Kampo tarp eilučių skaičiavimo formulė. Kampas tarp linijų plokštumoje
Tegul eilutės pateikiamos erdvėje l Ir m. Per tam tikrą erdvės tašką A brėžiame tiesias linijas l 1 || l Ir m 1 || m(138 pav.).
Atkreipkite dėmesį, kad taškas A gali būti pasirinktas savavališkai, ypač jis gali būti vienoje iš nurodytų tiesių. Jei tiesiai l Ir m susikerta, tada A gali būti laikomas šių tiesių susikirtimo tašku ( l 1 = l Ir m 1 = m).
Kampas tarp nelygiagrečių linijų l Ir m yra mažiausio iš gretimų kampų, suformuotų susikertant tiesioms linijoms, reikšmė l 1 Ir m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Manoma, kad kampas tarp lygiagrečių linijų lygus nuliui.
Kampas tarp eilučių l Ir mžymimas \(\widehat((l;m)) \). Iš apibrėžimo matyti, kad jei jis matuojamas laipsniais, tada 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, o jei radianais, tai 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Užduotis. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (139 pav.).
Raskite kampą tarp tiesių AB ir DC 1 .
Tiesi AB ir DC 1 sankryža. Kadangi tiesė DC yra lygiagreti tiesei AB, kampas tarp tiesių AB ir DC 1 pagal apibrėžimą yra lygus \(\widehat(C_(1)DC)\).
Taigi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Tiesioginis l Ir m paskambino statmenai, jei \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Pavyzdžiui, kube
Kampo tarp linijų apskaičiavimas.
Kampo tarp dviejų tiesių erdvėje apskaičiavimo problema išspręsta taip pat, kaip ir plokštumoje. φ pažymėkite kampą tarp linijų l 1 Ir l 2 , o per ψ - kampas tarp krypties vektorių bet Ir b šios tiesios linijos.
Tada jei
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6 pav.), tada φ = 180° - ψ. Akivaizdu, kad abiem atvejais lygybė cos φ = |cos ψ| yra teisinga. Pagal formulę (kampo kosinusas tarp nuliniai vektoriai a ir b yra lygūs taškinis produktasšių vektorių, padalytų iš jų ilgių sandaugos) turime
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
Vadinasi,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Tegul tiesės pateikiamos jų kanoninėmis lygtimis
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Ir \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Tada kampas φ tarp linijų nustatomas pagal formulę
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Jei viena iš tiesių (arba abi) pateiktos nekanoninėmis lygtimis, tada norint apskaičiuoti kampą, reikia rasti šių linijų krypties vektorių koordinates ir naudoti formulę (1).
1 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp linijų
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ir\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Tiesių linijų krypties vektoriai turi koordinates:
a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).
Pagal formulę (1) randame
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Todėl kampas tarp šių linijų yra 60°.
2 užduotis. Apskaičiuokite kampą tarp linijų
$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) ir \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\pabaiga(atvejai) $$
Už kreipiamojo vektoriaus bet pirmąją tiesę imame normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą n 1 = (3; 0; -12) ir n 2 = (1; 1; -3) plokštumos, apibrėžiančios šią tiesę. Pagal formulę \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) gauname
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Panašiai randame antrosios tiesės krypties vektorių:
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Tačiau (1) formulė apskaičiuoja norimo kampo kosinusą:
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$
Todėl kampas tarp šių linijų yra 90°.
3 užduotis. Trikampėje piramidėje MAVS kraštinės MA, MB ir MC yra viena kitai statmenos, (207 pav.);
jų ilgiai atitinkamai lygūs 4, 3, 6. Taškas D yra vidurys [MA]. Raskite kampą φ tarp tiesių CA ir DB.
Tegul SA ir DB yra tiesių SA ir DB krypties vektoriai.
Koordinačių pradžią laikykime tašku M. Pagal užduoties sąlygą turime A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Todėl \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mes naudojame formulę (1):
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$
Pagal kosinusų lentelę matome, kad kampas tarp tiesių CA ir DB yra maždaug 72 °.
Instrukcija
pastaba
Laikotarpis trigonometrinė funkcija liestinė lygi 180 laipsnių, o tai reiškia, kad tiesių polinkio kampai modulo negali viršyti šios vertės.
