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"분수 유리 방정식의 해". 유리 방정식

가장 낮은 공통 분모는 단순화하는 데 사용됩니다. 주어진 방정식. 이 방법은 주어진 방정식을 방정식의 양쪽에 하나의 유리식으로 쓸 수 없을 때 사용됩니다(교차 곱셈 방법 사용). 이 방법은 분수가 3개 이상인 유리 방정식이 주어졌을 때 사용합니다(2개 분수의 경우 교차 곱셈이 더 좋습니다).

  • 분수의 최소 공분모(또는 최소 공배수)를 찾습니다. NOZ는 가장 작은 숫자, 각 분모로 균등하게 나눌 수 있습니다.

    • 때로는 NOZ가 명백한 숫자입니다. 예를 들어 x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 방정식이 주어지면 숫자 3, 2, 6의 최소 공배수는 6이 됩니다.
    • NOD가 명확하지 않은 경우 가장 큰 분모의 배수를 기록하고 그 중에서 다른 분모의 배수인 항목도 찾습니다. 두 분모를 단순히 곱하여 NOD를 찾는 경우가 많습니다. 예를 들어, 방정식 x/8 + 2/6 = (x - 3)/9가 주어지면 NOZ = 8*9 = 72입니다.
    • 하나 이상의 분모에 변수가 포함되어 있으면 프로세스가 다소 복잡해집니다(그러나 불가능하지는 않음). 이 경우 NOZ는 각 분모로 나눌 수 있는 표현식(변수 포함)입니다. 예를 들어 방정식 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)에서 이 표현식은 각 분모로 나눌 수 있기 때문에 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • NOZ를 각 분수의 해당 분모로 나눈 결과와 동일한 숫자로 각 분수의 분자와 분모에 곱합니다. 분자와 분모에 같은 숫자를 곱하기 때문에 분수에 1을 효과적으로 곱하는 것입니다(예: 2/2 = 1 또는 3/3 = 1).

    • 따라서 이 예에서 x/3에 2/2를 곱하여 2x/6을 얻고 1/2에 3/3을 곱하여 3/6을 얻습니다(3x + 1/6는 분모가 다음과 같으므로 곱할 필요가 없습니다. 6).
    • 변수가 분모에 있을 때 유사하게 진행합니다. 두 번째 예에서 NOZ = 3x(x-1), 따라서 5/(x-1) 곱하기 (3x)/(3x)는 5(3x)/(3x)(x-1)입니다. 1/x 곱하기 3(x-1)/3(x-1)은 3(x-1)/3x(x-1)을 얻습니다. 2/(3x)에 (x-1)/(x-1)을 곱하면 2(x-1)/3x(x-1)가 됩니다.

  • x를 찾습니다.이제 분수를 공통 분모로 줄였으므로 분모를 없앨 수 있습니다. 이렇게 하려면 방정식의 각 변에 공통 분모를 곱하십시오. 그런 다음 결과 방정식, 즉 "x"를 찾으십시오. 이렇게 하려면 방정식의 측면에서 변수를 분리합니다.

    • 이 예에서: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. 다음과 같이 2개의 분수를 더할 수 있습니다. 같은 분모, 따라서 방정식을 (2x+3)/6=(3x+1)/6과 같이 작성합니다. 방정식의 양변에 6을 곱하고 분모를 제거합니다: 2x+3 = 3x +1. 풀고 x = 2를 얻습니다.
    • 두 번째 예(분모에 변수 포함)에서 방정식은 (공통 분모로 축소한 후) 다음과 같습니다. 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2(x-1)/3x(x-1). 방정식의 양변에 NOZ를 곱하면 분모가 제거되고 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) 또는 15x = 3x - 3 + 2x -2가 됩니다. 15x = x - 5 풀고 다음을 얻습니다. x = -5/14.

    • 간단히 말해서 분모에 변수가 있는 방정식이 하나 이상 있는 방정식입니다.

    예를 들어:

    \(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
    \(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
    \(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)


    예시 ~ 아니다분수 유리 방정식:

    \(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
    \(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

    분수 유리 방정식은 어떻게 해결됩니까?

    분수 유리 방정식에 대해 기억해야 할 주요 사항은 작성해야 한다는 것입니다. 그리고 뿌리를 찾은 후에는 허용 여부를 확인하십시오. 그렇지 않으면 외부 뿌리가 나타날 수 있으며 전체 솔루션이 잘못된 것으로 간주됩니다.


    분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘:

      ODZ를 작성하고 "해결"하십시오.

      방정식의 각 항에 공통 분모를 곱하고 결과 분수를 줄입니다. 분모가 사라집니다.

      여는 대괄호 없이 방정식을 작성하십시오.

      결과 방정식을 풉니다.

      ODZ로 찾은 뿌리를 확인하세요.

      응답으로 7단계에서 테스트를 통과한 뿌리를 기록하십시오.

    알고리즘, 3-5개의 풀린 방정식을 외우지 마십시오. 그러면 저절로 기억될 것입니다.


    예시 . 분수 유리 방정식 풀기 \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

    결정:

    답변: \(3\).


    예시 . 분수 유리 방정식 \(=0\)의 근 찾기

    결정:

    \(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\)

    ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
    \(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
    \(x^2+7x+10≠0\)
    \(D=49-4 \cdot 10=9\)
    \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\)
    \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)

    우리는 ODZ를 기록하고 "해결"합니다.

    \(x^2+7x+10\)을 공식으로 확장합니다. \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
    다행히 \(x_1\) 및 \(x_2\)는 이미 찾았습니다.

    \(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)

    분명히, 분수의 공통 분모: \((x+2)(x+5)\). 우리는 전체 방정식을 곱합니다.

