거듭제곱 함수의 속성은 무엇에 의존합니까? 전원 기능

이 단원에서는 다음을 사용하여 거듭제곱 함수에 대한 연구를 계속할 것입니다. 합리적인 지표, 음의 유리 지수를 가진 함수를 고려하십시오.

1. 기본 개념 및 정의

음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성과 그래프를 상기하십시오.

짝수 n에 대해 :

기능 예:

이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;1)의 두 고정점을 통과합니다. 이 유형의 함수의 기능은 패리티이며 그래프는 op-y 축에 대해 대칭입니다.

쌀. 1. 함수의 그래프

홀수 n의 경우 :

기능 예:

이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;-1)의 두 고정 점을 통과합니다. 이 유형의 함수의 특징은 기이함이며 그래프는 원점에 대해 대칭입니다.

쌀. 2. 기능 그래프

2. 음의 유리 지수 함수, 그래프, 속성

주요 정의를 기억합시다.

합리적인 양의 지수를 갖는 음이 아닌 숫자의 차수를 숫자라고 합니다.

합리적인 음수 지수를 갖는 양수의 차수를 숫자라고 합니다.

다음 평등이 성립하는 경우:

예를 들어: ; - 음의 유리 지수가 있는 차수의 정의에 의해 표현이 존재하지 않습니다. 지수가 정수이므로 존재합니다.

합리적인 음수 지수를 사용하여 거듭제곱 함수를 고려하도록 합시다.

예를 들어:

이 함수를 플롯하기 위해 표를 만들 수 있습니다. 우리는 그렇지 않을 것입니다. 먼저 분모의 그래프를 만들고 연구할 것입니다. 우리는 그것을 알고 있습니다(그림 3).

쌀. 3. 함수의 그래프

분모 함수의 그래프는 고정점(1;1)을 통과합니다. 원래 함수의 그래프를 구성할 때 이 점은 그대로 유지되고 근도 0이 되는 경향이 있을 때 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대에 가까워지면 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 4).

쌀. 4. 기능 그래프

연구 중인 함수군에서 하나의 함수를 더 고려하십시오.

중요한 것은 정의상

분모에서 함수의 그래프를 고려하십시오. , 우리는 이 함수의 그래프를 알고 있으며 정의 영역에서 증가하고 점 (1; 1)을 통과합니다(그림 5).

쌀. 5. 기능 그래프

원래 함수의 그래프를 구성할 때 점 (1; 1)은 그대로 유지되고 근도 0이 되는 경향이 있을 때 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대에 가까워지면 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 6).

쌀. 6. 기능 그래프

고려한 예는 그래프가 어떻게 진행되고 연구 중인 함수(음의 유리 지수가 있는 함수)의 속성이 무엇인지 이해하는 데 도움이 됩니다.

이 패밀리의 함수 그래프는 점 (1;1)을 통과하면 전체 정의 영역에서 함수가 감소합니다.

기능 범위:

함수는 위에서 경계가 지정되지 않고 아래에서 경계가 지정됩니다. 함수에는 최대값도 없고 최대값도 없습니다. 가장 작은 값.

이 함수는 연속적이며 0에서 더하기 무한대까지 모든 양수 값을 취합니다.

볼록 다운 기능(그림 15.7)

점 A와 B는 곡선에서 가져오고 세그먼트를 통해 그려지고 전체 곡선은 세그먼트 아래에 있으며이 조건은 곡선의 임의의 두 점에 대해 충족되므로 함수는 아래쪽으로 볼록합니다. 쌀. 7.

쌀. 7. 함수의 볼록성

3. 대표적인 문제 해결

이 패밀리의 기능은 아래에서 0으로 경계가 지정되지만 가장 작은 값은 없다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.

예제 1 - 구간 \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]에서 함수의 최대값과 최소값을 찾습니다.

그래프(그림 2).

그림 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ 함수의 그래프

자연 홀수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성

정의 영역은 모두 실수입니다.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$는 홀수 함수입니다.

$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.

