Funzioni trigonometriche e loro. Cos'è seno e coseno sono percentuali

In questo articolo verranno considerate tre proprietà principali delle funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente.

La prima proprietà è il segno della funzione, a seconda del quarto del cerchio unitario a cui appartiene l'angolo α. La seconda proprietà è la periodicità. Secondo questa proprietà, la funzione tigonometrica non cambia il suo valore quando l'angolo cambia di un numero intero di giri. La terza proprietà determina come cambiano i valori funzioni del peccato, cos, tg, ctg ad angoli opposti α e - α .

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Spesso in un testo matematico o nel contesto di un problema, puoi trovare la frase: "l'angolo del primo, secondo, terzo o quarto quarto di coordinate". Cos'è?

Diamo un'occhiata al cerchio unitario. È diviso in quattro quarti. Segniamo il punto di partenza A 0 (1, 0) sul cerchio e, ruotandolo attorno al punto O di un angolo α, arriviamo al punto A 1 (x, y) . A seconda del quarto in cui giace il punto A 1 (x, y), l'angolo α sarà chiamato angolo rispettivamente del primo, secondo, terzo e quarto quadrante.

Per chiarezza, diamo un'illustrazione.

L'angolo α = 30° si trova nel primo quadrante. Angolo - 210° è l'angolo del secondo quarto. Angolo 585° è l'angolo del terzo quarto. Angolo - 45° è l'angolo del quarto quarto.

In questo caso gli angoli ± 90° , ± 180° , ± 270° , ± 360° non appartengono a nessun quarto, poiché giacciono sugli assi delle coordinate.

Consideriamo ora i segni che prendono seno, coseno, tangente e cotangente, a seconda del quarto in cui si trova l'angolo.

Per determinare i segni del seno in quarti, ricorda la definizione. Il seno è l'ordinata del punto A 1 (x , y) . La figura mostra che nel primo e nel secondo trimestre è positivo e nel terzo e quadruplo è negativo.

Il coseno è l'ascissa del punto A 1 (x, y) . In base a ciò, determiniamo i segni del coseno sul cerchio. Il coseno è positivo nel primo e quarto trimestre e negativo nel secondo e terzo trimestre.

Per determinare i segni della tangente e della cotangente per quarti, ricordiamo anche le definizioni di queste funzioni trigonometriche. Tangente: il rapporto tra l'ordinata del punto e l'ascissa. Quindi, secondo la regola della divisione dei numeri con segni diversi quando hanno l'ordinata e l'ascissa segni identici, il segno della tangente sulla circonferenza sarà positivo, e quando l'ordinata e l'ascissa avranno segni diversi sarà negativo. Allo stesso modo si determinano i segni della cotangente nei quarti.

Importante da ricordare!

1. Il seno dell'angolo α ha un segno più nel 1° e 2° quarto, un segno meno nel 3° e 4° quarto.
2. Il coseno dell'angolo α ha un segno più nel 1° e 4° quarto, un segno meno nel 2° e 3° quarto.
3. La tangente dell'angolo α ha un segno più nel 1° e 3° quarto, un segno meno nel 2° e 4° quarto.
4. La cotangente dell'angolo α ha un segno più nel 1° e 3° quarto, un segno meno nel 2° e 4° quarto.

Proprietà di periodicità

La proprietà della periodicità è una delle proprietà più ovvie delle funzioni trigonometriche.

Proprietà di periodicità

Quando l'angolo cambia di un numero intero di giri completi, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo dato rimangono invariati.

Infatti, cambiando l'angolo di un numero intero di rivoluzioni, si arriva sempre dal punto iniziale A della circonferenza unitaria al punto A 1 con le stesse coordinate. Di conseguenza, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente non cambieranno.

Matematicamente, questa proprietà è scritta come segue:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Qual è l'applicazione pratica di questa proprietà? La proprietà della periodicità, come le formule di riduzione, viene spesso utilizzata per calcolare i valori di seni, coseni, tangenti e cotangenti di grandi angoli.