    \(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\)
    \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)

    우리는 분수를 줄입니다

    \(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

    브래킷 열기

    \(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)

    우리는 같은 조건을 제공

    \(2x^2+9x-5=0\)


    방정식의 근원 찾기

    \(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)


    루트 중 하나가 ODZ에 맞지 않으므로 응답으로 두 번째 루트만 기록합니다.

    답변: \(\frac(1)(2)\).

    수업 목표:

    지도 시간:

    • 분수 유리 방정식의 개념 형성;
    • 분수 유리 방정식을 푸는 다양한 방법을 고려합니다.
    • 분수가 0과 같은 조건을 포함하여 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 고려하십시오.
    • 알고리즘에 따라 분수 유리 방정식의 솔루션을 가르치기 위해;
    • 테스트 작업을 수행하여 주제의 동화 수준을 확인합니다.

    개발 중:

    • 습득한 지식으로 올바르게 작동하고 논리적으로 생각하는 능력 개발;
    • 지적 기술 및 정신 조작의 개발 - 분석, 종합, 비교 및 ​​일반화;
    • 이니셔티브의 개발, 결정을 내리는 능력, 거기에서 멈추지 않는 것;
    • 개발 비판적 사고;
    • 연구 기술의 개발.

    양육:

    • 육성 인지적 관심주제에;
    • 교육 문제 해결을 위한 독립 교육;
    • 최종 결과를 달성하기위한 의지와 인내의 교육.

    수업 유형: 수업 - 새로운 자료에 대한 설명.

    수업 중

    1. 조직적 순간.

    안녕하세요 여러분! 방정식은 칠판에 쓰여 있으니 잘 보세요. 이 방정식을 모두 풀 수 있습니까? 어떤 것이 그렇지 않으며 그 이유는 무엇입니까?

    좌변과 우변이 분수 유리 방정식인 방정식을 분수 유리 방정식이라고 합니다. 오늘 수업에서 우리가 무엇을 공부할 것 같습니까? 수업의 주제를 공식화하십시오. 그래서 우리는 노트북을 열고 "분수 유리 방정식의 해"수업 주제를 기록합니다.

    2. 지식의 실현. 정면 조사, 학급과의 구두 작업.

    그리고 이제 우리는 연구해야 할 주요 이론적 자료를 반복 할 것입니다. 새로운 주제. 다음 질문에 답하십시오.

    1. 방정식이란 무엇입니까? ( 변수 또는 변수와의 평등.)
    2. 방정식 #1을 무엇이라고 합니까? ( 선의.) 선형 방정식을 푸는 방법. ( 미지수가 있는 모든 것을 방정식의 왼쪽으로 옮기고 모든 숫자를 오른쪽으로 옮깁니다. 같은 조건을 가져오세요. 미지의 승수 찾기).
    3. 방정식 3을 무엇이라고 합니까? ( 정사각형.) 이차 방정식을 푸는 방법. ( Vieta 정리와 그 결과를 사용하여 공식에 의한 전체 제곱의 선택.)
    4. 비율이란 무엇입니까? ( 두 관계의 평등.) 비율의 주요 속성. ( 비율이 참이면 극단 항의 곱은 중간 항의 곱과 같습니다..)
    5. 방정식을 푸는 데 사용되는 속성은 무엇입니까? ( 1. 방정식에서 용어를 한 부분에서 다른 부분으로 옮기고 부호를 변경하면 주어진 것과 동일한 방정식을 얻습니다. 2. 방정식의 두 부분에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하거나 나누면 주어진 값과 동일한 방정식이 얻어집니다..)
    6. 분수가 0인 경우는 언제입니까? ( 분자가 0일 때 분수는 0입니다. 영, 분모가 0이 아닙니다..)

    3. 신소재에 대한 설명.

    공책과 칠판에서 방정식 2를 풉니 다.

    답변: 10.

    비율의 기본 속성을 사용하여 어떤 분수 유리 방정식을 풀 수 있습니까? (5번).

    (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

    x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

    x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

    공책과 칠판에서 방정식 4를 풉니 다.

    답변: 1,5.

    방정식의 양변에 분모를 곱하여 풀 수 있는 분수 유리 방정식은 무엇입니까? (6 번).

    x 2 -7x+12 = 0

    D=1>0, x1=3, x2=4.

    답변: 3;4.

    이제 한 가지 방법으로 방정식 #7을 풀어보십시오.

    (x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

    (x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

    x 2 -2x-5=x+5

    x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

    x 2 -2x-5-x-5=0

    x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

    x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

    x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49

    x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

    x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

    답변: 0;5;-2.

    답변: 5;-2.

    왜 이런 일이 일어 났는지 설명하십시오. 한 경우에는 3개의 뿌리가 있고 다른 경우에는 2개의 뿌리가 있는 이유는 무엇입니까? 이 분수 유리 방정식의 근은 몇 개입니까?

    지금까지 학생들은 외래어 개념을 만나지 못했고, 왜 이런 일이 일어났는지 이해하기가 정말 어렵습니다. 반에서 아무도 이 상황에 대해 명확하게 설명할 수 없으면 교사는 주도적인 질문을 합니다.

    • 방정식 2와 4는 방정식 5,6,7과 어떻게 다릅니까? ( 숫자의 분모에있는 방정식 2 번과 4 번에서 5-7 번 - 변수가있는 표현.)
    • 방정식의 근은 무엇입니까? ( 방정식이 진정한 평등이 되는 변수의 값.)
    • 숫자가 방정식의 근인지 확인하는 방법은 무엇입니까? ( 확인.)

    시험을 할 때 어떤 학생들은 0으로 나누어야 한다는 것을 알아차립니다. 그들은 숫자 0과 5가 이 방정식의 근이 아니라는 결론을 내립니다. 문제가 발생합니다. 이 오류를 제거하는 분수 유리 방정식을 푸는 방법이 있습니까? 예, 이 방법은 분수가 0이라는 조건을 기반으로 합니다.

    x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

    x=5이면 x(x-5)=0이므로 5는 외부 근입니다.

    x=-2이면 x(x-5)≠0입니다.

