Դասի տեսակը:գիտելիքների համախմբման և համակարգման դաս:

Դասի տեսակը.Գիտելիքների և գործողությունների մեթոդների ստուգում, գնահատում և ուղղում:

Նպատակները:

• Ուսումնական:

- ուսանողների մեջ զարգացնել քառակուսի եռանկյունը գործոնների բաժանելու ունակությունը.
- գիտելիքների համախմբում լուծման գործընթացում տարբեր առաջադրանքներնշված թեմայով;
- մաթեմատիկական մտածողության ձևավորում;
- բարձրացնել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ լուսաբանված նյութը կրկնելու գործընթացում:

Ուսումնական:

- կազմակերպչական կրթություն, կենտրոնացում;
- ուսուցման նկատմամբ դրական վերաբերմունքի ձևավորում.
- զարգացնել հետաքրքրասիրությունը.

Զարգացող:

- զարգացնել ինքնատիրապետում իրականացնելու ունակությունը.
- զարգացնել աշխատանքը ռացիոնալ պլանավորելու ունակությունը.
- անկախության զարգացում, ուշադրություն:

Սարքավորումներ: դիդակտիկ նյութբանավոր աշխատանքի, ինքնուրույն աշխատանքի համար, թեստային առաջադրանքներստուգել գիտելիքները, քարտեր տնային աշխատանքով, հանրահաշիվ դասագիրք Յու.Ն. Մակարիչևը։

Դասի պլան.

Դասի փուլերը	Ժամանակ, րոպե	Տեխնիկա և մեթոդներ
I. Գիտելիքների թարմացման փուլ. Ուսուցման խնդրի մոտիվացիա	2	Ուսուցչի զրույց
II. Դասի հիմնական բովանդակությունը Ընդլայնման բանաձևի վերաբերյալ ուսանողների պատկերացումների ձևավորում և համախմբում քառակուսի եռանկյունբազմապատկիչների համար.	10	Ուսուցչի բացատրությունը. Էվրիստիկ զրույց
III. Հմտությունների և կարողությունների ձևավորում: Ուսումնասիրված նյութի համախմբում	25	Խնդրի լուծում. Պատասխաններ ուսանողների հարցերին
IV. Գիտելիքների յուրացման ստուգում. Արտացոլում	5	Ուսուցչի ուղերձը. Ուսանողի ուղերձ
V. Տնային աշխատանք	3	Առաջադրանք քարտերի վրա

Դասերի ընթացքում

I. Գիտելիքների թարմացման փուլ. Կրթական խնդրի մոտիվացիա.

Կազմակերպման ժամանակ.

Այսօր դասի ընթացքում մենք ընդհանրացնելու և համակարգելու ենք գիտելիքները «Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա» թեմայով: Կատարելով տարբեր վարժություններ, դուք պետք է ինքներդ նշեք այն կետերը, որոնց պետք է նվիրեք Հատուկ ուշադրությունհավասարումներ և գործնական խնդիրներ լուծելիս: Դա շատ կարևոր է քննությանը նախապատրաստվելիս։
Գրի՛ր դասի թեման՝ «Քառակուսի եռանդամի գործոնացում. Օրինակների լուծում.

II. Դասի հիմնական բովանդակությունըՔառակուսի եռանկյունը գործակիցների վերածելու բանաձևի վերաբերյալ ուսանողների պատկերացումների ձևավորում և համախմբում.

բանավոր աշխատանք.

– Քառակուսի եռանկյունը հաջողությամբ ֆակտորիզացնելու համար հարկավոր է հիշել և՛ դիսկրիմինանտը գտնելու բանաձևերը, և՛ քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևերը, քառակուսի եռանկյունի ֆակտորավորման բանաձևը և կիրառել դրանք գործնականում:

1. Նայեք «Շարունակել կամ լրացնել հայտարարությունը» քարտերը:

2. Նայեք տախտակին:

1. Առաջարկվող բազմանդամներից ո՞րը քառակուսի չէ:

1) X 2 – 4x + 3 = 0;
2) – 2X 2 +X– 3 = 0;
3) X 4 – 2X 3 + 2 = 0;
4)2x 3 – 2X 2 + 2 = 0;

Սահմանի՛ր քառակուսի եռանկյուն: Սահմանի՛ր քառակուսի եռանդամի արմատը:

2. Բանաձևերից ո՞րը քառակուսի հավասարման արմատները հաշվարկելու բանաձև չէ:

1) X 1,2 = ;
2) X 1,2 = – բ+ ;
3) X 1,2 = .

3. Գտե՛ք քառակուսի եռանդամի a, b, c գործակիցները՝ 2 X 2 + 5x + 7

1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.

4. Բանաձևերից որն է քառակուսի հավասարման արմատները հաշվարկելու բանաձևը.

x2 + px + q= 0 Վիետայի թեորեմով:

1) x 1 + x 2 =p,
xմեկ · x 2 = ք.

2) x 1 + x 2 = –p ,
xմեկ · x 2 = ք.

3)x 1 + x 2 = –p ,
xմեկ · x 2 = – ք.

5. Ընդարձակի՛ր քառակուսի եռանկյունը X 2 – 11x + 18 բազմապատկիչների համար:

Պատասխան: ( X – 2)(X – 9)

6. Ընդարձակի՛ր քառակուսի եռանկյունը ժամը 2 – 9y + 20 բազմապատկիչների համար

Պատասխան: ( X – 4)(X – 5)

III. Հմտությունների և կարողությունների ձևավորում: Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

1. Գործոնացնել քառակուսի եռանկյունը.
ա) 3 x 2 – 8x + 2;
բ) 6 x 2 – 5x + 1;
3-ում x 2 + 5x – 2;
դ) -5 x 2 + 6x – 1.

2. Ֆակտորինգը մեզ օգնում է կոտորակները կրճատելիս:

3. Առանց արմատային բանաձևի օգտագործման, գտե՛ք քառակուսի եռանկյունի արմատները.
ա) x 2 + 3x + 2 = 0;
բ) x 2 – 9x + 20 = 0.

4. Կազմի՛ր քառակուսի եռանկյուն, որի արմատները թվեր են.
ա) x 1 = 4; x 2 = 2;
բ) x 1 = 3; x 2 = -6;

Անկախ աշխատանք.

Անկախ կատարել առաջադրանքը ըստ տարբերակների, որին հաջորդում է ստուգումը: Առաջին երկու առաջադրանքներին պետք է պատասխանել «Այո» կամ «ոչ»: Յուրաքանչյուր տարբերակից կանչվում է մեկ աշակերտ (նրանք աշխատում են տախտակի լանջերի վրա): Տախտակի վրա ինքնուրույն աշխատանք կատարելուց հետո կատարվում է լուծույթի համատեղ ստուգում։ Ուսանողները գնահատում են իրենց աշխատանքը:

1-ին տարբերակ.

1.Դ<0. Уравнение имеет 2 корня.

2. 2 թիվը x 2 + 3x - 10 = 0 հավասարման արմատն է։

3. Քառակուսի եռանկյունը գործոնացրեք 6-րդ գործոնի x 2 – 5x + 1;

2-րդ տարբերակ.

1.D>0. Հավասարումն ունի 2 արմատ.

2. 3 թիվը քառակուսի հավասարման արմատն է x 2 - x - 12 = 0:

3. Քառակուսի եռանկյունը բաժանի՛ր 2-ի գործակիցների X 2 – 5x + 3

IV. Գիտելիքների յուրացման ստուգում. Արտացոլում.

– Դասը ցույց տվեց, որ դուք գիտեք հիմնականը տեսական նյութայս թեման. Մենք ամփոփել ենք գիտելիքները

Աշխարհը ընկղմված է հսկայական թվով: Ցանկացած հաշվարկ տեղի է ունենում նրանց օգնությամբ:

Մարդիկ սովորում են թվեր, որպեսզի հետագայում չընկնեն խաբեության մեջ: Պետք է հսկայական ժամանակ հատկացնել կրթվելու և սեփական բյուջեն հաշվարկելու համար։

Մաթեմատիկան ճշգրիտ գիտություն է, որը մեծ դեր է խաղում կյանքում։ Դպրոցում երեխաները սովորում են թվեր, իսկ հետո՝ գործողություններ դրանց վրա:

Թվերի վրա գործողությունները բոլորովին տարբեր են՝ բազմապատկում, ընդլայնում, գումարում և այլն։ Բացի պարզ բանաձևերից, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ժամանակ օգտագործվում են նաև ավելի բարդ գործողություններ։ Կան մեծ թվով բանաձևեր, որոնցով հայտնի են ցանկացած արժեք:

Դպրոցում, հենց որ հանրահաշիվ է հայտնվում, պարզեցման բանաձևեր են ավելացվում աշակերտի կյանքին։ Կան հավասարումներ, երբ կան երկու անհայտ թվեր, բայց գտե՛ք պարզ ձևովչի աշխատի. Եռանդամը երեք միանդամների միացություն է, որի օգնությամբ պարզ մեթոդհանումներ և գումարումներ. Եռանկյունը լուծվում է Վիետայի թեորեմի և դիսկրիմինանտի միջոցով։

Քառակուսի եռանկյունը գործակիցների վերածելու բանաձևը

Կան երկու ճիշտ և պարզ լուծումներօրինակ:

• տարբերակիչ;
• Վիետայի թեորեմա.

Քառակուսի եռանկյունն ունի անհայտ քառակուսի, ինչպես նաև առանց քառակուսու թիվ: Խնդիրը լուծելու առաջին տարբերակը օգտագործում է Վիետա բանաձեւը։ Դա պարզ բանաձեւ էեթե անհայտից առաջ թվանշանները կլինեն նվազագույն արժեքը:

Այլ հավասարումների դեպքում, որտեղ թիվը գտնվում է անհայտի դիմաց, հավասարումը պետք է լուծվի տարբերակիչի միջոցով: Վերջացավ դժվար որոշում, բայց դիսկրիմինանտը շատ ավելի հաճախ է օգտագործվում, քան Վիետայի թեորեմը։

Սկզբում հավասարման բոլոր փոփոխականները գտնելու համար անհրաժեշտ է օրինակը հասցնել 0-ի։ Օրինակի լուծումը կարելի է ստուգել և պարզել՝ արդյոք թվերը ճիշտ են ճշգրտված։

Խտրական

1. Հավասարումը պետք է հավասարեցնել 0-ի։

2. X-ից առաջ յուրաքանչյուր թիվ կոչվելու է a, b, c թվեր: Քանի որ x առաջին քառակուսուց առաջ թիվ չկա, այն հավասար է 1-ի:

3. Այժմ հավասարման լուծումը սկսվում է դիսկրիմինանտի միջոցով.

4. Այժմ մենք գտել ենք դիսկրիմինատորը և գտնում ենք երկու x: Տարբերությունն այն է, որ մի դեպքում b-ին նախորդելու է գումարած, իսկ մյուս դեպքում՝ մինուս.

5. Երկու թիվ լուծելով ստացվեց -2 և -1: Փոխարինեք սկզբնական հավասարման ներքո.

6. Այս օրինակում պարզվեց երկու ճիշտ ընտրանքներ. Եթե ​​երկու լուծումներն էլ ճիշտ են, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը ճշմարիտ է։

Ավելի բարդ հավասարումներ նույնպես լուծվում են դիսկրիմինանտի միջոցով: Բայց եթե ինքնին դիսկրիմինանտի արժեքը 0-ից փոքր է, ապա օրինակը սխալ է: Որոնման մեջ դիսկրիմինանտը միշտ արմատի տակ է, և բացասական արժեքը չի կարող լինել արմատում:

Վիետայի թեորեմա

Այն օգտագործվում է հեշտ խնդիրներ լուծելու համար, որտեղ առաջին x-ին չի նախորդում թիվ, այսինքն՝ a=1։ Եթե ​​տարբերակը համընկնում է, ապա հաշվարկն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով։

Ցանկացած եռանկյուն լուծելու համարանհրաժեշտ է հավասարումը հասցնել 0-ի: Դրիմինանտի և Վիետայի թեորեմի առաջին քայլերը նույնն են:

2. Այժմ կան տարբերություններ երկու մեթոդների միջև: Վիետայի թեորեմն օգտագործում է ոչ միայն «չոր» հաշվարկ, այլև տրամաբանություն և ինտուիցիա։ Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր a, b, c տառերը: Թեորեմն օգտագործում է երկու թվերի գումարը և արտադրյալը:

Հիշիր. b թիվը միշտ գումարվում է հակառակ նշանով, իսկ c թիվը մնում է անփոփոխ։

Օրինակում տվյալների արժեքների փոխարինում , մենք ստանում ենք.

3. Օգտագործելով տրամաբանական մեթոդը՝ փոխարինում ենք ամենահարմար թվերը։ Դիտարկենք բոլոր հնարավոր լուծումները.

1. Թվերը 1 և 2 են: Երբ գումարվում ենք, ստանում ենք 3, բայց եթե բազմապատկենք, չենք ստանում 4: Հարմար չէ:
2. Արժեք 2 և -2: Երբ բազմապատկվում է, կլինի -4, բայց երբ գումարվում է, ստացվում է 0։ Հարմար չէ։
3. 4 և -1 թվեր. Քանի որ բազմապատկումը բացասական արժեք է պարունակում, նշանակում է, որ թվերից մեկը կլինի մինուսով։ Հարմար է գումարման և բազմապատկման համար։ Ճիշտ տարբերակ.