Diamo esempi.

sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Esaminiamo di nuovo il cerchio unitario.

Il punto A 1 (x, y) è il risultato della rotazione del punto iniziale A 0 (1, 0) attorno al centro della circonferenza di un angolo α. Il punto A 2 (x, - y) è il risultato della rotazione del punto iniziale di un angolo - α.

I punti A 1 e A 2 sono simmetrici rispetto all'asse x. Nel caso in cui α = 0°, ± 180°, ± 360° i punti A 1 e A 2 coincidono. Lascia che un punto abbia coordinate (x , y) e il secondo - (x , - y). Richiama le definizioni di seno, coseno, tangente, cotangente e scrivi:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Ciò implica la proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti angoli opposti.

Proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Secondo questa proprietà, le uguaglianze

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

La proprietà considerata viene spesso utilizzata per risolvere problemi pratici nei casi in cui è necessario eliminare i segni negativi degli angoli negli argomenti delle funzioni trigonometriche.

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Consente di stabilire una serie di risultati caratteristici - proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente. In questo articolo, esamineremo tre proprietà principali. Il primo indica i segni del seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo α, a seconda di quale angolo del quarto di coordinate è α. Successivamente, consideriamo la proprietà della periodicità, che stabilisce l'invarianza dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo α quando questo angolo cambia di un numero intero di rivoluzioni. La terza proprietà esprime la relazione tra i valori del seno, coseno, tangente e cotangente degli angoli opposti α e −α.

Se sei interessato alle proprietà delle funzioni di seno, coseno, tangente e cotangente, puoi studiarle nella sezione corrispondente dell'articolo.

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Segni di seno, coseno, tangente e cotangente nei quarti

Di seguito in questo paragrafo si troverà la frase "angolo I, II, III e IV del quarto di coordinate". Spieghiamo cosa sono questi angoli.

Prendiamo un cerchio unitario, segniamo su di esso il punto iniziale A(1, 0) e lo ruotiamo attorno al punto O di un angolo α, mentre assumiamo di arrivare al punto A 1 (x, y) .

Dicono che l'angolo α è l'angolo I , II , III , IV del quarto di coordinate se il punto A 1 si trova rispettivamente nei quarti I, II, III, IV; se l'angolo α è tale che il punto A 1 giace su una qualsiasi delle coordinate Ox o Oy , allora questo angolo non appartiene a nessuno dei quattro quarti.

Per chiarezza, presentiamo un'illustrazione grafica. I disegni seguenti mostrano angoli di rotazione di 30, -210, 585 e -45 gradi, che sono rispettivamente gli angoli I, II, III e IV dei quarti di coordinate.

angoli 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … i gradi non appartengono a nessuno dei quarti di coordinate.

Ora scopriamo quali segni hanno i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo di rotazione α, a seconda di quale quarto di angolo è α.

Per seno e coseno, questo è facile da fare.

Per definizione, il seno dell'angolo α è l'ordinata del punto A 1 . È ovvio che nel I e ​​II quarto di coordinate è positivo, e nel III e IV quarto è negativo. Pertanto, il seno dell'angolo α ha un segno più nei quarti I e II e un segno meno nei quarti III e VI.

A sua volta, il coseno dell'angolo α è l'ascissa del punto A 1 . Nel I e ​​nel IV trimestre è positivo, nel II e nel III trimestre è negativo. Pertanto, i valori del coseno dell'angolo α nei quarti I e IV sono positivi e nei quarti II e III sono negativi.