    답변: -2.

    이런 식으로 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 공식화해 봅시다. 아이들 스스로 알고리즘을 공식화합니다.

    분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘:

    1. 모든 것을 왼쪽으로 이동합니다.
    2. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.
    3. 시스템을 구성하십시오: 분자가 0이고 분모가 0이 아닐 때 분수는 0입니다.
    4. 방정식을 풉니다.
    5. 부등식을 확인하여 관련 없는 근을 제외합니다.
    6. 답을 적어보세요.

    토론: 비율의 기본 속성을 사용하고 방정식의 양변에 공통 분모를 곱한 경우 솔루션을 공식화하는 방법. (해결책 보완: 공통 분모를 0으로 만드는 것을 뿌리에서 제외).

    4. 새로운 자료에 대한 기본 이해.

    쌍으로 작업하십시오. 방정식의 종류에 따라 학생들이 스스로 방정식을 푸는 방법을 선택합니다. 교과서 "대수학 8"의 과제, Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b, c, i); 601(a, e, g). 교사는 과제 수행을 통제하고, 제기된 질문에 답하고, 성과가 낮은 학생을 지원합니다. 자가 테스트: 답은 칠판에 기록됩니다.

    b) 2는 외래근입니다. 답:3.

    c) 2는 외래근입니다. 답: 1.5.

    a) 답: -12.5.

    g) 답: 1, 1.5.

    5. 숙제 진술서.

    1. 교과서의 25번 항목을 읽고 예제 1-3을 분석하십시오.
    2. 분수 유리 방정식을 푸는 알고리즘을 배웁니다.
    3. 노트북 번호 600 (a, d, e)에서 해결하십시오. 601호(g, h).
    4. #696(a)(선택 사항)을 해결해 보십시오.

    6. 연구 주제에 대한 통제 작업의 이행.

    작업은 시트에서 수행됩니다.

    작업 예:

    A) 방정식 중 분수 유리는 무엇입니까?

    B) 분자가 ______________________이고 분모가 _______________________일 때 분수는 0입니다.

    Q) -3이 식 6의 근인가요?

    D) 방정식 7을 풉니다.

    작업 평가 기준:

    • 학생이 과제의 90% 이상을 올바르게 완료한 경우 "5"가 부여됩니다.
    • "4" - 75% -89%
    • "3" - 50% -74%
    • "2"는 과제의 50% 미만을 완료한 학생에게 주어집니다.
    • 2급은 일지에 기재하지 않고 3급은 선택사항입니다.

    7. 반성.

    독립적 인 작업이있는 전단지에 다음을 넣으십시오.

    • 1 - 수업이 흥미롭고 이해하기 쉬운 경우
    • 2 - 흥미롭지 만 명확하지 않습니다.
    • 3 - 흥미롭지는 않지만 이해할 수 있습니다.
    • 4 - 흥미롭지 않고 명확하지 않습니다.

    8. 수업을 요약합니다.

    그래서, 오늘 우리는 분수 유리 방정식에 대해 알게 된 수업에서 이러한 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 다른 방법들, 훈련의 도움으로 지식을 테스트했습니다. 독립적 인 일. 다음 수업에서 독립적 인 작업의 결과를 배우고 집에서 얻은 지식을 통합 할 수있는 기회를 갖게됩니다.

    분수 유리 방정식을 푸는 어떤 방법이 더 쉽고, 더 접근 가능하고, 더 합리적이라고 생각합니까? 분수 유리 방정식을 푸는 방법에 관계없이 잊어서는 안되는 것은 무엇입니까? 분수 유리 방정식의 "교활함"은 무엇입니까?

    모두 감사합니다. 수업이 끝났습니다.

    유리 및 분수 유리 방정식에 대해 알아보고, 그 정의를 제공하고, 예를 제공하고, 가장 일반적인 유형의 문제도 분석해 보겠습니다.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    합리적 방정식: 정의 및 예

    합리적인 표현과의 친분은 8학년부터 시작됩니다. 현재 대수 수업에서 학생들은 다음을 포함하는 방정식으로 과제를 해결하기 시작하고 있습니다. 합리적인 표현당신의 메모에. 그것이 무엇인지에 대한 기억을 새롭게 해보자.

    정의 1

    유리 방정식는 양변에 유리식이 포함된 방정식입니다.

    다양한 설명서에서 다른 문구를 찾을 수 있습니다.

    정의 2

    유리 방정식- 이것은 방정식으로, 왼쪽의 레코드는 유리식을 포함하고 오른쪽의 레코드는 0을 포함합니다.

    우리가 합리적인 방정식에 대해 부여한 정의는 동일한 것을 의미하기 때문에 동일합니다. 우리 말의 정확성은 합리적인 표현에 대해 피그리고 큐방정식 P=Q그리고 피 - Q = 0등가 표현이 됩니다.

    이제 예제를 살펴보겠습니다.

    실시예 1

    합리적 방정식:

    x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

    유리 방정식은 다른 유형의 방정식과 마찬가지로 1에서 여러 변수까지 포함할 수 있습니다. 우선, 우리는 고려할 것입니다 간단한 예, 방정식에는 하나의 변수만 포함됩니다. 그런 다음 점차 작업을 복잡하게 만들기 시작합니다.

    합리적 방정식은 정수와 분수의 두 가지 큰 그룹으로 나뉩니다. 각 그룹에 어떤 방정식이 적용되는지 봅시다.

    정의 3

    유리 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분의 레코드에 전체 유리 표현식이 포함되어 있으면 유리 방정식은 정수가 됩니다.

    정의 4

    유리 방정식은 부분 중 하나 또는 모두에 분수가 포함되어 있으면 분수가 됩니다.

