„Vektoriaus skaliarinė sandauga“ – vektorių skaliarinė sandauga. Lygiakraščio trikampio ABC, kurio kraštinė 1, aukštis BD nubrėžtas. Pagal apibrėžimą apibūdinkite kampą? tarp vektorių ir jei: a) b) c) d). Esant kokiai t reikšmei, vektorius yra statmenas vektoriui, jei (2, -1), (4, 3). Vektorių ir skaliarinė sandauga žymima.

„Geometrijos 9 klasė „Vektoriai““ – atstumas tarp dviejų taškų. Paprasčiausi uždaviniai koordinatėse. Išbandyk save! Vektorinės koordinatės. 1903 metais O. Henrichi pasiūlė skaliarinį sandaugą žymėti simboliu (a, c). Vektorius yra nukreipta atkarpa. Vektoriaus skaidymas koordinačių vektoriais. Vektoriaus samprata. Vektoriaus skaidymas plokštumoje dviem nekolineariniais vektoriais.

„Problemų sprendimo vektorius“ – išreikškite vektorius AM, DA, CA, MB, CD vektoriais a ir vektoriais b. № 2 Išreikškite vektorius DP, DM, AC per vektorius a ir b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Vektorius CK, RK išreikškite vektoriais a ir b. BE:EC = 3: 1. K yra nuolatinės srovės vidurys. VK: KС = 3: 4. Vektorius AK, DK išreikškite vektoriais a ir b. Vektorių taikymas problemų sprendimui (1 dalis).

„Vektorių problemos“ – teorema. Raskite koordinates. Skiriami trys taškai. Trikampio viršūnės. Raskite vektorių koordinates. Raskite taško koordinates. Raskite vektoriaus koordinates ir ilgį. Išreikškite vektoriaus ilgį. Vektorinės koordinatės. Vektorinės koordinatės. Raskite vektoriaus koordinates. Pateikiami vektoriai. Pavadinkite vektorių koordinates. Vektorius turi koordinates.

„Koordinačių metodas plokštumoje“ – nubrėžiamas apskritimas. Statmenys. Koordinačių ašis. Sinuso vertė. Stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Raskite viršūnių koordinates. Apsvarstykite pavyzdį. Šios problemos sprendimas. Taškai skiriami lėktuve. Lygiagretainio viršūnės. Išplėskite vektorius. Apskaičiuoti. Daug taškų. Grafiškai išspręskite lygčių sistemą.

„Vektorių sudėjimas ir atėmimas“ – 1. Pamokos tikslai. 2. Pagrindinė dalis. Jūsų labai, dauguma geriausias draugas Sleepwalker! Sužinokite, kaip atimti vektorius. 2. Nurodykite vektorių a ir b sumos vektorių. Mano draugas!! Pažiūrėkime, ką čia turime. Mūsų tikslai: Išvada. 3. Galvos apžvalga. 4. Literatūros sąrašas. Kelionė su Lunaticu. Iš taško A atidedame abu vektorius.

Iš viso temoje yra 29 pranešimai

Studijuojant geometriją vektorių tema kyla daug klausimų. Mokinys patiria ypatingų sunkumų, kai reikia rasti kampus tarp vektorių.

Pagrindiniai terminai

Prieš svarstant kampus tarp vektorių, būtina susipažinti su vektoriaus apibrėžimu ir kampo tarp vektorių samprata.

Vektorius yra atkarpa, turinti kryptį, tai yra atkarpa, kuriai apibrėžta jo pradžia ir pabaiga.

Kampas tarp dviejų vektorių plokštumoje, turinčių bendrą pradžią, yra mažesnis iš kampų, kuriais reikia perkelti vieną iš vektorių aplink bendrą tašką į padėtį, kurioje jų kryptys sutampa.

Sprendimo formulė

Kai suprasite, kas yra vektorius ir kaip nustatomas jo kampas, galite apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Sprendimo formulė yra gana paprasta, o jos taikymo rezultatas bus kampo kosinuso reikšmė. Pagal apibrėžimą jis yra lygus koeficientui taškinis produktas vektoriai ir jų ilgių sandauga.

Skaliarioji vektorių sandauga laikoma atitinkamų dauginamųjų vektorių koordinačių, padaugintų vienas iš kito, suma. Vektoriaus ilgis arba jo modulis apskaičiuojamas kaip kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos.

Gavę kampo kosinuso vertę, galite apskaičiuoti paties kampo vertę naudodami skaičiuotuvą arba naudodami trigonometrinę lentelę.

Pavyzdys

Kai išsiaiškinsite, kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių, atitinkamos problemos sprendimas tampa paprastas ir aiškus. Kaip pavyzdį apsvarstykite paprastą kampo dydžio nustatymo problemą.

Visų pirma, bus patogiau apskaičiuoti sprendimui reikalingų vektorių ilgių reikšmes ir jų skaliarinę sandaugą. Naudodami aukščiau pateiktą aprašymą, gauname:

Pakeisdami gautas reikšmes į formulę, apskaičiuojame norimo kampo kosinuso reikšmę:

Šis skaičius nėra viena iš penkių bendrų kosinusų reikšmių, todėl norėdami gauti kampo reikšmę, turėsite naudoti skaičiuotuvą arba Bradis trigonometrinę lentelę. Tačiau prieš nustatant kampą tarp vektorių, formulę galima supaprastinti, kad būtų pašalintas papildomas neigiamas ženklas:

Galutinį atsakymą galima palikti šioje formoje, kad būtų išlaikytas tikslumas, arba galite apskaičiuoti kampo vertę laipsniais. Pagal Bradis lentelę jos reikšmė bus maždaug 116 laipsnių ir 70 minučių, o skaičiuoklė rodys 116,57 laipsnių.

Kampo skaičiavimas n-matėje erdvėje

Nagrinėjant du vektorius trimatėje erdvėje, daug sunkiau suprasti, apie kurį kampą kalbame, jei jie nėra vienoje plokštumoje. Norėdami supaprastinti suvokimą, galite nubrėžti du susikertančius segmentus, kurie sudaro mažiausią kampą tarp jų, ir jis bus norimas. Nepaisant to, kad vektoriuje yra trečioji koordinatė, kampų tarp vektorių apskaičiavimo procesas nepasikeis. Apskaičiuokite vektorių skaliarinę sandaugą ir modulius, jų koeficiento arckozinusą ir bus atsakymas į šią problemą.

Geometrijoje problemų dažnai kyla dėl erdvių, kurios turi daugiau nei tris matmenis. Tačiau jiems atsakymo paieškos algoritmas atrodo panašiai.

Skirtumas nuo 0 iki 180 laipsnių

Viena iš dažniausių klaidų rašant atsakymą į uždavinį, skirtą kampui tarp vektorių apskaičiuoti, yra sprendimas rašyti, kad vektoriai yra lygiagretūs, tai yra, norimas kampas buvo 0 arba 180 laipsnių. Šis atsakymas yra neteisingas.

Gavus 0 laipsnių kampo reikšmę dėl sprendimo, teisingas atsakymas būtų nurodyti vektorius kaip bendrakrypčius, tai yra, vektoriai turės tą pačią kryptį. 180 laipsnių atveju vektoriai bus priešingų krypčių.

Specifiniai vektoriai

Suradus kampus tarp vektorių, galima rasti vieną iš specialiųjų tipų, be aukščiau aprašytų kartu nukreiptų ir priešingų.

• Keli vektoriai, lygiagretūs vienai plokštumai, vadinami koplanariniais.
• Vektoriai, kurių ilgis ir kryptis yra vienodi, vadinami lygiais.
• Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje, nepriklausomai nuo krypties, vadinami kolineariniais.
• Jei vektoriaus ilgis lygus nuliui, tai yra jo pradžia ir pabaiga sutampa, tada jis vadinamas nuliu, o jei vienetas – vienetu.

Instrukcija

Tegu plokštumoje pateikti du nuliniai vektoriai, nubraižyti iš vieno taško: vektorius A su koordinatėmis (x1, y1) B su koordinatėmis (x2, y2). Injekcija tarp jų žymimas θ. Norėdami rasti kampo θ laipsnio matą, turite naudoti skaliarinės sandaugos apibrėžimą.

Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui, ty (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Dabar reikia išreikšti kampo kosinusą: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skaliarinę sandaugą galima rasti ir naudojant formulę (A,B)=x1*x2+y1*y2, nes dviejų nulinių vektorių sandauga yra lygi atitinkamų vektorių sandaugų sumai. Jei nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni (kampas tarp jų yra 90 laipsnių) ir tolesnių skaičiavimų galima praleisti. Jei dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra teigiama, tai kampas tarp jų vektoriai smailus, o jei neigiamas, tai kampas yra bukas.

Dabar apskaičiuokite vektorių A ir B ilgius pagal formules: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektoriaus ilgis apskaičiuojamas kaip Kvadratinė šaknis nuo jo koordinačių kvadratų sumos.

Rastas skaliarinės sandaugos reikšmes ir vektorių ilgius pakeiskite 2 žingsnyje gauto kampo formule, ty cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Dabar, žinant reikšmę , rasti kampo tarp laipsnio matą vektoriai reikia naudoti Bradis lentelę arba paimti iš šios: θ=arccos(cos(θ)).

Jei vektoriai A ir B pateikti trimatėje erdvėje ir turi atitinkamai koordinates (x1, y1, z1) ir (x2, y2, z2), tai ieškant kampo kosinuso pridedama dar viena koordinatė. Šiuo atveju kosinusas: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Naudingi patarimai

Jei du vektoriai nėra nubraižyti iš vieno taško, tada norint rasti kampą tarp jų lygiagrečiai, reikia sujungti šių vektorių pradžią.
Kampas tarp dviejų vektorių negali būti didesnis nei 180 laipsnių.

Šaltiniai:

• kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių
• Kampas tarp linijos ir plokštumos

Norint išspręsti daugelį taikomųjų ir teorinių fizikos ir tiesinės algebros uždavinių, būtina apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Ši iš pažiūros paprasta užduotis gali sukelti daug sunkumų, jei aiškiai nesuprantate skaliarinės sandaugos esmės ir kokios vertės atsiranda dėl šio produkto.

Instrukcija

Kampas tarp vektorių tiesinėje vektorių erdvėje yra mažiausias kampas ties , kuriame pasiekiama vektorių kryptis. Vienas iš vektorių yra nešamas aplink pradinį tašką. Iš apibrėžimo tampa akivaizdu, kad kampo vertė negali viršyti 180 laipsnių (žr. žingsnį).

Šiuo atveju visiškai pagrįstai manoma, kad tiesinėje erdvėje vektorius perkėlus lygiagrečiai, kampas tarp jų nekinta. Todėl analitiniam kampo skaičiavimui vektorių erdvinė orientacija neturi reikšmės.

Taškinės sandaugos rezultatas yra skaičius, kitu atveju skaliaras. Prisiminkite (tai svarbu žinoti), kad išvengtumėte klaidų atliekant tolesnius skaičiavimus. Skaliarinės sandaugos formulė, esanti plokštumoje arba vektorių erdvėje, turi formą (žr. žingsnį paveikslėlyje).

Jei vektoriai yra erdvėje, tada atlikite skaičiavimą panašiai. Vienintelis dalykas bus termino atsiradimas dividende – toks yra pareiškimo terminas, t.y. trečiasis vektoriaus komponentas. Atitinkamai, skaičiuojant vektorių modulį, reikia atsižvelgti ir į z komponentą, tada erdvėje esantiems vektoriams paskutinė išraiška transformuojama taip (žr. 6 pav. prie žingsnio).

Vektorius yra linijos atkarpa su nurodyta kryptimi. Kampas tarp vektorių turi fizinę reikšmę, pavyzdžiui, ieškant vektoriaus projekcijos į ašį ilgį.

Instrukcija

Kampas tarp dviejų nulinių vektorių naudojant taško sandaugą. Pagal apibrėžimą sandauga yra lygi ilgių ir kampo tarp jų sandaugai. Kita vertus, dviejų vektorių a su koordinatėmis (x1; y1) ir b su koordinatėmis (x2; y2) vidinė sandauga apskaičiuojama: ab = x1x2 + y1y2. Iš šių dviejų būdų taškinį sandaugą lengva nukreipti kampu tarp vektorių.

Raskite vektorių ilgius arba modulius. Mūsų vektoriams a ir b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Raskite vektorių vidinę sandaugą padauginę jų koordinates poromis: ab = x1x2 + y1y2. Iš taško sandaugos apibrėžimo ab = |a|*|b|*cos α, kur α yra kampas tarp vektorių. Tada gauname, kad x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tada cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Raskite kampą α naudodami Bradys lenteles.

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Skaliarinė sandauga yra vektorių ilgio ir kampo tarp jų skaliarinė charakteristika.

Plokštuma yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Plokštuma yra paviršius, kurio teiginys yra teisingas – bet kuri tiesi linija, jungianti du jos taškus, visiškai priklauso šiam paviršiui. Lėktuvai yra paskirti Graikiškos raidėsα, β, γ ir kt. Dvi plokštumos visada susikerta tiesia linija, kuri priklauso abiem plokštumoms.

