lecke "Az y=sinx, y=cosx függvények periodikussága". Egy függvény vizsgálata periodicitásra

>> Függvények periodikussága y = sin x, y = cos x

11. § Az y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények periodikussága

Az előző bekezdésekben hét tulajdonságot használtunk funkciókat: domain, páros vagy páratlan, monoton, korlátozott, legnagyobb és legkisebb érték, folytonosság, a függvény tartománya. Ezeket a tulajdonságokat vagy a függvénygráf megalkotásához (ahogyan az volt például a 9. §-ban), vagy a megszerkesztett gráf olvasásához (mint pl. a 10. §-ban) használtuk. Most eljött kedvező pillanat bevezetni a függvények egy további (nyolcadik) tulajdonságát, ami a fent konstruálton tökéletesen látható diagramok függvények y \u003d sin x (lásd 37. ábra), y \u003d cos x (lásd 41. ábra).

Meghatározás. Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a halmazok bármely x-ére a dupla egyenlőség:

A kielégítő T szám meghatározott feltétel, az y \u003d f (x) függvény periódusának nevezzük.
Ebből következik, hogy mivel bármely x esetén az egyenlőségek igazak:

akkor az y \u003d sin x, y \u003d cos x függvények periodikusak és a 2. P mindkét funkció időszakaként szolgál.
Egy függvény periodicitása a függvények ígért nyolcadik tulajdonsága.

Most nézze meg az y \u003d sin x függvény grafikonját (37. ábra). Egy szinuszos felépítéshez elég felépíteni az egyik hullámát (egy szegmensre, majd ezt a hullámot az x tengely mentén eltolni ennyivel. Ennek eredményeként egy hullám felhasználásával a teljes grafikont felépítjük.

Ugyanebből a szemszögből nézzük meg az y \u003d cos x függvény grafikonját (41. ábra). Azt látjuk, hogy itt is egy gráf ábrázolásához elegendő először egy hullámot ábrázolni (például a szegmensen

Majd mozgasd az x tengely mentén eggyel
Összefoglalva a következő következtetést vonjuk le.

Ha az y \u003d f (x) függvénynek T periódusa van, akkor a függvény grafikonjának ábrázolásához először meg kell ábrázolnia a grafikon egy ágát (hullámát, részét) bármely T hosszúságú intervallumon (leggyakrabban pontokban végződő intervallum, majd tolja el ezt az ágat az x tengely mentén jobbra és balra T, 2T, ZT stb.
Egy periodikus függvénynek végtelen sok periódusa van: ha T egy periódus, akkor 2T egy periódus, és 3T egy periódus, és -T egy periódus; Általában a periódus tetszőleges KT alakú szám, ahol k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Általában, ha lehetséges, megpróbálják kiemelni a legkisebb pozitív periódust, ezt főperiódusnak nevezik.
Tehát tetszőleges 2pc alakú szám, ahol k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, az y \u003d sinn x, y \u003d cos x függvények periódusa; A 2p mindkét függvény fő periódusa.

Példa. Keresse meg egy függvény fő periódusát:

a) Legyen T az y \u003d sin x függvény fő periódusa. Tegyük fel

Ahhoz, hogy a T szám a függvény periódusa legyen, a Ho azonosságnak meg kell felelnie, mivel beszélgetünk a főidőszak megtalálásakor azt kapjuk
b) Legyen T az y = cos 0,5x függvény főperiódusa. Legyen f(x)=cos 0,5x. Ezután f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Ahhoz, hogy a T szám legyen a függvény periódusa, a cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x azonosságnak teljesülnie kell.

Tehát 0,5t = 2pp. De mivel a főperiódus megtalálásáról beszélünk, 0,5T = 2 l, T = 4 l.

A példában kapott eredmények általánosítása a következő állítás: a függvény fő periódusa

A.G. Mordkovich algebra 10. évfolyam

Az óra tartalma óra összefoglalója támogatási keret óra bemutató gyorsító módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önvizsgálat műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fotók, képek, grafikák, táblázatok, humorsémák, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek chipek érdeklődő csaló lapok tankönyvek alapvető és kiegészítő kifejezések szószedete egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék

Egy ponton középre állítva A.
α egy radiánban kifejezett szög.

Meghatározás
Sinus egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, megegyezik a szemközti láb hosszának arányával |BC| a hypotenus hosszához |AC|.

Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszához |AC|.

Elfogadott megnevezések

;
;
.

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

y= függvények bűn xés y= cos x periodikus periódussal 2 π.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények folytonosak a definíciós tartományukon, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y= bűn x	y= cos x
Terjedelem és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Emelkedő
Csökkenő
Maximum, y= 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y= 0
Az y tengellyel való metszéspontok, x = 0	y= 0	y= 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetének összege

Szinusz és koszinusz képletek összegre és különbségre

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőben

; .