Per determinare i segni per quarti di tangente e cotangente, è necessario ricordare le loro definizioni: tangente è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 e l'ascissa e cotangente è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 e l'ordinata. Poi da regole di divisione dei numeri con lo stesso e diverso segno ne segue che la tangente e la cotangente hanno il segno più quando l'ascissa e il segno delle ordinate del punto A 1 sono uguali, e hanno il segno meno quando l'ascissa e il segno delle ordinate del punto A 1 sono diversi. Pertanto, la tangente e la cotangente dell'angolo hanno un segno + nei quarti di coordinate I e III e un segno meno nei quarti II e IV.

Infatti, ad esempio, nel primo quarto, sia l'ascissa x che l'ordinata y del punto A 1 sono positive, quindi sia il quoziente x/y che il quoziente y/x sono positivi, quindi tangente e cotangente hanno segno + . E nel secondo quarto dell'ascissa, x è negativo e l'ordinata y è positiva, quindi sia x / y che y / x sono negativi, da cui la tangente e la cotangente hanno un segno meno.

Passiamo alla prossima proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente.

Proprietà di periodicità

Ora analizzeremo, forse, la proprietà più ovvia del seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo. Consiste in quanto segue: quando l'angolo cambia di un numero intero di giri completi, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di questo angolo non cambiano.

Questo è comprensibile: quando l'angolo cambia di un numero intero di rivoluzioni, otterremo sempre dal punto di partenza A al punto A 1 sulla circonferenza unitaria, quindi i valori di seno, coseno, tangente e cotangente rimangono invariati, poiché le coordinate del punto A 1 sono invariate.

Usando le formule, la proprietà considerata di seno, coseno, tangente e cotangente può essere scritta come segue: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , dove α è l'angolo di rotazione in radianti, z è qualsiasi , il cui valore assoluto indica il numero di giri completi di cui l'angolo α cambia, e il segno di il numero z indica la direzione di svolta.

Se l'angolo di rotazione α è espresso in gradi, queste formule verranno riscritte come sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .

Diamo esempi dell'uso di questa proprietà. Per esempio, , come , un . Ecco un altro esempio: o .

Questa proprietà, insieme alle formule di riduzione, viene molto spesso utilizzata nel calcolo dei valori di seno, coseno, tangente e cotangente di angoli "grandi".

La proprietà considerata di seno, coseno, tangente e cotangente è talvolta chiamata proprietà di periodicità.

Proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti

Sia А 1 il punto ottenuto come risultato della rotazione del punto iniziale А(1, 0) attorno al punto O dell'angolo α , e il punto А 2 sia il risultato della rotazione del punto А dell'angolo −α opposto all'angolo α .

La proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti si basa su abbastanza fatto ovvio: i punti A 1 e A 2 sopra menzionati coincidono (a ) o si trovano simmetricamente attorno all'asse Ox. Cioè, se il punto A 1 ha coordinate (x, y) , allora il punto A 2 avrà coordinate (x, −y) . Da qui, secondo le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente, scriviamo le uguaglianze e.
Confrontandoli, si arriva a relazioni tra seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti α e −α della forma .
Questa è la proprietà considerata sotto forma di formule.

Diamo esempi dell'uso di questa proprietà. Ad esempio, le uguaglianze e .

Resta solo da notare che la proprietà di seni, coseni, tangenti e cotangenti di angoli opposti, come la proprietà precedente, viene spesso utilizzata per calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente e consente di allontanarsi completamente da angoli negativi.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. per 9 celle. media scuola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ed. SA Telyakovsky.- M.: Illuminismo, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per 10-11 cellule. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; ed. A. N. Kolmogorova.- 14a ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov MI L'algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per 10-11 cellule. media scuola - 3a ed. - M.: Illuminismo, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche): Proc. indennità.- M.; Più alto scuola, 1984.-351 p., ill.