    분수 유리 방정식은 반드시 변수에 의한 나눗셈을 포함하거나 변수가 분모에 존재합니다. 정수 방정식을 작성할 때 그러한 나눗셈은 없습니다.

    실시예 2

    3 x + 2 = 0그리고 (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5전체 유리 방정식입니다. 여기서 방정식의 두 부분은 정수 표현식으로 표시됩니다.

    1 x - 1 = x 3 및 x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5분수 유리 방정식입니다.

    전체 유리 방정식에는 1차 방정식과 2차 방정식이 포함됩니다.

    전체 방정식 풀기

    그러한 방정식의 해는 일반적으로 등가 대수 ​​방정식으로의 변환으로 축소됩니다. 이것은 다음 알고리즘에 따라 방정식의 등가 변환을 수행하여 달성할 수 있습니다.

    • 먼저 방정식의 오른쪽에서 0을 얻습니다. 이를 위해 방정식의 오른쪽에 있는 표현식을 왼쪽으로 옮기고 부호를 변경해야 합니다.
    • 그런 다음 방정식의 왼쪽에 있는 표현식을 다항식으로 변환합니다. 표준보기.

    대수 방정식을 얻어야 합니다. 이 방정식은 원래 방정식과 동일합니다. 쉬운 경우를 사용하면 전체 방정식을 선형 또는 이차 방정식으로 줄여 문제를 해결할 수 있습니다. 일반적인 경우, 우리는 차수의 대수 방정식을 풉니다. N.

    실시예 3

    전체 방정식의 근을 찾아야 합니다. 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

    결정

    이에 상응하는 대수 방정식을 얻기 위해 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 이를 위해 방정식의 우변에 포함된 식을 좌변으로 옮기고 부호를 반대로 바꾸어 보겠습니다. 결과적으로 다음을 얻습니다. 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

    이제 왼쪽에 있는 표현식을 표준 형식의 다항식으로 변환하고 다음을 수행합니다. 필요한 조치이 다항식으로:

    3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

    우리는 원래 방정식의 해를 다음 형식의 이차 방정식의 해로 줄이는 데 성공했습니다. x 2 − 5 x − 6 = 0. 이 방정식의 판별식은 양수입니다. D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .이것은 두 개의 실제 뿌리가 있음을 의미합니다. 이차 방정식의 근 공식을 사용하여 구해 봅시다.

    x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

    x 1 \u003d 5 + 7 2 또는 x 2 \u003d 5 - 7 2,

    x 1 = 6 또는 x 2 = - 1

    풀이 과정에서 찾은 방정식의 근의 정확성을 확인합시다. 우리가받은이 숫자에 대해 원래 방정식으로 대체합니다. 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3그리고 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. 첫 번째 경우 63 = 63 , 두 번째 0 = 0 . 뿌리 x=6그리고 x = - 1실제로 예제 조건에서 주어진 방정식의 근입니다.

    답변: 6 , − 1 .

    "전체 방정식의 거듭제곱"이 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다. 전체 방정식을 대수 방정식의 형태로 나타내야 하는 경우에 이 용어를 자주 접하게 됩니다. 개념을 정의합시다.

    정의 5

    정수 방정식의 차수원래의 전체 방정식에 해당하는 대수 방정식의 차수입니다.

    위의 예에서 방정식을 보면 다음을 설정할 수 있습니다. 이 전체 방정식의 차수는 두 번째입니다.

    우리 과정이 2차 방정식 풀이로 제한되었다면 여기서 주제에 대한 고려가 완료될 수 있습니다. 그러나 모든 것이 그렇게 간단하지 않습니다. 3차 방정식을 푸는 것은 어려운 일입니다. 그리고 4차 이상의 방정식의 경우에는 전혀 존재하지 않습니다. 일반 공식뿌리. 이와 관련하여 세 번째, 네 번째 및 기타 학위의 전체 방정식을 풀려면 여러 다른 기술과 방법을 사용해야 합니다.

    전체 유리 방정식을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 접근 방식은 인수분해 방법을 기반으로 합니다. 이 경우의 동작 알고리즘은 다음과 같습니다.

    • 레코드의 오른쪽에 0이 남도록 표현식을 오른쪽에서 왼쪽으로 옮깁니다.
    • 왼쪽에 있는 식을 요인의 곱으로 표현한 다음 몇 가지 더 간단한 방정식 세트로 넘어갑니다.
    실시예 4

    방정식 (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) 의 해를 구합니다.

    결정

    반대 기호를 사용하여 레코드의 오른쪽에서 왼쪽으로 표현식을 전송합니다. (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. 좌변을 표준 형식의 다항식으로 변환하는 것은 4차 대수 방정식을 제공한다는 사실 때문에 비실용적입니다. x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. 변환의 용이성은 그러한 방정식을 푸는 데 따른 모든 어려움을 정당화하지 않습니다.

    다른 방향으로 가는 것이 훨씬 쉽습니다. 우리는 공통 요소를 제거합니다. x 2 − 10 x + 13 .따라서 우리는 다음 형식의 방정식에 도달합니다. (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. 이제 결과 방정식을 두 개의 이차 방정식 세트로 바꿉니다. x 2 − 10 x + 13 = 0그리고 x 2 − 2 x − 1 = 0판별식을 통해 근을 찾습니다. 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    답변: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

    유사하게, 우리는 새로운 변수를 도입하는 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 원래 전체 방정식보다 거듭제곱이 낮은 등가 방정식에 전달할 수 있습니다.

    실시예 5

    방정식에 근이 있습니까? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

    결정

    이제 전체 합리적 방정식을 대수적 방정식으로 줄이려고 하면 합리적 근이 없는 차수 4의 방정식을 얻게 됩니다. 따라서 다른 방향으로 가는 것이 더 쉬울 것입니다. 방정식의 표현식을 대체할 새 변수 y를 도입하십시오. x 2 + 3 x.

    이제 우리는 전체 방정식으로 작업할 것입니다 (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). 방정식의 오른쪽을 반대 부호로 왼쪽으로 옮기고 필요한 변환을 수행합니다. 우리는 다음을 얻습니다: y 2 + 4 y + 3 = 0. 이차 방정식의 근을 구해 봅시다. y = - 1그리고 y = - 3.

    이제 역대입을 해보자. 우리는 두 개의 방정식을 얻습니다. x 2 + 3 x = - 1그리고 x 2 + 3 x = - 3 . x 2 + 3 x + 1 = 0으로 다시 작성해 보겠습니다. x 2 + 3 x + 3 = 0. 얻은 첫 번째 방정식의 근을 찾기 위해 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. - 3 ± 5 2 . 두 번째 방정식의 판별식은 음수입니다. 이것은 두 번째 방정식에 실근이 없음을 의미합니다.

    답변:- 3 ± 5 2

    높은 차수의 정수 방정식은 문제를 자주 접합니다. 그들을 두려워할 필요가 없습니다. 많은 인공 변형을 포함하여 비표준 해결 방법을 적용할 준비가 되어 있어야 합니다.

    분수 유리 방정식의 솔루션

    우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식을 풀기 위한 알고리즘으로 이 하위 주제에 대한 고려를 시작합니다. 여기서 피(x)그리고 q(x)정수 유리 표현식입니다. 다른 분수 합리적인 방정식의 해는 항상 표시된 형식의 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

    방정식 p(x) q(x) = 0을 푸는 데 가장 일반적으로 사용되는 방법은 다음 진술을 기반으로 합니다. 유 v, 어디 V분수의 분자가 0인 경우에만 0과 같은 0과 다른 숫자입니다. 위 문장의 논리에 따라 우리는 방정식 p(x) q(x) = 0의 해가 두 가지 조건의 충족으로 축소될 수 있다고 주장할 수 있습니다. p(x)=0그리고 q(x) ≠ 0. 이에 대해 p(x) q(x) = 0 형식의 유리 분수 방정식을 풀기 위한 알고리즘이 구축됩니다.

    • 우리는 전체 합리적인 방정식의 솔루션을 찾습니다 p(x)=0;
    • 솔루션 중에 찾은 루트에 대해 조건이 충족되는지 확인합니다. q(x) ≠ 0.

    이 조건이 충족되면 루트가 발견되고, 그렇지 않으면 루트가 문제의 솔루션이 아닙니다.

    실시예 6

    방정식 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 의 근을 찾습니다.

    결정

    우리는 p (x) q (x) = 0 형식의 유리 분수 방정식을 다루고 있습니다. 여기서 p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 입니다. 선형 방정식 풀기 시작하자 3 x - 2 = 0. 이 방정식의 근은 x = 2 3.

    찾은 루트가 조건을 만족하는지 확인해보자 5 x 2 - 2 ≠ 0. 이렇게 하려면 표현식에 숫자 값을 대체하십시오. 우리는 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0을 얻습니다.

    조건이 충족됩니다. 그 의미 x = 2 3는 원래 방정식의 근입니다.

    답변: 2 3 .

    분수 유리 방정식 p (x) q (x) = 0 을 푸는 또 다른 옵션이 있습니다. 이 방정식은 전체 방정식과 동일하다는 것을 기억하십시오. p(x)=0원래 방정식의 변수 x의 허용 가능한 값 범위. 이를 통해 방정식 p(x) q(x) = 0을 풀 때 다음 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

    • 방정식을 풀다 p(x)=0;
    • 변수 x에 대해 허용되는 값의 범위를 찾습니다.
    • 우리는 변수 x의 허용 가능한 값 영역에 있는 뿌리를 원래 분수 유리 방정식의 원하는 근으로 취합니다.
    실시예 7

    방정식 x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 을 풉니다.

    결정

    시작하려면 결정하자 이차 방정식 x 2 − 2 x − 11 = 0. 근을 계산하기 위해 짝수 번째 계수에 대한 근 공식을 사용합니다. 우리는 얻는다 D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, 그리고 x = 1 ± 2 3 .

    이제 원래 방정식에 대한 x의 ODV를 찾을 수 있습니다. 이것들은 모두 다음과 같은 숫자입니다. x 2 + 3 x ≠ 0. 와 같다 x (x + 3) ≠ 0, x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

    이제 솔루션의 첫 번째 단계에서 얻은 근 x = 1 ± 2 3 이 변수 ​​x 의 허용 가능한 값 범위 내에 있는지 확인하겠습니다. 우리는 무엇이 들어오는지 봅니다. 이것은 원래 분수 유리 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다 x = 1 ± 2 3 .

    답변: x = 1 ± 2 3

    설명된 두 번째 솔루션 방법 처음보다 쉽게변수 x의 허용 가능한 값의 면적과 방정식의 근을 찾기 쉬운 경우 p(x)=0비합리적인 예를 들어, 7 ± 4 26 9 . 근은 합리적일 수 있지만 분자나 분모가 큽니다. 예를 들어, 127 1101 그리고 − 31 59 . 이렇게 하면 상태를 확인하는 시간을 절약할 수 있습니다. q(x) ≠ 0: ODZ에 따르면 맞지 않는 뿌리를 제외하는 것이 훨씬 쉽습니다.