Jei nuolydžio koeficientai yra lygūs vienas kitam, tada kampas tarp tokių tiesių yra 0, nes tokios tiesės arba sutampa, arba yra lygiagrečios.
Norint nustatyti kampą tarp susikirtimo linijų, reikia perkelti abi linijas (arba vieną iš jų) į naują padėtį lygiagretaus perkėlimo į sankryžą metodu. Po to turėtumėte rasti kampą tarp susikertančių linijų.
Jums reikės
- Valdovas, taisyklingas trikampis, pieštukas, transporteris.
Instrukcija
Taigi, vektorius V = (a, b, c) ir plokštuma A x + B y + C z = 0, kur A, B ir C yra normaliosios N koordinatės. Tada kampo kosinusas α tarp vektorių V ir N yra: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Norint apskaičiuoti kampą laipsniais arba radianais, iš gautos išraiškos reikia apskaičiuoti atvirkštinę kosinuso funkciją, t.y. arkosinas: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Pavyzdys: rasti injekcija tarp vektorius(5, -3, 8) ir lėktuvas, pateiktą bendrąją lygtį 2 x - 5 y + 3 z = 0. Sprendimas: užrašykite plokštumos N = (2, -5, 3) normaliojo vektoriaus koordinates. Pakeiskite viską žinomos vertės aukščiau pateiktoje formulėje: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Susiję vaizdo įrašai
Tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su apskritimu, yra apskritimo liestinė. Kita liestinės ypatybė yra ta, kad ji visada yra statmena spinduliui, nubrėžtam į sąlyčio tašką, tai yra, liestinė ir spindulys sudaro tiesią liniją injekcija. Jei iš vieno taško A nubrėžtos dvi apskritimo AB ir AC liestinės, tai jos visada yra lygios viena kitai. Kampo tarp liestinių ( injekcija ABC) gaunama naudojant Pitagoro teoremą.
Instrukcija
Norint nustatyti kampą, reikia žinoti apskritimo spindulį OB ir OS bei liestinės pradžios taško atstumą nuo apskritimo centro - O. Taigi, kampai ABO ir ACO yra lygūs, spindulys OB, pavyzdžiui, 10 cm, o atstumas iki apskritimo centro AO yra 15 cm. Liestinės ilgį nustatykite pagal formulę pagal Pitagoro teoremą: AB = Kvadratinė šaknis nuo AO2 - OB2 arba 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Ši medžiaga skirta tokiai sąvokai kaip kampas tarp dviejų susikertančių tiesių. Pirmoje pastraipoje paaiškinsime, kas tai yra, ir parodysime tai iliustracijomis. Tada išanalizuosime, kaip galima rasti šio kampo sinusą, kosinusą ir patį kampą (atskirai nagrinėsime atvejus su plokštuma ir trimate erdve), pateiksime reikiamas formules ir pavyzdžiais parodysime, kaip tiksliai jos taikomos. praktikoje.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Norint suprasti, kas yra kampas, suformuotas dviejų tiesių sankirtoje, turime prisiminti patį kampo, statmenumo ir susikirtimo taško apibrėžimą.
1 apibrėžimas
Dvi tieses vadiname susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką. Šis taškas vadinamas dviejų tiesių susikirtimo tašku.
Kiekviena linija pagal susikirtimo tašką yra padalinta į spindulius. Šiuo atveju abi linijos sudaro 4 kampus, iš kurių du yra vertikalūs ir du yra gretimi. Jei žinome vieno iš jų matą, galime nustatyti ir kitus likusius.
Tarkime, žinome, kad vienas iš kampų lygus α. Tokiu atveju kampas, kuris yra vertikaliai į jį, taip pat bus lygus α. Norėdami rasti likusius kampus, turime apskaičiuoti skirtumą 180 ° - α . Jei α yra lygus 90 laipsnių, tada visi kampai bus teisingi. Tiesės, susikertančios stačiu kampu, vadinamos statmenomis (statmens sąvokai skirtas atskiras straipsnis).
Pažvelkite į paveikslėlį:
Pereikime prie pagrindinio apibrėžimo formulavimo.
2 apibrėžimas
Kampas, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, yra mažesnio iš 4 kampų, sudarančių šias dvi linijas, matas.
Iš apibrėžimo būtina padaryti svarbi išvada: kampo dydis šiuo atveju bus išreikštas bet kuriuo tikras numeris intervale (0 , 90 ] . Jei tiesės statmenos, tai kampas tarp jų bet kokiu atveju bus lygus 90 laipsnių.