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Seno, coseno, tangente, cotangente

I concetti di seno (), coseno (), tangente (), cotangente () sono indissolubilmente legati al concetto di angolo. Per capire bene questi concetti, a prima vista, complessi (che provocano uno stato di orrore in molti scolari), e fare in modo che “il diavolo non sia così spaventoso come è dipinto”, partiamo dall'inizio e comprendiamo il concetto di angolo

Il concetto di angolo: radiante, grado

Diamo un'occhiata alla foto. Il vettore "girava" rispetto al punto di una certa quantità. Quindi sarà la misura di questa rotazione rispetto alla posizione iniziale iniezione.

Cos'altro devi sapere sul concetto di angolo? Bene, unità di angolo, ovviamente!

L'angolo, sia in geometria che in trigonometria, può essere misurato in gradi e radianti.

L'angolo a (un grado) è l'angolo centrale nel cerchio, basato su un arco di cerchio uguale alla parte del cerchio. Pertanto, l'intero cerchio è costituito da "pezzi" di archi circolari, oppure l'angolo descritto dal cerchio è uguale.

Cioè, la figura sopra mostra un angolo uguale, cioè questo angolo si basa su un arco circolare delle dimensioni della circonferenza.

Un angolo in radianti è chiamato angolo centrale in una circonferenza, sulla base di un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio della circonferenza. Bene, hai capito? In caso contrario, diamo un'occhiata all'immagine.

Quindi, la figura mostra un angolo uguale a un radiante, cioè questo angolo è basato su un arco circolare, la cui lunghezza è uguale al raggio del cerchio (la lunghezza è uguale alla lunghezza o il raggio è uguale a la lunghezza dell'arco). Pertanto, la lunghezza dell'arco è calcolata dalla formula:

Dov'è l'angolo centrale in radianti.

Bene, sapendo questo, puoi rispondere a quanti radianti contiene un angolo descritto da un cerchio? Sì, per questo è necessario ricordare la formula per la circonferenza di un cerchio. Eccola qui:

Bene, ora correliamo queste due formule e otteniamo che l'angolo descritto dal cerchio sia uguale. Cioè, correlando il valore in gradi e radianti, lo otteniamo. Rispettivamente, . Come puoi vedere, a differenza di "gradi", la parola "radiante" viene omessa, poiché l'unità di misura è solitamente chiara dal contesto.

Quanti radianti sono? Giusto!

Fatto? Quindi allacciare in avanti:

Qualche difficoltà? Allora guarda risposte:

Triangolo rettangolo: seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo

Quindi, con il concetto dell'angolo capito. Ma qual è il seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo? Scopriamolo. Per fare questo, ti aiuteremo triangolo rettangolo.

Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, l'ipotenusa e le gambe: l'ipotenusa è il lato opposto angolo retto(nel nostro esempio, questo è il lato); le gambe sono i due lati rimanenti e (quelle adiacenti all'angolo retto), inoltre, se consideriamo le gambe rispetto all'angolo, allora la gamba è la gamba adiacente, e la gamba è quella opposta. Quindi, ora rispondiamo alla domanda: quali sono seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo?

Seno di un angoloè il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.

nel nostro triangolo.

Coseno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

nel nostro triangolo.

Angolo tangente- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).

nel nostro triangolo.

Cotangente di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

nel nostro triangolo.

Queste definizioni sono necessarie ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere per cosa, devi capirlo chiaramente in tangente e cotangente solo le gambe siedono e l'ipotenusa appare solo dentro seno e coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:

coseno→tocco→tocco→adiacente;

Cotangente→tocco→tocco→adiacente.

Innanzitutto, è necessario ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come rapporti dei lati di un triangolo non dipendono dalle lunghezze di questi lati (ad un angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:

Si consideri, ad esempio, il coseno di un angolo. Per definizione, da un triangolo: , ma possiamo calcolare il coseno di un angolo da un triangolo: . Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo.

Se capisci le definizioni, vai avanti e correggile!

Per il triangolo mostrato nella figura seguente, troviamo.

Bene, hai capito? Quindi prova tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo.

Cerchio unitario (trigonometrico).

