Kosinuso tarp vektorių radimo formulė. Taškinė vektorių sandauga

Instrukcija

Tegu plokštumoje pateikti du nuliniai vektoriai, nubraižyti iš vieno taško: vektorius A su koordinatėmis (x1, y1) B su koordinatėmis (x2, y2). Injekcija tarp jų žymimas θ. Norėdami rasti kampo θ laipsnio matą, turite naudoti skaliarinės sandaugos apibrėžimą.

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui, ty (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Dabar reikia išreikšti kampo kosinusą: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skaliarinį sandaugą taip pat galima rasti naudojant formulę (A,B)=x1*x2+y1*y2, nes dviejų sandauga nuliniai vektoriai lygi atitinkamų vektorių sandaugų sumai. Jei nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni (kampas tarp jų yra 90 laipsnių) ir tolesnių skaičiavimų galima praleisti. Jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra teigiama, tai kampas tarp jų vektoriai smailus, o jei neigiamas, tai kampas yra bukas.

Dabar apskaičiuokite vektorių A ir B ilgius pagal formules: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektoriaus ilgis apskaičiuojamas kaip Kvadratinė šaknis nuo jo koordinačių kvadratų sumos.

Rastas skaliarinės sandaugos reikšmes ir vektorių ilgius pakeiskite 2 žingsnyje gauto kampo formule, ty cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Dabar, žinant reikšmę , rasti kampo tarp laipsnio matą vektoriai reikia naudoti Bradis lentelę arba paimti iš šios: θ=arccos(cos(θ)).

Jei vektoriai A ir B pateikti trimatėje erdvėje ir turi atitinkamai koordinates (x1, y1, z1) ir (x2, y2, z2), tai ieškant kampo kosinuso pridedama dar viena koordinatė. Šiuo atveju kosinusas: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Naudingi patarimai

Jei du vektoriai nėra nubraižyti iš vieno taško, tada norint rasti kampą tarp jų lygiagrečiai, reikia sujungti šių vektorių pradžią.
Kampas tarp dviejų vektorių negali būti didesnis nei 180 laipsnių.

Šaltiniai:

kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių
Kampas tarp linijos ir plokštumos

Norint išspręsti daugelį taikomųjų ir teorinių fizikos ir tiesinės algebros uždavinių, būtina apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Ši iš pažiūros paprasta užduotis gali sukelti daug sunkumų, jei aiškiai nesuprantate skaliarinės sandaugos esmės ir kokios vertės atsiranda dėl šio produkto.

Instrukcija

Kampas tarp vektorių tiesinėje vektorių erdvėje yra mažiausias kampas ties , kuriame pasiekiama vektorių kryptis. Vienas iš vektorių yra nešamas aplink pradinį tašką. Iš apibrėžimo tampa akivaizdu, kad kampo vertė negali viršyti 180 laipsnių (žr. žingsnį).

Šiuo atveju visiškai pagrįstai manoma, kad tiesinėje erdvėje vektorius perkėlus lygiagrečiai, kampas tarp jų nekinta. Todėl analitiniam kampo skaičiavimui vektorių erdvinė orientacija neturi reikšmės.

Taškinės sandaugos rezultatas yra skaičius, kitu atveju skaliaras. Prisiminkite (tai svarbu žinoti), kad išvengtumėte klaidų atliekant tolesnius skaičiavimus. Skaliarinės sandaugos formulė, esanti plokštumoje arba vektorių erdvėje, turi formą (žr. žingsnį paveikslėlyje).

Jei vektoriai yra erdvėje, tada atlikite skaičiavimą panašiai. Vienintelis dalykas bus termino atsiradimas dividende – toks yra pareiškimo terminas, t.y. trečiasis vektoriaus komponentas. Atitinkamai, skaičiuojant vektorių modulį, reikia atsižvelgti ir į z komponentą, tada erdvėje esantiems vektoriams paskutinė išraiška transformuojama taip (žr. 6 pav. prie žingsnio).