Gebėjimas rasti kampo tarp dviejų susikertančių tiesių matą yra naudingas sprendžiant daugelį praktinių problemų. Sprendimo būdą galima pasirinkti iš kelių variantų.
Pradedantiesiems galime imtis geometrinių metodų. Jei ką nors žinome apie papildomus kampus, galime juos sujungti su mums reikalingu kampu, naudodami lygių ar panašių formų savybes. Pavyzdžiui, jei žinome trikampio kraštines ir reikia apskaičiuoti kampą tarp tiesių, ant kurių yra šios kraštinės, tai spręsti tinka kosinuso teorema. Jei sąlygoje turime statųjį trikampį, tada skaičiavimams taip pat turėsime žinoti kampo sinusą, kosinusą ir liestinę.
Koordinačių metodas taip pat labai patogus sprendžiant tokio tipo uždavinius. Paaiškinkime, kaip teisingai jį naudoti.
Turime stačiakampę (stačiakampę) koordinačių sistemą O x y su dviem tiesėmis. Pažymėkime juos raidėmis a ir b. Šiuo atveju tieses galima apibūdinti naudojant bet kokias lygtis. Pradinės linijos turi susikirtimo tašką M . Kaip nustatyti norimą kampą (žymime α) tarp šių linijų?
Pradėkime nuo pagrindinio kampo nustatymo tam tikromis sąlygomis principo formulavimo.
Žinome, kad tokios sąvokos kaip nukreipimas ir normalus vektorius yra glaudžiai susijusios su tiesės sąvoka. Jei turime kokios nors tiesės lygtį, iš jos galime paimti šių vektorių koordinates. Tai galime padaryti dviem susikertančioms linijoms vienu metu.
Kampą, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, galima rasti naudojant:
- kampas tarp krypties vektorių;
- kampas tarp normaliųjų vektorių;
- kampas tarp vienos tiesės normaliojo vektoriaus ir kitos krypties vektoriaus.
Dabar pažvelkime į kiekvieną metodą atskirai.
1. Tarkime, kad turime tiesę a su krypties vektoriumi a → = (a x , a y) ir tiesę b su krypties vektoriumi b → (b x , b y) . Dabar atidėkime du vektorius a → ir b → nuo susikirtimo taško. Po to pamatysime, kad kiekvienas jų bus savo linijoje. Tada turime keturias jų galimybes santykinė padėtis. Žiūrėti iliustraciją:
Jei kampas tarp dviejų vektorių nėra bukas, tai bus kampas, kurio mums reikia tarp susikertančių tiesių a ir b. Jei jis bukas, tai norimas kampas bus lygus kampui, esančiam greta kampo a → , b → ^ . Taigi, α = a → , b → ^, jei a → , b → ^ ≤ 90 ° , o α = 180 ° - a → , b → ^, jei a → , b → ^ > 90 ° .
Remdamiesi tuo, kad lygių kampų kosinusai yra lygūs, gautas lygybes galime perrašyti taip: cos α = cos a → , b → ^ jei a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ jei a → , b → ^ > 90 ° .
Antruoju atveju buvo naudojamos redukcijos formulės. Šiuo būdu,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Paskutinę formulę parašykime žodžiais:
3 apibrėžimas
Dviejų susikertančių tiesių suformuoto kampo kosinusas bus lygus kampo tarp jo krypties vektorių kosinuso moduliui.
Bendra kampo tarp dviejų vektorių a → = (a x, a y) ir b → = (b x, b y) kosinuso formulės forma atrodo taip:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iš jo galime išvesti kampo tarp dviejų nurodytų tiesių kosinuso formulę:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada patį kampą galima rasti naudojant šią formulę:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Čia a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra duotųjų tiesių krypties vektoriai.
Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.
1 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje pateiktos dvi susikertančios tiesės a ir b. Jas galima apibūdinti parametrinėmis lygtimis x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ir x 5 = y - 6 - 3 . Apskaičiuokite kampą tarp šių linijų.
Sprendimas
Sąlygoje turime parametrinę lygtį, o tai reiškia, kad šiai tiesei galime iš karto užrašyti jos krypties vektoriaus koordinates. Norėdami tai padaryti, turime paimti parametro koeficientų reikšmes, t.y. tiesė x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R turės krypties vektorių a → = (4 , 1) .