Instrukcija

Apsvarstykite pusiau plokštumas α ir β, susidariusias sankirtoje. Kampas, sudarytas iš tiesės a ir dviejų pusiau plokštumų α ir β dvikampio kampo. Šiuo atveju pusės plokštumos, formuojančios dvikampį kampą paviršiais, tiesė a, išilgai kurios plokštumos susikerta, vadinama briauna dvikampis kampas.

Dvikampis kampas, kaip ir plokščias kampas, laipsniais. Norint sudaryti dvikampį kampą, jo paviršiuje reikia pasirinkti savavališką tašką O. Abiejuose per tašką O nubrėžti du spinduliai a. Gautas kampas AOB vadinamas dvikampio kampo a tiesiniu kampu.

Taigi, vektorius V = (a, b, c) ir plokštuma A x + B y + C z = 0, kur A, B ir C yra normaliosios N koordinatės. Tada kampo kosinusas α tarp vektorių V ir N yra: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Norint apskaičiuoti kampo reikšmę laipsniais arba radianais, iš gautos išraiškos reikia apskaičiuoti kosinusui atvirkštinę funkciją, t.y. arkosinas: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Pavyzdys: rasti injekcija tarp vektorius(5, -3, 8) ir lėktuvas, pateiktą bendrąją lygtį 2 x - 5 y + 3 z = 0. Sprendimas: užrašykite plokštumos N = (2, -5, 3) normaliojo vektoriaus koordinates. Pakeiskite viską žinomos vertės aukščiau pateiktoje formulėje: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Susiję vaizdo įrašai

Parašykite lygtį ir iš jos išskirkite kosinusą. Pagal vieną formulę vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų ilgiams, padaugintiems vienas iš kito ir iš kosinuso kampas, o kita vertus - kiekvienos ašies koordinačių sandaugų suma. Sulyginę abi formules, galime daryti išvadą, kad kosinusas kampas turi būti lygus koordinačių sandaugų sumos ir vektorių ilgių sandaugos santykiui.

Užrašykite gautą lygtį. Norėdami tai padaryti, turime pažymėti abu vektorius. Tarkime, kad jie pateikiami 3D Dekarto sistemoje, o jų pradžios taškai yra tinklelyje. Pirmojo vektoriaus kryptis ir dydis bus nurodytas tašku (X1,Y₁,Z₁), antrojo - (X2,Y2,Z2), o kampas bus pažymėtas raide γ. Tada kiekvieno vektoriaus ilgiai gali būti, pavyzdžiui, pagal Pitagoro teoremą, sudarytą iš jų projekcijų kiekvienoje koordinačių ašyje: √(X1² + Y1² + Z1²) ir √(X₂² + Y₂² + Z²). Pakeiskite šias išraiškas ankstesniame žingsnyje suformuluotoje formulėje ir gausite lygybę: cos(γ) = (X1*X₂ + Y1*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y₁² + Z₁²) * √ +(X₂) Y₂² + Z₂² )).

Naudokite tai, kad kvadrato suma sinusas ir bendrai sinusas iš kampas viena vertė visada suteikia vieną. Taigi, padidinus tai, kas buvo gauta ankstesniame žingsnyje bendrai sinusas kvadratu ir atimta iš vienybės, o tada

Taškinė vektorių sandauga

Mes ir toliau susiduriame su vektoriais. Pirmoje pamokoje Manekenų vektoriai išnagrinėjome vektoriaus sampratą, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates ir paprasčiausius vektorių uždavinius. Jei pirmą kartą atėjote į šį puslapį naudodami paieškos variklį, primygtinai rekomenduoju perskaityti aukščiau pateiktą informaciją įvadinis straipsnis, nes norint įsisavinti medžiagą būtina naršyti mano vartojamuose terminuose ir užrašuose, turėti pagrindinės žinios apie vektorius ir gebėti spręsti elementarias problemas. Ši pamoka yra logiškas temos tęsinys ir joje detaliai išanalizuosiu tipines užduotis, kuriose naudojama vektorių skaliarinė sandauga. Tai labai SVARBI veikla . Stenkitės nepraleisti pavyzdžių, juos lydi naudinga premija – praktika padės sutvirtinti nagrinėjamą medžiagą ir „pasitraukti“ sprendžiant įprastas analitinės geometrijos problemas.

Sudėti vektorius, padauginti vektorių iš skaičiaus…. Naivu būtų manyti, kad matematikai nieko kito nesugalvojo. Be jau apsvarstytų veiksmų, yra keletas kitų operacijų su vektoriais, būtent: vektorių taškinė sandauga, vektorių kryžminė sandauga Ir mišrus vektorių sandauga. Skaliarinė vektorių sandauga mums pažįstama iš mokyklos laikų, kiti du sandaugai tradiciškai yra susiję su kursu aukštoji matematika. Temos paprastos, daugelio problemų sprendimo algoritmas stereotipinis ir suprantamas. Vienintelis dalykas. Informacijos yra pakankamai daug, todėl nepageidautina stengtis įsisavinti ir išspręsti VISKAS IR IŠ karto. Tai ypač pasakytina apie manekenus, patikėkite, autorius visiškai nenori jaustis kaip Chikatilo iš matematikos. Na, žinoma, irgi ne iš matematikos =) Labiau pasiruošę mokiniai gali pasirinktinai naudoti medžiagą, tam tikra prasme "įsigyti" trūkstamas žinias, aš tau būsiu nekenksmingas grafas Drakula =)

Galiausiai, šiek tiek atidarykime duris ir pažiūrėkime, kas atsitinka, kai susitinka du vektoriai...

Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas.
Skaliarinės sandaugos savybės. Tipiškos užduotys

Taškinio produkto samprata

Pirmiausia apie kampas tarp vektorių. Manau, kad visi intuityviai supranta, koks yra kampas tarp vektorių, bet tik tuo atveju, šiek tiek daugiau. Apsvarstykite laisvus nulinius vektorius ir . Jei atidėsime šiuos vektorius iš savavališko taško, gausime vaizdą, kurį daugelis jau pateikė mintyse:

Prisipažįstu, čia situaciją aprašiau tik supratimo lygmenyje. Jei jums reikia griežto kampo tarp vektorių apibrėžimo, skaitykite vadovėlį, tačiau praktiniams uždaviniams iš principo mums to nereikia. Taip pat ČIA IR TOLIAU kartais nekreipsiu dėmesio į nulinius vektorius dėl jų mažos praktinės reikšmės. Išlygą padariau specialiai pažengusiems svetainės lankytojams, kurie gali man priekaištauti dėl kai kurių toliau pateiktų teiginių teorinio neišsamumo.

gali būti nuo 0 iki 180 laipsnių (nuo 0 iki radianų) imtinai. Analitiškai duotas faktas parašyta kaip dviguba nelygybė: arba (radianais).

Literatūroje kampo piktograma dažnai praleidžiama ir tiesiog parašyta.

Apibrėžimas: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra SKAIČIUS, lygus šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

Dabar tai gana griežtas apibrėžimas.

Mes sutelkiame dėmesį į esminę informaciją:

Pavadinimas: skaliarinė sandauga žymima arba tiesiog .

Operacijos rezultatas yra SKAIČIUS: padauginkite vektorių iš vektoriaus, kad gautumėte skaičių. Iš tiesų, jei vektorių ilgiai yra skaičiai, kampo kosinusas yra skaičius, tada jų sandauga taip pat bus skaičius.

Tik keli apšilimo pavyzdžiai:

1 pavyzdys

Sprendimas: Mes naudojame formulę . Tokiu atveju:

Atsakymas:

Kosinuso reikšmes galima rasti trigonometrinė lentelė. Rekomenduoju atsispausdinti – jo prireiks beveik visose bokšto atkarpose ir reikės daug kartų.

Grynai matematiniu požiūriu skaliarinė sandauga yra bedimensinė, tai yra, rezultatas šiuo atveju yra tik skaičius ir viskas. Fizikos problemų požiūriu skaliarinė sandauga visada turi tam tikrą fizinę reikšmę, tai yra po rezultato turi būti nurodytas vienas ar kitas fizinis vienetas. Kanoninį jėgos darbo apskaičiavimo pavyzdį galima rasti bet kuriame vadovėlyje (formulė yra tiksliai taškinė sandauga). Jėgos darbas matuojamas džauliais, todėl atsakymas bus parašytas gana konkrečiai, pavyzdžiui,.

2 pavyzdys

Rasti, jei , o kampas tarp vektorių yra .

Tai pavyzdys apsisprendimui, atsakymas – pamokos pabaigoje.

Kampas tarp vektorių ir taško sandaugos vertės

1 pavyzdyje skaliarinė sandauga pasirodė esanti teigiama, o 2 pavyzdyje – neigiama. Išsiaiškinkime, nuo ko priklauso skaliarinės sandaugos ženklas. Pažiūrėkime į mūsų formulę: . Ne nulinių vektorių ilgiai visada yra teigiami: , todėl ženklas gali priklausyti tik nuo kosinuso reikšmės.

Pastaba: Norint geriau suprasti toliau pateiktą informaciją, geriau išstudijuoti vadove pateiktą kosinuso grafiką Grafikai ir funkcijų savybės. Pažiūrėkite, kaip kosinusas elgiasi segmente.

Kaip jau minėta, kampas tarp vektorių gali skirtis , ir galimi šie atvejai:

1) Jei injekcija tarp vektorių aštrus: (nuo 0 iki 90 laipsnių), tada , Ir taškinis produktas bus teigiamas bendrai režisavo, tada kampas tarp jų laikomas nuliu, o skaliarinė sandauga taip pat bus teigiama. Kadangi , tada formulė supaprastinama: .

2) Jei injekcija tarp vektorių kvailas: (nuo 90 iki 180 laipsnių), tada ir atitinkamai, taškinis produktas yra neigiamas: . Ypatingas atvejis: jei vektoriai nukreiptas priešingai, tada atsižvelgiama į kampą tarp jų dislokuoti: (180 laipsnių). Skaliarinis sandauga taip pat yra neigiama, nes

Priešingi teiginiai taip pat teisingi:

1) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra smailus. Arba vektoriai yra bendros krypties.

2) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra bukas. Arba vektoriai yra nukreipti priešingai.

Tačiau trečiasis atvejis yra ypač įdomus:

3) Jei injekcija tarp vektorių tiesiai: (90 laipsnių), tada ir taškinis produktas yra nulis: . Ir atvirkščiai: jei , tada . Kompaktiškas pareiškimas suformuluotas taip: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai pateikti vektoriai yra stačiakampiai. trumpas matematinis žymėjimas:

! Pastaba : pakartokite matematinės logikos pagrindai: dvipusės loginės pasekmės piktograma dažniausiai skaitoma „jei ir tik tada“, „jei ir tik tada“. Kaip matote, rodyklės nukreiptos į abi puses – „iš to seka tai, ir atvirkščiai – iš to seka tai“. Beje, kuo skiriasi vienpusio sekimo piktograma ? Ikona teigia tik tai, kad kad „iš to seka tai“, o ne tai, kad yra atvirkščiai. Pavyzdžiui: , bet ne kiekvienas gyvūnas yra pantera, todėl šiuo atveju piktogramos naudoti negalima. Tuo pačiu metu vietoj piktogramos gali naudokite vienpusę piktogramą. Pavyzdžiui, spręsdami problemą sužinojome, kad padarėme išvadą, kad vektoriai yra stačiakampiai: - toks įrašas bus teisingas ir net tinkamesnis nei .

Trečiasis atvejis turi didelę praktinę reikšmę., nes leidžia patikrinti, ar vektoriai yra stačiakampiai, ar ne. Šią problemą spręsime antroje pamokos dalyje.

Taškinio gaminio savybės

Grįžkime prie situacijos, kai du vektoriai bendrai režisavo. Šiuo atveju kampas tarp jų nulis, , o skaliarinės sandaugos formulė yra tokia: .

Kas atsitiks, jei vektorius padauginamas iš savęs? Akivaizdu, kad vektorius yra nukreiptas kartu su savimi, todėl naudojame aukščiau pateiktą supaprastintą formulę:

Skambina numeriu skaliarinis kvadratas vektorius ir yra žymimi kaip .

Šiuo būdu, vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus nurodyto vektoriaus ilgio kvadratui:

Iš šios lygybės galite gauti formulę vektoriaus ilgiui apskaičiuoti:

Nors ir atrodo neaišku, bet pamokos užduotys viską sustatys į savo vietas. Norėdami išspręsti problemas, mums taip pat reikia taškinio produkto savybės.

Savavališkiems vektoriams ir bet kuriam skaičiui galioja šios savybės:

1) - perkeliamas arba komutacinės skaliarinio sandaugos dėsnis.

2) - platinimas arba paskirstymo skaliarinio sandaugos dėsnis. Paprasčiau tariant, galite atidaryti skliaustus.

3) - derinys arba asociatyvus skaliarinio sandaugos dėsnis. Konstantą galima išimti iš skaliarinio sandaugos.

Dažnai visokias savybes (kurias taip pat reikia įrodyti!) studentai suvokia kaip šlamštas, kurią tereikia išmokti mintinai ir saugiai pamiršti iškart po egzamino. Atrodytų, kas čia svarbu, visi jau nuo pirmos klasės žino, kad produktas nesikeičia dėl veiksnių permutacijos:. Turiu jus perspėti, kad aukštojoje matematikoje su tokiu požiūriu lengva viską sujaukti. Taigi, pavyzdžiui, komutacinė savybė negalioja algebrinės matricos. Tai netiesa vektorių kryžminė sandauga. Todėl bent jau geriau įsigilinti į bet kokias savybes, kurias sutiksite aukštosios matematikos kurse, kad suprastumėte, ką galima ir ko negalima.

3 pavyzdys

.

Sprendimas: Pirmiausia išsiaiškinkime situaciją su vektoriumi. Kas tai yra? Vektorių ir suma yra gerai apibrėžtas vektorius, kuris žymimas . Straipsnyje rasite geometrinį veiksmų su vektoriais interpretaciją Manekenų vektoriai. Ta pati petražolė su vektoriumi yra vektorių ir suma.

Taigi, pagal sąlygą, reikia rasti skaliarinį sandaugą. Teoriškai reikia taikyti darbo formulę , bet bėda ta, kad nežinome vektorių ilgių ir kampo tarp jų. Tačiau esant sąlygoms, vektoriams pateikiami panašūs parametrai, todėl eisime kitu keliu:

(1) Mes pakeičiame vektorių išraiškas.

(2) Mes atidarome skliaustus pagal daugianario daugybos taisyklę, straipsnyje galite rasti vulgarų liežuvio suktuką Sudėtingi skaičiai arba Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas. Nesikartosiu =) Beje, skaliarinės sandaugos skirstomoji savybė leidžia atverti skliaustus. Mes turime teisę.

(3) Pirmajame ir paskutiniame termine kompaktiškai užrašome vektorių skaliarinius kvadratus: . Antrajame termine naudojame skaliarinės sandaugos pakeičiamumą: .

(4) Štai panašūs terminai: .

(5) Pirmajame etape mes naudojame skaliarinio kvadrato formulę, kuri buvo paminėta ne taip seniai. Atitinkamai paskutinę kadenciją veikia tas pats: . Antrasis terminas išplečiamas pagal standartinę formulę .

(6) Pakeiskite šias sąlygas , ir ATSARGIAI atlikite galutinius skaičiavimus.

Atsakymas:

Neigiama prasmė taškinė sandauga nurodo faktą, kad kampas tarp vektorių yra bukas.

Užduotis yra tipiška, čia yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

4 pavyzdys

Raskite vektorių ir skaliarinę sandaugą, jei tai žinoma .

Dabar dar viena įprasta užduotis, skirta tik naujajai vektoriaus ilgio formulei. Pavadinimai čia šiek tiek sutaps, todėl aiškumo dėlei perrašysiu kita raide:

5 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Sprendimas bus taip:

(1) Pateikiame vektorinę išraišką .

(2) Mes naudojame ilgio formulę: , o sveikojo skaičiaus išraiška yra vektorius "ve".

(3) Sumos kvadratui naudojame mokyklos formulę. Atkreipkite dėmesį į tai, kaip tai keistai veikia čia: - iš tikrųjų tai yra skirtumo kvadratas, ir iš tikrųjų taip yra. Norintys gali vektorius perdėlioti vietomis: - taip išėjo iki terminų pertvarkymo.

(4) Tai, kas toliau pateikiama, jau žinoma iš dviejų ankstesnių problemų.

Atsakymas:

Kadangi kalbame apie ilgį, nepamirškite nurodyti matmenų – „vienetai“.

6 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Mes ir toliau spaudžiame naudingus dalykus iš skaliarinio produkto. Dar kartą pažvelkime į savo formulę . Pagal proporcingumo taisyklę vektorių ilgius nustatome iš naujo į kairės pusės vardiklį:

Sukeiskime dalis:

Kokia šios formulės prasmė? Jei žinomi dviejų vektorių ilgiai ir jų skaliarinė sandauga, tai galima apskaičiuoti kampo tarp šių vektorių kosinusą, taigi ir patį kampą.

Ar skaliarinis sandauga yra skaičius? Skaičius. Ar vektorių ilgiai yra skaičiai? Skaičiai. Taigi trupmena taip pat yra skaičius. Ir jei žinomas kampo kosinusas: , tada naudojant atvirkštinė funkcija patį kampą rasti lengva: .

7 pavyzdys

Raskite kampą tarp vektorių ir Jei žinoma, kad .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Ant paskutinis etapas skaičiavimus, buvo panaudota technika – neracionalumo pašalinimas vardiklyje. Siekdamas pašalinti neracionalumą, skaitiklį ir vardiklį padauginau iš .

Taigi, jei , tada:

Atvirkštinės reikšmės trigonometrinės funkcijos galima rasti pagal trigonometrinė lentelė. Nors taip nutinka retai. Analitinės geometrijos uždaviniuose kur kas dažniau pasirodo koks gremėzdiškas meškas, o kampo reikšmę reikia apytiksliai rasti naudojant skaičiuotuvą. Tiesą sakant, šį vaizdą matysime vėl ir vėl.

Atsakymas:

Vėlgi, nepamirškite nurodyti matmenų – radianų ir laipsnių. Asmeniškai, norėdamas sąmoningai „pašalinti visus klausimus“, norėčiau nurodyti abu (nebent, žinoma, pagal sąlygą, atsakymas turi būti pateiktas tik radianais arba tik laipsniais).

Dabar galite susidoroti su daugiau sunki užduotis:

7 pavyzdys*

Pateikiami vektorių ilgiai ir kampas tarp jų. Raskite kampą tarp vektorių , .

Užduotis ne tiek sudėtinga, kiek daugiakryptė.
Išanalizuokime sprendimo algoritmą:

1) Pagal sąlygą reikia rasti kampą tarp vektorių ir , todėl reikia naudoti formulę .

2) Randame skaliarinę sandaugą (žr. pavyzdžius Nr. 3, 4).

3) Raskite vektoriaus ilgį ir vektoriaus ilgį (žr. pavyzdžius Nr. 5, 6).

4) Sprendimo pabaiga sutampa su pavyzdžiu Nr. 7 – žinome skaičių , vadinasi, lengva rasti patį kampą:

Greitas Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Antroji pamokos dalis skirta tam pačiam taškiniam produktui. Koordinatės. Tai bus dar lengviau nei pirmoje dalyje.

Taškinė vektorių sandauga,
pateiktos koordinatėmis ortonormaliu pagrindu

Atsakymas:

Savaime suprantama, tvarkytis su koordinatėmis yra daug maloniau.

14 pavyzdys

Raskite vektorių skaliarinę sandaugą ir jei

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Čia galite naudoti operacijos asociatyvumą, tai yra, neskaičiuoti, o iš karto paimti trigubą iš skaliarinės sandaugos ir padauginti iš jo paskutinis. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Pastraipos pabaigoje provokuojantis vektoriaus ilgio skaičiavimo pavyzdys:

15 pavyzdys

Raskite vektorių ilgius , jei

Sprendimas: vėl klausia kelio ankstesnis skyrius: , bet yra ir kitas būdas:

Raskime vektorių:

Ir jo ilgis pagal trivialią formulę :

Skaliarinis produktas čia visai neaktualus!

Kaip nenaudinga skaičiuojant vektoriaus ilgį:
Sustabdyti. Kodėl nepasinaudojus akivaizdžia vektoriaus ilgio savybe? Ką galima pasakyti apie vektoriaus ilgį? Šis vektorius yra 5 kartus ilgesnis už vektorių. Kryptis priešinga, bet tai nesvarbu, nes kalbame apie ilgį. Akivaizdu, kad vektoriaus ilgis yra lygus sandaugai modulis skaičiai vienam vektoriaus ilgiui:
- modulio ženklas „suvalgo“ galimą skaičiaus minusą.

Šiuo būdu:

Atsakymas:

Kampo tarp vektorių, pateiktų koordinatėmis, kosinuso formulė

Dabar mes turime visą informaciją, kad anksčiau gauta kampo tarp vektorių kosinuso formulė išreikšti vektoriaus koordinatėmis:

Kampo tarp plokštumos vektorių kosinusas ir , pateikta ortonormaliu pagrindu , išreiškiamas formule:
.

Kampo tarp erdvės vektorių kosinusas, pateikta ortonormaliu pagrindu , išreiškiamas formule:

16 pavyzdys

Pateikiamos trys trikampio viršūnės. Rasti (viršūnės kampas ).

Sprendimas: Pagal sąlygą brėžinys nereikalingas, bet vis tiek:

Reikalingas kampas pažymėtas žaliu lanku. Nedelsdami prisiminkite kampo mokyklos pavadinimą: - Ypatingas dėmesys ant vidurio raidė - tai mums reikalingo kampo viršūnė. Dėl trumpumo tai taip pat galėtų būti parašyta paprastai.

Iš brėžinio visiškai akivaizdu, kad trikampio kampas sutampa su kampu tarp vektorių ir , kitaip tariant: .

Pageidautina išmokti mintyse atlikti analizę.

Raskime vektorius:

Apskaičiuokime skaliarinį sandaugą:

Ir vektorių ilgiai:

Kampo kosinusas:

Būtent tokią užduočių tvarką rekomenduoju manekenams. Labiau pažengę skaitytojai gali parašyti skaičiavimus „vienoje eilutėje“:

Štai „blogos“ kosinuso reikšmės pavyzdys. Gauta vertė nėra galutinė, todėl ne ypatinga prasmė atsikratyti iracionalumo vardiklyje.

Raskime kampą:

Jei pažvelgsite į piešinį, rezultatas yra gana tikėtinas. Norėdami patikrinti kampą, taip pat galite išmatuoti transporterį. Nepažeiskite monitoriaus dangos =)

Atsakymas:

Atsakydami nepamirškite to paklausė apie trikampio kampą(o ne apie kampą tarp vektorių), nepamirškite nurodyti tikslaus atsakymo: ir apytikslės kampo vertės: rasta su skaičiuotuvu.

Tie, kuriems patiko procesas, gali apskaičiuoti kampus ir įsitikinti, kad kanoninė lygybė yra teisinga

17 pavyzdys

Trikampis erdvėje pateikiamas jo viršūnių koordinatėmis. Raskite kampą tarp kraštinių ir

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje

Nedidelė paskutinė dalis bus skirta projekcijoms, kuriose taip pat „įtraukiama“ skaliarinė sandauga:

Vektoriaus projekcija į vektorių. Vektorinė projekcija į koordinačių ašis.
Vektorinės krypties kosinusai

Apsvarstykite vektorius ir:

Mes projektuojame vektorių ant vektoriaus , todėl praleidžiame nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos statmenai vienam vektoriui (žalios punktyrinės linijos). Įsivaizduokite, kad šviesos spinduliai statmenai krinta ant vektoriaus. Tada atkarpa (raudona linija) bus vektoriaus „šešėlis“. Šiuo atveju vektoriaus projekcija į vektorių yra atkarpos ILGIS. Tai yra, PROJEKCIJA YRA SKAIČIUS.

Šis SKAIČIUS žymimas taip: , „didelis vektorius“ reiškia vektorių KURIOS projektas, „mažas indekso vektorius“ reiškia vektorių ANT kuri yra prognozuojama.

Pats įrašas skamba taip: „vektoriaus „a“ projekcija į vektorių „būti““.

Kas atsitiks, jei vektorius „būti“ yra „per trumpas“? Nubrėžiame tiesią liniją, kurioje yra vektorius „būti“. Ir vektorius „a“ jau bus suprojektuotas vektoriaus "būti" kryptimi, tiesiog – tiesėje, kurioje yra vektorius „būti“. Tas pats atsitiks, jei vektorius „a“ bus atidėtas trisdešimtoje karalystėje – jis vis tiek bus lengvai projektuojamas ant linijos, kurioje yra vektorius „būti“.

Jei kampas tarp vektorių aštrus(kaip nuotraukoje), tada

Jei vektoriai stačiakampis, tada (projekcija yra taškas, kurio matmenys laikomi nuliui).

Jei kampas tarp vektorių kvailas(paveiksle mintyse pertvarkykite vektoriaus rodyklę), tada (toks pat ilgis, bet paimtas su minuso ženklu).

Atidėkite šiuos vektorius iš vieno taško:

Akivaizdu, kad judinant vektorių jo projekcija nesikeičia

Kampas tarp dviejų vektorių:

Jei kampas tarp dviejų vektorių yra smailus, tada jų taškinė sandauga yra teigiama; jei kampas tarp vektorių yra bukas, tai šių vektorių skaliarinė sandauga yra neigiama. Dviejų nulinių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai šie vektoriai yra stačiakampiai.

