삼각 함수의 변환 표. 기본 삼각법 공식

삼각법은 수학의 한 분야로 각과 그 사이의 관계에 중점을 둡니다. 각도 함수의 정의가 도입되는 학년도에 과학의 기초가 놓입니다. 미래에 결과 기반은 천문학, 계측, 건축 및 기타 지식 영역의 개발에 사용됩니다. 정확한 과학과 마찬가지로 삼각법은 공식 없이는 완전하지 않습니다. 실용이중 인수를 정의하기 위한 표현식을 찾았습니다. 예를 들어 해당 방정식에 의존하여 쉽게 찾을 수 있습니다. 이중 각도공동.

계산을 위한 삼각 표현식

표현식은 간단하게 작성되고 기억됩니다. 이중 각도의 사인은 단일 인수의 사인과 코사인의 이중 곱으로 계산됩니다.

이 공식은 각도의 합( 큐 1 + 큐 2 ) :

죄( 큐 1 + 큐 2) = 죄 큐 1* 코스 큐 1+ 죄 큐 2*코사인 큐 2 .

가정 주어진 각도서로 같으면 수식은 일반적인 형식으로 작성됩니다.

함수 인수의 모든 값에 대해 표현식을 사용할 수 있습니다. 그것으로부터 사인의 이중각을 계산하는 것은 아주 간단합니다. 아래의 예는 이것을 확인하는 데 도움이 될 것입니다.

사용 예

다음은 결과 공식을 적용한 몇 가지 예시입니다. 각도가 60도인 사인의 삼각 함수 값을 계산해야 합니다. 해당하는 단일 각도는 30도입니다. 30도 각도의 사인과 코사인을 알고 있으므로 사인의 이중 각도는 sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30이 됩니다.

수식은 "수동으로"계산할 때만 사용되는 것이 아니라 수학 패키지 또는 MS Excel 표를 사용하여 값을 찾을 수도 있습니다.

삼각법식의 단순성에도 불구하고 학교 졸업생들에게 어려움을 줍니다. 이것이 바로 USE 작업의 개발자가 기본 공식을 확인하기 위한 테스트를 제공하는 것으로 기대하는 것입니다. 결론 - 사인의 이중각을 계산하는 공식, 당신은 마음으로 알아야합니다!

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이중 각도 공식은 각도 α의 삼각 함수를 사용하여 값이 2α인 각도의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 표현하는 데 사용됩니다. 이 기사에서는 모든 이중각 공식을 증명과 함께 소개합니다. 공식 적용의 예가 고려됩니다. 마지막 부분에서는 삼중, 사중 각에 대한 공식이 표시됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

이중 각도 공식 목록

이중 각도 공식을 변환하려면 삼각법의 각도가 n α 표기법 형식을 가짐을 기억하십시오. 여기서 n은 자연수, 표현식의 값은 대괄호 없이 작성됩니다. 따라서 sin n α 는 sin (n α) 와 동일한 의미를 갖는 것으로 간주됩니다. sin n α 표기법으로 유사한 표기법 (sin α) n 을 갖습니다. 기록의 사용은 모든 사람에게 적용됩니다. 삼각 함수 n의 거듭제곱으로

다음은 이중 각도 공식입니다.

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

이러한 sin 및 cos 공식은 각도 α의 모든 값에 적용할 수 있습니다. 이중 각의 탄젠트 공식은 모든 α 값에 대해 유효합니다. 여기서 t g 2 α는 의미가 있습니다. 즉, α ≠ π 4 + π 2 · z, z는 임의의 정수입니다. 이중 각의 코탄젠트는 모든 α에 대해 존재합니다. 여기서 c t g 2 α는 α ≠ π 2 · z에 대해 정의됩니다.

이중 각의 코사인에는 이중 각의 삼중 표기법이 있습니다. 모두 해당됩니다.