Vektorius yra linijos atkarpa su nurodyta kryptimi. Kampas tarp vektorių turi fizinę reikšmę, pavyzdžiui, ieškant vektoriaus projekcijos į ašį ilgį.

Instrukcija

Kampas tarp dviejų nulinių vektorių naudojant taško sandaugą. Pagal apibrėžimą sandauga yra lygi ilgių ir kampo tarp jų sandaugai. Kita vertus, dviejų vektorių a su koordinatėmis (x1; y1) ir b su koordinatėmis (x2; y2) vidinė sandauga apskaičiuojama: ab = x1x2 + y1y2. Iš šių dviejų būdų taškinį sandaugą lengva nukreipti kampu tarp vektorių.

Raskite vektorių ilgius arba modulius. Mūsų vektoriams a ir b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Raskite vektorių vidinę sandaugą padauginę jų koordinates poromis: ab = x1x2 + y1y2. Iš taško sandaugos apibrėžimo ab = |a|*|b|*cos α, kur α yra kampas tarp vektorių. Tada gauname, kad x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tada cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Raskite kampą α naudodami Bradys lenteles.

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Skaliarinė sandauga yra vektorių ilgio ir kampo tarp jų skaliarinė charakteristika.

Plokštuma yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Plokštuma yra paviršius, kurio teiginys yra teisingas – bet kuri tiesi linija, jungianti du jos taškus, visiškai priklauso šiam paviršiui. Lėktuvai yra paskirti Graikiškos raidėsα, β, γ ir kt. Dvi plokštumos visada susikerta tiesia linija, kuri priklauso abiem plokštumoms.

Instrukcija

Apsvarstykite pusiau plokštumas α ir β, susidariusias sankirtoje. Kampas, sudarytas iš tiesės a ir dviejų pusiau plokštumų α ir β dvikampio kampo. Šiuo atveju pusės plokštumos, formuojančios dvikampį kampą paviršiais, tiesė a, išilgai kurios plokštumos susikerta, vadinama briauna dvikampis kampas.

Dvikampis kampas, kaip ir plokščias kampas, laipsniais. Norint sudaryti dvikampį kampą, jo paviršiuje reikia pasirinkti savavališką tašką O. Abiejuose per tašką O nubrėžti du spinduliai a. Gautas kampas AOB vadinamas dvikampio kampo a tiesiniu kampu.

Taigi, vektorius V = (a, b, c) ir plokštuma A x + B y + C z = 0, kur A, B ir C yra normaliosios N koordinatės. Tada kampo kosinusas α tarp vektorių V ir N yra: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Norint apskaičiuoti kampo reikšmę laipsniais arba radianais, iš gautos išraiškos reikia apskaičiuoti kosinusui atvirkštinę funkciją, t.y. arkosinas: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Pavyzdys: rasti injekcija tarp vektorius(5, -3, 8) ir lėktuvas, pateiktą bendrąją lygtį 2 x - 5 y + 3 z = 0. Sprendimas: užrašykite plokštumos N = (2, -5, 3) normaliojo vektoriaus koordinates. Pakeiskite viską žinomos vertės aukščiau pateiktoje formulėje: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Susiję vaizdo įrašai

Parašykite lygtį ir iš jos išskirkite kosinusą. Pagal vieną formulę vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų ilgiams, padaugintiems vienas iš kito ir iš kosinuso kampu, o kita vertus - kiekvienos ašies koordinačių sandaugų suma. Sulyginę abi formules, galime daryti išvadą, kad kosinusas kampu turi būti lygus koordinačių sandaugų sumos ir vektorių ilgių sandaugos santykiui.