Užduotis. Raskite kampą tarp vektorių ir

Sprendimas. Norimo kampo kosinusas

16. Kampo tarp tiesių, tiesės ir plokštumos apskaičiavimas

Kampas tarp linijos ir plokštumos kertantis šią tiesę, o ne jai statmenas, yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą.

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas leidžia daryti išvadą, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių: pačios tiesės ir jos projekcijos į plokštumą. Todėl kampas tarp linijos ir plokštumos yra smailusis kampas.

Kampas tarp statmenos tiesės ir plokštumos laikomas lygiu, o kampas tarp lygiagrečios tiesės ir plokštumos arba visai nenustatomas, arba laikomas lygiu .

§ 69. Kampo tarp tiesių skaičiavimas.

Kampo tarp dviejų tiesių erdvėje apskaičiavimo problema sprendžiama taip pat, kaip ir plokštumoje (§ 32). φ pažymėkite kampą tarp linijų l 1 ir l 2 , o per ψ - kampas tarp krypties vektorių bet Ir b šios tiesios linijos.

Tada jei

ψ 90° (206.6 pav.), tada φ = 180° - ψ. Akivaizdu, kad abiem atvejais lygybė cos φ = |cos ψ| yra teisinga. Pagal formulę (1) § 20 turime

Vadinasi,

Tegul tiesės pateikiamos jų kanoninėmis lygtimis

Tada kampas φ tarp linijų nustatomas pagal formulę

Jei viena iš tiesių (arba abi) yra pateiktos nekanoninėmis lygtimis, tada norint apskaičiuoti kampą, reikia rasti šių linijų krypties vektorių koordinates ir naudoti formulę (1).

17. Lygiagrečios tiesės, Teoremos apie lygiagrečias tieses

Apibrėžimas. Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai jei jie neturi bendrų taškų.

Vadinamos dvi trijų matmenų linijos lygiagrečiai jei jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

Kampas tarp dviejų vektorių.

Iš taškinio produkto apibrėžimo:

.

Dviejų vektorių ortogonalumo sąlyga:

Dviejų vektorių kolineariškumo sąlyga:

.

Išplaukia iš 5 apibrėžimo - . Iš tiesų, iš vektoriaus sandaugos iš skaičiaus apibrėžimo išplaukia. Todėl, remiantis vektorių lygybės taisykle, rašome , , , o tai reiškia . Tačiau vektorius, gautas padauginus vektorių iš skaičiaus, yra kolinearinis vektoriui .

Projekcija iš vektorių į vektorių:

.

4 pavyzdys. Duoti taškai , , , .

Raskite skaliarinį sandaugą.

Sprendimas. randame pagal vektorių skaliarinės sandaugos formulę, pateiktą pagal jų koordinates. Tiek, kiek

, ,

5 pavyzdys Duoti taškai , , , .

Raskite projekciją.

Sprendimas. Tiek, kiek

, ,

Remdamiesi projekcijos formule, turime

.

6 pavyzdys Duoti taškai , , , .

Raskite kampą tarp vektorių ir .

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriai

, ,

nėra kolinearinės, nes jų koordinatės nėra proporcingos:

.

Šie vektoriai taip pat nėra statmeni, nes jų taškinė sandauga yra .

Raskime,

Injekcija raskite pagal formulę:

.

7 pavyzdys Nustatykite, kuriems vektoriams ir kolinearinis.

Sprendimas. Kolineariškumo atveju atitinkamos vektorių koordinatės ir turi būti proporcingi, tai yra:

.

Iš čia ir .

8 pavyzdys. Nustatykite, kokia vektoriaus reikšmė Ir yra statmenos.

Sprendimas. Vektorius ir yra statmenos, jei jų taškinė sandauga yra lygi nuliui. Iš šios sąlygos gauname: . Tai yra, .

9 pavyzdys. Rasti , jei , , .

Sprendimas. Dėl skaliarinio produkto savybių turime:

10 pavyzdys. Raskite kampą tarp vektorių ir , kur ir - vienetiniai vektoriai ir kampas tarp vektorių ir yra lygus 120o.

Sprendimas. Mes turime: , ,

Pagaliau turime: .

5 B. vektorinis produktas.

21 apibrėžimas.vektorinis menas vektorius vektorius vadinamas vektoriumi arba , apibrėžtas šiomis trimis sąlygomis:

1) Vektoriaus modulis yra , kur kampas tarp vektorių ir , t.y. .

Iš to išplaukia, kad vektorinės sandaugos modulis yra skaitinis lygus plotui lygiagretainis pastatytas ant vektorių ir kaip ant šonų.

2) Vektorius yra statmenas kiekvienam iš vektorių ir ( ; ), t.y. statmena lygiagretainio, pastatyto ant vektorių ir , plokštumai.

3) Vektorius nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, trumpiausias posūkis iš vektoriaus į vektorių būtų prieš laikrodžio rodyklę (vektoriai , , sudaro dešinįjį trigubą).

Kaip apskaičiuoti kampus tarp vektorių?

Studijuojant geometriją vektorių tema kyla daug klausimų. Mokinys patiria ypatingų sunkumų, kai reikia rasti kampus tarp vektorių.

Pagrindiniai terminai

Prieš svarstant kampus tarp vektorių, būtina susipažinti su vektoriaus apibrėžimu ir kampo tarp vektorių samprata.

Vektorius yra atkarpa, turinti kryptį, tai yra atkarpa, kuriai apibrėžta jo pradžia ir pabaiga.

Kampas tarp dviejų vektorių plokštumoje, turinčių bendrą pradžią, yra mažesnis iš kampų, kuriais reikia perkelti vieną iš vektorių aplink bendrą tašką į padėtį, kurioje jų kryptys sutampa.

Sprendimo formulė

Kai suprasite, kas yra vektorius ir kaip nustatomas jo kampas, galite apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Sprendimo formulė yra gana paprasta, o jos taikymo rezultatas bus kampo kosinuso reikšmė. Pagal apibrėžimą jis yra lygus vektorių skaliarinės sandaugos ir jų ilgių sandaugai.

Skaliarioji vektorių sandauga laikoma atitinkamų dauginamųjų vektorių koordinačių, padaugintų vienas iš kito, suma. Vektoriaus ilgis arba jo modulis apskaičiuojamas kaip kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos.

Gavę kampo kosinuso vertę, galite apskaičiuoti paties kampo vertę naudodami skaičiuotuvą arba naudodami trigonometrinę lentelę.

