삼각법 공식은 사인과 코사인의 합입니다. 저렴하게 고등 교육 졸업장 구입

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두 각도 α 및 β에 대한 사인과 코사인의 합과 차 공식을 사용하면 표시된 각도의 합에서 각도 α + β 2 및 α-β 2의 곱으로 이동할 수 있습니다. 사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식을 합과 차의 사인과 코사인에 대한 공식과 혼동해서는 안 된다는 점에 즉시 주목합니다. 아래에 이러한 공식을 나열하고 파생된 정보를 제공하며 특정 문제에 대한 적용 예를 보여줍니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식

사인과 코사인의 합과 차 공식이 어떻게 생겼는지 적어 봅시다.

사인에 대한 합과 차 공식

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

코사인의 합과 차 공식

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α2

이 공식은 모든 각도 α 및 β에 대해 유효합니다. 각도 α + β 2 및 α - β 2를 각각 각도 α 및 β의 반합 및 반차라고 합니다. 우리는 각 공식에 대한 공식을 제공합니다.

사인과 코사인에 대한 합과 차 공식의 정의

두 각의 사인의 합이 각도의 반합 사인과 반차의 코사인 곱의 두 배와 같습니다.

두 각도의 사인 차이이 각도의 반차 사인과 반합 코사인의 곱의 두 배와 같습니다.

두 각의 코사인 합반합 코사인과 이 각도의 반차 코사인 곱의 두 배와 같습니다.

두 각도의 코사인 차이음의 부호로 취한 이 각도의 반값 사인과 반차의 코사인 곱의 두 배와 같습니다.

사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식 유도

두 각도의 사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식을 도출하기 위해 덧셈 공식이 사용됩니다. 우리는 그들을 아래에 제시합니다

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

우리는 또한 각 자체를 반합과 반차의 합으로 나타냅니다.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

우리는 sin과 cos에 대한 합과 차 공식의 유도로 직접 진행합니다.

사인의 합 공식 유도

합 sin α + sin β에서 α와 β를 위에 주어진 이러한 각도에 대한 표현으로 바꿉니다. 얻다

죄 α + 죄 β = 죄 α + β 2 + α - β 2 + 죄 α + β 2 - α - β 2

이제 첫 번째 표현식에 덧셈 공식을 적용하고 두 번째 표현식에 각도 차이의 사인 공식을 적용합니다(위 공식 참조).

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 코스 α - β 2

나머지 공식을 유도하는 단계는 유사합니다.

사인 차이 공식 유도

죄 α - 죄 β = 죄 α + β 2 + α - β 2 - 죄 α + β 2 - α - β 2 죄 α + β 2 + α - β 2 - 죄 α + β 2 - α - β 2 = 죄 α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 코스 α + β 2

코사인 합 공식 유도

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 코스 α - β 2

코사인 차이 공식의 유도

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 죄 α - β 2

실제 문제 해결의 예

먼저 특정 각도 값을 대입하여 공식 중 하나를 확인합니다. α = π 2 , β = π 6 이라고 합시다. 이 각도의 사인 합계 값을 계산해 보겠습니다. 먼저 기본 값 표를 사용하겠습니다. 삼각 함수, 사인의 합에 대한 공식을 적용합니다.

예 1. 두 각의 사인 합 공식 확인

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 π cos π 2 - 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

이제 각도 값이 표에 표시된 기본 값과 다른 경우를 고려해 보겠습니다. α = 165°, β = 75°라고 합시다. 이 각도의 사인 간의 차이 값을 계산해 보겠습니다.

예 2. 사인 차이 공식 적용

α = 165 ° , β = 75 ° 죄 α - 죄 β = 죄 165 ° - 죄 75 ° 죄 165 - 죄 75 = 2 죄 165 ° - 죄 75 ° 2 cos 165 ° + 죄 75 ° 2 = = 2 죄 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식을 사용하여 합 또는 차에서 삼각 함수의 곱으로 갈 수 있습니다. 종종 이러한 공식을 합에서 곱으로의 전환 공식이라고 합니다. 사인과 코사인의 합과 차에 대한 공식은 풀이에 널리 사용됩니다. 삼각 방정식삼각법 표현식을 변환할 때.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

두 각의 합과 차의 코사인

이 섹션에서는 다음 두 공식을 증명합니다.

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

두 각도의 합(차)의 코사인은 이러한 각도의 코사인 곱에서 이 각도의 사인 곱을 뺀 값(더하기)과 같습니다.

식 (2)의 증명부터 시작하는 것이 더 편리할 것입니다. 간단하게 하기 위해 먼저 각도가 다음과 같다고 가정합시다. α 그리고 β 다음 조건을 충족합니다.

1) 이 각은 음이 아니고 다음보다 작습니다. 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

0x 축의 양수 부분을 각도의 공통 초기면으로 둡니다. α 그리고 β .

이 각도의 끝면을 각각 0A와 0B로 표시합니다. 분명히 각도는 α - β 는 방향이 빔 0A의 방향과 일치하도록 지점 0을 중심으로 빔 0B를 시계 반대 방향으로 회전시키는 데 필요한 각도로 간주될 수 있습니다.

광선 0A와 0B에서 좌표 0의 원점에서 1의 거리에 있는 점 M과 N을 표시하여 0M = 0N = 1이 되도록 합니다.

x0y 좌표계에서 점 M은 좌표( cosα, sinα) 및 점 N - 좌표( cos β , sin β). 따라서 그들 사이의 거리의 제곱은 다음과 같습니다.

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

계산에서 ID를 사용했습니다.

죄 2 φ + cos 2 φ = 1.

이제 점 0을 중심으로 축 0x와 0y를 각도만큼 시계 반대 방향으로 회전하여 얻은 다른 좌표계 B0C를 고려하십시오. β .

이 좌표계에서 점 M은 좌표(cos( α - β ), 죄( α - β )), 점은 N-좌표(1,0)입니다. 따라서 그들 사이의 거리의 제곱은 다음과 같습니다.

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ 죄 2 (α-β) \u003d 2.

그러나 점 M과 N 사이의 거리는 우리가 이러한 점을 고려하는 좌표계에 의존하지 않습니다. 그래서

일 1 2 = 일 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

여기서 식 (2)는 다음과 같습니다.

이제 모서리에 표시를 단순화하기 위해 부과한 두 가지 제한 사항을 기억해야 합니다. α 그리고 β .

각 모서리의 요구 사항 α 그리고 β 음수가 아니었고 그다지 중요하지 않았습니다. 결국, 2n의 배수인 각도는 이러한 각도에 추가될 수 있으며, 이는 어떤 식으로든 공식 (2)의 유효성에 영향을 미치지 않습니다. 마찬가지로, 주어진 각 각에서 다음의 배수인 각을 뺄 수 있습니다. 2π. 따라서 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

조건 α > β . 정말로, 만약 α < β , 그 다음에 β >α ; 따라서 기능의 균등성을 고려하여 코사인 엑스 , 우리는 다음을 얻습니다.

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

이는 본질적으로 공식 (2)와 일치합니다. 따라서 공식

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

모든 각도에 대해 사실 α 그리고 β . 특히, 교체함으로써 β 에 - β 그리고 그 기능을 감안할 때 코사인엑스 는 짝수이고 함수는 죄엑스 이상하게도 우리는 다음을 얻습니다.

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - 죄 α 죄 β,

식 (1)을 증명합니다.

따라서 식 (1)과 (2)가 증명된다.

예.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =