A faktorizációs tétel négyzetháromsághoz. Négyzetes trinomik faktorizálása: példák és képletek

A polinomok kiterjesztése egy termék előállításához néha zavarónak tűnik. De ez nem olyan nehéz, ha lépésről lépésre megérti a folyamatot. A cikk részletezi a négyzetes trinomiális faktorizálását.

Sokan nem értik, hogyan lehet egy négyzetes hármastényezőt tizedelni, és miért van ez így. Elsőre úgy tűnhet, hogy ez egy haszontalan gyakorlat. De a matematikában semmit sem csinálnak csak úgy. Az átalakítás a kifejezés egyszerűsítése és a számítás kényelme érdekében szükséges.

Egy polinom, amelynek alakja - ax² + bx + c, négyzetes trinomiálisnak nevezzük. Az "a" kifejezésnek negatívnak vagy pozitívnak kell lennie. A gyakorlatban ezt a kifejezést másodfokú egyenletnek nevezik. Ezért néha mást mondanak: hogyan kell lebontani másodfokú egyenlet.

Érdekes! A négyzetes polinomot a legnagyobb foka miatt nevezik - négyzetnek. És egy trinomiális - a 3 komponens miatt.

Néhány más típusú polinom:

lineáris binomiális (6x+8);
köbös négyszög (x³+4x²-2x+9).

Négyzetes trinom tényezőezése

Először is a kifejezés egyenlő nullával, majd meg kell találnia az x1 és x2 gyök értékeit. Lehet, hogy nincs gyökér, lehet egy vagy két gyökér. A gyökerek jelenlétét a diszkrimináns határozza meg. Képletét fejből kell tudni: D=b²-4ac.

Ha D eredménye negatív, akkor nincsenek gyökök. Ha pozitív, akkor két gyökér van. Ha az eredmény nulla, akkor a gyökér egy. A gyökereket is a képlet számítja ki.

Ha a diszkrimináns kiszámítása nullát eredményez, bármelyik képletet alkalmazhatja. A gyakorlatban a képletet egyszerűen lerövidítik: -b / 2a.

Képletek különböző értékeket a diszkriminatív különbözőek.

Ha D pozitív:

Ha D nulla:

Online számológépek

Az internetnek van online számológép. Használható faktorizálásra. Egyes források lehetőséget adnak a megoldás lépésről lépésre való megismerésére. Az ilyen szolgáltatások segítenek a téma jobb megértésében, de meg kell próbálnia jól megérteni.

Hasznos videó: Négyzetes trinomiális faktorálás

Példák

Megtekintésre hívjuk egyszerű példák hogyan kell faktorizálni egy másodfokú egyenletet.

1. példa

Itt jól látható, hogy az eredmény két x lesz, mert D pozitív. Ezeket be kell cserélni a képletbe. Ha a gyökök negatívak, az előjel a képletben megfordul.

Ismerjük a bővítési képletet négyzetes trinomikus szorzók: a(x-x1)(x-x2). Az értékeket zárójelbe tesszük: (x+3)(x+2/3). A kitevőben nincs szám a kifejezés előtt. Ez azt jelenti, hogy van egység, le van engedve.

2. példa

Ez a példa világosan bemutatja, hogyan kell megoldani egy egyenletet, amelynek egy gyöke van.

Cserélje be a kapott értéket:

3. példa

Adott: 5x²+3x+7

Először is kiszámítjuk a diszkriminánst, mint az előző esetekben.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

A diszkrimináns negatív, ami azt jelenti, hogy nincsenek gyökerei.

Az eredmény kézhezvétele után érdemes kinyitni a zárójeleket és ellenőrizni az eredményt. Meg kell jelennie az eredeti trinomiálisnak.

Alternatív megoldás

Vannak, akik soha nem tudtak megbarátkozni a diszkriminálóval. Van egy másik módja is a négyzetes trinomiális faktorizálásának. A kényelem kedvéért a módszert egy példában mutatjuk be.

Adott: x²+3x-10

Tudjuk, hogy 2 zárójelben kell végeznünk: (_)(_). Ha a kifejezés így néz ki: x² + bx + c, akkor minden zárójel elejére x-et teszünk: (x_) (x_). A maradék két szám az a szorzat, amely "c"-t ad, azaz ebben az esetben -10. Hogy megtudja, melyek ezek a számok, csak a kiválasztási módszert használhatja. A helyettesített számoknak meg kell egyeznie a fennmaradó kifejezéssel.

Például a következő számok szorzata -10-et kap:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1) (x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nem.
(x-10) (x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nem.
(x-5) (x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nem.
(x-2) (x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Illik.

Tehát az x2+3x-10 kifejezés transzformációja így néz ki: (x-2)(x+5).

Fontos!Ügyeljen arra, hogy ne keverje össze a jeleket.

Egy összetett trinom felbontása

Ha "a" nagyobb egynél, akkor nehézségek kezdődnek. De nem minden olyan nehéz, mint amilyennek látszik.

A faktorizáláshoz először meg kell nézni, hogy ki lehet-e faktorálni valamit.

Például a következő kifejezéssel: 3x²+9x-30. Itt a 3-as szám ki van véve a zárójelből:

3(x²+3x-10). Az eredmény a már ismert trinomikus. A válasz így néz ki: 3(x-2)(x+5)

Hogyan lehet felbontani, ha a négyzetes tag negatív? Ebben az esetben a -1 szám kikerül a zárójelből. Például: -x²-10x-8. A kifejezés ekkor így fog kinézni:

A séma alig különbözik az előzőtől. Csak néhány újdonság van. Tegyük fel, hogy a kifejezés adott: 2x²+7x+3. A választ is 2 zárójelbe írjuk, amit (_) (_) kell kitölteni. X a 2. zárójelbe van írva, és ami megmaradt az 1.-be. Így néz ki: (2x_)(x_). Ellenkező esetben az előző séma megismétlődik.

A 3-as szám adja a számokat:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Az egyenleteket a megadott számok behelyettesítésével oldjuk meg. Az utolsó lehetőség megfelelő. Tehát a 2x²+7x+3 kifejezés transzformációja így néz ki: (2x+1)(x+3).

Egyéb esetek

Egy kifejezést nem mindig lehet átalakítani. A második módszernél az egyenlet megoldása nem szükséges. De a kifejezések termékké alakításának lehetőségét csak a diszkriminánson keresztül ellenőrizzük.

Érdemes gyakorolni a másodfokú egyenletek megoldását, hogy ne okozzanak nehézséget a képletek használata.

Hasznos videó: egy trinomializáció

Kimenet

Bármilyen módon használhatod. De jobb, ha mindkettőt automatizmusra dolgozzuk fel. Azoknak is, akik életüket a matematikával akarják összekötni, meg kell tanulniuk, hogyan kell jól megoldani a másodfokú egyenleteket, és hogyan kell a polinomokat faktorokra bontani. Az összes következő matematikai téma erre épül.

A négyzetes trinomik faktorizálása arra utal iskolai feladatokat amellyel előbb-utóbb mindenki szembesül. Hogyan kell csinálni? Mi a képlet a négyzetes trinom faktorálására? Nézzük végig lépésről lépésre példákkal.

Általános képlet

A négyzetháromtagok faktorizálását másodfokú egyenlet megoldásával hajtjuk végre. Ez egy egyszerű probléma, amely többféle módszerrel is megoldható - a diszkrimináns megtalálásával, a Vieta-tétel segítségével létezik, ill. grafikus módon megoldásokat. Az első két módszert a középiskolában tanulják.

Az általános képlet így néz ki:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Feladatvégrehajtási algoritmus

A négyzetes trinomiálisok faktorizálásához ismerni kell a Wit-tételt, kéznél kell lennie egy megoldási programnak, meg kell tudnia találni a megoldást grafikusan, vagy meg kell keresnie egy másodfokú egyenlet gyökereit a diszkriminancia formulán keresztül. Ha adott egy négyzetes trinom, és azt faktorálni kell, akkor a műveletek algoritmusa a következő:

1) Egyenlítse az eredeti kifejezést nullával, hogy megkapja az egyenletet.

2) Adjon meg hasonló kifejezéseket (ha szükséges).

3) Keresse meg bármelyik gyökerét ismert módon. A grafikus módszert akkor célszerű használni, ha előre tudjuk, hogy a gyökök egészek és kis számok. Emlékeztetni kell arra, hogy a gyökök száma megegyezik az egyenlet maximális fokával, vagyis a másodfokú egyenletnek két gyöke van.

4) Helyettesítő érték x kifejezésbe (1).

5) Írja fel a négyzetháromtagok faktorizálását!

