단원 "함수 y=sinx, y=cosx의 주기". 주기성에 대한 함수 조사

>> 함수의 주기성 y = sin x, y = cos x

§ 11. 함수 y \u003d sin x, y \u003d cos x의 주기성

이전 단락에서 7가지 속성을 사용했습니다. 기능: 도메인, 짝수 또는 홀수, 단조, 제한, 최대 및 가장 작은 값, 연속성, 기능의 범위. 우리는 이러한 속성을 사용하여 함수 그래프를 구성하거나(예: § 9에서) 구성된 그래프를 읽기 위해(예: § 10에서) 사용했습니다. 이제 왔다 상서로운 순간위에서 구성된 함수에서 완벽하게 볼 수 있는 함수의 하나 이상의(여덟 번째) 속성을 소개합니다. 차트기능 y \u003d sin x (그림 37 참조), y \u003d cos x (그림 41 참조).

정의.집합의 x에 대해 두 배가 되도록 0이 아닌 숫자 T가 있는 경우 함수를 주기적이라고 합니다. 평등:

를 만족하는 숫자 T 지정된 조건, 함수 y \u003d f (x)의 주기라고 합니다.
임의의 x에 대해 평등이 참이기 때문에 다음과 같습니다.

함수 y \u003d sin x, y \u003d cos x는 주기적이고 숫자 2 피두 기능의 기간으로 사용됩니다.
함수의 주기성은 약속된 함수의 여덟 번째 속성입니다.

이제 함수 y \u003d sin x의 그래프를 보십시오(그림 37). 정현파를 만들려면 파동 중 하나를 만드는 것으로 충분합니다(세그먼트에서 이 파동을 x축을 따라 이동합니다. 결과적으로 하나의 파동을 사용하여 전체 그래프를 작성합니다.

함수 y \u003d cos x (그림 41)의 그래프에서 동일한 관점에서 살펴 보겠습니다. 여기에서도 그래프를 그리려면 먼저 하나의 파동을 그리는 것으로 충분하다는 것을 알 수 있습니다(예: 세그먼트에

그런 다음 x축을 따라 이동합니다.
요약하면 다음과 같은 결론을 내립니다.

함수 y \u003d f (x)에 주기 T가 있는 경우 함수의 그래프를 그리려면 먼저 길이 T의 간격에 그래프의 가지(파동, 부분)를 그려야 합니다(대부분의 경우 점에서 끝이 있는 간격을 만든 다음 x축을 따라 이 분기를 오른쪽과 왼쪽으로 T, 2T, ZT 등으로 이동합니다.
주기 함수에는 무한히 많은 주기가 있습니다. T가 주기이면 2T는 주기이고 3T는 주기이며 -T는 주기입니다. 일반적으로 기간은 k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... 일반적으로 가능한 경우 가장 작은 양수 기간을 선택하려고 시도하며 주 기간이라고합니다.
따라서 k \u003d ± 1, ± 2, ± 3인 2pc 형식의 숫자는 함수 y \u003d sinn x, y \u003d cos x의 기간입니다. 2p는 두 기능의 주요 기간입니다.

예시.함수의 주요 기간 찾기:

ㅏ) T를 함수 y \u003d sin x의 주요 기간이라고 가정합니다. 넣어보자

숫자 T가 함수의 기간이 되려면 항등 Ho가 유지되어야 합니다. 우리는 얘기하고있다주요 기간을 찾을 때, 우리는
비) T를 함수 y = cos 0.5x의 주요 기간이라고 합시다. f(x)=cos 0.5x라고 합시다. 그런 다음 f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T)입니다.

숫자 T가 함수의 주기가 되려면 항등 cos(0.5x + 0.5T) = cos 0.5x가 충족되어야 합니다.

따라서 0.5t = 2pp입니다. 그러나 주요 기간을 찾는 것에 대해 이야기하고 있기 때문에 0.5T = 2l, T = 4l을 얻습니다.

