A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása. Felkészülés a vizsgára

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A logaritmikus egyenlőtlenségek sokfélesége közül a változó bázisú egyenlőtlenségeket külön vizsgáljuk. Egy speciális képlet szerint oldják meg, amelyet valamilyen oknál fogva ritkán tanítanak az iskolában:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

A "∨" szó helyett tetszőleges egyenlőtlenségjelet helyezhet el: többet vagy kevesebbet. A lényeg az, hogy mindkét egyenlőtlenségben az előjelek azonosak legyenek.

Így megszabadulunk a logaritmusoktól, és a problémát racionális egyenlőtlenségre redukáljuk. Ez utóbbi sokkal könnyebben megoldható, de a logaritmusok elvetésekor plusz gyökök jelenhetnek meg. Levágásukhoz elég megtalálni a megengedett értékek tartományát. Ha elfelejtette a logaritmus ODZ-jét, erősen ajánlom, hogy ismételje meg - lásd: "Mi a logaritmus".

Mindent, ami az elfogadható értékek tartományára vonatkozik, külön ki kell írni és meg kell oldani:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ez a négy egyenlőtlenség egy rendszert alkot, és egyszerre kell teljesülniük. Ha megtaláltuk az elfogadható értékek tartományát, hátra kell lépni a racionális egyenlőtlenség megoldásával - és kész a válasz.

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Először írjuk fel a logaritmus ODZ-jét:

Az első két egyenlőtlenség automatikusan végrehajtásra kerül, az utolsót pedig fel kell írni. Mivel egy szám négyzete akkor és csak akkor nulla, ha maga a szám nulla, így van:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Kiderült, hogy a logaritmus ODZ-je nulla kivételével minden szám: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Most megoldjuk a fő egyenlőtlenséget:

Elvégezzük az átmenetet a logaritmikus egyenlőtlenségből a racionális egyenlőtlenségbe. Az eredeti egyenlőtlenségben van egy „kevesebb, mint” előjel, így a kapott egyenlőtlenségnek is „kisebb, mint” előjelűnek kell lennie. Nekünk van:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 – x) (3 + x) x 2< 0.

Ennek a kifejezésnek a nullái: x = 3; x = -3; x = 0. Sőt, x = 0 a második multiplicitás gyöke, ami azt jelenti, hogy ezen áthaladva a függvény előjele nem változik. Nekünk van:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ez a halmaz teljes mértékben benne van a logaritmus ODZ-jében, ami azt jelenti, hogy ez a válasz.

Logaritmikus egyenlőtlenségek transzformációja

Az eredeti egyenlőtlenség gyakran eltér a fentitől. Ez könnyen javítható a logaritmusokkal végzett munka szabványos szabályai szerint – lásd: „A logaritmusok alapvető tulajdonságai”. Ugyanis:

Bármely szám logaritmusként ábrázolható adott bázissal;
Az azonos bázisú logaritmusok összege és különbsége helyettesíthető egyetlen logaritmussal.

Külön szeretném emlékeztetni az elfogadható értékek tartományára. Mivel az eredeti egyenlőtlenségben több logaritmus is lehet, mindegyik DPV-jét meg kell találni. Így a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának általános sémája a következő:

Határozza meg az egyenlőtlenségben szereplő egyes logaritmusok ODZ-jét;
Csökkentse az egyenlőtlenséget a standardra a logaritmusok összeadási és kivonási képleteivel;
Oldja meg a kapott egyenlőtlenséget a fenti séma szerint!

Egy feladat. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Keresse meg az első logaritmus definíciós tartományát (ODZ):

Intervallum módszerrel oldjuk meg. A számláló nulláinak megkeresése:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Ezután - a nevező nullái:

x − 1 = 0;
x = 1.

A koordináta nyílon nullákat és jeleket jelölünk:

Azt kapjuk, hogy x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Az ODZ második logaritmusa ugyanaz lesz. Ha nem hiszi, megnézheti. Most átalakítjuk a második logaritmust úgy, hogy az alap kettő legyen:

Amint látja, a bázison és a logaritmus előtti hármasok összezsugorodtak. Szerezzen két logaritmust azonos alappal. Tegyük össze őket:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Megkaptuk a standard logaritmikus egyenlőtlenséget. A képlet segítségével megszabadulunk a logaritmusoktól. Mivel az eredeti egyenlőtlenségben kisebb, mint előjel van, a kapott racionális kifejezésnek is kisebbnek kell lennie nullánál. Nekünk van:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Két készletet kaptunk:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Válaszjelölt: x ∈ (−1; 3).

Még át kell lépni ezeket a halmazokat - megkapjuk az igazi választ:

Minket a halmazok metszéspontja érdekel, ezért mindkét nyílon árnyékolt intervallumot választunk. Azt kapjuk, hogy x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - minden pont ki van szúrva.

