = 3
Antrasis būdas rasti GCD
Dabar apsvarstykite antrąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. esmė šis metodas yra sudėti abu skaičius į pirminius veiksnius ir padauginti bendruosius.
1 pavyzdys. Raskite skaičių 24 ir 18 GCD
Pirmiausia abu skaičius suskaidykime į pirminius veiksnius:
Dabar padauginame jų bendrus veiksnius. Kad nesusipainiotumėte, galima pabrėžti bendrus veiksnius.
Mes žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo pirmasis koeficientas yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu:
Vėlgi žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo antrasis koeficientas taip pat yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad antrą kartą jo nėra. Tada nieko neryškiname.
Kitų dviejų skaičiaus 24 išplėtime trūksta ir skaičiaus 18 išplėtime.
Pereiname prie paskutinio skaičiaus 24 skaidymo veiksnio. Tai yra koeficientas 3. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu tris:
Taigi, bendri skaičių 24 ir 18 faktoriai yra koeficientai 2 ir 3. Norint gauti GCD, šiuos veiksnius reikia padauginti:
Taigi gcd (24 ir 18) = 6
Trečias būdas rasti GCD
Dabar apsvarstykite trečiąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė slypi tame, kad skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendro daliklio, yra išskaidomi į pirminius veiksnius. Tada iš pirmojo skaičiaus dekompozicijos išbraukiami veiksniai, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Likę pirmojo išplėtimo skaičiai padauginami ir gaunamas GCD.
Pavyzdžiui, tokiu būdu suraskime skaičių 28 ir 16 GCD. Pirmiausia šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius:
Gavome du išplėtimus: ir
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo numerio išplėtimas neapima septynių. Ištrinsime jį iš pirmojo išplėtimo:
Dabar padauginame likusius veiksnius ir gauname GCD:
Skaičius 4 yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 16 daliklis. Abu šie skaičiai dalijasi iš 4 be liekanos:
2 pavyzdys Raskite skaičių 100 ir 40 GCD
Apskaičiuojant skaičių 100
Apskaičiuojant skaičių 40
Gavome du išplėtimus:
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima vieno penketuko (yra tik vienas penketas). Ištriname jį iš pirmojo išskaidymo
Padauginkite likusius skaičius:
Gavome atsakymą 20. Taigi skaičius 20 yra didžiausias bendras skaičių 100 ir 40 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 20 be liekanos:
GCD (100 ir 40) = 20.
3 pavyzdys Raskite skaičių 72 ir 128 gcd
Apskaičiuojant skaičių 72
Apskaičiuojant skaičių 128
2×2×2×2×2×2×2
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima dviejų trynukų (jų visai nėra). Mes ištriname juos iš pirmojo išplėtimo:
Gavome atsakymą 8. Taigi skaičius 8 yra didžiausias bendras skaičių 72 ir 128 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 8 be liekanos:
GCD (72 ir 128) = 8
Kelių skaičių GCD paieška
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendrojo daliklio, išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga.
Pavyzdžiui, suraskime skaičių 18, 24 ir 36 GCD
Skaičiaus 18 faktorius
Skaičiaus 24 faktorius
Faktoringas skaičius 36
Gavome tris išplėtimus:
Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus tris skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:
Matome, kad bendri skaičių 18, 24 ir 36 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginus šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:
Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 18, 24 ir 36 daliklis. Šie trys skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:
GCD (18, 24 ir 36) = 6
2 pavyzdys Raskite gcd skaičiams 12, 24, 36 ir 42
Išskaidykime kiekvieną skaičių. Tada randame šių skaičių bendrųjų veiksnių sandaugą.
Skaičiaus 12 faktorius
Faktoringas skaičius 42
Gavome keturis išplėtimus:
Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus keturis skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:
Matome, kad bendri skaičių 12, 24, 36 ir 42 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginę šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:
Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 12, 24, 36 ir 42 daliklis. Šie skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:
gcd(12, 24, 36 ir 42) = 6
Iš ankstesnės pamokos žinome, kad jei koks nors skaičius padalytas iš kito be liekanos, jis vadinamas šio skaičiaus kartotiniu.