Comprendendo i concetti di gradi e radianti, abbiamo considerato un cerchio di raggio uguale a. Un tale cerchio è chiamato separare. È molto utile nello studio della trigonometria. Pertanto, ci soffermiamo su di esso un po 'più in dettaglio.

Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Raggio del cerchio uguale a uno, mentre il centro del cerchio si trova all'origine, la posizione iniziale del vettore raggio è fissata lungo la direzione positiva dell'asse (nel nostro esempio, questo è il raggio).

Ogni punto del cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse e la coordinata lungo l'asse. Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa hanno a che fare con l'argomento in questione? Per fare ciò, ricorda il triangolo rettangolo considerato. Nella figura sopra, puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera un triangolo. È rettangolare perché è perpendicolare all'asse.

A cosa è uguale da un triangolo? Giusto. Inoltre, sappiamo che è il raggio della circonferenza unitaria, e quindi, . Sostituisci questo valore nella nostra formula del coseno. Ecco cosa succede:

E a cosa è uguale da un triangolo? Beh, certo, ! Sostituisci il valore del raggio in questa formula e ottieni:

Allora, puoi dirmi quali sono le coordinate di un punto che appartiene al cerchio? Beh, non c'è modo? E se te ne rendi conto e sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde? Bene, certo, le coordinate! A quale coordinata corrisponde? Esatto, coordinati! Quindi, il punto.

E cosa sono allora uguali e? Esatto, usiamo le definizioni appropriate di tangente e cotangente e otteniamo che, a.

E se l'angolo fosse maggiore? Qui, ad esempio, come in questa immagine:

Cosa è cambiato questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, ci rivolgiamo di nuovo a un triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo: un angolo (come adiacente a un angolo). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo? Esatto, aderiamo alle corrispondenti definizioni di funzioni trigonometriche:

Ebbene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata; e i valori di tangente e cotangente ai rapporti corrispondenti. Pertanto, queste relazioni sono applicabili a qualsiasi rotazione del vettore raggio.

Si è già detto che la posizione iniziale del vettore raggio è lungo la direzione positiva dell'asse. Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di una certa dimensione, ma sarà solo negativo. Pertanto, ruotando il vettore del raggio in senso antiorario, otteniamo angoli positivi, e ruotando in senso orario - negativo.

Quindi, sappiamo che un'intera rivoluzione del vettore raggio attorno al cerchio è o. È possibile ruotare il vettore raggio di o di? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, quindi, il vettore raggio compirà un giro completo e si fermerà in posizione o.

Nel secondo caso, cioè, il vettore raggio farà tre giri completi e si fermerà alla posizione o.

Pertanto, dagli esempi precedenti, possiamo concludere che angoli che differiscono per o (dove è un numero intero) corrispondono alla stessa posizione del vettore raggio.

La figura seguente mostra un angolo. La stessa immagine corrisponde all'angolo e così via. Questo elenco può essere continuato all'infinito. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale o (dove è un numero intero)

Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando il cerchio unitario, prova a rispondere a cosa sono uguali i valori:

Ecco una cerchia di unità per aiutarti:

Qualche difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:

Da qui determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure dell'angolo. Bene, cominciamo con ordine: lo spigolo a corrisponde ad un punto con coordinate, quindi:

Non esiste;

Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli corrispondono rispettivamente a punti con coordinate. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Prima prova tu stesso, quindi controlla le risposte.

Risposte:

Possiamo quindi fare la seguente tabella:

Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:

Ma i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e, riportati nella tabella sottostante, deve essere ricordato:

Non aver paura, ora mostreremo uno degli esempi memorizzazione piuttosto semplice dei valori corrispondenti:

Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo (), nonché il valore della tangente dell'angolo in. Conoscendo questi valori, è abbastanza facile ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:

Sapendo questo, puoi ripristinare i valori per. Il numeratore " " corrisponderà e il denominatore " " corrisponderà. I valori della cotangente vengono trasferiti secondo le frecce mostrate in figura. Se lo capisci e ricordi il diagramma con le frecce, sarà sufficiente ricordare l'intero valore dalla tabella.