    방정식의 근이 p(x)=0가 정수인 경우 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 설명된 알고리즘 중 첫 번째를 사용하는 것이 더 편리합니다. 전체 방정식의 근을 더 빠르게 찾기 p(x)=0, 그런 다음 조건이 충족되는지 확인하십시오. q(x) ≠ 0, ODZ를 찾지 못한 다음 방정식을 풉니다. p(x)=0이 ODZ에. 이것은 그러한 경우 일반적으로 ODZ를 찾는 것보다 확인하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

    실시예 8

    방정식의 근을 구합니다. (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

    결정

    우리는 전체 방정식을 고려하여 시작합니다 (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0그리고 그 뿌리를 찾는 것. 이를 위해 인수분해를 통해 방정식을 푸는 방법을 적용합니다. 원래 방정식은 4개의 방정식 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0의 집합과 동일하며 그 중 3개는 선형이고 하나는 정사각형입니다. 우리는 루트를 찾습니다: 첫 번째 방정식에서 x = 1 2, 두 번째부터 x=6, 세 번째부터 - x \u003d 7, x \u003d - 2, 네 번째부터 - x = - 1.

    획득한 뿌리를 확인해보자. 이 경우 ODZ를 결정하는 것은 어렵습니다. 이를 위해서는 5차 대수 방정식을 풀어야 하기 때문입니다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모가 사라지지 않아야 하는 조건을 확인하는 것이 더 쉬울 것입니다.

    차례로 식에서 변수 x 대신 근을 대체합니다. x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112값을 계산합니다.

    1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 10 32 ≠

    6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

    7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

    (− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

    (− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

    수행된 검증을 통해 원래 분수 유리 방정식의 근이 1 2 , 6 및 − 2 .

    답변: 1 2 , 6 , - 2

    실시예 9

    분수 유리 방정식 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 의 근을 찾습니다.

    결정

    방정식부터 시작합시다. (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. 그 뿌리를 찾아보자. 이 방정식을 2차 방정식과 1차 방정식의 조합으로 표현하는 것이 더 쉽습니다. 5 x 2 - 7 x - 1 = 0그리고 x − 2 = 0.

    근을 찾기 위해 이차 방정식의 근 공식을 사용합니다. 첫 번째 방정식에서 두 개의 근 x = 7 ± 69 10을 얻고 두 번째 방정식에서 x=2.

    조건을 확인하기 위해 원래 방정식에 근의 값을 대입하는 것은 우리에게 매우 어려울 것입니다. 변수 x 의 LPV를 결정하는 것이 더 쉬울 것입니다. 이 경우 변수 x의 DPV는 조건이 만족되는 것을 제외한 모든 숫자입니다. x 2 + 5 x − 14 = 0. x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ 를 얻습니다.

    이제 우리가 찾은 루트가 x 변수에 대해 허용되는 값 범위에 속하는지 확인하겠습니다.

    근 x = 7 ± 69 10 - 속하므로 원래 방정식의 근이고, x=2- 속하지 않으므로 외래어근입니다.

    답변: x = 7 ± 69 10 .

    p (x) q (x) = 0 형식의 분수 유리 방정식의 분자에 숫자가 포함 된 경우를 별도로 살펴보겠습니다. 이러한 경우 분자에 0이 아닌 숫자가 포함되어 있으면 방정식에 근이 없습니다. 이 숫자가 0과 같으면 방정식의 근은 ODZ의 숫자가 됩니다.

    실시예 10

    분수 유리 방정식 - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 을 풉니다.

    결정

    방정식의 왼쪽에서 분수의 분자가 0이 아닌 숫자를 포함하기 때문에 이 방정식에는 근이 없습니다. 이것은 x의 모든 값에 대해 문제의 조건에서 주어진 분수의 값이 0과 같지 않음을 의미합니다.

    답변:뿌리가 없습니다.

    실시예 11

    방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0을 풉니다.

    결정

    분수의 분자가 0이기 때문에 방정식의 해는 ODZ 변수 x에서 x의 값이 될 것입니다.

    이제 ODZ를 정의해 보겠습니다. 여기에는 모든 x 값이 포함됩니다. x 4 + 5 x 3 ≠ 0. 방정식 솔루션 x 4 + 5 x 3 = 0~이다 0 그리고 − 5 , 이 방정식은 방정식과 동일하기 때문에 x 3 (x + 5) = 0, 그리고 그것은 차례로 두 방정식 x 3 = 0의 집합과 동일합니다. x + 5 = 0이 뿌리가 보이는 곳. 허용 가능한 값의 원하는 범위는 x 를 제외하고는 x=0그리고 x = -5.

    분수 유리 방정식 0 x 4 + 5 x 3 = 0에는 0과 - 5를 제외한 모든 숫자인 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

    답변: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

    이제 임의 형식의 분수 유리 방정식과이를 푸는 방법에 대해 이야기합시다. 그들은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 r(x) = s(x), 어디 r(x)그리고 에스(x)는 합리적인 표현이고 그 중 적어도 하나는 분수입니다. 이러한 방정식의 해는 p(x) q(x) = 0 형식의 방정식 해로 축소됩니다.

    반대 부호를 사용하여 방정식의 우변에서 좌변으로 식을 옮기면 등가 방정식을 얻을 수 있다는 것을 이미 알고 있습니다. 이것은 방정식이 r(x) = s(x)는 방정식과 동일합니다. r(x) − s(x) = 0. 우리는 또한 유리수 표현식을 유리 분수로 변환하는 방법에 대해 이미 논의했습니다. 덕분에 방정식을 쉽게 변환할 수 있습니다. r(x) − s(x) = 0 p(x) q(x) 형식의 동일한 유리 분수로 변환합니다.

    그래서 우리는 원래 분수 유리 방정식에서 이동합니다 r(x) = s(x) p(x) q(x) = 0 형식의 방정식으로 변환하는 방법을 이미 배웠습니다.

    에서 전환할 때 주의해야 합니다. r(x) − s(x) = 0 p(x) q(x) = 0으로 다음으로 p(x)=0변수 x 의 유효한 값 범위 확장을 고려하지 않을 수 있습니다.