Pasirodo, kartotinis gali būti bendras keliems skaičiams. O dabar mus domina dviejų skaičių kartotinis, nors jis turėtų būti kuo mažesnis.
Apibrėžimas. Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). a Ir b- a Ir b a ir numeris b.
Apibrėžimas apima du kintamuosius a Ir b. Šiuos kintamuosius pakeiskime bet kuriais dviem skaičiais. Pavyzdžiui, vietoj kintamojo a vietoj kintamojo pakeiskite skaičių 9 ir b pakeiskime skaičių 12. Dabar pabandykime perskaityti apibrėžimą:
Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). 9 Ir 12 - tai mažiausias skaičius, kuris yra kartotinis 9 Ir 12 . Kitaip tariant, tai toks mažas skaičius, kuris dalijasi iš skaičiaus be liekanos 9 ir ant numerio 12 .
Iš apibrėžimo aišku, kad LCM yra mažiausias skaičius, kuris be likučio dalijasi iš 9 ir 12. Šį LCM reikia rasti.
Yra du būdai, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada iš šių kartotinių pasirinkti tokį skaičių, kuris bus bendras ir skaičiams, ir mažas. Taikykime šį metodą.
Visų pirma, suraskime pirmuosius skaičiaus 9 kartotinius. Norėdami rasti 9 kartotinius, turite paeiliui padauginti šį devynis iš skaičių nuo 1 iki 9. Gauti atsakymai bus skaičiaus 9 kartotiniai. Taigi , Pradėkime. Keletas bus paryškintas raudonai:
Dabar randame skaičiaus 12 kartotinius. Norėdami tai padaryti, 12 padauginame iš visų skaičių nuo 1 iki 12 paeiliui.
Apsvarstykite šios problemos sprendimą. Berniuko žingsnis – 75 cm, o mergaitės – 60 cm.Reikia rasti mažiausią atstumą, kuriuo abu nueis sveiką žingsnių skaičių.
Sprendimas. Visas kelias, kurį vaikinai eis, turi dalytis iš 60 ir 70 be liekanos, nes kiekvienas turi žengti sveiką skaičių žingsnių. Kitaip tariant, atsakymas turi būti 75 ir 60 kartotinis.
Pirmiausia išrašysime visus skaičiaus 75 kartotinius. Gausime:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Dabar išrašykime skaičius, kurie bus 60 kartotiniai. Gauname:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Dabar randame skaičius, esančius abiejose eilutėse.
- Bendrieji skaičių kartotiniai bus skaičiai, 300, 600 ir kt.
Mažiausias iš jų yra skaičius 300. Šiuo atveju jis bus vadinamas mažiausiu bendruoju skaičių 75 ir 60 kartotiniu.
Grįžtant prie problemos būklės, mažiausias atstumas, kuriuo vaikinai nueina sveiką žingsnių skaičių bus 300 cm.Vaikinas šiuo keliu eis per 4 žingsnius, o merginai reikės žengti 5 žingsnius.
Mažiausių bendrų kelių radimas
- Mažiausias dviejų natūraliųjų skaičių a ir b kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra ir a, ir b kartotinis.
Norint rasti mažiausią bendrąjį dviejų skaičių kartotinį, nebūtina rašyti visų šių skaičių kartotinių iš eilės.
Galite naudoti šį metodą.
Kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį
Pirmiausia turite išskaidyti šiuos skaičius į pirminius veiksnius.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Dabar užrašykime visus veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus (2,2,3,5) išplėtime, ir pridėkime prie jo visus trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus (5) išplėtimo.
Dėl to gauname pirminių skaičių eilę: 2,2,3,5,5. Šių skaičių sandauga bus mažiausiai bendras šių skaičių veiksnys. 2*2*3*5*5 = 300.
Bendra mažiausiojo bendro kartotinio suradimo schema
- 1. Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius.
- 2. Užrašykite pirminius veiksnius, kurie yra vieno iš jų dalis.
- 3. Prie šių faktorių pridėkite visus tuos, kurie yra likusių skaidyme, bet ne pasirinktame.
- 4. Raskite visų užrašytų faktorių sandaugą.
Šis metodas yra universalus. Jis gali būti naudojamas norint rasti bet kokio natūraliųjų skaičių mažiausią bendrą kartotinį.
Internetinis skaičiuotuvas leidžia greitai rasti didžiausią bendrąjį daliklį ir mažiausią bendrąjį dviejų ar bet kurio kito skaičių kartotinį.
Skaičiuoklė GCD ir NOC paieškai
Raskite GCD ir NOC
GCD ir NOC rasta: 6433
Kaip naudotis skaičiuokle
- Įvesties lauke įveskite skaičius
- Įvedus neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
- paspauskite mygtuką "Rasti GCD ir NOC"
Kaip įvesti skaičius
- Skaičiai įvedami atskirti tarpais, taškais arba kableliais
- Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl rasti ilgų skaičių gcd ir lcm nebus sunku
Kas yra NOD ir NOK?
Didžiausias bendras daliklis iš kelių skaičių yra didžiausias natūralusis sveikasis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.
Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?
Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungus galima patikrinti dalijimąsi iš kai kurių iš jų ir jų derinių.
Kai kurie skaičių dalijimosi ženklai
1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 ženklas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.
2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 ženklas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3. Taigi, norėdami nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, turite apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma pasirodė labai didelė, galite pakartoti tą patį procesą. vėl.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: skaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.
3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 ženklas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.
4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 ženklas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: apskaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.
Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM
Kaip rasti dviejų skaičių GCD
Dauguma paprastu būdu apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus tų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.
Apsvarstykite šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:
- Suskirstome abu skaičius: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
- Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 \u003d 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.
Kaip rasti dviejų skaičių LCM
Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų tokį skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių GCD. Tiesiog pasvarstykime.
Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:
- Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28 36 = 1008
- Jau žinoma, kad gcd(28, 36) yra 4
- LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .
GCD ir LCM radimas keliems numeriams
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendrojo daliklio, išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Be to, norėdami rasti kelių skaičių GCD, galite naudoti šį ryšį: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Panašus ryšys taip pat taikomas mažiausiam bendrajam skaičių kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.
- Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Raskime bendrus veiksnius: 1, 2 ir 2 .
- Jų produktas duos gcd: 1 2 2 = 4
- Dabar suraskime LCM: tam pirmiausia randame LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
- LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio antraštėje LCM – mažiausias kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir ypatingą dėmesį skirkite pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstydami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas ryšiu tarp LCM ir GCD. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.
Pavyzdys.
Raskite mažiausiąjį bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime formule išreikštą ryšį tarp LCM ir GCD LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.
Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .
Atsakymas:
LCM(126, 70)=630 .
Pavyzdys.
Kas yra LCM(68, 34)?
Sprendimas.
Nes 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34) = 68 34: LCM (68, 34) = 68 34:34=68 .
Atsakymas:
LCM(68, 34)=68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .
LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.
Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kas aprašyta skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).
Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.
Pavyzdys.
Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Sprendimas.
Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:
Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .
Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Šiuo būdu, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas:
LCM(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a skaidymo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..
Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.
Atsakymas:
LCM(84, 648) = 4 536 .
Trijų ar daugiau skaičių LCM radimas
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teorema.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, ak, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis mk randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .
Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Pavyzdys.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Pirmiausia randame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .
Dabar randame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.
Liko rasti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250)=10, iš kur gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Tai yra, m 4 \u003d 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
Atsakymas:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju reikia laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaroma taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų veiksnių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname šių skaičių išplėtimus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirminiai koeficientai) ir 143=11 13 .
Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7 ) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.
Įkeliama...