Coordinate di un punto su una circonferenza

È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e angolo di rotazione?

Beh, certo che puoi! Tiriamo fuori formula generale per trovare le coordinate di un punto.

Qui, ad esempio, abbiamo un tale cerchio:

Abbiamo dato che il punto è il centro della circonferenza. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il punto di gradi.

Come si può vedere dalla figura, la coordinata del punto corrisponde alla lunghezza del segmento. La lunghezza del segmento corrisponde alla coordinata del centro del cerchio, cioè è uguale a. La lunghezza di un segmento può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:

Quindi abbiamo quello per il punto la coordinata.

Con la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto. Così,

Quindi dentro vista generale le coordinate dei punti sono determinate dalle formule:

Coordinate del centro del cerchio,

raggio del cerchio,

Angolo di rotazione del vettore raggio.

Come puoi vedere, per il cerchio unitario che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono zero e il raggio è uguale a uno:

Bene, proviamo queste formule per un assaggio, esercitandoti a trovare punti su un cerchio?

1. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.

2. Trova le coordinate di un punto su un cerchio unitario ottenuto ruotando un punto.

3. Trova le coordinate di un punto su una circonferenza unitaria ottenuta ruotando un punto.

4. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.

5. Punto: il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è uguale. È necessario trovare le coordinate del punto ottenute ruotando il vettore raggio iniziale di.

Hai difficoltà a trovare le coordinate di un punto su una circonferenza?

Risolvi questi cinque esempi (o capisci bene la soluzione) e imparerai come trovarli!

RIASSUNTO E FORMULA BASE

Il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.

Il coseno di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).

La cotangente di un angolo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe, allora sei molto bravo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se hai letto fino alla fine, allora sei nel 5%!

Ora la cosa più importante.

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Iniziamo il nostro studio della trigonometria con un triangolo rettangolo. Definiamo cosa sono il seno e il coseno, nonché la tangente e la cotangente di un angolo acuto. Queste sono le basi della trigonometria.

Richiama questo angolo rettoè un angolo pari a 90 gradi. In altre parole, metà dell'angolo aperto.

Angolo acuto- meno di 90 gradi.

Angolo ottuso- maggiore di 90 gradi. In relazione a un tale angolo, "smussato" non è un insulto, ma un termine matematico :-)

Disegniamo un triangolo rettangolo. Di solito si indica un angolo retto. Nota che il lato opposto all'angolo è indicato dalla stessa lettera, solo piccola. Quindi, il lato che giace opposto all'angolo A è indicato.

L'angolo è indicato dal corrispondente Lettera greca.

Ipotenusa Un triangolo rettangolo è il lato opposto all'angolo retto.

Gambe- lati opposti a spigoli vivi.

Viene chiamata la gamba opposta all'angolo opposto(rispetto all'angolo). Viene chiamata l'altra gamba, che giace su un lato dell'angolo adiacente.

Seno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Tangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba opposta e l'adiacente:

Un'altra definizione (equivalente): la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno di un angolo e il suo coseno:

Cotangente angolo acuto in un triangolo rettangolo - il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto (o, equivalentemente, il rapporto tra coseno e seno):

Prestare attenzione ai rapporti di base per seno, coseno, tangente e cotangente, che sono riportati di seguito. Ci saranno utili per risolvere i problemi.

Proviamo alcuni di loro.

Ok, abbiamo fornito definizioni e formule scritte. Ma perché abbiamo bisogno di seno, coseno, tangente e cotangente?

Lo sappiamo la somma degli angoli di ogni triangolo è.

Conosciamo la relazione tra partiti triangolo rettangolo. Questo è il teorema di Pitagora: .

Si scopre che conoscendo due angoli in un triangolo, puoi trovare il terzo. Conoscendo due lati di un triangolo rettangolo, puoi trovare il terzo. Quindi, per gli angoli - il loro rapporto, per i lati - il loro. Ma cosa fare se in un triangolo rettangolo si conoscono un angolo (tranne uno retto) e un lato, ma è necessario trovare altri lati?

Questo è ciò che le persone hanno dovuto affrontare in passato, realizzando mappe della zona e del cielo stellato. Dopotutto, non è sempre possibile misurare direttamente tutti i lati di un triangolo.

Seno, coseno e tangente: sono anche chiamati funzioni trigonometriche dell'angolo- dare il rapporto tra partiti e angoli triangolo. Conoscendo l'angolo, puoi trovarlo tutto funzioni trigonometriche secondo apposite tabelle. E conoscendo seni, coseni e tangenti degli angoli di un triangolo e di uno dei suoi lati, puoi trovare il resto.

Disegneremo anche una tabella di valori seno, coseno, tangente e cotangente per angoli "buoni" da a.

Nota i due trattini rossi nella tabella. Per i valori corrispondenti degli angoli, la tangente e la cotangente non esistono.

Analizziamo diversi problemi di trigonometria dai compiti della Banca della FIPI.

1. In un triangolo, l'angolo è , . Trova .

Il problema si risolve in quattro secondi.

Nella misura in cui, .

2. In un triangolo, l'angolo è , , . Trova .

Troviamo il teorema di Pitagora.

Problema risolto.

Spesso nei problemi ci sono triangoli con angoli eo con angoli e . Memorizza i rapporti di base per loro a memoria!

Per un triangolo con angoli e la gamba opposta l'angolo a è uguale a metà dell'ipotenusa.

Un triangolo con angoli ed è isoscele. In esso, l'ipotenusa è volte più grande della gamba.

Abbiamo considerato i problemi per risolvere i triangoli rettangoli, cioè per trovare lati o angoli sconosciuti. Ma non è tutto! A UTILIZZA le opzioni in matematica, ci sono molti problemi in cui appare il seno, coseno, tangente o cotangente dell'angolo esterno del triangolo. Maggiori informazioni su questo nel prossimo articolo.

I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le categorie principali della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legati alla definizione di un angolo. Il possesso di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché un pensiero spaziale sviluppato. Ecco perché i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà agli scolari e agli studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.

Concetti di trigonometria

Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima decidere cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati ad essi. Un triangolo in cui uno degli angoli è di 90 gradi è un triangolo rettangolo. Storicamente, questa figura è stata spesso utilizzata da persone in architettura, navigazione, arte, astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate al calcolo dei rapporti corrispondenti dei suoi parametri.

Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e le gambe. L'ipotenusa è il lato di un triangolo opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono gli altri due lati. La somma degli angoli di ogni triangolo è sempre 180 gradi.

La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. Una caratteristica di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma di angoli maggiore di 180 gradi.

Angoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre un valore minore di uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.

La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente dell'angolo desiderato, o seno e coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra la gamba adiacente dell'angolo desiderato e il cactet opposto. La cotangente di un angolo si ottiene anche dividendo l'unità per il valore della tangente.

cerchio unitario

Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio coincidente con il punto di origine, e la posizione iniziale del vettore raggio è determinata dalla direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un punto qualsiasi della circonferenza nel piano XX e facendo cadere la perpendicolare da esso all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato da un raggio al punto selezionato (indichiamolo con la lettera C), una perpendicolare disegnata a l'asse X (il punto di intersezione è indicato dalla lettera G), e un segmento l'asse delle ascisse tra l'origine (il punto è indicato dalla lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio, dove AG è l'ipotenusa e AC e GC sono le gambe. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse con la designazione AG, lo definiamo α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Dato che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.