Gondolod, hogy van még időd a vizsgáig, és lesz időd felkészülni? Talán ez így van. De mindenesetre minél korábban kezdi el a hallgató a képzést, annál sikeresebben teszi le a vizsgákat. Ma úgy döntöttünk, hogy a logaritmikus egyenlőtlenségeknek szentelünk egy cikket. Ez az egyik feladat, ami pluszpontszerzési lehetőséget jelent.

Tudod már, mi az a logaritmus (log)? Nagyon reméljük. De még ha nem is kap választ erre a kérdésre, ez nem probléma. Nagyon könnyű megérteni, mi az a logaritmus.

Miért pont 4? A 3-as számot ekkora hatványra kell emelnie, hogy 81-et kapjon. Ha megérti az elvet, folytathatja az összetettebb számításokat.

Néhány éve átmentél az egyenlőtlenségeken. És azóta folyamatosan találkozol velük matematikában. Ha problémái vannak az egyenlőtlenségek feloldásával, nézze meg a megfelelő részt.
Most, amikor a fogalmakkal külön-külön megismerkedtünk, áttérünk általánosságban való megfontolásukra.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenség.

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenségek nem korlátozódnak erre a példára, van még három, csak különböző előjelekkel. Miért van erre szükség? Hogy jobban megértsük, hogyan lehet logaritmusokkal megoldani az egyenlőtlenséget. Most adunk egy alkalmazhatóbb példát, még mindig elég egyszerű, a bonyolult logaritmikus egyenlőtlenségeket későbbre hagyjuk.

Hogyan lehet megoldani? Minden az ODZ-vel kezdődik. Többet kell tudnia róla, ha mindig könnyen fel akarja oldani az egyenlőtlenségeket.

Mi az ODZ? DPV logaritmikus egyenlőtlenségekre

A rövidítés az érvényes értékek tartományát jelenti. A vizsgafeladatokban gyakran felbukkan ez a megfogalmazás. A DPV nem csak logaritmikus egyenlőtlenségek esetén hasznos az Ön számára.

Nézze meg újra a fenti példát. Az ODZ-t ennek alapján fogjuk figyelembe venni, hogy megértse az elvet, és a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása ne vethessen fel kérdéseket. A logaritmus definíciójából következik, hogy 2x+4-nek nagyobbnak kell lennie nullánál. Esetünkben ez a következőket jelenti.

Ennek a számnak definíció szerint pozitívnak kell lennie. Oldja meg a fent bemutatott egyenlőtlenséget! Ez akár szóban is megtehető, itt egyértelmű, hogy X nem lehet kisebb 2-nél. Az egyenlőtlenség megoldása az elfogadható értékek tartományának meghatározása lesz.
Most térjünk át a legegyszerűbb logaritmikus egyenlőtlenség megoldására.

Az egyenlőtlenség mindkét részéből kihagyjuk magukat a logaritmusokat. Mi marad így nekünk? egyszerű egyenlőtlenség.

Könnyen megoldható. X-nek nagyobbnak kell lennie, mint -0,5. Most a két kapott értéket egyesítjük a rendszerben. Ily módon

Ez lesz a figyelembe vett logaritmikus egyenlőtlenség megengedett értékeinek tartománya.

Miért van egyáltalán szükség ODZ-re? Ez egy lehetőség a helytelen és lehetetlen válaszok kiszűrésére. Ha a válasz nincs az elfogadható értékek tartományán belül, akkor a válasznak egyszerűen nincs értelme. Ezt érdemes sokáig emlékezni, mivel a vizsgán gyakran meg kell keresni az ODZ-t, és ez nem csak a logaritmikus egyenlőtlenségekre vonatkozik.

Algoritmus logaritmikus egyenlőtlenség megoldására

A megoldás több lépésből áll. Először is meg kell találni az elfogadható értékek tartományát. Két érték lesz az ODZ-ben, ezt fentebb figyelembe vettük. A következő lépés magának az egyenlőtlenségnek a feloldása. A megoldási módok a következők:

szorzóhelyettesítési módszer;
bomlás;
racionalizálási módszer.

A helyzettől függően a fenti módszerek egyikét kell alkalmazni. Menjünk egyenesen a megoldáshoz. Eláruljuk a legnépszerűbb módszert, amely szinte minden esetben alkalmas USE feladatok megoldására. Ezután megvizsgáljuk a dekompozíciós módszert. Segíthet, ha egy különösen "trükkös" egyenlőtlenséggel találkozik. Tehát a logaritmikus egyenlőtlenség megoldásának algoritmusa.

Megoldási példák :

Nem hiába vettünk pontosan egy ilyen egyenlőtlenséget! Ügyeljen az alapra. Ne feledje: ha nagyobb egynél, akkor az érvényes értékek tartományának megtalálásakor az előjel ugyanaz marad; ellenkező esetben az egyenlőtlenség jelét meg kell változtatni.