Antroji tiesė aprašoma naudojant kanoninę lygtį x 5 = y - 6 - 3 . Čia galime paimti koordinates iš vardiklių. Taigi ši tiesė turi krypties vektorių b → = (5 , - 3) .
Toliau mes pereiname tiesiai prie kampo nustatymo. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite turimas dviejų vektorių koordinates aukščiau pateikta formule α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Gauname šiuos dalykus:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Atsakymas: Šios linijos sudaro 45 laipsnių kampą.
Panašią problemą galime išspręsti radę kampą tarp normaliųjų vektorių. Jei turime tiesę a su normaliuoju vektoriumi na → = (nax , nay) ir tiesę b su normaliuoju vektoriumi nb → = (nbx , nby) , tai kampas tarp jų bus lygus kampui tarp na → ir nb → arba kampas, kuris bus greta na → , nb → ^ . Šis metodas parodytas paveikslėlyje:
Kampo tarp susikertančių tiesių ir paties šio kampo kosinuso apskaičiavimo formulės naudojant normalių vektorių koordinates atrodo taip:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
Čia n a → ir n b → žymi dviejų duotųjų tiesių normaliuosius vektorius.
2 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikiamos dvi tiesės, naudojant lygtis 3 x + 5 y - 30 = 0 ir x + 4 y - 17 = 0 . Raskite tarp jų esančio kampo sinusą, kosinusą ir paties to kampo dydį.
Sprendimas
Pradinės tiesės pateiktos naudojant normaliąsias A x + B y + C = 0 formos tiesių lygtis. Pažymime normalųjį vektorių n → = (A , B) . Raskime vienos tiesės pirmojo normalaus vektoriaus koordinates ir jas užrašykime: n a → = (3 , 5) . Antroje eilutėje x + 4 y - 17 = 0 normalusis vektorius turės koordinates n b → = (1 , 4) . Dabar gautas vertes pridėkite prie formulės ir apskaičiuokite bendrą sumą:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jei žinome kampo kosinusą, tada jo sinusą galime apskaičiuoti naudodami pagrindinį trigonometrinė tapatybė. Kadangi tiesių linijų sudarytas kampas α nėra bukas, tada sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Šiuo atveju α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Atsakymas: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Išanalizuokime paskutinį atvejį – kampo tarp tiesių radimą, jei žinome vienos tiesės krypties vektoriaus ir kitos normalaus vektoriaus koordinates.
Tarkime, kad tiesė a turi krypties vektorių a → = (a x , a y) , o tiesė b turi normalųjį vektorių n b → = (n b x , n b y) . Turime atidėti šiuos vektorius nuo susikirtimo taško ir apsvarstyti visas jų santykinės padėties galimybes. Žiūrėti paveikslėlį:
Jei kampas tarp nurodytų vektorių yra ne didesnis kaip 90 laipsnių, paaiškėja, kad jis papildys kampą tarp a ir b stačiu kampu.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , jei a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Jei jis yra mažesnis nei 90 laipsnių, gauname:
a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α
Naudodamiesi lygių kampų kosinusų lygybės taisykle, rašome:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α, kai a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α esant a → , n b → ^ > 90 ° .
Šiuo būdu,
sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Suformuluosime išvadą.
4 apibrėžimas
Norėdami rasti kampo tarp dviejų tiesių, susikertančių plokštumoje, sinusą, turite apskaičiuoti kampo tarp pirmosios tiesės krypties vektoriaus ir antrosios normaliojo vektoriaus kosinuso modulį.
Užsirašykime reikiamas formules. Kampo sinuso radimas:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pačio kampo radimas:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Čia a → yra pirmosios eilutės krypties vektorius, o n b → yra antrosios eilutės normalusis vektorius.
3 pavyzdys
Dvi susikertančios tiesės pateiktos lygtimis x - 5 = y - 6 3 ir x + 4 y - 17 = 0 . Raskite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Iš pateiktų lygčių paimame krypties ir normaliojo vektoriaus koordinates. Pasirodo, a → = (- 5, 3) ir n → b = (1, 4). Imame formulę α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ir apsvarstykite:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis paėmėme iš ankstesnės užduoties ir gavome lygiai tą patį rezultatą, bet skirtingu būdu.
Atsakymas:α = a r c sin 7 2 34
Čia yra dar vienas būdas rasti norimą kampą naudojant nurodytų linijų nuolydžio koeficientus.
Turime tiesę a , kuri apibrėžiama stačiakampėje koordinačių sistemoje naudojant lygtį y = k 1 · x + b 1 , ir tiesę b , apibrėžtą kaip y = k 2 · x + b 2 . Tai tiesių su nuolydžiu lygtys. Norėdami rasti susikirtimo kampą, naudokite formulę:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kur k 1 ir k 2 yra nuolydžio veiksniai duotomis eilutėmis. Šiam įrašui gauti buvo naudojamos kampo nustatymo per normaliųjų vektorių koordinates formulės.
4 pavyzdys
Yra dvi tiesios linijos, susikertančios plokštumoje, pateiktos lygtimis y = - 3 5 x + 6 ir y = - 1 4 x + 17 4 . Apskaičiuokite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Mūsų linijų nuolydžiai lygūs k 1 = - 3 5 ir k 2 = - 1 4 . Sudėkime juos į formulę α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ir apskaičiuokime:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Atsakymas:α = a r c cos 23 2 34
Šios pastraipos išvadose reikia pažymėti, kad čia pateiktų kampo nustatymo formulių nereikia mokytis mintinai. Tam pakanka žinoti nurodytų tiesių kreiptuvų ir/ar normaliųjų vektorių koordinates ir mokėti jas nustatyti pagal skirtingi tipai lygtys. Tačiau kampo kosinuso apskaičiavimo formules geriau atsiminti arba užsirašyti.
Kaip apskaičiuoti kampą tarp susikertančių tiesių erdvėje
Tokio kampo apskaičiavimą galima redukuoti iki krypties vektorių koordinačių skaičiavimo ir šių vektorių suformuoto kampo dydžio nustatymo. Tokiems pavyzdžiams naudojame tuos pačius samprotavimus, kuriuos pateikėme anksčiau.
Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą, esančią 3D erdvėje. Jame yra dvi tiesės a ir b su susikirtimo tašku M . Norėdami apskaičiuoti krypties vektorių koordinates, turime žinoti šių linijų lygtis. Pažymėkite krypties vektorius a → = (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) . Norėdami apskaičiuoti kampo tarp jų kosinusą, naudojame formulę:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Norėdami rasti patį kampą, mums reikia šios formulės:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5 pavyzdys
Turime tiesę, apibrėžtą 3D erdvėje naudojant lygtį x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Yra žinoma, kad jis susikerta su O z ašimi. Apskaičiuokite susikirtimo kampą ir to kampo kosinusą.
Sprendimas
Apskaičiuojamą kampą pažymėkime raide α. Užrašykime pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinates - a → = (1 , - 3 , - 2) . Taikomajai ašiai kaip orientyrą galime paimti koordinačių vektorių k → = (0 , 0 , 1). Gavome reikiamus duomenis ir galime pridėti prie norimos formulės:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Dėl to gavome, kad kampas, kurio mums reikia, bus lygus a r c cos 1 2 = 45 °.
Atsakymas: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Kiekvienam matematikos egzaminui besiruošiančiam mokiniui pravers pakartoti temą „Kampo tarp eilučių paieška“. Kaip rodo statistika, išlaikant sertifikavimo testą, užduotys šioje stereometrijos dalyje sukelia sunkumų didelis skaičius studentai. Tuo pačiu metu užduotys, reikalaujančios rasti kampą tarp tiesių, randamos USE tiek pagrindiniame, tiek profilio lygiuose. Tai reiškia, kad kiekvienas turėtų sugebėti jas išspręsti.
Pagrindiniai momentai
Yra 4 tarpusavio linijų išdėstymo erdvėje tipai. Jos gali sutapti, susikirsti, būti lygiagrečios arba susikertančios. Kampas tarp jų gali būti ūmus arba tiesus.
Norėdami rasti kampą tarp linijų vieningame valstybiniame egzamine arba, pavyzdžiui, sprendime, Maskvos ir kitų miestų moksleiviai gali naudoti kelis šios stereometrijos skyriaus uždavinių sprendimo būdus. Užduotį galite atlikti klasikinėmis konstrukcijomis. Norėdami tai padaryti, verta išmokti pagrindines stereometrijos aksiomas ir teoremas. Studentas turi mokėti logiškai grįsti samprotavimus ir kurti brėžinius, kad užduotį paverstų planimetrine problema.