4. Մնում է միայն ստուգել՝ թվերը դնելով և տեսնել, թե արդյոք ընտրված տարբերակը ճիշտ է։

5. Առցանց ստուգման շնորհիվ մենք պարզեցինք, որ -1-ը չի համապատասխանում օրինակի պայմանին, ինչը նշանակում է, որ դա սխալ լուծում է։

Ավելացնելիս բացասական արժեքօրինակում համարը պետք է փակագծերում դնել:

Մաթեմատիկայի մեջ միշտ կլինի պարզ առաջադրանքներև բարդ. Գիտությունն ինքնին ներառում է մի շարք խնդիրներ, թեորեմներ և բանաձևեր: Եթե ​​դուք հասկանում եք և ճիշտ կիրառում գիտելիքը, ապա հաշվարկների հետ կապված ցանկացած դժվարություն չնչին կլինի:

Մաթեմատիկան մշտական ​​մտապահման կարիք չունի։ Պետք է սովորել հասկանալ լուծումը և սովորել մի քանի բանաձև: Աստիճանաբար, ըստ տրամաբանական եզրակացությունների, հնարավոր է լուծել նմանատիպ խնդիրներ, հավասարումներ։ Նման գիտությունն առաջին հայացքից կարող է շատ դժվար թվալ, բայց եթե մեկը սուզվի թվերի և առաջադրանքների աշխարհ, ապա տեսակետը կտրուկ կփոխվի. ավելի լավ կողմ.

Տեխնիկական մասնագիտություններմիշտ մնալ աշխարհում ամենապահանջվածը: Հիմա՝ աշխարհում ժամանակակից տեխնոլոգիաներՄաթեմատիկան դարձել է ցանկացած բնագավառի անփոխարինելի հատկանիշ։ Դուք պետք է միշտ հիշեք դրա մասին օգտակար հատկություններՄաթեմատիկա.

Եռյակի տարրալուծում փակագծերով

Սովորական եղանակներով լուծելուց բացի կա ևս մեկը՝ փակագծերի տարրալուծումը։ Օգտագործվում է Վիետայի բանաձեւով.

1. Հավասարեք հավասարումը 0-ի:

կացին 2 + bx+ գ= 0

2. Հավասարման արմատները մնում են նույնը, բայց զրոյի փոխարեն այժմ օգտագործում են փակագծերի ընդլայնման բանաձևերը։

կացին 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Լուծում x=-1, x=3

Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիակարող է օգտակար լինել C3 խնդրից կամ C5 պարամետրով խնդրի անհավասարությունները լուծելիս: Բացի այդ, շատ B13 բառային խնդիրներ շատ ավելի արագ կլուծվեն, եթե իմանաք Վիետայի թեորեմը:

Այս թեորեմն, անշուշտ, կարելի է դիտարկել 8-րդ դասարանի տեսանկյունից, որով այն առաջինն է անցել։ Բայց մեր խնդիրն է լավ պատրաստվել քննությանը և սովորել, թե ինչպես լուծել քննական առաջադրանքները հնարավորինս արդյունավետ: Ուստի այս դասին մոտեցումը փոքր-ինչ տարբերվում է դպրոցականից։

Վիետայի թեորեմի համաձայն հավասարման արմատների բանաձևըգիտեք (կամ գոնե տեսել եք) շատերին.

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

որտեղ «a, b» և «c» քառակուսի եռանդամի «ax^2+bx+c» գործակիցներն են:

Թեորեմը հեշտությամբ օգտագործել սովորելու համար եկեք հասկանանք, թե որտեղից է այն առաջացել (այսպես իսկապես ավելի հեշտ կլինի հիշել):

Եկեք ունենանք «ax^2+ bx+ c = 0» հավասարումը: Լրացուցիչ հարմարության համար մենք այն բաժանում ենք «a»-ի և ստանում ենք «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0»: Նման հավասարում կոչվում է կրճատված քառակուսի հավասարում:

Դասի կարևոր կետեր. ցանկացած քառակուսի բազմանդամ, որն ունի արմատներ, կարելի է բաժանել փակագծերի:Ենթադրենք, որ մերը կարող է ներկայացվել որպես «x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)», որտեղ «k» և «l» - որոշ հաստատուններ.