이중 각 공식 증명

공식의 증명은 덧셈 공식에서 비롯됩니다. 합계 사인에 대한 공식을 적용합니다.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 및 합 cos (α + β)의 코사인 = cos α cos β - sin α sin β. β = α라고 가정하면 다음을 얻습니다.

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α 및 cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

따라서 이중 각도 sin 2 α \u003d 2 sin α cos α 및 cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α의 사인 및 코사인 공식이 증명됩니다.

나머지 cos 공식 2 α \u003d 1-2 sin 2 α 및 cos 2 α \u003d 2 cos 2 α-1은 1을 합으로 바꿀 때 cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 형태로 이어집니다. 주 항등 sin 2 α + cos 2 α = 1에 따른 제곱수 . 우리는 sin 2 α + cos 2 α = 1을 얻습니다. 그래서 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 및 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

탄젠트와 코탄젠트의 이중각에 대한 공식을 증명하기 위해 등식 t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α 및 c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α를 적용합니다. 변환 후 t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α 및 c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . 표현식을 cos 2 α로 나눕니다. 여기서 cos 2 α ≠ 0은 t g α가 정의될 ​​때 α 값을 사용합니다. 다른 식을 sin 2 α 로 나누십시오. 여기서 sin 2 α ≠ 0 은 α 값이 있는 경우 c t g 2 α가 의미가 있을 때입니다. 탄젠트와 코탄젠트에 대한 이중각 공식을 증명하기 위해 다음을 대입합니다.

- 확실히 삼각법에 작업이있을 것입니다. 삼각법은 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트로 가득 찬 수많은 어려운 공식을 집어넣어야 하기 때문에 종종 싫어합니다. 이 사이트는 이미 Euler 및 Peel 공식의 예를 사용하여 잊어버린 공식을 기억하는 방법에 대한 조언을 제공했습니다.

그리고 이 기사에서 우리는 가장 단순한 다섯 가지만 확실히 아는 것으로 충분하다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 삼각 공식, 그리고 나머지에 대해서는 일반적인 아이디어를 가지고 이동하면서 표시합니다. DNA와 같습니다. 완성된 생명체의 완전한 그림은 분자에 저장되지 않습니다. 오히려 사용 가능한 아미노산에서 조립하기 위한 지침이 포함되어 있습니다. 그래서 그것은 삼각법에 있습니다. 일반 원칙, 우리는 염두에 두어야 할 소수의 공식에서 필요한 모든 공식을 얻을 것입니다.

우리는 다음 공식에 의존할 것입니다:

합계의 사인 및 코사인 공식에서 코사인 함수가 짝수이고 사인 함수가 홀수임을 알고 b를 -b로 대체하여 차이에 대한 공식을 얻습니다.

1. 차이의 사인: 죄(a-b) = 죄ㅏ코사인(-비)+코사인ㅏ죄(-비) = 죄ㅏ코사인비-코사인ㅏ죄비
2. 코사인 차이: 코사인(a-b) = 코사인ㅏ코사인(-비)-죄ㅏ죄(-비) = 코사인ㅏ코사인비+죄ㅏ죄비

a \u003d b를 동일한 공식에 넣으면 이중 각의 사인 및 코사인 공식을 얻습니다.

1. 이중 각의 사인: 죄2a = 죄(아+아) = 죄ㅏ코사인ㅏ+코사인ㅏ죄ㅏ = 2죄ㅏ코사인ㅏ
2. 이중 각의 코사인: 코사인2a = 코사인(아+아) = 코사인ㅏ코사인ㅏ-죄ㅏ죄ㅏ = 코사인2a-죄2a

다른 다중 각도에 대한 공식은 다음과 유사하게 얻습니다.