예제에서 얻은 결과를 일반화하면 다음과 같은 문장이 나옵니다. 함수의 주요 기간

A.G. 모르드코비치 대수학 10학년

수업 내용 수업 요약지원 프레임 수업 프레젠테이션 가속 방법 대화형 기술 관행 과제 및 연습 자체 검사 워크샵, 교육, 사례, 퀘스트 숙제 토론 질문 학생들의 수사학적 질문 삽화 오디오, 비디오 클립 및 멀티미디어사진, 그림 그래픽, 표, 계획 유머, 일화, 농담, 만화 비유, 속담, 십자말풀이 퍼즐, 인용문 애드온 초록기사 호기심을 위한 칩 치트 시트 교과서 기본 및 추가 용어집 기타 교과서 및 수업 개선교과서의 오류 수정오래된 지식을 새로운 지식으로 교체하는 수업에서 혁신의 교과서 요소의 단편 업데이트 교사 전용 완벽한 수업 달력 계획 1년 동안 지침토론 프로그램 통합 수업

한 점을 중심으로 ㅏ.
α 라디안으로 표시되는 각도입니다.

정의
공동빗변과 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수 정삼각형, 반대쪽 다리 길이의 비율과 동일 |BC| 빗변의 길이 |AC|.

코사인(cos α)빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며, 인접한 다리 |AB|의 길이 비율과 같습니다. 빗변의 길이 |AC|.

허용되는 지정

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사인 함수의 그래프, y = sin x

코사인 함수의 그래프, y = cos x

사인과 코사인의 속성

주기성

기능 y= 죄 x및 y= 코엑스기간이 있는 주기적 2파이.

동등

사인 함수가 이상합니다. 코사인 함수는 짝수입니다.

정의 및 가치의 영역, 극값, 증가, 감소

사인 및 코사인 함수는 정의 영역, 즉 모든 x에 대해 연속적입니다(연속성 증명 참조). 주요 속성은 표(n - 정수)에 나와 있습니다.

	y= 죄 x	y= 코엑스
범위 및 연속성	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
값 범위	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
오름차순
내림차순
최대값, y= 1
최소값, y = - 1
0, y= 0
y축과의 교차점, x = 0	y= 0	y= 1

기본 공식

제곱 사인과 코사인의 합

합과 차에 대한 사인 및 코사인 공식

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사인과 코사인의 곱에 대한 공식

합과 차 공식

코사인을 통한 사인의 표현

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사인을 통한 코사인 표현

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접선으로 표현

; .

에 대해 다음이 있습니다.
; .

에 :
; .

사인 및 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 표

이 표는 인수의 일부 값에 대한 사인 및 코사인 값을 보여줍니다.

복잡한 변수를 통한 표현

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오일러 공식

쌍곡선 함수의 표현

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;

파생상품

; . 공식의 유도 >> >

n차 도함수:
{ -∞ < x < +∞ }

시컨트, 코시컨트

역함수

역함수사인과 코사인은 각각 아크사인과 아크코사인입니다.

아크신, 아크신

아크코사인, 아크코스

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

임의의 x에 대해 F(x + T) = F(x)인 숫자 T. 이 숫자 T를 함수의 주기라고 합니다.

여러 기간이 있을 수 있습니다. 예를 들어, 함수 F = const는 인수의 모든 값에 대해 동일한 값을 취하므로 임의의 숫자를 마침표로 간주할 수 있습니다.

일반적으로 가장 작은 것에 관심 영기능 기간. 간단히 말해서 마침표라고 합니다.

주기 함수의 고전적인 예는 삼각법(사인, 코사인 및 탄젠트)입니다. 그들의 주기는 동일하고 2π와 같습니다. 즉, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) 등입니다. 그러나 물론, 삼각 함수-주기적인 것만이 아닙니다.

간단한 것에 대하여 기본 기능주기성 또는 비주기성을 설정하는 유일한 방법은 계산입니다. 그러나 복잡한 기능의 경우 이미 여러 간단한 규칙.