Példák

A gyakorlat lehetővé teszi, hogy végre megértse, hogyan hajtják végre ezt a feladatot. Példák szemléltetik egy négyzetes hármastag faktorizálását:

ki kell bővítenie a kifejezést:

Használjuk az algoritmusunkat:

1) x 2 -17x+32=0

2) a hasonló kifejezések csökkennek

3) a Vieta képlet szerint ennek a példának nehéz megtalálni a gyökereit, ezért jobb a diszkrimináns kifejezést használni:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Cserélje be a bővítési fő képletben talált gyökereket:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Akkor a válasz a következő lesz:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Ellenőrizzük, hogy a diszkrimináns által talált megoldások megfelelnek-e a Vieta-képleteknek:

14,845 . 2,155=32

Ezekre a gyökökre a Vieta-tételt alkalmazzuk, helyesen találtuk meg, ami azt jelenti, hogy az általunk kapott faktorizáció is helyes.

Hasonlóképpen bővítjük a 12x 2 + 7x-6-ot.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Az előző esetben a megoldások nem egészek voltak, hanem valós számok, amelyeket egy számológéppel könnyedén megtalálhatsz magad előtt. Most gondoljon többet összetett példa, amelyben a gyökök összetettek lesznek: szorozd x 2 + 4x + 9. A Vieta-képlet szerint a gyökök nem találhatók, a diszkrimináns pedig negatív. A gyökerek az összetett síkon lesznek.

D=-20

Ez alapján megkapjuk a minket érdeklő gyökereket -4 + 2i * 5 1/2 ill. -4-2i * 5 1/2, mert (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

A kívánt bővítést úgy kapjuk meg, hogy a gyököket behelyettesítjük az általános képletbe.

Egy másik példa: a 23x 2 -14x + 7 kifejezést faktorizálni kell.

Megvan az egyenlet 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Tehát a gyökerek 14+21,166i ill 14-21,166i. A válasz a következő lesz:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Mondjunk egy példát, amely a diszkrimináns segítsége nélkül is megoldható.

Legyen szükség az x 2 -32x + 255 másodfokú egyenlet felbontására. Nyilván a diszkriminánssal is meg lehet oldani, de ebben az esetben gyorsabban meg lehet találni a gyökereket.

x 1 =15

x2=17

Eszközök x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

A világ számos számban van elmerülve. Bármilyen számítás az ő segítségükkel történik.

Az emberek megtanulják a számokat, hogy későbbi életükben ne essenek megtévesztésre. Hatalmas időt kell szánni az oktatásra és a saját költségvetésének kiszámítására.

A matematika egy egzakt tudomány, amely nagy szerepet játszik az életben. Az iskolában a gyerekek megtanulják a számokat, majd a rajtuk végzett cselekvéseket.

A számokkal kapcsolatos műveletek teljesen eltérőek: szorzás, bővítés, összeadás és mások. A matematika tanulmányozása során az egyszerű képletek mellett bonyolultabb cselekvéseket is alkalmaznak. Rengeteg képlet létezik, amelyek alapján bármely érték ismert.

Az iskolában, amint megjelenik az algebra, egyszerűsítési képletekkel egészítik ki a tanuló életét. Vannak egyenletek, amikor két ismeretlen szám van, de keresse meg egyszerű módon nem fog működni. A trinomiális három monom vegyülete, a segítségével egyszerű módszer kivonás és összeadás. A trinomit a Vieta-tétel és a diszkrimináns segítségével oldjuk meg.

A képlet egy négyzetes trinom faktorokká alakításához

Két helyes és egyszerű megoldások példa:

diszkriminatív;
Vieta tétele.

A négyzetes trinomiálisnak van egy ismeretlen négyzete, valamint egy négyzet nélküli szám. A probléma megoldásának első lehetősége a Vieta képletet használja. Ez egy egyszerű képlet ha az ismeretlen előtti számjegyek lesznek a minimális érték.

Más egyenleteknél, ahol a szám az ismeretlen előtt van, az egyenletet a diszkriminánson keresztül kell megoldani. Vége nehéz döntés, de a diszkriminánst sokkal gyakrabban használják, mint Vieta tételét.

Kezdetben az egyenlet összes változójának megtalálásához a példát 0-ra kell emelni. A példa megoldása ellenőrizhető, és megtudhatja, hogy a számok helyesen vannak-e beállítva.

