엔지니어링 계산기 온라인

우리는 모두에게 무료 엔지니어링 계산기를 제공하기 위해 서두릅니다. 이를 통해 모든 학생은 온라인에서 다양한 종류의 수학적 계산을 빠르고, 가장 중요하게는 쉽게 수행할 수 있습니다.

계산기는 웹 2.0 공학용 계산기 사이트에서 가져왔습니다.

눈에 거슬리지 않고 직관적인 인터페이스를 갖춘 간단하고 사용하기 쉬운 엔지니어링 계산기는 광범위한 인터넷 사용자에게 진정으로 유용할 것입니다. 이제 계산기가 필요할 때 저희 웹사이트를 방문하여 무료 엔지니어링 계산기를 사용하세요.

엔지니어링 계산기는 간단한 산술 연산과 복잡한 수학 계산을 모두 수행할 수 있습니다.

Web20calc는 모든 기본 기능을 계산하는 방법과 같이 수많은 기능을 가진 공학용 계산기입니다. 계산기는 삼각 함수, 행렬, 대수 및 플로팅도 지원합니다.

의심할 여지 없이 Web20calc는 간단한 솔루션을 찾기 위해 검색 엔진에 온라인 수학 계산기라는 검색어를 입력하는 사람들에게 흥미로울 것입니다. 무료 웹 응용 프로그램을 사용하면 빼기, 더하기, 나누기, 근 빼기, 거듭제곱 등 수학 표현식의 결과를 즉시 계산할 수 있습니다.

식에서 지수, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 백분율, PI 상수의 연산을 사용할 수 있습니다. 복잡한 계산에는 괄호를 사용해야 합니다.

엔지니어링 계산기의 기능:

1. 기본 산술 연산
2. 표준 형식의 숫자로 작업합니다.
3. 삼각근, 함수, 로그, 지수 계산;
4. 통계 계산: 더하기, 산술 평균 또는 표준 편차;
5. 메모리 셀의 응용 및 2개의 변수의 사용자 기능;
6. 라디안 및 도 측정의 각도로 작업합니다.

공학 계산기를 사용하면 다양한 수학 함수를 사용할 수 있습니다.

뿌리 추출 (제곱근, 세제곱근 및 n차 근);
ex (e에서 x의 거듭제곱), 지수;
삼각 함수: 사인 - 사인, 코사인 - 코사인, 탄젠트 - 탄젠트;
역 삼각 함수: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
쌍곡선 함수: 사인 - sinh, 코사인 - cosh, 탄젠트 - tanh;
로그: 밑이 2인 이진 로그는 log2x이고 밑이 10인 밑이 10인 로그는 로그이고 자연 로그는 ln입니다.

이 공학 계산기에는 컴퓨터 단위, 거리, 무게, 시간 등 다양한 측정 시스템에 대한 물리량을 변환하는 기능이 있는 수량 계산기도 포함되어 있습니다. 이 기능을 사용하면 마일을 킬로미터로, 파운드를 킬로그램으로, 초에서 시간 등으로 즉시 변환할 수 있습니다.

수학적 계산을 하려면 먼저 해당 필드에 일련의 수학적 표현식을 입력한 다음 등호를 클릭하고 결과를 확인하십시오. 키보드에서 직접 값을 입력할 수 있습니다(이를 위해서는 계산기 영역이 활성화되어 있어야 하므로 커서를 입력 필드에 놓는 것이 유용할 것입니다). 무엇보다도 계산기 자체의 버튼을 사용하여 데이터를 입력할 수 있습니다.

입력 필드에 그래프를 작성하려면 예제 필드에 표시된 대로 함수를 작성하거나 이를 위해 특별히 설계된 도구 모음을 사용하십시오(이동하려면 그래프 형태의 아이콘이 있는 버튼을 클릭하십시오). 값을 변환하려면 단위를 눌러 행렬 - 행렬로 작업하십시오.

첫 번째 수준

식 변환. 세부 이론 (2019)

종종 우리는 다음과 같은 불쾌한 말을 듣습니다. "표현을 단순화하십시오."일반적으로 이 경우 다음과 같은 몬스터가 있습니다.

"예, 훨씬 쉽습니다."라고 우리는 말하지만 그러한 대답은 일반적으로 작동하지 않습니다.

이제 그런 일을 두려워하지 말라고 가르쳐 주겠다.

게다가, 수업이 끝나면 당신은 이 예를 (그냥!) 평범한 숫자로 단순화할 것입니다.

하지만 이 수업을 시작하기 전에 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 분수를 다루다그리고 다항식을 인수분해합니다.

따라서 이전에 이 작업을 수행하지 않은 경우 "" 및 "" 항목을 마스터해야 합니다.

읽다? 그렇다면 준비가 된 것입니다.

가자! (가자!)

중요 사항!수식 대신 횡설수설하게 보이면 캐시를 지우십시오. 이렇게 하려면 Ctrl+F5(Windows의 경우)를 누르거나 Cmd+R(Mac에서)

기본 표현식 단순화 작업

이제 표현식을 단순화하는 데 사용되는 주요 기술을 분석합니다.

그 중 가장 간단한 것은

1. 유사한 것 가져오기

유사한 것은 무엇입니까? 7학년 때 수학에서 숫자 대신 문자가 처음 등장했을 때 이런 일을 겪었습니다.

비슷한문자 부분이 같은 항(단항어)입니다.

예를 들어 합계에서 같은 용어는 and입니다.

기억나요?

유사한 가져오기- 서로 유사한 용어를 여러 개 추가하여 하나의 용어를 얻는 것을 의미합니다.

그러나 우리는 어떻게 글자를 합칠 수 있습니까? - 물어.

글자가 일종의 물건이라고 상상하면 매우 이해하기 쉽습니다.

예를 들어, 편지는 의자입니다. 그러면 표현은 무엇입니까?

의자 2개에 의자 3개, 얼마인가요? 맞습니다. 의자: .

이제 다음 표현을 시도해 보세요.

혼동하지 않도록 다른 문자로 다른 대상을 나타내도록 하십시오.

예를 들어 - 이것은 (평소처럼) 의자이고 - 이것은 테이블입니다.

의자 테이블 의자 테이블 의자 의자 테이블

이러한 용어의 문자를 곱한 숫자를 계수.

예를 들어, 단항식에서 계수는 동일합니다. 그리고 그는 평등합니다.

따라서 유사한 것을 가져 오는 규칙 :

예:

유사한 가져오기:

대답:

2. (이러한 용어는 동일한 문자 부분을 갖기 때문에 유사합니다).

2. 인수분해

이것은 일반적으로 표현을 단순화하는 가장 중요한 부분.

비슷한 것을 제공한 후 가장 자주 결과 표현이 필요합니다 인수분해, 즉 제품으로 나타냅니다.

특히 이 분수에서 중요:분수를 줄이기 위해 분자와 분모는 곱으로 표현되어야 합니다.

"" 주제에서 표현식을 인수분해하는 자세한 방법을 살펴보았으므로 여기서 배운 내용만 기억하면 됩니다.

이렇게 하려면 몇 가지 예를 해결하십시오(인수분해해야 함).

예:

솔루션:

3. 분수 감소.

글쎄, 분자와 분모의 일부를 지우고 그것을 당신의 삶에서 버리는 것보다 더 좋은 것이 무엇입니까?

이것이 바로 줄임말의 아름다움입니다.

간단 해:

분자와 분모에 동일한 인수가 포함되어 있으면 축소할 수 있습니다. 즉, 분수에서 제거할 수 있습니다.

이 규칙은 분수의 기본 속성에서 따릅니다.

즉, 환원 작용의 본질은 다음과 같다. 분수의 분자와 분모를 같은 수(또는 같은 식)로 나눕니다.

분수를 줄이려면 다음이 필요합니다.

1) 분자와 분모 인수분해

2) 분자와 분모가 다음을 포함하는 경우 공통 요인, 삭제할 수 있습니다.

예:

내 생각에 원칙은 분명합니까?

나는 약어의 한 가지 전형적인 실수에 주의를 기울이고 싶습니다. 이 주제는 간단하지만 많은 사람들이 그것을 깨닫지 못하고 모든 것을 잘못하고 있습니다. 자르다- 이것은 의미 나누기같은 수로 분자와 분모.

분자 또는 분모가 합인 경우 약어가 없습니다.

예: 단순화해야 합니다.

어떤 사람들은 이렇게 합니다. 이것은 절대적으로 잘못된 것입니다.

또 다른 예: 줄입니다.

"가장 똑똑한"은 다음을 수행합니다.

여기 뭐가 문제인지 말해줘? 그것은 보일 것입니다 : - 이것은 승수이므로 줄일 수 있습니다.