범위는 모두 실수입니다.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

함수는 정의의 전체 영역에 걸쳐 증가합니다.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$에 대해.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

함수는 $x\in (-\infty ,0)$에 대해 오목하고 $x\in (0,+\infty)$에 대해 볼록합니다.

그래프(그림 3).

그림 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ 함수의 그래프

정수 지수가 있는 거듭제곱 함수

먼저 정수 지수가 있는 차수의 개념을 소개합니다.

정의 3

도 실수정수 인덱스 $n$가 있는 $a$는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

그림 4

이제 정수 지수, 속성 및 그래프가 있는 거듭제곱 함수를 고려하십시오.

정의 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$는 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수라고 합니다.

차수가 0보다 크면 자연 지수가 있는 거듭제곱 함수의 경우가 됩니다. 우리는 이미 위에서 그것을 고려했습니다. $n=0$에 대해 선형 함수 $y=1$를 얻습니다. 우리는 그것에 대한 고려를 독자에게 맡깁니다. 음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성을 고려해야 합니다.

음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성

범위는 $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$입니다.

지수가 짝수이면 함수가 짝수이고 홀수이면 함수가 홀수입니다.

$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.

가치 범위:

지수가 짝수이면 $(0,+\infty)$, 홀수이면 $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$입니다.

지수가 홀수이면 함수는 $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$로 감소합니다. 짝수 지수의 경우 함수는 $x\in (0,+\infty)$로 감소합니다. $x\in \left(-\infty ,0\right)$로 증가합니다.

전체 도메인에서 $f(x)\ge 0$

주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "Power functions. Properties. Graphs"

추가 자료
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거듭제곱 함수, 정의 영역.

여러분, 지난 수업에서 우리는 합리적인 지수로 숫자를 사용하는 방법을 배웠습니다. 이 단원에서는 거듭제곱 함수를 고려하고 지수가 합리적인 경우로 제한합니다.
$y=x^(\frac(m)(n))$ 형식의 함수를 고려할 것입니다.
지수가 $\frac(m)(n)>1$인 함수를 먼저 고려합시다.
특정 함수 $y=x^2*5$가 주어집니다.
지난 수업에서 정의한 대로: $x≥0$이면 함수의 영역은 $(x)$ 광선입니다. 함수 그래프를 도식적으로 묘사해 보겠습니다.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 함수의 속성 2. 짝수도 홀수도 아닙니다.
3. $$ 증가,
b) $(2,10)$,
c) $$ 광선에.
결정.
여러분, 10학년 때 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 어떻게 찾았는지 기억하십니까?
맞습니다, 우리는 파생 상품을 사용했습니다. 예제를 풀고 가장 작은 값과 가장 큰 값을 찾는 알고리즘을 반복해 보겠습니다.
1. 주어진 함수의 도함수를 찾습니다.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. 도함수가 원래 함수의 전체 영역에 존재하므로 임계점이 없습니다. 정지점을 찾자:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ 및 $x_2=\sqrt(64)=4$.
하나의 솔루션 $x_2=4$만 지정된 세그먼트에 속합니다.
세그먼트의 끝과 극점에서 함수의 값 테이블을 작성해 보겠습니다.
답: $y_(이름)=-862.65$, $x=9$; $x=4$의 경우 $y_(최대)=38.4$.

예시. 방정식을 풉니다: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
결정. $y=x^(\frac(4)(3))$ 함수의 그래프는 증가하는 반면 $y=24-x$ 함수의 그래프는 감소합니다. 여러분과 저는 알고 있습니다. 한 기능이 증가하고 다른 기능이 감소하면 한 지점에서만 교차합니다.
메모:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
즉, $х=8$에 대해 올바른 평등 $16=16$을 얻었습니다. 이것이 우리 방정식의 해입니다.
답: $x=8$.

예시.
함수를 플로팅합니다: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
결정.
우리 함수의 그래프는 $y=x^(\frac(3)(4))$ 함수의 그래프에서 얻어지며 오른쪽으로 3단위, 위로 2단위 이동합니다.