Užrašykite gautą lygtį. Norėdami tai padaryti, turime pažymėti abu vektorius. Tarkime, kad jie pateikiami 3D Dekarto sistemoje, o jų pradžios taškai yra tinklelyje. Pirmojo vektoriaus kryptis ir dydis bus nurodytas tašku (X1,Y₁,Z₁), antrojo - (X2,Y2,Z2), o kampas bus pažymėtas raide γ. Tada kiekvieno vektoriaus ilgiai gali būti, pavyzdžiui, pagal Pitagoro teoremą, sudarytą iš jų projekcijų kiekvienoje koordinačių ašyje: √(X1² + Y1² + Z1²) ir √(X₂² + Y₂² + Z²). Pakeiskite šias išraiškas ankstesniame žingsnyje suformuluotoje formulėje ir gausite lygybę: cos(γ) = (X1*X₂ + Y1*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y₁² + Z₁²) * √ +(X₂) Y₂² + Z₂² )).

Naudokite tai, kad kvadrato suma sinusas ir bendrai sinusas iš kampu viena vertė visada suteikia vieną. Taigi, padidinus tai, kas buvo gauta ankstesniame žingsnyje bendrai sinusas kvadratu ir atimta iš vienybės, o tada

Studijuojant geometriją kyla daug klausimų vektorių tema. Mokinys patiria ypatingų sunkumų, kai reikia rasti kampus tarp vektorių.

Pagrindiniai terminai

Prieš svarstant kampus tarp vektorių, būtina susipažinti su vektoriaus apibrėžimu ir kampo tarp vektorių samprata.

Vektorius yra atkarpa, turinti kryptį, tai yra atkarpa, kuriai apibrėžta jo pradžia ir pabaiga.

Kampas tarp dviejų vektorių plokštumoje, turinčių bendrą pradžią, yra mažesnis iš kampų, kuriais reikia perkelti vieną iš vektorių aplink bendrą tašką į padėtį, kurioje jų kryptys sutampa.

Sprendimo formulė

Kai suprasite, kas yra vektorius ir kaip nustatomas jo kampas, galite apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Sprendimo formulė yra gana paprasta, o jos taikymo rezultatas bus kampo kosinuso reikšmė. Pagal apibrėžimą jis yra lygus vektorių skaliarinės sandaugos ir jų ilgių sandaugai.

Skaliarioji vektorių sandauga laikoma atitinkamų dauginamųjų vektorių koordinačių, padaugintų vienas iš kito, suma. Vektoriaus ilgis arba jo modulis apskaičiuojamas kaip kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos.

Gavę kampo kosinuso vertę, galite apskaičiuoti paties kampo vertę naudodami skaičiuotuvą arba naudodami trigonometrinė lentelė.

Pavyzdys

Kai išsiaiškinsite, kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių, atitinkamos problemos sprendimas tampa paprastas ir aiškus. Kaip pavyzdį apsvarstykite paprastą kampo dydžio nustatymo problemą.

Visų pirma, bus patogiau apskaičiuoti sprendimui reikalingų vektorių ilgių reikšmes ir jų skaliarinę sandaugą. Naudodami aukščiau pateiktą aprašymą, gauname:

Pakeisdami gautas reikšmes į formulę, apskaičiuojame norimo kampo kosinuso reikšmę:

Šis skaičius nėra viena iš penkių bendrų kosinusų reikšmių, todėl norėdami gauti kampo reikšmę, turėsite naudoti skaičiuotuvą arba Bradis trigonometrinę lentelę. Tačiau prieš nustatant kampą tarp vektorių, formulę galima supaprastinti, kad būtų pašalintas papildomas neigiamas ženklas:

Galutinį atsakymą galima palikti šioje formoje, kad būtų išlaikytas tikslumas, arba galite apskaičiuoti kampo vertę laipsniais. Pagal Bradis lentelę jos reikšmė bus maždaug 116 laipsnių ir 70 minučių, o skaičiuoklė rodys 116,57 laipsnių.