그러나 아니오 : - 이것은 분자에서 단 하나의 항의 요인이지만 분자 자체는 전체적으로 요인으로 분해되지 않습니다.

다음은 또 다른 예입니다.

이 표현식은 인수로 분해됩니다. 즉, 분자와 분모를 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

다음과 같이 즉시 나눌 수 있습니다.

이러한 실수를 방지하려면 표현식이 인수분해되는지 확인하는 쉬운 방법을 기억하십시오.

표현식의 값을 계산할 때 마지막으로 수행되는 산술 연산이 "메인"입니다.

즉, 문자 대신 일부(임의의) 숫자를 대체하고 표현식의 값을 계산하려고 하면 마지막 작업이 곱셈이면 곱이 됩니다(표현식은 인수로 분해됨).

마지막 작업이 더하기 또는 빼기인 경우 표현식이 인수분해되지 않으므로 줄일 수 없음을 의미합니다.

직접 해결하려면 몇 가지 예를 들면 다음과 같습니다.

예:

솔루션:

1. 빨리 자르려고 서두르지 않았으면 좋겠고? 다음과 같이 단위를 "축소"하는 것만으로는 충분하지 않았습니다.

첫 번째 단계는 다음을 인수분해하는 것입니다.

4. 분수의 덧셈과 뺄셈. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

일반 분수의 덧셈과 뺄셈은 잘 알려진 작업입니다. 공통 분모를 찾고 각 분수에 누락된 요소를 곱하고 분자를 더하거나 뺍니다.

기억합시다:

대답:

1. 분모와 는 공소수입니다. 즉, 공약수가 없습니다. 따라서 이러한 숫자의 LCM은 제품과 같습니다. 이것은 공통 분모가 될 것입니다.

2. 공통 분모는 다음과 같습니다.

3. 우선, 우리는 혼합 분수를 부적절한 분수로 바꾼 다음 일반적인 계획에 따라 다음을 수행합니다.

분수에 문자가 포함되어 있는지 여부는 완전히 다른 문제입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

) 분모에는 문자가 포함되지 않습니다.

여기서 모든 것은 일반 숫자 분수와 동일합니다. 공통 분모를 찾고 각 분수에 누락된 요소를 곱하고 분자를 더하거나 뺍니다.

이제 분자에서 비슷한 것을 가져와서 인수분해할 수 있습니다.

직접 시도해 보세요:

대답:

b) 분모에는 문자가 포함됩니다.

문자 없이 공통 분모를 찾는 원리를 기억합시다.

우선, 우리는 공통 요소를 결정합니다.

그런 다음 모든 공통 요소를 한 번 작성합니다.

그리고 그것들에 일반적인 요인이 아닌 다른 모든 요인을 곱하십시오.

분모의 공통 요소를 결정하기 위해 먼저 분모를 간단한 요소로 분해합니다.

우리는 공통 요소를 강조합니다.

이제 우리는 공통 요소를 한 번 작성하고 공통되지 않은(밑줄이 없는) 요소를 모두 추가합니다.

이것이 공통분모입니다.

편지로 돌아가자. 분모는 정확히 같은 방식으로 제공됩니다.

우리는 분모를 요인으로 분해합니다.

공통(동일한) 승수를 결정합니다.

모든 공통 요소를 한 번 작성하십시오.

우리는 그것들에 일반적인 요인이 아닌 다른 모든 요인을 곱합니다.

따라서 순서대로:

1) 분모를 인수로 분해합니다.

2) 공통(동일한) 요인을 결정합니다.

3) 모든 공통 요소를 한 번 쓰고 다른 모든 요소(밑줄 표시 안 함)를 곱합니다.

그래서 공통분모는 여기에 있습니다. 첫 번째 분수에는 다음을 곱해야 합니다.

그건 그렇고, 한 가지 트릭이 있습니다.

예를 들어: .

우리는 분모에서 동일한 요소를 볼 수 있으며 모두 다른 지표를 가지고 있습니다. 공통 분모는 다음과 같습니다.

정도

정도

정도

정도.

작업을 복잡하게 합시다.

분모가 같은 분수를 만드는 방법은 무엇입니까?

분수의 기본 속성을 기억합시다.

분수의 분자와 분모에서 같은 수를 빼거나 더할 수 있다는 말은 어디에도 없습니다. 사실이 아니기 때문에!

직접 확인하십시오. 예를 들어 분수를 선택하고 분자와 분모에 숫자를 추가하십시오(예: . 무엇을 배웠습니까?