Pavyzdys

Kai išsiaiškinsite, kaip apskaičiuoti kampą tarp vektorių, atitinkamos problemos sprendimas tampa paprastas ir aiškus. Kaip pavyzdį apsvarstykite paprastą kampo dydžio nustatymo problemą.

Visų pirma, bus patogiau apskaičiuoti sprendimui reikalingų vektorių ilgių reikšmes ir jų skaliarinę sandaugą. Naudodami aukščiau pateiktą aprašymą, gauname:

Pakeisdami gautas reikšmes į formulę, apskaičiuojame norimo kampo kosinuso reikšmę:

Šis skaičius nėra viena iš penkių bendrų kosinusų reikšmių, todėl norėdami gauti kampo reikšmę, turėsite naudoti skaičiuotuvą arba Bradis trigonometrinę lentelę. Tačiau prieš nustatant kampą tarp vektorių, formulę galima supaprastinti, kad būtų pašalintas papildomas neigiamas ženklas:

Galutinį atsakymą galima palikti šioje formoje, kad būtų išlaikytas tikslumas, arba galite apskaičiuoti kampo vertę laipsniais. Pagal Bradis lentelę jos reikšmė bus maždaug 116 laipsnių ir 70 minučių, o skaičiuoklė rodys 116,57 laipsnių.

Kampo skaičiavimas n-matėje erdvėje

Nagrinėjant du vektorius trimatėje erdvėje, daug sunkiau suprasti, apie kurį kampą kalbame, jei jie nėra vienoje plokštumoje. Norėdami supaprastinti suvokimą, galite nubrėžti du susikertančius segmentus, kurie sudaro mažiausią kampą tarp jų, ir jis bus norimas. Nepaisant to, kad vektoriuje yra trečioji koordinatė, kampų tarp vektorių apskaičiavimo procesas nepasikeis. Apskaičiuokite vektorių skaliarinę sandaugą ir modulius, jų koeficiento arckozinusą ir bus atsakymas į šią problemą.

Geometrijoje problemų dažnai kyla dėl erdvių, kurios turi daugiau nei tris matmenis. Tačiau jiems atsakymo paieškos algoritmas atrodo panašiai.

Skirtumas nuo 0 iki 180 laipsnių

Viena iš dažniausių klaidų rašant atsakymą į uždavinį, skirtą kampui tarp vektorių apskaičiuoti, yra sprendimas rašyti, kad vektoriai yra lygiagretūs, tai yra, norimas kampas buvo 0 arba 180 laipsnių. Šis atsakymas yra neteisingas.

Gavus 0 laipsnių kampo reikšmę dėl sprendimo, teisingas atsakymas būtų nurodyti vektorius kaip bendrakrypčius, tai yra, vektoriai turės tą pačią kryptį. 180 laipsnių atveju vektoriai bus priešingų krypčių.

Specifiniai vektoriai

Suradus kampus tarp vektorių, galima rasti vieną iš specialiųjų tipų, be aukščiau aprašytų kartu nukreiptų ir priešingų.

• Keli vektoriai, lygiagretūs vienai plokštumai, vadinami koplanariniais.
• Vektoriai, kurių ilgis ir kryptis yra vienodi, vadinami lygiais.
• Vektoriai, esantys toje pačioje tiesėje, nepriklausomai nuo krypties, vadinami kolineariniais.
• Jei vektoriaus ilgis lygus nuliui, tai yra jo pradžia ir pabaiga sutampa, tada jis vadinamas nuliu, o jei vienetas – vienetu.

Kaip rasti kampą tarp vektorių?

Padėk man, prašau! Aš žinau formulę, bet negaliu jos suprasti
vektorius a (8; 10; 4) vektorius b (5; -20; -10)

Aleksandras Titovas

Kampas tarp vektorių, nurodytų jų koordinatėmis, randamas pagal standartinį algoritmą. Pirmiausia reikia rasti vektorių a ir b skaliarinę sandaugą: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Čia pakeičiame šių vektorių koordinates ir svarstome:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Toliau nustatome kiekvieno vektoriaus ilgį. Vektoriaus ilgis arba modulis yra kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos:
|a| = šaknis iš (x1^2 + y1^2 + z1^2) = šaknis iš (8^2 + 10^2 + 4^2) = šaknis iš (64 + 100 + 16) = šaknis iš 180 = 6 šaknys penkios
|b| = kvadratinė šaknis iš (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratinė šaknis iš (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratinė šaknis iš (25 + 400 + 100) ) = kvadratinė šaknis iš 525 = 5 šaknys iš 21.
Šiuos ilgius padauginame. Mes gauname 30 šaknų iš 105.
Ir galiausiai vektorių skaliarinę sandaugą padalijame iš šių vektorių ilgių sandaugos. Gauname -200 / (30 šaknų iš 105) arba
- (4 šaknys iš 105) / 63. Tai kampo tarp vektorių kosinusas. O pats kampas lygus šio skaičiaus lanko kosinusui
f \u003d arccos (-4 šaknys iš 105) / 63.
Jei teisingai suskaičiavau.

Kaip apskaičiuoti kampo tarp vektorių sinusą iš vektorių koordinačių

Michailas Tkačiovas

Šiuos vektorius padauginame. Jų taškinė sandauga yra lygi šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui.
Kampas mums nežinomas, bet koordinatės žinomos.
Parašykime matematiškai taip.
Tegu, duoti vektoriai a(x1;y1) ir b(x2;y2)
Tada

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mes gincijames.
vektorių a*b skaliarinė sandauga yra lygi šių vektorių koordinačių atitinkamų koordinačių sandaugų sumai, t.y. lygi x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektoriaus ilgių sandauga lygi √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Taigi kampo tarp vektorių kosinusas yra:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Žinodami kampo kosinusą galime apskaičiuoti jo sinusą. Aptarkime, kaip tai padaryti:

Jei kampo kosinusas yra teigiamas, tai šis kampas yra 1 arba 4 ketvirčiai, taigi jo sinusas yra teigiamas arba neigiamas. Bet kadangi kampas tarp vektorių yra mažesnis arba lygus 180 laipsnių, tada jo sinusas yra teigiamas. Panašiai ginčijame, jei kosinusas yra neigiamas.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Štai ir viskas)))) Sėkmės išsiaiškinti)))

Dmitrijus Leviščevas

Tai, kad neįmanoma tiesiogiai sinusuoti, nėra tiesa.
Be formulės:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Yra ir šitas:
||=|a|*|b|*A
Tai yra, vietoj skaliarinės sandaugos galite paimti vektorinės sandaugos modulį.