Megkülönböztető

1. Az egyenletet 0-val kell egyenlővé tenni.

2. Minden x előtti számot a, b, c számoknak nevezünk. Mivel az első x négyzet előtt nincs szám, ez 1-nek felel meg.

3. Most az egyenlet megoldása a diszkriminánssal kezdődik:

4. Most megtaláltuk a diszkriminánst, és találtunk két x-et. A különbség az, hogy az egyik esetben a b-t egy plusz, a másikban a mínusz előzi meg:

5. Két szám megoldásával -2 és -1 lett. Helyettesítse az eredeti egyenletet:

6. Ebben a példában kettő lett helyes opciók. Ha mindkét megoldás helyes, akkor mindegyik igaz.

A bonyolultabb egyenleteket is a diszkrimináns segítségével oldjuk meg. De ha magának a diszkriminánsnak az értéke kisebb, mint 0, akkor a példa rossz. A keresésben a diszkrimináns mindig a gyökér alatt található, negatív érték pedig nem lehet a gyökérben.

Vieta tétele

Könnyű feladatok megoldására szolgál, ahol az első x előtt nincs szám, azaz a=1. Ha az opció egyezik, akkor a számítás a Vieta-tételen keresztül történik.

Bármilyen trinomikus megoldására az egyenletet 0-ra kell emelni. A diszkrimináns és a Vieta-tétel első lépései megegyeznek.

2. Most különbségek vannak a két módszer között. Vieta tétele nem csak "száraz" számítást használ, hanem logikát és intuíciót is. Minden számnak megvan a maga a, b, c betűje. A tétel két szám összegét és szorzatát használja.

Emlékezik! A b szám mindig ellentétes előjellel kerül hozzáadásra, és a c változatlan marad!

Adatértékek helyettesítése a példában , kapunk:

3. Logikai módszerrel behelyettesítjük a legmegfelelőbb számokat. Fontolja meg az összes lehetséges megoldást:

A számok 1 és 2. Ha összeadjuk, 3-at kapunk, de ha szorozunk, nem kapunk 4-et. Nem megfelelő.
2 és -2 érték. Megszorozva -4 lesz, de összeadva 0. Nem megfelelő.
4. és -1. Mivel a szorzás negatív értéket tartalmaz, ez azt jelenti, hogy az egyik szám mínuszos lesz. Összeadásra és szorzásra alkalmas. Helyes lehetőség.

4. Csak ellenőrizni kell, kirakva a számokat, és megnézni, hogy a választott opció helyes-e.

5. Egy online ellenőrzésnek köszönhetően kiderült, hogy a -1 nem egyezik a példa feltételével, ami azt jelenti, hogy rossz megoldás.

Hozzáadáskor negatív érték a példában a számot zárójelbe kell tenni.

A matematikában mindig lesz egyszerű feladatokatés összetett. Maga a tudomány számos problémát, tételt és képletet foglal magában. Ha megérti és helyesen alkalmazza a tudást, akkor a számításokkal kapcsolatos nehézségek jelentéktelenek.

A matematika nem igényel állandó memorizálást. Meg kell tanulnod megérteni a megoldást, és meg kell tanulnod néhány képletet. Fokozatosan, a logikus következtetések szerint lehetséges hasonló problémák, egyenletek megoldása. Egy ilyen tudomány első pillantásra nagyon nehéznek tűnhet, de ha az ember belecsöppen a számok és feladatok világába, akkor a nézet drámaian megváltozik. jobb oldala.

Műszaki szakterületek mindig a legkeresettebbek maradnak a világon. Most, a világban modern technológiák A matematika minden terület nélkülözhetetlen tulajdonságává vált. Mindig emlékeznie kell kb hasznos tulajdonságait matematika.

Trinom felbontása zárójelekkel

A szokásos megoldások mellett van még egy - a zárójelekre bontás. Vieta formulájával használva.

1. Tegye egyenlővé az egyenletet 0-val.

fejsze 2 + bx+ c= 0

2. Az egyenlet gyökei ugyanazok maradnak, de nulla helyett most zárójel-kiterjesztési képleteket használnak.

fejsze 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Megoldás x=-1, x=3

Négyzetes trinom tényezőezése hasznos lehet a C3 feladatból vagy a C5 paraméterrel kapcsolatos egyenlőtlenségek megoldásához. Ezenkívül sok B13-as szöveges feladat sokkal gyorsabban megoldható, ha ismeri Vieta tételét.

Ezt a tételt természetesen a 8. osztály szemszögéből is lehet tekinteni, ahol először teljesítették. De az a feladatunk, hogy jól felkészüljünk a vizsgára, és megtanuljuk a vizsgafeladatok minél hatékonyabb megoldását. Ezért ebben a leckében a megközelítés kissé eltér az iskolaitól.

Az egyenlet gyökeinek képlete Vieta tétele szerint sokat ismerek (vagy legalábbis láttak):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ahol "a, b" és "c" az "ax^2+bx+c" négyzetháromtag együtthatói.