Inoltre, conoscendo questi dati, puoi determinare la coordinata del punto C sul cerchio, poiché cos α=AG, e sin α=CG, il che significa che il punto C ha le coordinate date (cos α; sin α). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto tra seno e coseno, possiamo determinare che tg α \u003d y / x e ctg α \u003d x / y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, si può calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.

Calcoli e formule di base

Valori delle funzioni trigonometriche

Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso il cerchio unitario, possiamo ricavare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella seguente.

Le identità trigonometriche più semplici

Le equazioni in cui è presente un valore incognito sotto il segno della funzione trigonometrica sono dette trigonometriche. Identità con il valore sin x = α, k è un numero intero qualsiasi:

1. peccato x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcoseno α + πk.

Identità con il valore cos x = a, dove k è un qualsiasi intero:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identità con il valore tg x = a, dove k è un qualsiasi intero:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identità con valore ctg x = a, dove k è un qualsiasi numero intero:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule di colata

Questa categoria di formule costanti denota metodi con cui è possibile passare dalle funzioni trigonometriche della forma alle funzioni dell'argomento, ovvero convertire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di qualsiasi valore nei corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.

Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo si presentano così:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = peccato α;
• sin(1800 + α) = -peccato α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -peccato α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Per il coseno di un angolo:

• cos(900 - α) = peccato α;
• cos(900 + α) = -peccato α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -peccato α;
• cos(2700 + α) = peccato α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

L'utilizzo delle formule di cui sopra è possibile subordinatamente a due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:

• dal peccato al cos;
• da cos a peccato;
• da tg a ctg;
• da ctg a tg.

Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).

In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, rimane tale. Lo stesso vale per le funzioni negative.

Formule di addizione

Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e della differenza di due angoli di rotazione in termini delle loro funzioni trigonometriche. Gli angoli sono generalmente indicati come α e β.

Le formule si presentano così:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.

Formule del doppio e del triplo angolo

Le formule trigonometriche di un angolo doppio e triplo sono formule che mettono in relazione le funzioni degli angoli 2α e 3α, rispettivamente, con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:

1. sin2α = 2 sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2peccato^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3 sinα - 4 sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Passaggio dalla somma al prodotto

Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Allo stesso modo, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Passaggio dal prodotto alla somma

Queste formule seguono dalle identità per il passaggio della somma al prodotto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule di riduzione

In queste identità, le potenze quadrate e cubiche del seno e del coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Sostituzione universale

Le formule di sostituzione trigonometrica universale esprimono funzioni trigonometriche in termini di tangente di un semiangolo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mentre x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), dove x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mentre x \u003d π + 2πn.

Casi speciali

Casi speciali dei più semplici equazioni trigonometriche sono riportati di seguito (k è un numero intero).

Privato per seno:

peccato x valore	x valore
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk

Quozienti coseno:

cos x valore	x valore
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privato per tangente:

tg x valore	x valore
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Quozienti cotangenti:

ctg x valore	x valore
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorema seno

Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Teorema seno semplice: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In questo caso, a, b, c sono i lati del triangolo e α, β, γ sono rispettivamente gli angoli opposti.

Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R indica il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.

Teorema del coseno

L'identità viene visualizzata in questo modo: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula, a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.

Teorema della tangente

La formula esprime la relazione tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati opposti. I lati sono etichettati a, b, c e gli angoli opposti corrispondenti sono α, β, γ. La formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorema della cotangente

Associa il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo alla lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati di un triangolo e A, B, C, rispettivamente, sono i loro angoli opposti, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, le seguenti identità presa:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Applicazioni

La trigonometria non è solo una scienza teorica associata alle formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzate nella pratica da vari settori attività umana– astronomia, navigazione aerea e marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavoro di misurazione, computer grafica, cartografia, oceanografia e molti altri.

Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con i quali è possibile esprimere matematicamente la relazione tra angoli e lunghezze dei lati di un triangolo e trovare le quantità desiderate attraverso identità, teoremi e regole.