átkelés kettő készletek az összes halmazának nevezzük közös elemek ezeket a készleteket.

Példa :
Vegyük a 12-es és 18-as számokat. Keresse meg osztóikat, jelölje az osztók teljes halmazát az A és B betűkkel:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Látjuk, hogy a 12-es és 18-as számoknak közös osztói vannak: 1, 2, 3, 6. Jelöljük őket C betűvel:
C = (1, 2, 3, 6).

A C halmaz az A és B halmazok metszéspontja. Ezt így írják:
A ∩B=C.

Ha két halmaznak nincsenek közös elemei, akkor ezeknek a halmazoknak a metszéspontja ez üres Egy csomó.
Az üres halmazt Ø jellel jelöljük, és a következő jelölést használjuk:

X ∩Y = Ø.

Unió két szett az ezen halmazok összes eleméből álló halmaz.

Például térjünk vissza a 12-es és 18-as számokhoz, valamint ezek A és B elemeinek halmazához. Először írjuk ki az A halmaz elemeit, majd adjuk hozzá a B halmaz azon elemeit, amelyek nincsenek benne a halmazban. A. Megkapjuk azon elemek halmazát, amelyekben A és B közös. Jelöljük D betűvel:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

A D halmaz az A és B halmazok uniója. Így írjuk le:

D=A U b.

A halmazokon végzett fő műveletek a következők kiegészítés (Unió), szorzás (kereszteződés) és kivonás . Ezek a műveletek, mint később látni fogjuk, nem azonosak a számokon végrehajtott azonos nevű műveletekkel.

Meghatározás : Egyesület Két A és B halmaz (vagy összege) egy olyan halmaz, amely tartalmazza az összes olyan és csak olyan elemet, amelyek legalább az egyik halmaz elemei. Az A és B halmazok unióját A  B-vel jelöljük.

Ez a definíció azt jelenti, hogy az A és B halmazok összeadása az összes elemük egyesítése egy A  B halmazba. Ha mindkét halmazban ugyanazok az elemek szerepelnek, akkor ezek az elemek csak egyszer lépnek be az unióba.

A három vagy több halmaz egyesülését hasonlóan definiáljuk.

Meghatározás : átkelés Két A és B halmaz (vagy szorzása) olyan halmaz, amely azokból és csak azokból az elemekből áll, amelyek egyszerre tartoznak az A és B halmazhoz. Az A és B halmazok metszéspontját A  B-vel jelöljük.

Három vagy több halmaz metszéspontját hasonlóan definiáljuk.

Meghatározás : Az A és B halmazok különbsége az A halmaz azon elemeiből és csak azon elemeiből álló halmaz, amelyek nem tartoznak a B halmazba. Az A és B halmazok különbségét A \ B jelöléssel jelöljük. Az a művelet, amellyel a halmazok különbsége megtalálását kivonásnak nevezzük.

Ha B  A, akkor az A \ B különbséget a B halmaz és az A halmaz komplementerének nevezzük. Ha a B halmaz az U univerzális halmaz egy részhalmaza, akkor B és U komplementerét jelöljük, azaz = U\B.

Feladatok :

Tekintsünk három készletet N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) és P=(1,3,9,11). Megtalálni

1. A= N  M

   B=N M

   C=N P

Válaszoljon arra, hogy az adott halmazokon melyik műveletet kell használni az alábbiakban leírt halmazok megszerzéséhez!

1. Adott: DE- sok minden kar hallgatói, NÁL NÉL– sok tanulmányi adóssággal rendelkező diák. Határozza meg Val vel- a kar sok sikeres hallgatója.

   Adott: DE- a kar valamennyi kiváló hallgatója, NÁL NÉL- sok olyan hallgató, akinek nincs tanulmányi adóssága, Val vel a legalább egy hármassal rendelkező sikeres tanulók halmaza. Határozza meg D- nagyon sok a kar hallgatója, akiknek van ideje hármasok nélkül.

   Adott: U a tanulócsoport összes diákjának halmaza, DE- sok testnevelésből kreditet kapott hallgató ebből a csoportból, NÁL NÉL- ugyanannak a csoportnak sok diákja, akik sikeresen teljesítették a Haza történetének vizsgáját. Határozza meg Val vel ugyanazon tanulmányi csoportból származó hallgatók összessége, akik mindkét tudományterületen kiválóak, D– az azonos csoportba tartozó tanulók halmaza, akik legalább az egyik teszten „megbuktak”.

1. Halmazok egyesülési és metszésponti tulajdonságai

A halmazok egyesülésének és metszetének definícióiból következnek ezeknek a műveleteknek a tulajdonságai, amelyek bármely halmazra érvényes egyenlőségek formájában jelennek meg. A , B és Val vel .

A  B = B  A - az unió kommutativitása;

A  B = B  A - a metszéspont kommutativitása;

A  (B  Val vel ) = (A  B )  Val vel - egyesületi társulás;

A  (B  Val vel ) = (A  B )  Val vel - a kereszteződés asszociativitása;

A  (B  Val vel ) = (A  B )  (A  VAL VEL) - a kereszteződés megoszlása ​​az unióhoz képest;

A  (B  Val vel ) = (A  B )  (A  VAL VEL) - az unió megoszlása ​​a kereszteződés tekintetében;

Abszorpciós törvények:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Megjegyzendő, hogy a különbség nem rendelkezik a kommutativitás és az asszociativitás tulajdonságaival, azaz A \ B ≠ B \ A és A \ (B \ Val vel ) ≠ (A \ B ) \ Val vel . Ez könnyen ellenőrizhető az Euler-Venn diagramok elkészítésével.

Készletek. Műveletek a készleteken.
Kijelző beállítása. Állítsa be a teljesítményt

Üdvözöllek benneteket a magasabb algebra első leckén, amely ... az oldal ötödik évfordulójának előestéjén jelent meg, miután már több mint 150 matematikai cikket készítettem, és az anyagaim egy befejezett tanfolyamon kezdtek formát ölteni. . Remélem azonban, hogy nem késtem el - elvégre sok diák csak az államvizsgák előadásaiba kezd =)

A vyshmat egyetemi kurzusa hagyományosan három pilléren nyugszik:

– matematikai elemzés (határait, származékai stb.)

– és végül a 2015/16-os szezon tanév tanórákkal nyílik meg Algebra bábuknak, A matematikai logika elemei, amelyen elemezzük a rész alapjait, valamint megismerkedünk a matematikai alapfogalmakkal és a közös jelölésekkel. Azt kell mondanom, hogy más cikkekben nem élek vissza a "cikikkel" , ez azonban csak egy stílus, és természetesen minden állapotban fel kell ismerni őket =). Tájékoztatom az új olvasókat, hogy óráim gyakorlatorientáltak, és a következő anyagot ennek jegyében mutatom be. A teljesebb és tudományos információkért lásd a tankönyveket. Megy:

Egy csomó. Mutass példákat

A halmaz nem csak a matematika, hanem az egész világ alapvető fogalma. Vegyél azonnal bármilyen tárgyat a kezedbe. Itt van egy készlet, amely egy elemből áll.

NÁL NÉL tág értelemben, a halmaz olyan objektumok (elemek) gyűjteménye, amelyeket egészként értünk(bizonyos jelek, kritériumok vagy körülmények szerint). Ráadásul ezek nem csak anyagi tárgyak, hanem betűk, számok, tételek, gondolatok, érzelmek stb.

A halmazokat általában nagy jelöli latin betűkkel (opcióként, alsó indexekkel: stb.), és elemei kapcsos zárójelben vannak írva, például:

- az orosz ábécé betűkészlete;
- Egy csomó természetes számok;

Nos, ideje kicsit megismerni egymást:
– sok diák az 1. sorban

… Örülök, hogy látom komoly és koncentrált arcodat =)

Beállítja és van végső(véges számú elemből áll), és egy halmaz egy példa végtelen készletek. Emellett elméletben és gyakorlatban az ún üres készlet:

olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemet.

A példa jól ismert számodra - a vizsgán a halmaz gyakran üres =)

Egy elem készletbeli tagságát a szimbólum jelzi, például:

- a "be" betű az orosz ábécé betűkészletéhez tartozik;
- a "béta" betű nem az orosz ábécé betűkészletéhez tartozik;
– az 5-ös szám a természetes számok halmazába tartozik;
- de az 5,5-ös szám már nincs meg;
- Voldemar nem ül az első sorban (és még inkább nem tartozik a halmazhoz vagy =)).

Az absztrakt és nem annyira algebrában a halmaz elemeit kis latin betűkkel jelöljük és ennek megfelelően az összetartozás ténye a következő stílusban kerül megfogalmazásra:

– az elem a halmazhoz tartozik.

A fenti halmazok írva vannak közvetlen átvitel elemeket, de nem ez az egyetlen módja. Sok halmaz kényelmesen meghatározható néhány használatával jel (s), ami velejárója minden eleméhez. Például:

a 100-nál kisebb természetes számok halmaza.

Emlékezik: egy hosszú függőleges pálca a verbális forgást fejezi ki "melyik", "ilyen". Elég gyakran kettőspontot használnak helyette: - olvassuk formálisabban a bejegyzést: "a természetes számok halmazához tartozó elemek halmaza, oly módon, hogy » . Szép munka!

Ez a halmaz felírható közvetlen felsorolással is:

További példák:
- és ha elég sok diák van az 1. sorban, akkor egy ilyen rekord sokkal kényelmesebb, mint a közvetlen listázásuk.

intervallumhoz tartozó számok halmaza. Vegye figyelembe, hogy ez a készletre vonatkozik érvényes számok (róluk később), amelyet már nem lehet vesszővel elválasztva felsorolni.

Megjegyzendő, hogy egy halmaz elemeinek nem kell "homogénnek" vagy logikailag összefüggőnek lenniük. Vegyünk egy nagy zacskót, és kezdjük el véletlenszerűen beletömni. különféle tárgyakat. Ebben nincs szabályszerűség, de ennek ellenére sokféle témáról beszélünk. Képletesen szólva a készlet egy külön „csomag”, amelyben egy bizonyos tárgyhalmaz „a sors akaratából” kiderült.

Részhalmazok

Magából a névből szinte minden kiderül: a készlet az részhalmaz set, ha a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Más szavakkal, egy halmazt egy halmaz tartalmaz:

Az ikont ikonnak nevezik befogadás.

Térjünk vissza a példához, amelyben az orosz ábécé betűkészlete található. Jelölje - a magánhangzóinak halmaza. Azután:

Kiválasztható a mássalhangzó betűk egy részhalmaza is, és általában egy tetszőleges számú, véletlenszerűen (vagy nem véletlenszerűen) vett cirill betűből álló részhalmaz. Minden cirill betű a halmaz részhalmaza.

A részhalmazok közötti kapcsolatok kényelmesen ábrázolhatók feltételes használatával geometriai séma, ami az úgynevezett Euler-körök.

Legyen hallgatók halmaza az 1. sorban, legyen csoportos hallgatók halmaza és egyetemi hallgatók halmaza. Ekkor a zárványok viszonya a következőképpen ábrázolható:

Egy másik egyetem hallgatóinak halmazát körként kell ábrázolni, amely nem metszi a külső kört; az ország diákjainak sokasága egy olyan körben, amely mindkét kört tartalmazza, és így tovább.

Tipikus példa a numerikus halmazok figyelembevételekor a zárványokat figyeljük meg. Ismételjük meg az iskolai anyagot, amit fontos szem előtt tartani a felsőbb matematika tanulása során:

Numerikus halmazok

Tudniillik történelmileg a természetes számok jelentek meg először, melyeket anyagi tárgyak (emberek, csirkék, birkák, érmék stb.) megszámlálására terveztek. Ezzel a készlettel már találkoztunk a cikkben, csak az a helyzet, hogy most kissé módosítjuk a megnevezését. A helyzet az, hogy a numerikus halmazokat általában félkövér, stilizált vagy vastagított betűk jelölik. Inkább félkövért használok:

Néha a nulla szerepel a természetes számok halmazában.

Ha ugyanazokat a számokat ellentétes előjellel és nullával adjuk a halmazhoz, akkor azt kapjuk egész számok halmaza:

A racionalizálók és a lusták ikonokkal írják le elemeit "plusz minusz":))

Teljesen világos, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza:
- mivel a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Így minden természetes szám nyugodtan nevezhető egész számnak.

A halmaz neve is "beszélő": egész számok - ez azt jelenti, hogy nincs tört.

És amint egész számok, azonnal felidézzük a 2, 3, 4, 5 és 10-gyel való oszthatóság fontos jeleit, amelyekre szinte minden nap szükség lesz a gyakorlati számításokban:

Egy egész szám osztható 2-vel maradék nélkül ha 0, 2, 4, 6 vagy 8-ra végződik (azaz bármilyen páros számjegy). Például számok:
400, -1502, -24, 66996, 818 - 2-vel osztva maradék nélkül.

És azonnal elemezzük a "kapcsolódó" jelet: egész osztható 4-gyel ha az utolsó két számjegyéből álló szám (az ő sorrendjükben) osztható 4-gyel.

400 osztható 4-gyel (mert a 00 (nulla) osztható 4-gyel);
-1502 - nem osztható 4-gyel (mert a 02 (kettő) nem osztható 4-gyel);
-24 természetesen osztható 4-gyel;
66996 – osztható 4-gyel (mert a 96 osztható 4-gyel);
818 - nem osztható 4-gyel (mert a 18 nem osztható 4-gyel).

Adja meg saját egyszerű indoklását ennek a ténynek.

A 3-mal való oszthatóság kicsit nehezebb: egy egész szám osztható 3-mal maradék nélkül, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Ellenőrizzük, hogy a 27901 szám osztható-e 3-mal. Ehhez összegezzük a számait:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – nem osztható 3-mal
Következtetés: 27901 nem osztható 3-mal.

Adjuk össze a -825432 szám számjegyeit:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - osztható 3-mal
Következtetés: a -825432 szám osztható 3-mal

Az egész szám osztható 5-tel, ha öttel vagy nullával végződik:
775, -2390 - osztható 5-tel

Az egész szám osztható 10-zel ha nullára végződik:
798400 – osztható 10-zel (és nyilván 100-nál). Nos, valószínűleg mindenki emlékszik - a 10-zel való osztáshoz csak el kell távolítania egy nullát: 79840

Vannak 6-tal, 8-mal, 9-el, 11-gyel stb. oszthatóság jelei is, de ezekből gyakorlatilag nincs gyakorlati értelme =)

Meg kell jegyezni, hogy a felsorolt ​​(olyan egyszerűnek tűnő) kritériumok szigorúan bizonyítottak számelmélet. Az algebra ezen része általában elég érdekes, de a tételei... csak egy modern kínai végrehajtás =) És Voldemar az utolsó asztalnál elég volt... de nem baj, hamarosan az éltetővel fogunk foglalkozni gyakorlat =)

A következő számkészlet az Egy csomó racionális számok :
- azaz bármely racionális szám ábrázolható egész számmal rendelkező törtként számlálóés természetes névadó.

Nyilvánvalóan az egész számok halmaza az részhalmaz racionális számok halmazai:

Valójában bármely egész szám ábrázolható racionális tört, Például: stb. Így egy egész szám teljesen jogosan nevezhető racionális számnak.

A racionális szám jellegzetes "azonosító jele" az a tény, hogy a számlálónak a nevezővel való osztásakor vagy
egy egész szám,

vagy
– végső decimális,

vagy
- végtelen időszakos decimális (lehet, hogy az újrajátszás nem indul azonnal).

Csodálja meg a felosztást, és próbálja meg a lehető legkevesebbet végrehajtani ezt a műveletet! A szervezeti cikkben Felsőfokú matematika bábuknakés más leckéken többször is megismételtem, ismételtem és ismétlem ezt a mantrát:

NÁL NÉL felsőbb matematika arra törekszünk, hogy minden műveletet közönséges (helyes és nem megfelelő) törtben hajtsunk végre

Egyetért azzal, hogy a törtekkel sokkal kényelmesebb foglalkozni, mint a törtekkel decimális szám 0,375 (a végtelen törtekről nem is beszélve).

Menjünk tovább. A racionálisak mellett sok van irracionális számok, amelyek mindegyike végtelenként ábrázolható nem időszakos tizedes tört. Más szóval, az irracionális számok "végtelen farkában" nincs szabályszerűség:
("Leo Tolsztoj születési éve" kétszer)
stb.

Rengeteg információ van a híres "pi" és "e" állandókról, ezért nem foglalkozom velük.

A racionális és irracionális számok uniója kialakul valós (valós) számok halmaza:

- ikon egyesületek készletek.

A halmaz geometriai értelmezése ismerős számodra - ez egy számsor:


Minden valós szám megfelel a számegyenes egy bizonyos pontjának, és fordítva - a számegyenes minden pontja szükségszerűen megfelel valamilyen valós számnak. Lényegében most megfogalmaztam folytonossági tulajdonság valós számok, ami bár nyilvánvalónak tűnik, a matematikai elemzés során szigorúan bebizonyosodik.

A számegyenest végtelen intervallum is jelöli, a jelölés vagy azzal egyenértékű jelölés pedig azt a tényt szimbolizálja, hogy a valós számok halmazába tartozik. (vagy egyszerűen "x" - valós szám).

A beágyazásoknál minden átlátható: a racionális számok halmaza az részhalmaz valós számok halmazai:
így minden racionális szám nyugodtan nevezhető valós számnak.

Az irracionális számok halmaza is részhalmaz valós számok:

Ugyanakkor a részhalmazok ill ne keresztezze egymást- vagyis egyetlen irracionális szám sem ábrázolható racionális törtként.

Vannak más számrendszerek? Létezik! Ez pl. komplex számok, mellyel azt javaslom, hogy a következő napokban vagy akár órákban szó szerint olvass.

Addig is rátérünk a halmazműveletek tanulmányozására, amelynek szelleme már a jelen rész végén is megnyilvánult:

Műveletek a készleteken. Venn diagramok

A Venn-diagramok (hasonlóan az Euler-körökhöz) a halmazokkal végzett műveletek sematikus ábrázolása. Ismételten figyelmeztetem, hogy nem térek ki minden műveletre:

1) útkereszteződés Ésés jelzéssel van ellátva

A halmazok metszetét halmaznak nevezzük, amelynek minden eleme hozzátartozik és készlet , és meg . Durván szólva a metszéspont a halmazok gyakori része:

Tehát például készleteknél:

Ha a halmazoknak nincsenek azonos elemei, akkor a metszéspontjuk üres. Most találkoztunk egy ilyen példával, amikor numerikus halmazokat vizsgáltunk:

A racionális és irracionális számok halmazai sematikusan ábrázolhatók két nem átfedő körrel.

A kereszteződés művelete is alkalmazható több készletek, különösen a Wikipédiának van jó példa három ábécé betűkészleteinek metszéspontjára.

2) Unió halmazokat logikai kapcsolat jellemzi VAGYés jelzéssel van ellátva

A halmazok uniója egy halmaz, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik vagy készlet:

Írjuk fel a halmazok unióját:
- durván szólva itt fel kell sorolni a és halmazok összes elemét, és ugyanazokat az elemeket (ebben az esetben a halmazok metszéspontjában lévő egység) egyszer meg kell adni.

De a halmazok természetesen nem metszik egymást, mint a racionális és irracionális számok esetében:

Ebben az esetben két nem metsző árnyékolt kört rajzolhat.

Az egyesülési művelet több halmazra is alkalmazható, például ha , akkor:

A számoknak nem kell növekvő sorrendben lenniük. (Ezt pusztán esztétikai okokból tettem). Minden további nélkül az eredményt így írhatjuk fel:

3) különbség és nem tartozik a készletbe:

A különbség a következőképpen olvasható: „a nélkül lenni”. És pontosan ugyanúgy lehet vitatkozni: vegyük figyelembe a halmazokat. A különbség felírásához a készletben lévő összes elemet „ki kell dobni” a készletből:

Példa numerikus halmazokra:
- itt minden természetes szám ki van zárva az egész számok halmazából, maga a jelölés pedig így hangzik: "az egész számok halmaza a természetes számok halmaza nélkül."

Tükör: különbség halmazokat, és hívja meg azt a halmazt, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik és nem tartozik a készletbe:

Ugyanazokhoz a készletekhez
- a készletből "kidobta", ami a készletben van.

De ez a különbség üresnek bizonyul: . És valójában - ha az egész számokat kizárjuk a természetes számok halmazából, akkor valójában semmi sem marad :)

Ezenkívül néha fontolja meg szimmetrikus a különbség, amely egyesíti a két "félholdat":
- más szóval ez "minden, csak nem a halmazok metszéspontja".

4) Descartes (közvetlen) szorzat halmazok, és halmaznak nevezzük minden szabályos párok, amelyekben az elem és az elem

A halmazok derékszögű szorzatát írjuk:
- célszerű a párokat a következő algoritmus szerint felsorolni: „először a halmaz minden elemét egymás után csatoljuk a halmaz 1. eleméhez, majd a halmaz minden elemét a halmaz 2. eleméhez csatoljuk, majd csatolja a készlet minden elemét a készlet 3. eleméhez»:

Tükör: Descartes termék halmazok, és az összes halmazának nevezik szabályos párok, amelyekben . Példánkban:
- itt a rögzítési séma hasonló: először a készlet összes elemét egymás után csatoljuk a „mínusz egyhez”, majd a „de”-hez - ugyanazok az elemek:

De ez pusztán a kényelem kedvéért - mindkét esetben tetszőleges sorrendben fel lehet sorolni a párokat - fontos ide leírni minden lehetséges párok.

És most a program fénypontja: a karteziánus termék nem más, mint a natívunkban található pontok halmaza Derékszögű koordinátarendszer .

Gyakorlatönrögzítő anyagokhoz:

Hajtsa végre a műveleteket, ha:

Egy csomó célszerű elemeinek felsorolásával leírni.

És egy divat a valós számok intervallumával:

Emlékezzünk vissza, hogy a szögletes zárójel azt jelenti befogadás számokat az intervallumba, és kerek - azt kirekesztés, vagyis a "mínusz egy" a halmazhoz tartozik, a "három" nem a készlethez tartozik. Próbáld kitalálni, mi ezeknek a készleteknek a derékszögű szorzata. Ha nehézségeid vannak, kövesd a rajzot ;)

Gyors megoldás feladatok az óra végén.

Állítsa be a kijelzőt

Kijelző set to set is szabály, amely szerint a halmaz minden eleme a halmaz egy eleméhez (vagy elemeihez) van társítva. Abban az esetben, ha megfelel az egyetlen elem, ezt a szabályt nevezzük világosan megfogalmazott funkció vagy csak funkció.

A funkciót, mint sokan tudják, leggyakrabban betűvel jelölik - társítja mindenkinek elem az egyetlen érték, amely a halmazhoz tartozik.

Nos, most ismét megzavarok sok 1. sor diákot, és 6 témát ajánlok nekik absztraktokhoz (készlet):

Telepítve (akaratlanul vagy akaratlanul =)) a szabály a halmaz minden tanulóját a halmaz absztraktjának egyetlen témájához rendeli.

…és valószínűleg nem is tudtad elképzelni, hogy egy függvényargumentum szerepét játszhatod =) =)

A halmazforma elemei tartomány függvények (jelölése ), és a halmaz elemei - hatótávolság függvények (jelölése ).

A halmazok konstruált leképezésének van egy nagyon fontos jellemzője: az 1-1 vagy bijektív(bijekció). NÁL NÉL ezt a példát ez azt jelenti mindenkinek a tanuló igazodik egy egyedi az esszé témája, és fordítva - az egyes egy és csak egy tanulót rögzít az absztrakt témája.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy minden leképezés bijektív. Ha a 7. tanulót hozzáadjuk az 1. sorhoz (a készlethez), akkor az egy-egy levelezés megszűnik - vagy az egyik tanuló téma nélkül marad (egyáltalán nincs kijelző), vagy valamelyik téma egyszerre két diákhoz kerül. Az ellenkező helyzet: ha egy hetedik témát adunk a halmazhoz, akkor az egy-egy leképezés is elvész - az egyik téma igénytelen marad.

Kedves hallgatók, az 1. sorban ne keseredjetek el - az óra után megmaradt 20 fő elmegy az egyetem területét megtisztítani az őszi lomboktól. Az ellátási vezető húsz golikot ad ki, utána egy-egy levelezés jön létre a csoport fő része és a seprűk között ..., és Voldemarnak is lesz ideje futni a boltba =)). egyedi"y", és fordítva - az "y" bármely értékére egyértelműen visszaállíthatjuk az "x"-et. Így ez egy bijektív függvény.

! Minden esetre kiküszöbölök egy esetleges félreértést: a terjedelmi állandó fenntartásom nem véletlen! Előfordulhat, hogy a függvény nem minden "x"-re van definiálva, sőt, ebben az esetben is egy az egyhez. Tipikus példa:

De at másodfokú függvény semmi ilyesmi nem figyelhető meg, először is:
- azaz különféle jelentések"x" jelent meg benne azonos jelentése "y"; és másodszor: ha valaki kiszámolta a függvény értékét, és azt mondta nekünk, hogy , akkor nem egyértelmű - ezt az „y”-t a -nál vagy -nél kaptuk? Mondanunk sem kell, hogy a kölcsönös egyértelműségnek itt még szaga sincs.

2. feladat: Kilátás alapvető elemi függvények grafikonjaiés írjunk ki bijektív függvényeket egy papírra. Ellenőrző lista a lecke végén.

Állítsa be a teljesítményt

Az intuíció azt sugallja, hogy a kifejezés a halmaz méretét, nevezetesen elemeinek számát jellemzi. És az intuíció nem téveszt meg minket!

Az üres halmaz számossága nulla.

A készlet kardinalitása hat.

Az orosz ábécé betűkészletének ereje harminchárom.

Általában a hatalom bármely végső halmaz egyenlő ennek a halmaznak az elemeinek számával.

... talán nem mindenki érti teljesen, hogy mi az végső halmaz - ha elkezdi számolni ennek a halmaznak az elemeit, akkor előbb-utóbb a számlálás véget ér. Amit hívnak, és a kínaiak egyszer elfogynak.

Természetesen a halmazokat számosságban össze lehet hasonlítani, és ilyen értelmű egyenlőségüket ún egyenlő hatalom. Az egyenértékűség meghatározása a következő:

Két halmaz akkor ekvivalens, ha közöttük egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg..

A tanulók halmaza egyenértékű az absztrakt témák halmazával, az orosz ábécé betűkészlete egyenértékű bármely 33 elemből álló halmazzal stb. Vedd észre, hogy pontosan mit bárki 33 elemből álló halmaz – ebben az esetben csak a számuk számít. Az orosz ábécé betűit nemcsak sok számmal lehet összehasonlítani
1, 2, 3, ..., 32, 33, de általában is 33 tehénből álló csordával.

A dolgok sokkal érdekesebbek a végtelen halmazokkal. A végtelenség is más! ...zöld és piros A „legkisebb” végtelen halmazok számolás készletek. Ha nagyon egyszerű, akkor egy ilyen halmaz elemei számozhatók. A referenciapélda a természetes számok halmaza . Igen – végtelen, de az ALAPELV minden elemének van egy száma.

Rengeteg példa van. Különösen az összes páros természetes szám halmaza megszámlálható. Hogyan kell bizonyítani? Meg kell állapítani egy-egy megfelelését a természetes számok halmazával, vagy egyszerűen meg kell számozni az elemeket:

Egy-egy megfeleltetés jön létre, ezért a halmazok egyenértékűek és a halmaz megszámlálható. Paradox, de a hatalom szempontjából - annyi páros természetes szám van, mint természetes!

Az egész számok halmaza is megszámlálható. Ennek elemei számozhatók, például így:

Ráadásul a racionális számok halmaza is megszámlálható. . Mivel a számláló egész szám (és ahogy az imént látható, számozhatók is), és a nevező természetes szám, akkor előbb-utóbb bármelyik racionális törthez „ráérünk”, és számot rendelünk hozzá.

De a valós számok halmaza már számtalan, azaz elemei nem számozhatók. Ezt a tényt bár nyilvánvaló, a halmazelmélet szigorúan bizonyítja. A valós számok halmazának számosságát is nevezzük folytonosság, és a megszámlálható halmazokhoz képest ez egy "végtelenebb" halmaz.

Mivel a halmaz és a számsor között egy-egy megfelelés van (lásd fent), akkor a valós egyenes ponthalmaza is számtalan. Ráadásul egy kilométeres és egy milliméteres szakaszon ugyanannyi pont van! Klasszikus példa:


A gerendát az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva, amíg egybe nem esik a nyalábbal, egy-egy megfeleltetést hozunk létre a kék szegmensek pontjai között. Így annyi pont van a szakaszon, mint ahány a szakaszon és !

Ez a paradoxon láthatóan a végtelenség misztériumához kapcsolódik... de most nem foglalkozunk az univerzum problémáival, mert a következő lépés

2. feladat Egy az egyhez funkciók a lecke illusztrációiban

Az óra céljai:

• oktatási: halmazok, részhalmazok azonosításához szükséges készségek kialakítása; készségek kialakítása a halmazok metszéspontjának és egyesülésének a képekben történő megtalálásához, az elemek megnevezéséhez ezen a területen, problémák megoldásához;
• fejlődő: fejlesztés kognitív érdeklődés diákok; az egyén intellektuális szférájának fejlesztése, az összehasonlítási és általánosítási képességek fejlesztése.
• nevelés: a pontosság és figyelmesség nevelése a döntéshozatalban.

Az órák alatt.

1. Szervezeti mozzanat.

2. A tanár beszámol az óra témájáról, a tanulókkal közösen célokat és célkitűzéseket fogalmaz meg.

3. A tanár a tanulókkal együtt felidézi a 7. osztályban a „Halmazok” témában tanult anyagot, új fogalmakat és definíciókat, problémamegoldó képleteket vezet be.

„A sok sok, egynek gondoljuk” (a halmazelmélet alapítója - Georg Cantor). KANTOR (Cantor) Georg (1845-1918) - német matematikus, logikus, teológus, a transzfinit (végtelen) halmazok elméletének megalkotója, amely a 19. és 20. század fordulóján döntő hatással volt a matematikai tudományok fejlődésére.

A halmaz a modern matematika egyik alapfogalma, szinte minden szakaszában használatos.

Sajnos az elmélet alapfogalma - a halmaz fogalma - nem adható szigorú definíciónak. Persze lehet mondani, hogy egy halmaz "gyűjtemény", "gyűjtemény", "együttes", "gyűjtemény", "család", "rendszer", "osztály" stb., azonban mindez nem lenne egy matematikai meghatározás, hanem inkább az orosz nyelv szókincsével való visszaélés.

Bármely fogalom definiálásához mindenekelőtt meg kell jelölni, hogy melyik konkrét esete több általános koncepció, ez van, a halmaz fogalmára ezt lehetetlen megtenni, mert a matematikában nincs általánosabb fogalom a halmaznál.

Gyakran több dologról kell beszélnie, valamilyen jellel egyesítve. Tehát beszélhetünk a szobában lévő összes szék készletéről, az összes cella készletéről emberi test, az összes krumpli halmaza egy adott zacskóban, az összes hal halmaza az óceánban, az összes négyzet halmaza egy síkon, az összes pont halmaza egy adott körön stb.

Az adott halmazt alkotó objektumokat elemeinek nevezzük.

Például a hét napjainak halmaza a következő elemekből áll: hétfő, kedd, szerda, csütörtök, péntek, szombat, vasárnap.

Sok hónap - az elemekből: január, február, március, április, május, június, július, augusztus, szeptember, október, november, december.

Egy csomó aritmetikai műveletek- elemekből: összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Például, ha A az összes természetes szám halmazát jelenti, akkor 6 tartozik A-hoz, de 3 nem tartozik A-hoz.

Ha A az év összes hónapjának halmaza, akkor a május tartozik A-hoz, de a szerda nem tartozik A-hoz.

Ha egy halmaz véges sok elemet tartalmaz, akkor azt végesnek, ha pedig végtelen sok elemet tartalmaz, akkor végtelennek nevezzük. Tehát az erdőben lévő fák halmaza véges, de a körön lévő pontok halmaza végtelen.

Paradoxon a logikában- ez egy olyan ellentmondás, amely logikailag helyes következtetés státuszával rendelkezik, és egyben olyan érvelés, amely egymást kizáró következtetésekhez vezet.

Mint már említettük, a halmaz fogalma a matematika középpontjában áll. A legegyszerűbb halmazok és különféle matematikai konstrukciók segítségével szinte bármilyen matematikai objektum megszerkeszthető. G. Kantor aktívan támogatta azt az ötletet, hogy az egész matematikát halmazelméletre építsék fel. A halmaz fogalma azonban minden egyszerűsége ellenére tele van az ellentmondások vagy – ahogy mondani szokás – paradoxonok veszélyével. A paradoxonok megjelenése abból adódik, hogy nem minden konstrukció és nem minden halmaz jöhet számításba.

A legegyszerűbb paradoxon: borbély paradoxona".

Egy katonának parancsot kapott, hogy borotválja le szakaszának azokat a katonáit, akik nem borotválkoztak. Tudniillik a hadsereg parancsának megszegése a legsúlyosabb bűn. Felmerült azonban a kérdés, hogy ennek a katonának le kell-e borotválkoznia. Ha borotválkozik, akkor annak a sok katonának kell tulajdonítani, akik borotválkoznak, és nincs joga ilyeneket megborotválni. Ha nem borotválja meg magát, akkor a magát nem borotválkozó katonák sokaságába esik, és a parancs szerint köteles az ilyen katonákat megborotválni. Paradoxon.

A halmazokon, valamint sok más matematikai objektumon különféle műveleteket hajthat végre, amelyeket néha halmazelméleti műveleteknek vagy halmazműveleteknek neveznek. A műveletek eredményeként az eredeti készletekből új készleteket kapunk. A halmazokat latin nagybetűkkel, elemeiket kisbetűkkel jelöljük. Felvétel a R azt jelenti, hogy az elem a a készlethez tartozik R, azaz a R. Különben mikor a nem tartozik a készlethez R, ír a R .

Két készlet DEés NÁL NÉL hívott egyenlő (DE =NÁL NÉL), ha azonos elemekből állnak, vagyis a halmaz minden eleméből DE a halmaz eleme NÁL NÉLés fordítva, a készlet minden eleme NÁL NÉL a halmaz eleme DE .

Összehasonlítás beállítása.

Az A halmazt a B halmaz tartalmazza (B halmaz tartalmazza az A halmazt), ha A minden eleme B eleme:

Azt mondják, hogy sokan DE sokban tartalmazzák NÁL NÉL vagy állítsa be DE egy részhalmaz készletek NÁL NÉL(ebben az esetben írd DE NÁL NÉL) ha a halmaz minden eleme DE szintén a készlet eleme NÁL NÉL. Ezt a halmazok közötti kapcsolatot ún befogadás . Bármilyen készlethez DE vannak zárványok: Ø DEés DE DE

Ebben az esetben A hívott részhalmaz B, B - szuperkészlet V. Ha , akkor A hívott saját részhalmaz NÁL NÉL. vegye észre, az ,

A-priory ,

A két halmazt ún egyenlő ha ezek egymás részhalmazai

Műveletek a készleteken

útkereszteződés.

Unió.

Tulajdonságok.

1. A halmazok uniójának művelete kommutatív

2. A halmazok uniójának működése tranzitív

3. Az üres X halmaz semleges eleme a halmazegyesítés műveletének

1. Legyen A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Azután

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Keressük ezeknek a halmazoknak az egyesülését és metszéspontját:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. A gyermekek halmaza a teljes népesség egy részhalmaza

4. Az egész számok halmazának metszéspontja a pozitív számok halmazával a természetes számok halmaza.

5. A racionális számok halmazának uniója az irracionális számok halmazával a pozitív számok halmaza.

6. A nulla a természetes számok halmazának komplementere a nem negatív egész számok halmazához képest.

Venn diagramok(Venn diagramok) - gyakori név számos vizualizációs módszer és grafikus szemléltetési módszer, amelyeket széles körben alkalmaznak a tudomány és a matematika különböző területein: halmazelmélet, sőt "Venn-diagram" mindent megmutat lehetséges kapcsolat valamelyik családból származó díszletek vagy események között; fajták venn diagramok a következők: Euler diagramok,

Venn diagram négy halmazból.

Tulajdonképpen "Venn-diagram" megmutatja az összes lehetséges kapcsolatot egy adott családból származó halmazok vagy események között. A szokásos Venn-diagram három halmazból áll. Venn maga próbálta megtalálni kecses módon szimmetrikus formákkalábrázolva a diagramon több halmazokat, de ezt csak négy sorozatig tudta megtenni (lásd a jobb oldali ábrát) ellipszisek segítségével.

Euler diagramok

Az Euler-diagramok hasonlóak a Venn-diagramokhoz, az Euler-diagramok segítségével értékelhető a halmazelméleti azonosságok valószínűsége.

1. feladat. 30 ember van az osztályban, mindegyik énekel vagy táncol. Ismeretes, hogy 17-en énekelnek, és 19-en tudnak táncolni. Hány ember énekel és táncol egyszerre?

Döntés: Először is megjegyezzük, hogy 30 emberből 30-17 = 13 ember nem tud énekelni.

Mindannyian tudnak táncolni, mert állapotának megfelelően az osztály minden tanulója énekel vagy táncol. Összesen 19 fő tud táncolni, ebből 13 fő nem énekelhet, ami azt jelenti, hogy egyszerre 19-13 = 6 fő táncol és énekelhet.

Problémák a halmazok metszéspontjában és uniójában.

1. Az A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0) halmazok adottak.
   Keresse meg az AU B készleteket,
2. Készíts legalább hét olyan szót, amelyek betűi a halmaz részhalmazait alkotják
   A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
3. Legyen A a 2-vel osztható természetes számok halmaza, B pedig a 4-gyel osztható természetes számok halmaza. Milyen következtetést vonhatunk le ezekről a halmazokról?
4. A cég 67 főt foglalkoztat. Ebből 47 tud angol nyelv, 35 német és 23 mindkét nyelv. A társaságban hány ember nem beszél angolul ill német?
5. Osztályunk 40 tanulója közül 32-en szeretik a tejet, 21-en a limonádét, 15-en pedig a tejet és a limonádét egyaránt. Az osztályunkban hány gyerek nem szereti a tejet vagy a limonádét?
6. 12 osztálytársam szeret detektívtörténeteket, 18 sci-fit, hárman mindkettőt szívesen olvassák, egy pedig egyáltalán nem olvas semmit. Hány tanuló jár az osztályunkba?
7. Abból a 18 osztálytársam közül, akik szeretnek thrillert nézni, csak 12 nem idegenkedik a rajzfilmek nézésétől. Hány osztálytársam néz csak "rajzfilmet", ha 25 diák van az osztályunkban, akik mindegyike szeret thrillert, rajzfilmet vagy mindkettőt?
8. Az udvarunkon lévő 29 fiú közül csak ketten nem sportolnak, a többiek futball- vagy teniszszekcióra, esetleg mindkettőre járnak. 17 fiú focizik és 19 teniszezik Hány futballista teniszez? Hány teniszező futballozik?
9. A nagymama nyulak 65%-a szereti a sárgarépát, 10%-a a sárgarépát és a káposztát egyaránt. A nyulak hány százaléka nem idegenkedik a káposzta evésétől?
10. Egy osztályba 25 tanuló jár. Ebből 7 szerelmes körte, 11 szerelmes cseresznye. Kettő, mint a körte és a cseresznye; 6 - körte és alma; 5 - alma és cseresznye. De van két diák az osztályban, aki mindent szeret, és négy olyan, aki egyáltalán nem szereti a gyümölcsöt. Hány tanuló szereti az almát ebben az osztályban?
11. A szépségversenyen 22 lány vett részt. Ebből 10 szép, 12 okos és 9 kedves. Csak 2 lány volt szép és okos is; 6 lány okos és kedves volt egyszerre. Határozza meg, hány szép és egyben kedves lány volt, ha elmondom, hogy a résztvevők között nem volt egyetlen okos, kedves és egyben kedves lány sem. gyönyörű lány?
12. Osztályunkba 35 tanuló jár. Az orosz nyelvű ötből az első negyedévben 14 diák volt; matematikából - 12; történelemből - 23; oroszból és matematikából - 4; matematikából és történelemből - 9; orosz nyelvből és történelemből - 5. Hány tanulónak van ötöse mindhárom tantárgyból, ha nincs az osztályban egyetlen olyan tanuló sem, akinek legalább az egyik tantárgyból ne lenne ötöse?
13. 100 emberből 85 beszél angolul, 80 spanyolul és 75 németül. Mindannyian beszélnek legalább egy idegen nyelvet. Köztük nincs két idegen nyelvet tudó, három nyelvet beszélő viszont van. Hányan tud három nyelvet abból a 100 emberből?
14. A cég alkalmazottai közül 16-an Franciaországban, 10-en Olaszországban, 6-an Angliában jártak; Angliában és Olaszországban - 5; Angliában és Franciaországban - 6; mindhárom országban - 5 alkalmazott. Hányan jártak Olaszországban és Franciaországban is, ha 19 fő van a társaságban, és mindegyikük legalább egy ilyen országban járt?

5. A lecke összegzése.

6. Reflexió.

• Nekem sikerült a legjobban...
• Kinyilatkoztatás volt számomra, hogy...
• Minek dicsérheted magad?
• Szerinted mi nem működött? Miért? Mit kell figyelembe venni a jövőben?
• Eredményeim az osztályban

7. Házi feladat.

1. Makarycsev. 13. tétel 263., 264., 265., 266., 271., 272. sz.
2. Készítsen feladatokat a halmazelmélet alkalmazásához.
3. Csoportokban készítsen prezentációkat a "Szettek" témában.