따라서 또 다른 흔들리지 않는 규칙:

분수를 공통분모로 만들 때는 곱셈만 사용하세요!

그러나 얻으려면 무엇을 곱해야합니까?

여기에서 곱하십시오. 다음과 같이 곱합니다.

인수분해할 수 없는 표현식은 "요소 요소"라고 합니다.

예를 들어, 는 기본 요소입니다. - 도. 하지만 - 아니오: 요인으로 분해됩니다.

표현은 어떻습니까? 초등인가?

아니요, 인수분해할 수 있기 때문입니다.

(이미 "" 주제에서 인수분해에 대해 읽었습니다.)

따라서 문자로 표현을 분해하는 기본 요소는 숫자를 분해하는 단순 요소와 유사합니다. 그리고 우리는 그들과 똑같이 할 것입니다.

두 분모 모두 요인이 있음을 알 수 있습니다. 그것은 거듭제곱의 공통 분모로 갈 것입니다(이유를 기억하십니까?).

승수는 기본적이며 공통점이 없습니다. 즉, 첫 번째 분수에 단순히 곱해야 함을 의미합니다.

또 다른 예:

해결책:

공황 상태에서 이러한 분모를 곱하기 전에 인수 분해 방법에 대해 생각할 필요가 있습니까? 둘 다 다음을 나타냅니다.

괜찮은! 그 다음에:

또 다른 예:

해결책:

평소와 같이 분모를 인수분해합니다. 첫 번째 분모에서 간단히 대괄호 안에 넣습니다. 두 번째 - 제곱의 차이:

공통적인 요소는 없는 것 같습니다. 그러나 자세히 보면 이미 너무 비슷합니다 ... 그리고 진실은 다음과 같습니다.

다음과 같이 작성해 보겠습니다.

즉, 다음과 같이 밝혀졌습니다. 대괄호 내부에서 용어를 바꾸면서 동시에 분수 앞의 부호가 반대 방향으로 변경되었습니다. 이 작업을 자주 수행해야 합니다.

이제 우리는 공통 분모를 가져옵니다.

알았다? 이제 확인하겠습니다.

독립 솔루션을 위한 작업:

대답:

여기서 우리는 한 가지 더 기억해야 합니다 - 큐브의 차이:

두 번째 분수의 분모에는 "합의 제곱"이라는 공식이 포함되어 있지 않습니다. 합계의 제곱은 다음과 같습니다.

A는 소위 불완전 제곱합입니다. 두 번째 항은 첫 번째와 마지막의 곱이며 두 배가 아닙니다. 합계의 불완전한 제곱은 입방체의 차이를 확장하는 요인 중 하나입니다.

이미 세 개의 분수가 있는 경우 어떻게 합니까?

예, 동일합니다! 우선, 분모의 최대 인수 수가 동일한지 확인합니다.

주의: 한 대괄호 안의 기호를 변경하면 분수 앞의 기호가 반대 방향으로 변경됩니다. 두 번째 괄호의 부호를 변경하면 분수 앞의 부호가 다시 반전됩니다. 결과적으로 그(분수 앞의 부호)는 변경되지 않았습니다.

첫 번째 분모를 공통 분모에 완전히 쓴 다음 두 번째, 세 번째(분수가 더 많은 경우 계속)에서 아직 작성되지 않은 모든 요소를 ​​추가합니다. 즉, 다음과 같이 진행됩니다.

흠 ... 분수를 사용하면 무엇을해야할지 명확합니다. 그러나 둘은 어떻습니까?

간단합니다. 분수 더하는 방법을 알고 계시죠? 따라서 듀스가 분수가 되도록 해야 합니다! 기억하십시오: 분수는 나누기 연산입니다(갑자기 잊어버린 경우를 대비하여 분자를 분모로 나눕니다). 숫자를 나누는 것보다 쉬운 일은 없습니다. 이 경우 숫자 자체는 변경되지 않지만 분수로 바뀝니다.

필요한 것은 바로!

5. 분수의 곱셈과 나눗셈.

자, 이제 가장 어려운 부분은 끝났습니다. 그리고 우리보다 앞서는 것이 가장 간단하지만 동시에 가장 중요합니다.

절차

숫자 표현식을 계산하는 절차는 무엇입니까? 다음과 같은 표현식의 가치를 고려하십시오.

계산했니?

작동해야 합니다.

그래서, 나는 당신을 생각 나게합니다.

첫 번째 단계는 학위를 계산하는 것입니다.

두 번째는 곱셈과 나눗셈입니다. 곱셈과 나눗셈이 동시에 여러 개 있는 경우 순서에 관계없이 수행할 수 있습니다.

그리고 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 수행합니다. 다시 말하지만, 어떤 순서로든.

하지만: 괄호 안의 표현식은 순서가 잘못되어 평가됩니다!

여러 대괄호를 서로 곱하거나 나누면 먼저 각 대괄호의 표현식을 평가한 다음 곱하거나 나눕니다.

괄호 안에 다른 괄호가 있으면 어떻게 될까요? 음, 생각해 봅시다. 일부 표현식은 대괄호 안에 기록됩니다. 표현식을 평가할 때 가장 먼저 해야 할 일은 무엇입니까? 맞습니다. 대괄호를 계산하십시오. 글쎄, 우리는 그것을 알아 냈습니다. 먼저 내부 브래킷을 계산한 다음 다른 모든 것을 계산합니다.

따라서 위의 표현식에 대한 작업 순서는 다음과 같습니다(현재 작업은 빨간색으로 강조 표시됨, 즉 내가 지금 수행하고 있는 작업).

좋아요, 모두 간단합니다.

그러나 그것은 문자로 표현하는 것과 같지 않습니까?

아니, 똑같아! 산술 연산 대신에 대수 연산, 즉 이전 섹션에서 설명한 연산만 수행해야 합니다. 유사한 가져오기, 분수 더하기, 분수 줄이기 등. 유일한 차이점은 인수분해 다항식의 동작입니다(우리는 분수로 작업할 때 종종 사용합니다). 대부분의 경우 인수분해를 위해 i를 사용하거나 단순히 대괄호에서 공통 인수를 제거해야 합니다.

일반적으로 우리의 목표는 표현식을 곱이나 몫으로 나타내는 것입니다.

예를 들어:

표현을 간단하게 해보자.

1) 먼저 괄호 안의 표현을 단순화합니다. 거기에 분수의 차이가 있고 우리의 목표는 그것을 곱이나 몫으로 나타내는 것입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 가져오고 다음을 추가합니다.

이 표현을 더 이상 단순화하는 것은 불가능합니다. 여기에 있는 모든 요소는 기본입니다(이것이 의미하는 바를 아직도 기억하십니까?).

2) 우리는 다음을 얻습니다.

분수의 곱셈: 더 쉬울 수 있는 것.

3) 이제 다음을 줄일 수 있습니다.

그게 다야. 복잡하지 않죠?

또 다른 예:

표현을 단순화합니다.

먼저 스스로 해결하려고 노력한 다음에만 솔루션을 살펴보십시오.

해결책:

먼저 절차를 정의합시다.

먼저 두 개의 분수 대신 하나의 분수가 나올 것입니다.

그런 다음 분수의 나눗셈을 할 것입니다. 글쎄, 우리는 마지막 분수와 함께 결과를 추가합니다.

나는 개략적으로 단계에 번호를 매길 것입니다:

이제 현재 작업을 빨간색으로 착색하여 전체 프로세스를 보여 드리겠습니다.

마지막으로 두 가지 유용한 팁을 알려 드리겠습니다.

1. 유사품이 있는 경우 즉시 지참하여야 합니다. 언제라도 유사한 것이 있으면 즉시 가져오는 것이 좋습니다.

2. 분수를 줄이는 것도 마찬가지입니다. 줄일 기회가 생기면 바로 사용해야 합니다. 더하거나 빼는 분수는 예외입니다. 이제 분모가 같으면 축소는 나중에 남겨야 합니다.

다음은 스스로 해결할 수 있는 몇 가지 작업입니다.

그리고 맨 처음에 다음과 같이 약속했습니다.

대답:

솔루션(간략한):

적어도 처음 세 가지 예에 대처했다면 주제를 마스터했다고 생각합니다.

이제 학습을 시작합니다!

표현 변환. 요약 및 기본 공식

기본 단순화 작업:

• 유사한 가져오기: 같은 용어를 추가(축소)하려면 계수를 추가하고 문자 부분을 할당해야 합니다.
• 채권 차압 통고:대괄호에서 공통 요소 빼기, 적용 등
• 분수 감소: 분수의 분자와 분모는 분수의 값이 변하지 않는 동일한 0이 아닌 숫자로 곱하거나 나눌 수 있습니다.
  1) 분자와 분모 인수분해
  2) 분자와 분모에 공통인자가 있을 경우에는 생략할 수 있다.

  중요: 승수만 줄일 수 있습니다!

• 분수의 덧셈과 뺄셈:
  ;
• 분수의 곱셈과 나눗셈:
  ;

비고 1

논리식을 사용하여 논리 함수를 작성한 다음 논리 회로로 이동할 수 있습니다. 가능한 한 간단하게(따라서 더 저렴한) 논리 회로를 얻으려면 논리 표현식을 단순화해야 합니다. 사실, 논리 함수, 논리 표현, 논리 회로는 같은 개체에 대해 이야기하는 세 가지 다른 언어입니다.

논리식을 단순화하려면 다음을 사용하십시오. 논리 대수의 법칙.

일부 변환은 고전 대수에서 공식의 변환과 유사하지만(공통 인자 대괄호, 가환 및 연관 법칙 사용 등), 다른 변환은 고전 대수 연산에 없는 속성을 기반으로 합니다(결합에 대한 분포 법칙 사용, 흡수 법칙, 접착, 드모르간 법칙 등).

논리 대수의 법칙은 기본 논리 연산에 대해 공식화됩니다. "NOT" - 반전(부정), "AND" - 결합(논리적 곱셈) 및 "OR" - 분리(논리적 덧셈).

이중 부정의 법칙은 "NOT" 연산이 되돌릴 수 있음을 의미합니다. 두 번 적용하면 결국 논리 값이 변경되지 않습니다.

제외된 중간의 법칙은 모든 논리적 표현이 참 또는 거짓("세 번째는 없음")임을 나타냅니다. 따라서 $A=1$이면 $\bar(A)=0$(반대의 경우도 마찬가지)입니다. 즉, 이러한 양의 결합은 항상 0이고 분리는 1입니다.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

이 공식을 단순화합시다.

그림 3

이것은 $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$를 의미합니다.

답변:$B$, $C$ 및 $D$ 학생은 체스를 두지만 학생 $A$는 게임을 하지 않습니다.

논리식을 단순화할 때 다음과 같은 일련의 작업을 수행할 수 있습니다.

1. 모든 "비기본" 연산(동등, 함축, 배타적 OR 등)은 역전, 결합, 분리의 기본 연산을 통해 해당 표현으로 대체합니다.
2. 개별 변수에만 부정 연산이 있는 방식으로 드 모르간의 규칙에 따라 복잡한 표현식의 역전을 확장합니다.
3. 그런 다음 괄호 확장, 대괄호 공통 인수 및 기타 논리 대수의 법칙을 사용하여 표현을 단순화합니다.

실시예 2

여기서 드모르간 법칙, 분배법칙, 배제중간법칙, 교환법칙, 반복법칙, 재가환법칙, 흡수법칙을 차례로 사용한다.

모든 언어의 도움으로 동일한 정보를 다른 단어와 구문으로 표현할 수 있습니다. 수학적 언어도 예외는 아닙니다. 그러나 같은 표현이라도 다른 방식으로 동등하게 쓸 수 있습니다. 어떤 상황에서는 항목 중 하나가 더 간단합니다. 우리는 이 수업에서 표현을 단순화하는 것에 대해 이야기할 것입니다.

사람들은 다른 언어로 의사 소통합니다. 우리에게 중요한 비교는 "러시아어 - 수학 언어"쌍입니다. 동일한 정보가 다른 언어로 보고될 수 있습니다. 그러나 이것 외에도 한 언어에서 다르게 발음 될 수 있습니다.

예: "Peter는 Vasya와 친구입니다.", "Vasya는 Petya와 친구입니다.", "Peter와 Vasya는 친구입니다." 다르게 말하지만 하나는 같은 것입니다. 이 문구 중 하나를 통해 우리는 무엇이 위험에 처해 있는지 이해할 것입니다.

이 문구를 살펴 보겠습니다. "소년 Petya와 소년 Vasya는 친구입니다." 우리는 무엇이 문제인지 이해합니다. 그러나 우리는 이 문구가 어떻게 들리는지 좋아하지 않습니다. 우리는 그것을 단순화 할 수 없습니까? 똑같이 말하지만 더 간단합니까? "소년과 소년"- "소년 Petya와 Vasya는 친구입니다."라고 한 번 말할 수 있습니다.

"Boys" ... 이름부터 소녀가 아닌 것이 분명하지 않습니까. "소년"을 제거합니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 그리고 "친구"라는 단어는 "친구"로 대체 될 수 있습니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 결과적으로 처음의 길고 못생긴 문구는 말하기 쉽고 이해하기 쉬운 동등한 문구로 대체되었습니다. 우리는 이 문구를 단순화했습니다. 단순화한다는 것은 더 쉽게 말하지만 의미를 잃지 않고 의미를 왜곡하지 않는다는 의미입니다.

수학 언어에서도 같은 일이 일어납니다. 같은 것을 다르게 말할 수 있습니다. 표현을 단순화한다는 것은 무엇을 의미합니까? 이는 원래 표현에 대해 동일한 것을 의미하는 동일한 표현이 많이 있음을 의미합니다. 그리고 이 모든 군중 중에서 우리는 가장 단순하거나 우리의 추가 목적에 가장 적합한 것을 선택해야 합니다.

예를 들어, 숫자 표현식을 고려하십시오. 에 해당할 것입니다.

또한 처음 두 가지와 동일합니다. .

우리는 표현을 단순화하고 가장 짧은 등가 표현을 찾았습니다.

숫자 표현식의 경우 항상 모든 작업을 수행하고 동일한 표현식을 단일 숫자로 가져와야 합니다.

리터럴 표현식의 예를 고려하십시오. . 분명히 더 간단할 것입니다.

리터럴 표현식을 단순화할 때 가능한 모든 작업을 수행해야 합니다.

표현식을 단순화해야 합니까? 아니오, 때로는 동등하지만 더 긴 표기법이 더 편리할 것입니다.

예시: 숫자에서 숫자를 뺍니다.

계산이 가능하지만 첫 번째 숫자가 해당 표기법: 으로 표시되면 계산은 즉시 수행됩니다. .

즉, 단순화된 표현이 추가 계산에 항상 유익한 것은 아닙니다.

그럼에도 불구하고 "표현을 단순화"하는 것처럼 들리는 작업에 매우 자주 직면합니다.

식을 단순화하십시오: .

해결책

1) 첫 번째 및 두 번째 괄호에 있는 작업을 수행합니다. .

2) 제품 계산: .

분명히, 마지막 표현식은 초기 표현식보다 간단한 형태를 가지고 있습니다. 단순화했습니다.

식을 단순화하기 위해 등가(equal)로 바꿔야 합니다.

등가 표현식을 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 가능한 모든 조치를 수행하고,

2) 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 속성을 사용하여 계산을 단순화합니다.

덧셈과 뺄셈의 속성:

1. 덧셈의 가환성: 그 합은 항의 재배열로 인해 변하지 않는다.

2. 덧셈의 연관 속성: 두 수의 합에 세 번째 수를 더하려면 첫 번째 수에 두 번째와 세 번째 수의 ​​합을 더하면 됩니다.

3. 숫자에서 합을 빼는 속성: 숫자에서 합을 빼려면 각 항을 개별적으로 뺄 수 있습니다.

곱셈과 나눗셈의 속성

1. 곱셈의 교환 속성: 곱은 요인의 순열로 인해 변하지 않습니다.

2. 연관 속성: 숫자에 두 숫자의 곱을 곱하려면 먼저 첫 번째 요소를 곱한 다음 결과 곱에 두 번째 요소를 곱하면 됩니다.

3. 곱셈의 분배 속성: 어떤 수에 합을 곱하려면 각 항에 개별적으로 곱해야 합니다.

실제로 어떻게 멘탈 계산을 하는지 봅시다.

계산하다:

해결책

1) 어떻게 상상해

2) 첫 번째 승수를 비트 항의 합으로 표현하고 곱셈을 수행해 보겠습니다.

3) 곱셈을 수행하는 방법을 상상할 수 있습니다.

4) 첫 번째 요소를 등가 합계로 바꿉니다.

분배 법칙은 반대 방향으로도 사용될 수 있습니다: .

이 단계를 따르세요:

1) 2)

해결책

1) 편의상 분포법칙을 사용할 수 있습니다. 반대 방향으로 사용하면 됩니다. 대괄호에서 공약수를 빼면 됩니다.

2) 대괄호에서 공약수를 빼자

부엌과 복도에서 리놀륨을 사야합니다. 주방 공간 - 복도 -. 리놀륨에는 for 및 루블의 세 가지 유형이 있습니다. 세 가지 유형의 리놀륨 가격은 각각 얼마입니까? (그림 1)

쌀. 1. 문제의 상태에 대한 그림

해결책

방법 1. 부엌에서 리놀륨을 사는 데 필요한 돈을 별도로 찾은 다음 복도에 추가하고 결과 작업을 추가 할 수 있습니다.

§ 1 리터럴 표현을 단순화하는 개념

이 단원에서는 "유사 용어"의 개념을 익히고 예를 사용하여 유사 용어의 축소를 수행하여 문자 그대로의 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다.

"단순화"라는 개념의 의미를 알아 봅시다. "단순화"라는 단어는 "단순화"라는 단어에서 파생됩니다. 단순화한다는 것은 단순하고 단순하게 만드는 것을 의미합니다. 따라서 리터럴 표현식을 단순화하는 것은 최소한의 작업으로 더 짧게 만드는 것입니다.

9x + 4x라는 표현을 고려하십시오. 이것은 합계인 리터럴 표현식입니다. 여기에서 용어는 숫자와 문자의 곱으로 표시됩니다. 이러한 항의 수치적 요인을 계수라고 합니다. 이 표현식에서 계수는 숫자 9와 4가 됩니다. 문자로 표시된 승수는 이 합계의 두 가지 측면에서 모두 동일합니다.

곱셈의 분배 법칙을 기억하십시오.

합계에 숫자를 곱하려면 각 항에 이 숫자를 곱하고 결과 곱을 더할 수 있습니다.

일반적으로 (a + b) ∙ c \u003d ac + bc와 같이 작성됩니다.

이 법칙은 양방향으로 유효합니다. ac + bc = (a + b) ∙ c

이를 문자 그대로의 표현에 적용해 보겠습니다. 9x와 4x의 곱의 합은 곱과 같습니다. 첫 번째 요소는 9와 4의 합이고 두 번째 요소는 x입니다.

9 + 4 = 13은 13배가 됩니다.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

표현식의 세 가지 동작 대신 곱셈이라는 한 가지 동작이 남았습니다. 그래서 우리는 리터럴 표현을 더 간단하게 만들었습니다. 단순화했다.

§ 2 유사 용어의 감소

9x와 4x라는 용어는 계수만 다릅니다. 이러한 용어는 유사하다고 합니다. 유사한 용어의 문자 부분은 동일합니다. 유사한 용어에는 숫자와 등가도 포함됩니다.

예를 들어, 9a + 12 - 15 식에서 숫자 12와 -15는 유사한 용어가 될 것이고, 12와 6a의 곱의 합에서 숫자 14와 12와 6a의 곱 (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), 등가 항은 12와 6a의 곱으로 표시됩니다.

계수가 같고 문자적 요인이 다른 항은 유사하지 않다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 예를 들어 5x와 5y의 곱의 합은 곱과 같습니다. 숫자 5와 x와 y의 합

5x + 5y = 5(x + y).

식 -9a + 15a - 4 + 10을 단순화합시다.

이 경우 항 -9a 및 15a는 계수만 다르기 때문에 유사한 항입니다. 그들은 동일한 문자 승수를 가지며 용어 -4와 10도 숫자이기 때문에 유사합니다. 다음과 같은 용어를 추가합니다.

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

우리는 6a + 6을 얻습니다.

표현을 단순화하여 유사 항의 합을 찾았습니다. 수학에서는 이를 유사 항의 축소라고 합니다.

이러한 용어를 가져오기가 어렵다면 단어를 생각해내고 대상을 추가할 수 있습니다.

예를 들어 다음 표현식을 고려하십시오.

각 문자에 대해 b-apple, c-pear라는 자체 개체를 사용하면 사과 2개에서 배 5개, 배 8개를 뺀 값이 나옵니다.

사과에서 배를 빼도 될까요? 당연히 아니지. 그러나 우리는 마이너스 5배에 8배를 더할 수 있습니다.

우리는 같은 용어로 -5 배 + 8 배를 제공합니다. 유사 항에는 동일한 리터럴 부분이 있으므로 유사 항을 줄일 때 계수를 추가하고 결과에 리터럴 부분을 추가하는 것으로 충분합니다.

(-5 + 8) 배 - 3개의 배를 얻습니다.

리터럴 표현으로 돌아가면 -5s + 8s = 3s가 있습니다. 따라서 유사한 항을 줄인 후 식 2b + 3c를 얻습니다.

그래서 이번 과에서는 "유사한 용어"의 개념을 익히고 유사한 용어를 가져와서 문자 그대로의 표현을 단순화하는 방법을 배웠습니다.

중고 문헌 목록:

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