A tétel egyszerű használatának megtanulásához értsük meg, honnan származik (így valóban könnyebb lesz megjegyezni).

Legyen az "ax^2+ bx+ c = 0" egyenlet. A további kényelem érdekében elosztjuk "a"-val, és megkapjuk az "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0" értéket. Egy ilyen egyenlet redukált másodfokú egyenletnek nevezzük.

Fontos lecke pontok: minden négyzetes polinom, amelynek gyöke van, zárójelekre bontható. Tegyük fel, hogy a miénk a következőképpen ábrázolható: "x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)", ahol "k" és "l" - néhány állandó.

Lássuk, hogyan nyílnak meg a zárójelek:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Így `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ez némileg eltér a klasszikus értelmezéstől Vieta tételei- benne keressük az egyenlet gyökereit. Azt javaslom, hogy keress rá feltételeket konzol bővítések- így nem kell emlékeznie a képlet mínuszára (jelentése: `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`. Elegendő két ilyen számot kiválasztani, amelyek összege egyenlő az átlagos együtthatóval, és a szorzat egyenlő a szabad taggal.

Ha megoldásra van szükségünk az egyenletre, akkor nyilvánvaló: az `x=-k` vagy `x=-l` gyökök (mivel ezekben az esetekben az egyik zárójel nulla lesz, ami azt jelenti, hogy az egész kifejezés egyenlő nullával).

Például megmutatom az algoritmust, hogyan lehet egy négyzetpolinomot zárójelekre bontani.

Egy példa. Algoritmus négyzetháromság faktorozására

Az elérési út az `x^2+5x+4` négyzetháromtag.

Csökkentett ("x^2" együttható egyenlő eggyel). Vannak gyökerei. (Az biztos, hogy megbecsülheti a diszkriminánst, és győződjön meg arról, hogy nagyobb, mint nulla.)

Következő lépések (mindent meg kell tanulni képzési feladatokat):

Jegyezze fel a következőt: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ A pontok helyett hagyjon szabad helyet, ott megfelelő számokat és jeleket adunk hozzá.
Összes megtekintése lehetséges opciók, hogyan bonthatja fel a 4-es számot két szám szorzatára. Az egyenlet gyökereihez „jelölt” párokat kapunk: `2, 2` és `1, 4`.
Becsülje meg, melyik párból kaphatja meg az átlagos együtthatót. Nyilvánvalóan '1, 4'.
Írja be: $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
A következő lépés a beillesztett számok elé táblák elhelyezése.
Hogyan lehet megérteni és örökre emlékezni arra, hogy milyen jelek legyenek a zárójelben lévő számok előtt? Próbálja kibontani őket (zárójelek). Az "x" előtti együttható az első hatványhoz "(± 4 ± 1)" lesz (még nem ismerjük az előjeleket - választanunk kell), és egyenlőnek kell lennie "5"-tel. Nyilvánvalóan itt lesz két plusz $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Hajtsa végre ezt a műveletet többször (üdv, edzésfeladatok!) és ezzel soha nem lesz több probléma.

Ha meg kell oldania az `x^2+5x+4` egyenletet, akkor most már nem nehéz a megoldása. Gyökerei `-4, -1`.

Második példa. Négyzetes trinomiális faktorizálása különböző előjelű együtthatókkal

Meg kell oldanunk az `x^2-x-2=0` egyenletet. Alapvetően a diszkrimináns pozitív.

Követjük az algoritmust.

$$x^2-x-2=(x \lpont) (x \lpont).$$
A 2-nek csak egy egész számotényezője van: `2 · 1`.
Kihagyjuk a lényeget – nincs miből választani.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Számaink szorzata negatív (a "-2" szabad tag), ami azt jelenti, hogy az egyik negatív, a másik pozitív lesz.
Mivel összegük egyenlő "-1"-gyel ("x" együtthatója), akkor a "2" negatív lesz (intuitív magyarázat - a kettő a nagyobb a két szám közül, ez többet fog "húzni" a negatív irányba). A következőt kapjuk: $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Harmadik példa. Négyzetes trinom tényezőezése

"x^2+5x -84 = 0" egyenlet.

$$x+ 5x-84=(x \lpont) (x \lpont).$$
84 bontása egész faktorokra: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Mivel a számok különbségének (vagy összegének) 5-nek kell lennie, a 7, 12 pár megteszi.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Remény, ennek a négyzetes trinomnak a zárójelekre való felbontása egyértelmű.

Ha megoldásra van szüksége az egyenletre, akkor itt van: `12, -7`.