    원래 방정식이 매우 현실적입니다. r(x) = s(x)및 방정식 p(x)=0변환의 결과로 더 이상 동등하지 않게 됩니다. 그런 다음 방정식의 해 p(x)=0우리에게 낯선 뿌리를 줄 수 있습니다. r(x) = s(x). 이와 관련하여 각각의 경우 위에서 설명한 방법 중 하나로 점검을 수행해야 합니다.

    주제를 더 쉽게 연구할 수 있도록 모든 정보를 형식의 분수 유리수 방정식을 푸는 알고리즘으로 일반화했습니다. r(x) = s(x):

    • 반대 부호를 사용하여 오른쪽에서 표현식을 전송하고 오른쪽에서 0을 얻습니다.
    • 분수와 다항식으로 작업을 순차적으로 수행하여 원래 표현식을 유리 분수 p(x) q(x)로 변환합니다.
    • 방정식을 풀다 p(x)=0;
    • 우리는 ODZ에 속하는 것을 확인하거나 원래 방정식에 대입하여 외부 근을 나타냅니다.

    시각적으로 일련의 작업은 다음과 같습니다.

    r(x) = s(x) → r(x) - s(x) = 0 → p(x) q(x) = 0 → p(x) = 0 → 탈락 r o n d er o o n s

    실시예 12

    분수 유리수 방정식 x x + 1 = 1 x + 1 을 풉니다.

    결정

    방정식 x x + 1 - 1 x + 1 = 0 으로 넘어갑시다. 방정식의 왼쪽에 있는 분수 유리수 표현식을 p (x) q (x) 형식으로 변환해 보겠습니다.

    이를 위해 우리는 가져와야합니다 유리수공통 분모로 표현하고 식을 단순화합니다.

    x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

    방정식 - 2 x - 1 x (x + 1) = 0의 근을 찾으려면 방정식을 풀어야 합니다. − 2 x − 1 = 0. 우리는 하나의 루트를 얻습니다. x = - 1 2.

    어떤 방법이든 확인하는 것은 우리에게 남아 있습니다. 둘 다 고려해 봅시다.

    결과 값을 원래 방정식에 대입합니다. 우리는 - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 을 얻습니다. 우리는 정확한 수치적 평등에 도달했습니다 − 1 = − 1 . 그 의미 x = − 1 2는 원래 방정식의 근입니다.

    이제 ODZ를 통해 확인하겠습니다. 변수 x에 대해 허용되는 값의 영역을 결정합시다. 이것은 − 1과 0을 제외한 전체 숫자 세트가 됩니다(x = − 1 및 x = 0일 때 분수의 분모는 사라집니다). 우리가 얻은 뿌리 x = − 1 2 ODZ에 속합니다. 이것은 그것이 원래 방정식의 근임을 의미합니다.

    답변: − 1 2 .

    실시예 13

    방정식 x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x 의 근을 찾습니다.

    결정

    우리는 분수 유리 방정식을 다루고 있습니다. 따라서 우리는 알고리즘에 따라 행동할 것입니다.

    반대 기호를 사용하여 식을 오른쪽에서 왼쪽으로 이동해 보겠습니다. x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

    필요한 변환을 수행합시다: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

    우리는 방정식에 온다 x=0. 이 방정식의 근은 0입니다.

    이 근이 원래 방정식에 대한 외래 근인지 확인합시다. 원래 방정식의 값을 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 으로 대체합니다. 보시다시피 결과 방정식은 의미가 없습니다. 이것은 0이 외부 근이고 원래 분수 유리 방정식에는 근이 없음을 의미합니다.

    답변:뿌리가 없습니다.

    알고리즘에 다른 동등한 변환을 포함하지 않았다고 해서 사용할 수 없다는 의미는 아닙니다. 알고리즘은 보편적이지만 제한이 아니라 도움이 되도록 설계되었습니다.

    실시예 14

    방정식 풀기 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

    결정

    가장 쉬운 방법은 알고리즘에 따라 주어진 분수 유리 방정식을 푸는 것입니다. 그러나 다른 방법이 있습니다. 생각해 봅시다.

    오른쪽과 왼쪽 부분 7에서 빼면 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24가 됩니다.

    이것으로부터 우리는 좌변의 분모에 있는 표현이 우변의 수의 역수와 같아야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 입니다.

    두 부분에서 3을 뺍니다. 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . 유추 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, 여기서 1 5 - x 2 \u003d 1 3, 더 나아가 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

    찾은 근이 원래 방정식의 근인지 확인하기 위해 확인합시다.

    답변: x = ± 2

    텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

    우리는 7절에서 위의 방정식을 소개했습니다. 먼저, 우리는 합리적 표현이 무엇인지 기억합니다. 이것은 - 대수식, 숫자와 변수 x로 구성된 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 및 덧셈 연산을 자연 지수로 사용합니다.

    r(x)가 유리식이면 방정식 r(x) = 0을 유리식이라고 합니다.

    그러나 실제로는 약간 더 많이 사용하는 것이 더 편리합니다. 폭넓은 해석용어 "합리 방정식": 이것은 h(x) = q(x) 형식의 방정식으로, 여기서 h(x) 및 q(x)는 유리 표현식입니다.

    지금까지 우리는 어떤 합리적인 방정식도 풀 수 없었고, 다양한 변형과 ​​추론의 결과로 일차 방정식. 이제 우리의 가능성은 훨씬 더 큽니다. 우리는 합리적인 방정식을 풀 수 있을 것입니다.
    mu뿐만 아니라 이차 방정식에도 적용됩니다.

    이전에 유리 방정식을 풀었던 방법을 상기하고 솔루션 알고리즘을 공식화하려고 시도합니다.

    실시예 1방정식을 풀다

    결정. 우리는 방정식을 다음 형식으로 다시 씁니다.