Ennek eredményeként az egyenlőtlenséget kapjuk:

Most hozzuk a bal oldalt az egyenlet nullával egyenlő alakjába. A „kevesebb, mint” jel helyett az „egyenlő”-t tesszük, megoldjuk az egyenletet. Így megtaláljuk az ODZ-t. Reméljük, nem lesz gondja egy ilyen egyszerű egyenlet megoldásával. A válaszok -4 és -2. Ez nem minden. Ezeket a pontokat meg kell jelenítenie a diagramon, helyezze el a „+” és „-” jeleket. Mit kell ehhez tenni? Helyettesítse be az intervallumokból származó számokat a kifejezésbe. Ahol az értékek pozitívak, ott a „+” jelet írjuk.

Válasz: x nem lehet nagyobb mint -4 és kisebb mint -2.

Csak a bal oldalon találtuk meg az érvényes értékek tartományát, most meg kell találnunk a jobb oldal érvényes értéktartományát. Ez semmiképpen sem könnyebb. Válasz: -2. Mindkét fogadott területet keresztezzük.

És csak most kezdjük megoldani magát az egyenlőtlenséget.

Egyszerűsítsük le amennyire csak lehet, hogy könnyebb legyen a döntés.

A megoldásban ismét az intervallum módszert használjuk. Hagyjuk a számításokat, nála az előző példából már minden világos. Válasz.

De ez a módszer akkor megfelelő, ha a logaritmikus egyenlőtlenségnek ugyanazok az alapjai.

A különböző bázisú logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása magában foglalja a kezdeti redukciót egy bázisra. Ezután használja a fenti módszert. De van egy bonyolultabb eset is. Tekintsük a logaritmikus egyenlőtlenségek egyik legösszetettebb típusát.

Változó bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek

Hogyan lehet megoldani az ilyen jellemzőkkel bíró egyenlőtlenségeket? Igen, és ilyenek is megtalálhatók a vizsgán. Ha az egyenlőtlenségeket a következő módon oldja meg, az oktatási folyamatára is jótékony hatással lesz. Nézzük meg részletesen a kérdést. Tegyük félre az elméletet, és menjünk egyenesen a gyakorlatba. A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásához elég egyszer megismerkedni a példával.

A bemutatott forma logaritmikus egyenlőtlenségének megoldásához le kell redukálni a jobb oldalt az azonos bázisú logaritmusra. Az elv hasonló átmenetekhez hasonlít. Ennek eredményeként az egyenlőtlenség így fog kinézni.

Valójában hátra van egy logaritmus nélküli egyenlőtlenségrendszer létrehozása. A racionalizálási módszerrel áttérünk egy ekvivalens egyenlőtlenségi rendszerre. Magát a szabályt akkor fogja megérteni, ha helyettesíti a megfelelő értékeket, és követi azok változásait. A rendszernek a következő egyenlőtlenségei lesznek.

A racionalizálási módszerrel az egyenlőtlenségek megoldása során a következőkre kell emlékezni: az alapból ki kell vonni egyet, x a logaritmus definíciója szerint az egyenlőtlenség mindkét részéből (jobbról balról) kivonódik, a két kifejezést megszorozunk és az eredeti előjel alá állítjuk a nullához képest.

A további megoldást intervallum módszerrel hajtjuk végre, itt minden egyszerű. Fontos, hogy megértse a megoldási módok különbségeit, akkor minden könnyen sikerülni fog.

A logaritmikus egyenlőtlenségeknek sok árnyalata van. Közülük a legegyszerűbbeket elég könnyű megoldani. Hogyan lehet úgy tenni, hogy mindegyik probléma nélkül megoldható legyen? Ebben a cikkben már minden választ megkaptál. Most hosszú gyakorlat vár rád. Folyamatosan gyakorolja a különböző problémák megoldását a vizsgán belül, és Ön képes lesz a legmagasabb pontszámot elérni. Sok sikert a nehéz munkádhoz!

Egy egyenlőtlenséget logaritmikusnak nevezünk, ha logaritmikus függvényt tartalmaz.

A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának módszerei két dolog kivételével nem különböznek azoktól.

Először is, amikor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére térünk át, az következik, hogy kövessük a keletkező egyenlőtlenség jelét. Ez betartja a következő szabályt.

Ha a logaritmikus függvény alapja nagyobb, mint $1$, akkor a logaritmikus egyenlőtlenségről a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségére áttérve az egyenlőtlenség előjele megmarad, ha pedig kisebb, mint $1$, akkor megfordul.

Másodszor, bármely egyenlőtlenség megoldása egy intervallum, és ezért a szublogaritmikus függvények egyenlőtlenségének megoldásának végén két egyenlőtlenségből álló rendszert kell alkotni: ennek a rendszernek az első egyenlőtlensége az egyenlőtlenség egyenlőtlensége lesz. szublogaritmikus függvények, a második pedig a logaritmikus egyenlőtlenségben szereplő logaritmikus függvények definíciós tartományának intervalluma lesz.