Taip pat galite naudoti vektorių koordinačių metodą, naudodami paprastas formules, taisykles ir algoritmus. Svarbiausia šiuo atveju yra teisingai atlikti visus skaičiavimus. Jums padės patobulinti savo įgūdžius sprendžiant stereometrijos ir kitų kurso skyrių problemas edukacinis projektas„Školkovas“.
bet. Pateikiamos dvi tiesės, kurios, kaip buvo nurodyta 1 skyriuje, sudaro įvairius teigiamus ir neigiamus kampus, kurie šiuo atveju gali būti smailieji ir bukieji. Žinodami vieną iš šių kampų, galime lengvai rasti bet kurį kitą.
Beje, visiems šiems kampams liestinės skaitinė reikšmė yra ta pati, skirtumas gali būti tik ženkle
Tiesių lygtys. Skaičiai yra pirmosios ir antrosios tiesių kryptinių vektorių projekcijos, kampas tarp šių vektorių lygus vienam iš tiesių suformuotų kampų. Todėl problema sumažinama iki kampo tarp vektorių nustatymo, gauname
Paprastumo dėlei galime susitarti dėl kampo tarp dviejų tiesių, kad suprastume smailų teigiamą kampą (kaip, pavyzdžiui, 53 pav.).
Tada šio kampo liestinė visada bus teigiama. Taigi, jei dešinėje (1) formulės pusėje gaunamas minuso ženklas, turime jį atmesti, ty palikti tik absoliučią reikšmę.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp linijų
Pagal formulę (1) turime
iš. Jeigu nurodyta, kuri iš kampo kraštinių yra jo pradžia, o kuri pabaiga, tai skaičiuojant visada kampo kryptį prieš laikrodžio rodyklę, iš (1) formulių galime išgauti ką nors daugiau. Kaip nesunku matyti iš fig. 53 dešinėje formulės (1) pusėje gautas ženklas parodys, kuris kampas – smailusis ar bukas – sudaro antrąją liniją su pirmąja.
(Iš tiesų, iš 53 pav. matome, kad kampas tarp pirmojo ir antrojo krypties vektorių yra arba lygus norimam kampui tarp linijų, arba skiriasi nuo jo ±180°.)
d. Jei tiesės lygiagrečios, tai lygiagrečiai yra ir jų nukreipimo vektoriai.Taikydami dviejų vektorių lygiagretumo sąlygą, gauname!
Tai būtina ir pakankama sąlyga, kad dvi linijos būtų lygiagrečios.
Pavyzdys. Tiesioginis
yra lygiagrečios, nes
e. Jei tiesės yra statmenos, tai ir jų krypties vektoriai yra statmeni. Taikydami dviejų vektorių statmenumo sąlygą, gauname dviejų tiesių statmenumo sąlygą, t.
Pavyzdys. Tiesioginis
statmenai, nes
Ryšium su lygiagretumo ir statmenumo sąlygomis išspręsime šiuos du uždavinius.
f. Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią nurodytai linijai per tašką
Sprendimas priimamas taip. Kadangi norima tiesė yra lygiagreti duotajai, tai jos nukreipimo vektoriui galime paimti tą patį kaip ir duotosios tiesės, ty vektorių su projekcijomis A ir B. Tada bus parašyta norimos tiesės lygtis forma (§ 1)
Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (1; 3), lygiagrečiai tiesei, lygtis
bus kitas!
g. Nubrėžkite liniją per tašką, statmeną nurodytai linijai
Čia jau netinka imti vektorių su projekcijomis A ir kaip nukreipiantį vektorių, o reikia pakelti jam statmeną vektorių. Todėl šio vektoriaus projekcijos turi būti parinktos pagal sąlygą, kad abu vektoriai būtų statmeni, t.y. pagal sąlygą
Šią sąlygą galima įvykdyti be galo daug būdų, nes čia yra viena lygtis su dviem nežinomaisiais.Tačiau lengviausia tai priimti. Tada norimos tiesės lygtis bus parašyta forma
Pavyzdys. Tiesės, einančios per tašką (-7; 2) statmenoje tiesėje, lygtis
bus taip (pagal antrą formulę)!
h. Tuo atveju, kai eilutės pateikiamos formos lygtimis
Įkeliama...