    이 경우 평소와 같이 평등 A \u003d B 및 A-B \u003d 0이 A와 B 사이의 동일한 관계를 표현한다는 사실을 사용합니다. 이를 통해 항을 방정식의 왼쪽으로 이동할 수 있습니다. 반대 기호.

    방정식의 좌변을 변환해 봅시다. 우리는


    평등 조건을 상기하라 분수 0: 두 관계가 동시에 충족되는 경우에만:

    1) 분수의 분자는 0입니다(a = 0). 2) 분수의 분모가 0과 다름).
    방정식 (1)의 왼쪽에 있는 분수의 분자를 0과 같게 하면 다음을 얻습니다.

    위에서 언급한 두 번째 조건의 충족 여부를 확인하는 일만 남았습니다. 비율은 방정식 (1)에 대해 다음을 의미합니다. 값 x 1 = 2 및 x 2 = 0.6은 표시된 관계를 충족하므로 방정식 (1)의 근과 동시에 주어진 방정식의 근이 됩니다.

    1) 방정식을 다음 형식으로 변환합시다.

    2) 이 방정식의 좌변 변환을 수행해 보겠습니다.

    (동시에 분자의 부호를 변경하고
    분수).
    따라서, 주어진 방정식형태를 취한다

    3) 방정식 x 2 - 6x + 8 = 0을 풉니다. 찾기

    4) 찾은 값의 조건 확인 . 숫자 4는 이 조건을 만족하지만 숫자 2는 그렇지 않습니다. 따라서 4는 주어진 방정식의 근이고 2는 외부 근입니다.
    답: 4.

    2. 새로운 변수를 도입하여 유리방정식 풀기

    새로운 변수를 도입하는 방법은 여러분에게 친숙하며, 우리는 그것을 한 번 이상 사용했습니다. 유리 방정식을 푸는 데 어떻게 사용되는지 예를 들어 보여 드리겠습니다.

    실시예 3방정식 x 4 + x 2 - 20 = 0을 풉니다.

    결정. 새로운 변수 y \u003d x 2를 소개합니다. x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2 이후로 주어진 방정식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

    y 2 + y - 20 = 0.

    이것은 2차 방정식이며, 그 근은 알려진 방식; 우리는 y 1 = 4, y 2 = - 5를 얻습니다.
    그러나 y \u003d x 2, 이는 문제가 두 방정식을 푸는 것으로 축소되었음을 의미합니다.
    x2=4; x 2 \u003d -5.

    첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식에는 근이 없음을 알 수 있습니다.
    답변: .
    ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 형식의 방정식을 이차 방정식("bi"-2, 즉 "2제곱" 방정식)이라고 합니다. 방금 푼 방정식은 정확히 이차방정식이었습니다. 모든 이차 방정식은 예제 3의 방정식과 같은 방식으로 해결됩니다. 새 변수 y \u003d x 2가 도입되고 결과 이차 방정식이 변수 y에 대해 풀린 다음 변수 x로 반환됩니다.

    실시예 4방정식을 풀다

    결정. 동일한 표현식 x 2 + 3x가 여기에서 두 번 발생합니다. 따라서 새로운 변수 y = x 2 + Zx를 도입하는 것이 합리적입니다. 이것은 우리가 방정식을 더 간단하고 더 즐거운 형태로 다시 쓸 수 있게 해 줄 것입니다(사실, 이것은 새로운 변하기 쉬운- 녹음이 더 쉽습니다.
    , 방정식의 구조가 더 명확해짐):

    이제 우리는 합리적인 방정식을 푸는 알고리즘을 사용할 것입니다.

    1) 방정식의 모든 항을 한 부분으로 옮깁니다.

    = 0
    2) 방정식의 좌변을 변환해 봅시다.

    그래서 우리는 주어진 방정식을 다음 형식으로 변환했습니다.


    3) 방정식에서 - 7y 2 + 29y -4 = 0을 찾았습니다(이미 많은 이차 방정식을 풀었으므로 교과서에서 항상 자세한 계산을 제공하는 것은 가치가 없을 것입니다).

    4) 조건 5(y - 3)(y + 1)를 이용하여 찾은 근을 확인해보자. 두 뿌리 모두 이 조건을 만족합니다.
    따라서 새로운 변수 y에 대한 이차 방정식이 풀립니다.
    y \u003d x 2 + Zx, 그리고 y는 우리가 설정한 대로 두 가지 값을 취하기 때문에 4와 - 우리는 여전히 두 방정식을 풀어야 합니다. x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. 첫 번째 방정식의 근은 숫자 1과 -4이고 두 번째 방정식의 근은 숫자입니다.

    고려한 예에서 새로운 변수를 도입하는 방법은 수학자들이 말하는 것처럼 상황에 적절했습니다. 즉, 상황에 잘 부합했습니다. 왜요? 네, 등식 기록에서 분명히 같은 표현이 여러 번 나왔고 이 표현을 새 문자로 지정하는 것이 합리적이기 때문입니다. 그러나 이것이 항상 그런 것은 아니며 때로는 변환 과정에서만 새로운 변수가 "나타납니다". 이것이 바로 다음 예에서 일어날 일입니다.

    실시예 5방정식을 풀다
    x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
    결정. 우리는
    x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
    (x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

    따라서 주어진 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

    (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

    이제 새로운 변수가 "나타났습니다": y = x 2 - Zx.

    도움을 받아 방정식을 y (y + 2) \u003d 24 형식으로 다시 작성한 다음 y 2 + 2y - 24 \u003d 0 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 이 방정식의 근은 숫자 4와 -6입니다.

    원래 변수 x로 돌아가서 두 개의 방정식 x 2 - Zx \u003d 4 및 x 2 - Zx \u003d - 6을 얻습니다. 첫 번째 방정식에서 x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1을 찾습니다. 두 번째 방정식에는 근이 없습니다.

    답: 4, - 1.

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