A következőkkel rendelkezünk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum egyes értékeire vonatkozóan.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

;
;

Származékok

; . Képletek származtatása > > >

Az n-edik rend származékai:
{ -∞ < x < +∞ }

Szekáns, koszekáns

Inverz függvények

Inverz függvények szinuszhoz és koszinuszhoz az arcszinusz, illetve az arkoszinusz.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Olyan T szám, amelyre bármely x esetén F(x + T) = F(x). Ezt a T számot a függvény periódusának nevezzük.

Több időszak is lehet. Például az F = const függvény ugyanazt az értéket veszi fel az argumentum bármely értékére, ezért bármely szám tekinthető periódusának.

Általában a legkisebb érdekli nulla funkció időszaka. A rövidség kedvéért egyszerűen pontnak nevezzük.

A periodikus függvények klasszikus példája a trigonometrikus: szinusz, koszinusz és tangens. Periódusuk azonos és egyenlő 2π-vel, azaz sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) és így tovább. Azonban természetesen trigonometrikus függvények- nem az egyetlen időszakos.

Ami az egyszerűt illeti alapvető funkciókat periodicitásukat vagy nem periodicitásukat csak számítással állapíthatjuk meg. De az összetett funkciókhoz már több is létezik egyszerű szabályok.

Ha F(x) T periódusú, és egy derivált van definiálva rá, akkor ez az f(x) = F'(x) derivált is egy T periódusú periodikus függvény. Végül is a derivált értéke a Az x pont egyenlő az antiderivált gráf tangensének az x tengely pontjában lévő érintőjével, és mivel periodikusan ismétlődik, ismételnie kell. Például a származéka sin függvények(x) egyenlő cos(x)-szel, és periodikus. A cos(x) deriváltját véve -sin(x) kapod. A periodicitás változatlan marad.

Ennek fordítottja azonban nem mindig igaz. Így az f(x) = const függvény periodikus, de antideriváltja F(x) = const*x + C nem.

Ha F(x) egy T periódusú periodikus függvény, akkor G(x) = a*F(kx + b), ahol a, b és k állandók, és k nem egyenlő nullával - szintén periodikus függvény, időszaka pedig T/k. Például a sin(2x) egy periodikus függvény, és periódusa π. Vizuálisan ez a következőképpen ábrázolható: ha x-et megszorozunk valamilyen számmal, a függvényeket vízszintesen pontosan annyiszor tömörítjük.

Ha F1(x) és F2(x) periodikus függvények, és periódusuk T1, illetve T2, akkor ezeknek a függvényeknek az összege is lehet periodikus. Ennek periódusa azonban nem a T1 és T2 periódusok egyszerű összege. Ha a T1/T2 osztás eredménye az racionális szám, akkor a függvények összege periodikus, periódusa pedig egyenlő a T1 és T2 periódusok legkisebb közös többszörösével (LCM). Például, ha az első függvény periódusa 12, a másodiké pedig 15, akkor összegük periódusa LCM (12, 15) = 60 lesz.

Ez vizuálisan a következőképpen ábrázolható: a függvények különböző „lépésszélességekkel” érkeznek, de ha racionális a szélességük aránya, akkor előbb vagy (pontosabban a lépések LCM-jén keresztül) újra egyenlővé válnak, ill. összegük új időszakot kezd.

Ha azonban a periódusok aránya , akkor a teljes függvény egyáltalán nem lesz periodikus. Például legyen F1(x) = x mod 2 (x maradéka osztva 2-vel), és F2(x) = sin(x). T1 itt 2 lesz, T2 pedig 2π. A periódusarány π - irracionális szám. Ezért a sin(x) + x mod 2 függvény nem periodikus.

Források:

• Függvényelmélet

Sok matematikai függvények van egy olyan tulajdonsága, amely megkönnyíti az építésüket - ez az periodicitás, vagyis a grafikon megismételhetősége a koordináta-rácson szabályos időközönként.

Utasítás

A matematika legismertebb periodikus függvényei a szinusz és a koszinusz hullám. Ezeknek a függvényeknek van egy hullámszerű és alapperiódusuk, amely egyenlő 2P-vel. Szintén a periodikus függvény speciális esete az f(x)=const. Bármely szám megfelel az x pozíciónak, ennek a függvénynek nincs főpontja, mivel ez egy egyenes.

Általában egy függvény periodikus, ha van olyan N egész szám, amely nem nulla, és megfelel az f(x)=f(x+N) szabálynak, így biztosítva az ismételhetőséget. A funkció időtartama a legkisebb szám N, de nem nulla. Vagyis például a sin x függvény egyenlő a sin (x + 2PN) függvénnyel, ahol N \u003d ± 1, ± 2 stb.

Néha egy függvénynek lehet szorzója (például sin 2x), ami növeli vagy csökkenti a függvény periódusát. Az időszak megtalálása érdekében