F(x)가 기간 T와 함께 있고 이에 대해 도함수가 정의되어 있으면 이 도함수 f(x) = F'(x)도 기간 T를 갖는 주기적 함수입니다. 결국, 도함수의 값은 점 x는 이 점에서 x축에 대한 역도함수 그래프의 접선의 접선과 같으며 주기적으로 반복되므로 반복해야 합니다. 예를 들어, 죄 함수(x)는 cos(x)와 같으며 주기적입니다. cos(x)를 미분하면 -sin(x)가 됩니다. 주기는 변경되지 않습니다.

그러나 그 반대가 항상 사실인 것은 아닙니다. 따라서 함수 f(x) = const는 주기적이지만 역도함수 F(x) = const*x + C는 주기가 아닙니다.

F(x)가 주기 T를 갖는 주기적 함수이면 G(x) = a*F(kx + b)입니다. 여기서 a, b, k는 상수이고 k는 0이 아닙니다. 또한 주기 함수입니다. 그리고 그 주기는 T/k와 같다. 예를 들어 sin(2x)는 주기 함수이고 주기는 π입니다. 시각적으로 이것은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. x에 몇 가지 숫자를 곱하면 함수를 수평으로 정확히 여러 번 압축할 수 있습니다.

F1(x) 및 F2(x)가 주기적 함수이고 해당 주기가 각각 T1 및 T2와 같으면 이러한 함수의 합도 주기적일 수 있습니다. 그러나 그 기간은 기간 T1과 T2의 단순한 합이 아닙니다. 나눗셈 T1/T2의 결과가 다음과 같은 경우 유리수, 함수의 합은 주기적이고 그 기간은 기간 T1 및 T2의 최소 공배수(LCM)와 같습니다. 예를 들어, 첫 번째 함수의 기간이 12이고 두 번째 함수의 기간이 15인 경우 합계 기간은 LCM (12, 15) = 60이 됩니다.

시각적으로 이것은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 함수는 다른 "단계 너비"와 함께 제공되지만 너비의 비율이 합리적이면 더 빨리 또는 (더 정확하게는 단계의 LCM을 통해) 다시 동일하게 됩니다. 그들의 합계는 새로운 기간을 시작할 것입니다.

그러나 기간의 비율이 이면 전체 함수가 전혀 주기적이지 않습니다. 예를 들어, F1(x) = x mod 2(x의 나머지를 2로 나눈 값) 및 F2(x) = sin(x)라고 가정합니다. 여기서 T1은 2와 같고 T2는 2π와 같습니다. 주기 비율은 π - 무리수. 따라서 함수 sin(x) + x mod 2는 주기적이 아닙니다.

출처:

• 기능 이론

많은 수학 함수구성을 용이하게 하는 한 가지 기능이 있습니다. 주기성, 즉, 일정한 간격으로 좌표 그리드에서 그래프의 반복성입니다.

지침

수학의 가장 잘 알려진 주기 함수는 사인파와 코사인파입니다. 이러한 함수는 2P와 같은 파동과 기본 주기를 갖습니다. 또한 주기적 함수의 특별한 경우는 f(x)=const입니다. 임의의 숫자는 위치 x에 적합합니다. 이 함수는 직선이기 때문에 주 마침표가 없습니다.

일반적으로 0이 아닌 정수 N이 있고 f(x)=f(x+N) 규칙을 충족하는 함수는 주기적이므로 반복성을 보장합니다. 함수의 기간은 가장 작은 숫자 N, 하지만 0은 아닙니다. 즉, 예를 들어 sin x 함수는 sin (x + 2PN) 함수와 동일하며 여기서 N \u003d ± 1, ± 2 등입니다.

때때로 함수에는 함수의 기간을 늘리거나 줄이는 승수(예: sin 2x)가 있을 수 있습니다. 기간을 구하려면