Տեսնենք, թե ինչպես են բացվում փակագծերը.

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Այսպիսով, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`:

Սա մի փոքր տարբերվում է դասական մեկնաբանությունից Վիետայի թեորեմները- դրանում մենք փնտրում ենք հավասարման արմատները: Ես առաջարկում եմ փնտրել պայմաններ փակագծերի ընդլայնումներ- այնպես որ դուք կարիք չունեք հիշելու բանաձևի մինուսի մասին (նշանակում է `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`): Բավական է ընտրել երկու այդպիսի թիվ, որոնց գումարը հավասար է միջին գործակցի, իսկ արտադրյալը՝ ազատ անդամին։

Եթե ​​մեզ հավասարման լուծում է պետք, ապա դա ակնհայտ է՝ «x=-k» կամ «x=-l» արմատները (քանի որ այս դեպքերում փակագծերից մեկը դրվելու է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտահայտությունը. հավասար կլինի զրոյի):

Օրինակ, ես ցույց կտամ ալգորիթմը, ինչպես քառակուսի բազմանդամը բաժանել փակագծերի:

Օրինակ մեկ. Քառակուսի եռանկյունի ֆակտորինգի ալգորիթմ

Մեր ունեցած ուղին «x^2+5x+4» քառակուսի եռանկյունն է:

Այն կրճատվում է («x^2» գործակից մեկին հավասար): Նա արմատներ ունի։ (Վստահ լինելու համար կարող եք գնահատել դիսկրիմինատորը և համոզվել, որ այն զրոյից մեծ է):

Հաջորդ քայլերը (դրանք պետք է սովորել՝ ամեն ինչ անելով վերապատրաստման առաջադրանքներ):

1. Կատարեք հետևյալ նշումը՝ $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Կետերի փոխարեն ազատ տեղ թողեք, այնտեղ կավելացնենք համապատասխան թվեր և նշաններ։
2. Դիտել բոլորը հնարավոր տարբերակներըԻնչպես կարող եք «4» թիվը տարրալուծել երկու թվերի արտադրյալի: Մենք ստանում ենք զույգ «թեկնածուներ» հավասարման արմատների համար՝ «2, 2» և «1, 4»:
3. Գնահատեք, թե որ զույգից կարող եք ստանալ միջին գործակիցը։ Ակնհայտորեն դա «1, 4» է:
4. Գրեք $$x^2+5x+4=(x \քառյակ 4)(x \քառյակ 1)$$։
5. Հաջորդ քայլը զետեղված թվերի դիմաց նշաններ տեղադրելն է։

   Ինչպե՞ս հասկանալ և ընդմիշտ հիշել, թե ինչ նշաններ պետք է լինեն փակագծերում գտնվող թվերի դիմաց: Փորձեք ընդլայնել դրանք (փակագծեր): «x»-ից առաջ առաջին աստիճանի գործակիցը կլինի «(± 4 ± 1)» (մենք դեռ չգիտենք նշանները, պետք է ընտրել), և այն պետք է հավասար լինի «5»-ի: Ակնհայտ է, որ այստեղ կլինեն երկու գումարած $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$:

   Կատարեք այս գործողությունը մի քանի անգամ (բարև ձեզ, վերապատրաստման առաջադրանքներ):

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել «x^2+5x+4» հավասարումը, ապա այժմ դրա լուծումը դժվար չէ։ Նրա արմատներն են `-4, -1`:

Երկրորդ օրինակ. Տարբեր նշանների գործակիցներով քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եկեք լուծենք «x^2-x-2=0» հավասարումը: Անշուշտ, խտրականությունը դրական է:

Մենք հետևում ենք ալգորիթմին.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2-ի միայն մեկ ամբողջ թվային գործոնավորում կա՝ «2 · 1»:
3. Մենք բաց ենք թողնում կետը. ընտրություն չկա:
4. $$x^2-x-2=(x \չորս 2) (x \քառյակ 1).$$
5. Մեր թվերի արտադրյալը բացասական է (`-2` ազատ անդամ է), ինչը նշանակում է, որ դրանցից մեկը կլինի բացասական, իսկ մյուսը դրական:
   Քանի որ դրանց գումարը հավասար է «-1»-ի («x»-ի գործակից), ապա «2»-ը կլինի բացասական (ինտուիտիվ բացատրություն. երկուսը երկու թվերից ավելի մեծ է, այն ավելի շատ «կքաշի» բացասական ուղղությամբ): Մենք ստանում ենք $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Երրորդ օրինակ. Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

«x^2+5x -84 = 0» հավասարումը:

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ի տարրալուծումը ամբողջ թվերի՝ «4 21, 6 14, 12 7, 2 42»:
3. Քանի որ մեզ անհրաժեշտ է, որ թվերի տարբերությունը (կամ գումարը) լինի 5, «7, 12» զույգը կկատարվի:
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Հույս, այս քառակուսի եռանկյունի տարրալուծումը փակագծերի մեջհասկանալի է.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հավասարման լուծում, ապա ահա այն՝ «12, -7»:

Առաջադրանքներ վերապատրաստման համար

Ահա մի քանի օրինակներ, որոնք հեշտ է լուծվում են Վիետայի թեորեմի միջոցով։(Մաթեմատիկայից վերցված օրինակներ, 2002 թ.)

1. «x^2+x-2=0»:
2. «x^2-x-2=0»:
3. «x^2+x-6=0»:
4. «x^2-x-6=0»:
5. «x^2+x-12=0»:
6. «x^2-x-12=0»:
7. «x^2+x-20=0»:
8. «x^2-x-20=0»:
9. «x^2+x-42=0»:
10. «x^2-x-42=0»:
11. «x^2+x-56=0»:
12. «x^2-x-56=0»:
13. «x^2+x-72=0»:
14. «x^2-x-72=0»:
15. «x^2+x-110=0»:
16. «x^2-x-110=0»:
17. «x^2+x-420=0»:
18. «x^2-x-420=0»:

Հոդվածի գրվելուց մի քանի տարի անց հայտնվեց 150 առաջադրանքների հավաքածու Վիետայի թեորեմի միջոցով քառակուսի բազմանդամի ընդլայնման համար:

Հավանե՛ք և հարցեր տվեք մեկնաբանություններում։

Առցանց հաշվիչ.
Երկանդամի քառակուսու ընտրություն և քառակուսի եռանդամի գործակցում:

Այս մաթեմատիկական ծրագիրը քառակուսի եռանդամից հանում է երկանդամի քառակուսին, այսինքն. կատարում է ձևի փոխակերպում.
\(ax^2+bx+c \աջ սլաք a(x+p)^2+q \) և ֆակտորիզացնում է քառակուսի եռանկյունը: \(ax^2+bx+c \աջ սլաք a(x+n)(x+m) \)

Նրանք. Խնդիրները կրճատվում են մինչև \(p, q \) և \(n, m \) թվերը գտնելը:

Ծրագիրը ոչ միայն տալիս է խնդրի պատասխանը, այլև ցուցադրում է լուծման գործընթացը։

Այս ծրագիրը կարող է օգտակար լինել ավագ դպրոցի աշակերտների համար հանրակրթական դպրոցներնախապատրաստման մեջ վերահսկողական աշխատանքիսկ քննությունները, երբ քննությունից առաջ գիտելիքները ստուգելիս ծնողները վերահսկում են մաթեմատիկայի և հանրահաշվի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը: Կամ գուցե ձեզ համար չափազանց թանկ է կրկնուսույց վարձելը կամ նոր դասագրքեր գնելը: Թե՞ պարզապես ցանկանում եք դա անել որքան հնարավոր է շուտ: Տնային աշխատանքմաթեմատիկա, թե հանրահաշիվ. Այս դեպքում դուք կարող եք նաև օգտագործել մեր ծրագրերը մանրամասն լուծումով:

Այսպիսով, դուք կարող եք անցկացնել ձեր սեփական ուսուցումը և/կամ ձեր կրտսեր եղբայրների կամ քույրերի ուսուցումը, մինչդեռ լուծվող խնդիրների ոլորտում կրթության մակարդակը բարձրանում է:

Եթե ​​դուք ծանոթ չեք քառակուսի եռանկյունի մուտքագրման կանոններին, խորհուրդ ենք տալիս ծանոթանալ դրանց։

Քառակուսի բազմանդամ մուտքագրելու կանոններ

Ցանկացած լատինատառ կարող է հանդես գալ որպես փոփոխական։
Օրինակ՝ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) և այլն:

Թվերը կարող են մուտքագրվել որպես ամբողջ թվեր կամ կոտորակներ:
Ավելին, կոտորակային թվերկարելի է մուտքագրել ոչ միայն որպես տասնորդական, այլև որպես սովորական կոտորակ։

Տասնորդական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Տասնորդական կոտորակներում ամբողջ թվից կոտորակային մասը կարելի է բաժանել կամ կետով կամ ստորակետով:
Օրինակ, դուք կարող եք մուտքագրել տասնորդական թվեր այսպես՝ 2.5x - 3.5x^2