Kampo skaičiavimas n-matėje erdvėje

Nagrinėjant du vektorius trimatėje erdvėje, daug sunkiau suprasti, apie kurį kampą kalbame, jei jie nėra vienoje plokštumoje. Norėdami supaprastinti suvokimą, galite nubrėžti du susikertančius segmentus, kurie sudaro mažiausią kampą tarp jų, ir jis bus norimas. Nepaisant to, kad vektoriuje yra trečioji koordinatė, kampų tarp vektorių apskaičiavimo procesas nepasikeis. Apskaičiuokite vektorių skaliarinę sandaugą ir modulius, jų koeficiento arckozinusą ir bus atsakymas į šią problemą.

Geometrijoje problemų dažnai kyla dėl erdvių, kurios turi daugiau nei tris matmenis. Tačiau jiems atsakymo paieškos algoritmas atrodo panašiai.

Skirtumas nuo 0 iki 180 laipsnių

Viena iš dažniausių klaidų rašant atsakymą į uždavinį, skirtą kampui tarp vektorių apskaičiuoti, yra sprendimas rašyti, kad vektoriai yra lygiagretūs, tai yra, norimas kampas buvo 0 arba 180 laipsnių. Šis atsakymas yra neteisingas.

Gavus 0 laipsnių kampo reikšmę dėl sprendimo, teisingas atsakymas būtų nurodyti vektorius kaip bendrakrypčius, tai yra, vektoriai turės tą pačią kryptį. 180 laipsnių atveju vektoriai bus priešingų krypčių.

Specifiniai vektoriai

Suradus kampus tarp vektorių, galima rasti vieną iš specialiųjų tipų, be aukščiau aprašytų kartu nukreiptų ir priešingų.

Keli vektoriai, lygiagretūs vienai plokštumai, vadinami koplanariniais.
Vektoriai, kurių ilgis ir kryptis yra vienodi, vadinami lygiais.
Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje, nepriklausomai nuo krypties, vadinami kolineariniais.
Jei vektoriaus ilgis lygus nuliui, tai yra jo pradžia ir pabaiga sutampa, tada jis vadinamas nuliu, o jei vienetas – vienetu.

Kampas tarp dviejų vektorių:

Jei kampas tarp dviejų vektorių yra smailus, tada jų taškinė sandauga yra teigiama; jei kampas tarp vektorių yra bukas, tai šių vektorių skaliarinė sandauga yra neigiama. Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai šie vektoriai yra stačiakampiai.

Užduotis. Raskite kampą tarp vektorių ir

Sprendimas. Norimo kampo kosinusas

16. Kampo tarp tiesių, tiesės ir plokštumos apskaičiavimas

Kampas tarp linijos ir plokštumos kertantis šią tiesę, o ne jai statmenas, yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą.

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas leidžia daryti išvadą, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių: pačios tiesės ir jos projekcijos į plokštumą. Todėl kampas tarp linijos ir plokštumos yra smailusis kampas.

Kampas tarp statmenos tiesės ir plokštumos laikomas lygiu, o kampas tarp lygiagrečios tiesės ir plokštumos arba visai nenustatomas, arba laikomas lygiu .

§ 69. Kampo tarp tiesių skaičiavimas.

Kampo tarp dviejų tiesių erdvėje apskaičiavimo problema sprendžiama taip pat, kaip ir plokštumoje (§ 32). φ pažymėkite kampą tarp linijų l 1 ir l 2 , o per ψ - kampas tarp krypties vektorių bet Ir b šios tiesios linijos.

Tada jei

ψ 90° (206.6 pav.), tada φ = 180° - ψ. Akivaizdu, kad abiem atvejais lygybė cos φ = |cos ψ| yra teisinga. Pagal formulę (1) § 20 turime

Vadinasi,

Tegul tiesės pateikiamos jų kanoninėmis lygtimis

Tada kampas φ tarp linijų nustatomas pagal formulę

Jei viena iš tiesių (arba abi) yra pateiktos nekanoninėmis lygtimis, tada norint apskaičiuoti kampą, reikia rasti šių linijų krypties vektorių koordinates ir naudoti formulę (1).