예시. $x=1$ 점에서 $y=x^(-\frac(4)(5))$ 선에 대한 접선 방정식을 쓰십시오.
결정. 접선 방정식은 우리에게 알려진 공식에 의해 결정됩니다.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
우리의 경우 $a=1$입니다.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
도함수를 찾아보자:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
계산해보자:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
접선 방정식 찾기:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
답: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

독립 솔루션을 위한 작업

1. 세그먼트에서 $y=x^\frac(4)(3)$ 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.
가) $$.
b) $(4.50)$.
c) $$ 광선에.
3. $x^(\frac(1)(4))=18-x$ 방정식을 풉니다.
4. 함수를 그래프로 나타내십시오: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ 점에서 $y=x^(-\frac(3)(7))$ 선에 대한 접선 방정식을 씁니다.

음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성과 그래프를 상기하십시오.

짝수 n에 대해 :

기능 예:

이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;1)의 두 고정점을 통과합니다. 이 유형의 함수의 기능은 패리티이며 그래프는 op-y 축에 대해 대칭입니다.

쌀. 1. 함수의 그래프

홀수 n의 경우 :

기능 예:

이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;-1)의 두 고정 점을 통과합니다. 이 유형의 함수의 특징은 기이함이며 그래프는 원점에 대해 대칭입니다.

쌀. 2. 기능 그래프

주요 정의를 기억합시다.

합리적인 양의 지수를 갖는 음이 아닌 숫자의 차수를 숫자라고 합니다.

합리적인 음수 지수를 갖는 양수의 차수를 숫자라고 합니다.

다음 평등이 성립하는 경우:

예를 들어: ; - 음의 유리 지수가 있는 차수의 정의에 의해 표현이 존재하지 않습니다. 지수가 정수이므로 존재합니다.

합리적인 음수 지수를 사용하여 거듭제곱 함수를 고려하도록 합시다.

예를 들어:

이 함수를 플롯하기 위해 표를 만들 수 있습니다. 우리는 그렇지 않을 것입니다. 먼저 분모의 그래프를 만들고 연구할 것입니다. 우리는 그것을 알고 있습니다(그림 3).

쌀. 3. 함수의 그래프

분모 함수의 그래프는 고정점(1;1)을 통과합니다. 원래 함수의 그래프를 구성할 때 이 점은 그대로 유지되고 근도 0이 되는 경향이 있을 때 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대에 가까워지면 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 4).

쌀. 4. 기능 그래프

연구 중인 함수군에서 하나의 함수를 더 고려하십시오.

중요한 것은 정의상

분모에서 함수의 그래프를 고려하십시오. , 우리는 이 함수의 그래프를 알고 있으며 정의 영역에서 증가하고 점 (1; 1)을 통과합니다(그림 5).

쌀. 5. 기능 그래프

원래 함수의 그래프를 구성할 때 점 (1; 1)은 그대로 유지되고 근도 0이 되는 경향이 있을 때 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대에 가까워지면 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 6).

쌀. 6. 기능 그래프

고려한 예는 그래프가 어떻게 진행되고 연구 중인 함수(음의 유리 지수가 있는 함수)의 속성이 무엇인지 이해하는 데 도움이 됩니다.

이 패밀리의 함수 그래프는 점 (1;1)을 통과하면 전체 정의 영역에서 함수가 감소합니다.

기능 범위:

함수는 위에서 경계가 지정되지 않고 아래에서 경계가 지정됩니다. 함수에는 최대값도 최소값도 없습니다.

이 함수는 연속적이며 0에서 더하기 무한대까지 모든 양수 값을 취합니다.

볼록 다운 기능(그림 15.7)

점 A와 B는 곡선에서 가져오고 세그먼트를 통해 그려지고 전체 곡선은 세그먼트 아래에 있으며이 조건은 곡선의 임의의 두 점에 대해 충족되므로 함수는 아래쪽으로 볼록합니다. 쌀. 7.

쌀. 7. 함수의 볼록성

이 패밀리의 기능은 아래에서 0으로 경계가 지정되지만 가장 작은 값은 없다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.

예 1 - 구간에서 함수의 최대값과 최소값 찾기)