1. 삼중 각의 사인: 죄3a = 죄(2a+a) = 죄2a코사인ㅏ+코사인2a죄ㅏ = (2죄ㅏ코사인ㅏ)코사인ㅏ+(코사인2a-죄2a)죄ㅏ = 2죄ㅏ코사인2a+죄ㅏ코사인2a-죄 3a = 3 죄ㅏ코사인2a-죄 3a = 3 죄ㅏ(1-죄2a)-죄 3a = 3 죄ㅏ-4죄 3a
2. 삼중각의 코사인: 코사인3a = 코사인(2a+a) = 코사인2a코사인ㅏ-죄2a죄ㅏ = (코사인2a-죄2a)코사인ㅏ-(2죄ㅏ코사인ㅏ)죄ㅏ = 코사인 3a- 죄2a코사인ㅏ-2죄2a코사인ㅏ = 코사인 3a-3 죄2a코사인ㅏ = 코사인 3 a-3(1- 코사인2a)코사인ㅏ = 4코사인 3a-3 코사인ㅏ

계속 진행하기 전에 한 가지 문제를 생각해 보겠습니다.
주어진: 각도가 예각입니다.
다음과 같은 경우 코사인을 구하십시오.
한 학생이 제시한 솔루션:
왜냐하면 , 그 다음에 죄ㅏ= 3,a 코사인ㅏ = 4.
(수학적 유머에서)

따라서 탄젠트의 정의는 이 함수를 사인과 코사인 모두와 연결합니다. 그러나 접선과 코사인만 연결하는 공식을 얻을 수 있습니다. 그것을 도출하기 위해 우리는 주요 삼각 아이덴티티: 죄 2 ㅏ+코사인 2 ㅏ= 1로 나눕니다. 코사인 2 ㅏ. 우리는 다음을 얻습니다:

따라서 이 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

(각도가 예각이므로 근을 추출할 때 + 기호를 취)

합계의 탄젠트 공식은 기억하기 어려운 또 다른 공식입니다. 다음과 같이 출력해보자.

즉시 출력하고

이중 각에 대한 코사인 공식에서 반각에 대한 사인 및 코사인 공식을 얻을 수 있습니다. 이렇게 하려면 이중각 코사인 공식의 왼쪽에:
코사인2 ㅏ = 코사인 2 ㅏ-죄 2 ㅏ
우리는 단위를 추가하고 오른쪽에 삼각 단위를 추가합니다. 사인과 코사인의 제곱합.
코사인2a+1 = 코사인2a-죄2a+코사인2a+죄2a
2코사인 2 ㅏ = 코사인2 ㅏ+1
표현 코사인ㅏ~을 통해 코사인2 ㅏ변수 변경을 수행하면 다음을 얻습니다.

기호는 사분면에 따라 취해집니다.

유사하게, 등식의 왼쪽에서 1을 빼고 오른쪽에서 사인과 코사인의 제곱의 합을 빼면 다음을 얻습니다.
코사인2a-1 = 코사인2a-죄2a-코사인2a-죄2a
2죄 2 ㅏ = 1-코사인2 ㅏ

그리고 마지막으로 삼각 함수의 합을 곱으로 변환하기 위해 다음 트릭을 사용합니다. 사인의 합을 곱으로 나타내야 한다고 가정합니다. 죄ㅏ+죄비. a = x+y, b+x-y가 되도록 변수 x와 y를 도입합시다. 그 다음에
죄ㅏ+죄비 = 죄(x+y)+ 죄(x-y) = 죄엑스 코사인 y+ 코사인엑스 죄 y+ 죄엑스 코사인와이- 코사인엑스 죄 y=2 죄엑스 코사인와이. 이제 x와 y를 a와 b로 표현합시다.

a = x+y, b = x-y이므로 . 그래서

즉시 철회할 수 있습니다.

1. 파티션 공식 사인과 코사인의 곱~에 양: 죄ㅏ코사인비 = 0.5(죄(a+b)+죄(a-b))

사인의 차와 코사인의 합과 차의 곱을 곱으로 변환하고 사인과 코사인의 곱을 합으로 나누는 공식을 연습하고 유도하는 것이 좋습니다. 이 연습을 수행하면 삼각 공식을 유도하는 기술을 완전히 마스터하고 가장 어려운 제어, 올림피아드 또는 테스트에서도 길을 잃지 않을 것입니다.