17. Lygiagrečios tiesės, Teoremos apie lygiagrečias tieses

Apibrėžimas. Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai jei jie neturi bendrų taškų.

Vadinamos dvi trijų matmenų linijos lygiagrečiai jei jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Kampas tarp dviejų vektorių.

Iš taškinio produkto apibrėžimo:

Dviejų vektorių ortogonalumo sąlyga:

Dviejų vektorių kolineariškumo sąlyga:

Išplaukia iš 5 apibrėžimo - . Iš tiesų, iš vektoriaus sandaugos iš skaičiaus apibrėžimo išplaukia. Todėl, remiantis vektorių lygybės taisykle, rašome , , , o tai reiškia . Tačiau vektorius, gautas padauginus vektorių iš skaičiaus, yra kolinearinis vektoriui .

Projekcija iš vektorių į vektorių:

4 pavyzdys. Duoti taškai , , , .

Raskite skaliarinį sandaugą.

Sprendimas. randame pagal vektorių skaliarinės sandaugos formulę, pateiktą pagal jų koordinates. Tiek, kiek

, ,

5 pavyzdys Duoti taškai , , , .

Raskite projekciją.

Sprendimas. Tiek, kiek

, ,

Remdamiesi projekcijos formule, turime

6 pavyzdys Duoti taškai , , , .

Raskite kampą tarp vektorių ir .

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriai

, ,

nėra kolinearinės, nes jų koordinatės nėra proporcingos:

Šie vektoriai taip pat nėra statmeni, nes jų taškinė sandauga yra .

Raskime,

Injekcija rasti pagal formulę:

7 pavyzdys Nustatykite, kuriems vektoriams ir kolinearinis.

Sprendimas. Kolineariškumo atveju atitinkamos vektorių koordinatės ir turi būti proporcingi, tai yra:

Iš čia ir .

8 pavyzdys. Nustatykite, kokia vektoriaus reikšmė Ir yra statmenos.

Sprendimas. Vektorius ir yra statmenos, jei jų taškinė sandauga yra lygi nuliui. Iš šios sąlygos gauname: . Tai yra, .

9 pavyzdys. Rasti , jei , , .

Sprendimas. Dėl skaliarinio produkto savybių turime:

10 pavyzdys. Raskite kampą tarp vektorių ir , kur ir - vienetiniai vektoriai ir kampas tarp vektorių ir yra lygus 120o.

Sprendimas. Mes turime: , ,

Pagaliau turime: .

5 B. vektorinis produktas.

21 apibrėžimas.vektorinis menas vektorius vektorius vadinamas vektoriumi arba , apibrėžtas šiomis trimis sąlygomis:

1) Vektoriaus modulis yra , kur kampas tarp vektorių ir , t.y. .

Iš to išplaukia, kad vektorinės sandaugos modulis yra skaitinis lygus plotui lygiagretainis pastatytas ant vektorių ir kaip ant šonų.

2) Vektorius yra statmenas kiekvienam iš vektorių ir ( ; ), t.y. statmena lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir , plokštumai.

3) Vektorius nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, trumpiausias posūkis iš vektoriaus į vektorių būtų prieš laikrodžio rodyklę (vektoriai , , sudaro dešinįjį trigubą).

Kaip apskaičiuoti kampus tarp vektorių?

Studijuojant geometriją kyla daug klausimų vektorių tema. Mokinys patiria ypatingų sunkumų, kai reikia rasti kampus tarp vektorių.

Pagrindiniai terminai

Prieš svarstant kampus tarp vektorių, būtina susipažinti su vektoriaus apibrėžimu ir kampo tarp vektorių samprata.

Vektorius yra atkarpa, turinti kryptį, tai yra atkarpa, kuriai apibrėžta jo pradžia ir pabaiga.