Սովորական կոտորակներ մուտքագրելու կանոններ.
Միայն ամբողջ թիվը կարող է լինել կոտորակի համարիչ, հայտարար և ամբողջ թիվ:

Հայտարարը չի կարող բացասական լինել:

Թվային կոտորակ մուտքագրելիս համարիչը հայտարարից բաժանվում է բաժանման նշանով. /
Ամբողջական մասը կոտորակից բաժանվում է ամպերսանդով. &
Մուտք՝ 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Արդյունք՝ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Արտահայտություն մուտքագրելիս կարող եք օգտագործել փակագծեր. Այս դեպքում լուծելիս նախ պարզեցվում է ներմուծված արտահայտությունը։
Օրինակ՝ 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Օրինակ մանրամասն լուծում

Երկանդամի քառակուսու ընտրություն:$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \աջ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ձախ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \աջ)^2 \աջ)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\ձախ(x+\frac(1)(2) \աջ)^2-\frac(9)(2) $$ Պատասխան.$$2x^2+2x-4 = 2\ձախ(x+\frac(1)(2) \աջ)^2-\frac(9)(2) $$ Ֆակտորիզացիա.$$ ax^2+bx+c \աջ սլաք a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2 \ ձախ (x^2 + x-2 \աջ) = $$
$$ 2 \ձախ (x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \աջ) = $$ $$ 2 \ ձախ (x \ ձախ (x +2 \աջ) -1 \ձախ (x +2 \աջ ) \աջ) = $$ $$ 2 \ձախ (x -1 \աջ) \ձախ (x +2 \աջ) $$ Պատասխան.$$2x^2+2x-4 = 2 \ձախ (x -1 \աջ) \ձախ (x +2 \աջ) $$

Որոշեք

Պարզվեց, որ այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ որոշ սցենարներ չեն բեռնվել, և ծրագիրը կարող է չաշխատել:
Հնարավոր է, որ դուք միացված եք AdBlock-ին:
Այս դեպքում անջատեք այն և թարմացրեք էջը։

Ձեր դիտարկիչում անջատված է JavaScript-ը:
JavaScript-ը պետք է միացված լինի, որպեսզի լուծումը հայտնվի:
Ահա հրահանգներ, թե ինչպես միացնել JavaScript-ը ձեր բրաուզերում:

Որովհետեւ Խնդիրը լուծել ցանկացողները շատ են, ձեր խնդրանքը հերթագրված է։
Մի քանի վայրկյան հետո լուծումը կհայտնվի ստորև։
Սպասիր, խնդրում եմ վրկ...

Եթե ​​դու լուծման մեջ սխալ է նկատել, ապա այդ մասին կարող եք գրել Հետադարձ կապի ձևում :
Չմոռանաս նշեք, թե որ առաջադրանքըդուք որոշեք ինչ մտնել դաշտերում.

Մեր խաղերը, հանելուկները, էմուլյատորները.

Մի քիչ տեսություն.

Քառակուսի երկանդամի հանում քառակուսի եռանդամից

Եթե ​​քառակուսի եռանկյուն կացինը 2 +bx+c ներկայացված է a(x+p) 2 +q, որտեղ p և q են. իրական թվեր, հետո ասում են քառակուսի եռանկյուն, երկանդամի քառակուսին ընդգծված է.

Եկեք հանենք երկանդամի քառակուսին 2x 2 +12x+14 եռանկյունից:

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք 6x-ը որպես 2 * 3 * x-ի արտադրյալ, այնուհետև գումարում և հանում ենք 3 2: Մենք ստանում ենք.
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Դա. մենք քառակուսի եռանդամից ընտրել է երկանդամի քառակուսին, և ցույց տվեց, որ.
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիա

Եթե ​​քառակուսի եռանկյուն ax 2 +bx+c ներկայացված է a(x+n)(x+m), որտեղ n-ը և m-ն իրական թվեր են, ապա գործողությունը համարվում է կատարված: քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիաներ.

Եկեք օրինակ օգտագործենք՝ ցույց տալու համար, թե ինչպես է կատարվում այս փոխակերպումը:

Եկեք գործոնացնենք քառակուսի եռանկյունը 2x 2 +4x-6:

Փակագծերից հանենք a գործակիցը, այսինքն. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Փոխակերպենք արտահայտությունը փակագծերում.
Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք 2x-ը որպես 3x-1x տարբերություն, իսկ -3-ը որպես -1*3: Մենք ստանում ենք.
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Դա. մենք ֆակտորիզացնել քառակուսի եռանկյունը, և ցույց տվեց, որ.
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Նկատի ունեցեք, որ քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ այս եռանդամին համապատասխանող քառակուսի հավասարումն ունի արմատներ։
Նրանք. մեր դեպքում 2x 2 +4x-6 եռանդամի գործակցումը հնարավոր է, եթե 2x 2 +4x-6 =0 քառակուսի հավասարումը արմատներ ունի։ Ֆակտորինգի գործընթացում մենք գտանք, որ 2x 2 +4x-6 =0 հավասարումը ունի երկու արմատ 1 և -3, քանի որ. այս արժեքներով 2(x-1)(x+3)=0 հավասարումը վերածվում է իսկական հավասարության։

Գրքեր (դասագրքեր) Միասնական պետական ​​քննության և OGE թեստերի ամփոփագրեր առցանց Խաղեր, հանելուկներ Գործառույթների գծապատկեր Ռուսաց լեզվի ուղղագրական բառարան.

Քառակուսի եռանդամը ax^2+bx+c ձևի բազմանդամն է, որտեղ x-ը փոփոխական է, a, b և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն հավասար չէ զրոյի։
Իրականում, առաջին բանը, որ մենք պետք է իմանանք չարաբաստիկ եռանկյունը ֆակտորիզացնելու համար, թեորեմն է: «Եթե x1 և x2 ax^2+bx+c քառակուսի եռանդամի արմատներն են, ապա ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)»։ Իհարկե, կա նաև այս թեորեմի ապացույցը, բայց դա պահանջում է որոշակի տեսական գիտելիքներ (եթե ax^2+bx+c բազմանդամի մեջ a գործոնը հանենք, կստանանք ax^2+bx+c=a(x^. 2+(b/a) x + c/a) Վիետտի թեորեմով x1+x2=-(b/a), x1*x2=c/a, հետևաբար b/a=-(x1+x2), c/a. =x1*x2. , x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)- x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2), ուրեմն ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Երբեմն ուսուցիչները ստիպում են քեզ սովորել ապացույցը, բայց եթե դա այդպես է. պարտադիր չէ, խորհուրդ եմ տալիս պարզապես հիշել վերջնական բանաձևը:

2 քայլ

Որպես օրինակ վերցնենք 3x^2-24x+21 եռանկյունը։ Առաջին բանը, որ մենք պետք է անենք, եռանկյունը հավասարեցնելն է զրոյի՝ 3x^2-24x+21=0: Ստացված քառակուսային հավասարման արմատները համապատասխանաբար կլինեն եռանդամի արմատները։

3 քայլ

Լուծե՛ք 3x^2-24x+21=0 հավասարումը։ a=3, b=-24, c=21. Այսպիսով, եկեք որոշենք. Ով չգիտի՝ ինչպես որոշել քառակուսի հավասարումներ, նայեք իմ հրահանգին՝ դրանք լուծելու 2 եղանակներով՝ օգտագործելով նույն հավասարումը որպես օրինակ: Ստացանք x1=7, x2=1 արմատները։

4 քայլ

Այժմ, երբ մենք ունենք եռանդամի արմատները, մենք կարող ենք ապահով կերպով փոխարինել դրանք բանաձևով =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
ստանում ենք՝ 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Դուք կարող եք ազատվել a տերմինից՝ փակագծերում դնելով այն՝ 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
արդյունքում ստանում ենք՝ 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3): Նշում. ստացված գործակիցներից յուրաքանչյուրը ((x-7), (3x-3) առաջին աստիճանի բազմանդամներ են: Դա ամբողջ ընդլայնումն է =) Եթե կասկածում եք ստացված պատասխանին, ապա միշտ կարող եք այն ստուգել՝ բազմապատկելով փակագծերը:

5 քայլ

Լուծման ստուգում. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Այժմ մենք հաստատ գիտենք, որ մեր լուծումը ճիշտ է: Հուսով եմ, որ իմ հրահանգները կօգնեն ինչ-որ մեկին =) Հաջողություն ձեր ուսման մեջ:

• Մեր դեպքում D > 0 հավասարման մեջ ստացանք 2-ական արմատ: Եթե ​​դա լիներ Դ<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Եթե ​​քառակուսի եռանդամը չունի արմատներ, ապա այն չի կարող գործոնավորվել առաջին աստիճանի բազմանդամների մեջ։