Sprendimo formulė

Gavę kampo kosinuso vertę, galite apskaičiuoti paties kampo vertę naudodami skaičiuotuvą arba naudodami trigonometrinę lentelę.

Pavyzdys

Kai išsiaiškinsite, kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių, atitinkamos problemos sprendimas tampa paprastas ir aiškus. Kaip pavyzdį apsvarstykite paprastą kampo dydžio nustatymo problemą.

Visų pirma, bus patogiau apskaičiuoti sprendimui reikalingų vektorių ilgių reikšmes ir jų skaliarinę sandaugą. Naudodami aukščiau pateiktą aprašymą, gauname:

Pakeisdami gautas reikšmes į formulę, apskaičiuojame norimo kampo kosinuso reikšmę:

Kampo skaičiavimas n-matėje erdvėje

Geometrijoje problemų dažnai kyla dėl erdvių, kurios turi daugiau nei tris matmenis. Tačiau jiems atsakymo paieškos algoritmas atrodo panašiai.

Skirtumas nuo 0 iki 180 laipsnių

Specifiniai vektoriai

Suradus kampus tarp vektorių, galima rasti vieną iš specialiųjų tipų, be aukščiau aprašytų kartu nukreiptų ir priešingų.

Keli vektoriai, lygiagretūs vienai plokštumai, vadinami koplanariniais.
Vektoriai, kurių ilgis ir kryptis yra vienodi, vadinami lygiais.
Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje, nepriklausomai nuo krypties, vadinami kolineariniais.
Jei vektoriaus ilgis lygus nuliui, tai yra jo pradžia ir pabaiga sutampa, tada jis vadinamas nuliu, o jei vienetas – vienetu.

Kaip rasti kampą tarp vektorių?

Padėk man, prašau! Aš žinau formulę, bet negaliu jos suprasti
vektorius a (8; 10; 4) vektorius b (5; -20; -10)

Aleksandras Titovas

Kampas tarp vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, randamas pagal standartinį algoritmą. Pirmiausia reikia rasti vektorių a ir b skaliarinę sandaugą: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Čia pakeičiame šių vektorių koordinates ir atsižvelgiame į:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Toliau nustatome kiekvieno vektoriaus ilgį. Vektoriaus ilgis arba modulis yra kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos:
|a| = šaknis iš (x1^2 + y1^2 + z1^2) = šaknis iš (8^2 + 10^2 + 4^2) = šaknis iš (64 + 100 + 16) = šaknis iš 180 = 6 šaknys penkios
|b| = kvadratinė šaknis iš (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratinė šaknis iš (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratinė šaknis iš (25 + 400 + 100) ) = kvadratinė šaknis iš 525 = 5 šaknys iš 21.
Šiuos ilgius padauginame. Mes gauname 30 šaknų iš 105.
Ir galiausiai vektorių skaliarinę sandaugą padalijame iš šių vektorių ilgių sandaugos. Gauname -200 / (30 šaknų iš 105) arba
- (4 šaknys iš 105) / 63. Tai kampo tarp vektorių kosinusas. O pats kampas lygus šio skaičiaus lanko kosinusui
f \u003d arccos (-4 šaknys iš 105) / 63.
Jei teisingai suskaičiavau.

Kaip apskaičiuoti kampo tarp vektorių sinusą iš vektorių koordinačių

Michailas Tkačiovas

Šiuos vektorius padauginame. Jų taškinė sandauga yra lygi šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.
Kampas mums nežinomas, bet koordinatės žinomos.
Parašykime matematiškai taip.
Tegu, duoti vektoriai a(x1;y1) ir b(x2;y2)
Tada

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mes gincijames.
vektorių a*b-skaliarinė sandauga yra lygi šių vektorių koordinačių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai, t.y. lygi x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektoriaus ilgių sandauga lygi √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Taigi kampo tarp vektorių kosinusas yra:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Žinodami kampo kosinusą galime apskaičiuoti jo sinusą. Aptarkime, kaip tai padaryti:

Jei kampo kosinusas yra teigiamas, tai šis kampas yra 1 arba 4 ketvirčiai, taigi jo sinusas yra teigiamas arba neigiamas. Bet kadangi kampas tarp vektorių yra mažesnis arba lygus 180 laipsnių, tada jo sinusas yra teigiamas. Panašiai ginčijame, jei kosinusas yra neigiamas.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Štai ir viskas)))) Sėkmės išsiaiškinti)))

Dmitrijus Leviščevas

Tai, kad neįmanoma tiesiogiai sinusuoti, nėra tiesa.
Be formulės:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Yra ir šitas:
||=|a|*|b|*A
Tai yra, vietoj skaliarinės sandaugos galite paimti vektorinės sandaugos modulį.

„Vektoriaus skaliarinė sandauga“ – vektorių skaliarinė sandauga. Lygiakraščio trikampio ABC, kurio kraštinė 1, aukštis BD nubrėžtas. Pagal apibrėžimą apibūdinkite kampą? tarp vektorių ir jei: a) b) c) d). Esant kokiai t reikšmei, vektorius yra statmenas vektoriui, jei (2, -1), (4, 3). Vektorių ir skaliarinė sandauga žymima.

„Geometrijos 9 klasė „Vektoriai““ – atstumas tarp dviejų taškų. Paprasčiausi uždaviniai koordinatėse. Išbandyk save! Vektorinės koordinatės. 1903 metais O. Henrichi pasiūlė skaliarinį sandaugą žymėti simboliu (a, c). Vektorius yra nukreipta atkarpa. Vektoriaus skaidymas koordinačių vektoriais. Vektoriaus samprata. Vektoriaus skaidymas plokštumoje dviem nekolineariniais vektoriais.

„Problemų sprendimo vektorius“ – išreikškite vektorius AM, DA, CA, MB, CD vektoriais a ir vektoriais b. № 2 Išreikškite vektorius DP, DM, AC per vektorius a ir b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Vektorius CK, RK išreikškite vektoriais a ir b. BE:EC = 3: 1. K yra nuolatinės srovės vidurys. VK: KС = 3: 4. Vektorius AK, DK išreikškite vektoriais a ir b. Vektorių taikymas problemų sprendimui (1 dalis).

„Vektorių problemos“ – teorema. Raskite koordinates. Skiriami trys taškai. Trikampio viršūnės. Raskite vektorių koordinates. Raskite taško koordinates. Raskite vektoriaus koordinates ir ilgį. Išreikškite vektoriaus ilgį. Vektorinės koordinatės. Vektorinės koordinatės. Raskite vektoriaus koordinates. Pateikiami vektoriai. Pavadinkite vektorių koordinates. Vektorius turi koordinates.

„Koordinačių metodas plokštumoje“ – nubrėžiamas apskritimas. Statmenys. Koordinačių ašis. Sinuso vertė. Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Raskite viršūnių koordinates. Apsvarstykite pavyzdį. Šios problemos sprendimas. Taškai skiriami lėktuve. Lygiagretainio viršūnės. Išplėskite vektorius. Apskaičiuoti. Daug taškų. Grafiškai išspręskite lygčių sistemą.

„Vektorių sudėjimas ir atėmimas“ – 1. Pamokos tikslai. 2. Pagrindinė dalis. Jūsų labai, dauguma geriausias draugas Sleepwalker! Sužinokite, kaip atimti vektorius. 2. Nurodykite vektorių a ir b sumos vektorių. Mano draugas!! Pažiūrėkime, ką čia turime. Mūsų tikslai: Išvada. 3. Galvos apžvalga. 4. Literatūros sąrašas. Kelionė su Lunaticu. Iš taško A atidedame abu vektorius.

Iš viso temoje yra 29 pranešimai