Valószínűségi változó diszperziója. Hogyan készítsünk eloszlási törvényt egy valószínűségi változóra példák Keressük meg az eloszlási törvény szerinti varianciát

Mint ismeretes, valószínűségi változó változónak nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelölik. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó Valószínűségi változónak nevezzük, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

ban ben) keresztül F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan beállítható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amely az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó "átlagértékét" jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

• Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiális eloszlás esetén M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
• Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2) − 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
  Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
• Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák a problémák megoldására a "Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye" témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: ebből 5 500 rubelt, 10 100 rubelt, 20 50 rubelt, 50 pedig 10 rubelt nyer. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Döntés. A probléma feltételétől függően az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 - (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. A kapott törvényt táblázat formájában mutatjuk be:

Határozza meg X matematikai elvárását: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt a sikertelen elemek számára egy kísérletben, építsen fel egy eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Döntés. 1. Az X= (egy kísérlet sikertelen elemeinek száma) diszkrét valószínűségi változónak a következő lehetséges értékei vannak: x 1 =0 (az eszköz egyik eleme sem hibásodott meg), x 2 =1 (egy elem meghibásodott), x 3 =2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 \u003d 3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő egymással, ezért alkalmazható Bernoulli képlete . Tekintettel arra, hogy feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így a kívánt X binomiális eloszlási törvény alakja a következő:

Az abszcissza tengelyen ábrázoljuk a lehetséges x i értékeket, az ordináta tengelyen pedig a megfelelő р i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat vonalszakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keresse meg az F(x) = P(X) eloszlásfüggvényt

Ha x ≤ 0, akkor F(x) = P(X<0) = 0;
0-ért< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ért< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ért< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 esetén F(x) = 1 lesz, mert az esemény biztos.

Az F(x) függvény grafikonja

4. Az X binomiális eloszláshoz:
- matematikai elvárás М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- diszperzió D(X)=npq=3*0,1*0,9=0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Példák a „Véletlen változók” témával kapcsolatos problémák megoldására.

Feladat 1 . A sorsoláson 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt játszottak. és tíz, egyenként 10 dolláros nyeremény. Keresse meg az X érték eloszlási törvényét - a lehetséges nyereség költségét.

Döntés. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, a nyerési valószínűség 10 c.u. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és 50 c.u. – o 3 = 0,01. És így:

	0,89	0,10	0,01

Könnyen irányítható: .

Feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előzetesen megismerkedett a termék hirdetésével, 0,6 (p = 0,6). A reklámok szelektív minőség-ellenőrzését úgy végzik el, hogy a vásárlókat azelőtt megkérdezik, aki először tanulmányozta a hirdetést. Készítsen sorozatot a megkérdezett vásárlók számának megoszlásáról.

Döntés. A feladat feltétele szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk elosztási sorozatot:

pi		0,24

Feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: egy rendszeregységből, egy monitorból és egy billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítse el az elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számára.

Döntés. Fontolgat Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége, hogy be n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: , vagy:

	q n					p n

NÁL NÉL térjünk vissza a feladathoz.

X lehetséges értékei (a hibák száma):

x 0 =0 - egyik elem sem sikerült;

x 1 =1 - egy elem meghibásodása;

x 2 =2 - két elem meghibásodása;

x 3 =3 - minden elem meghibásodása.

Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. A Bernoulli-képlet segítségével azt kapjuk

, ,

, .

Az irányítás: .

Ezért a kívánt elosztási törvény:

	0,729	0,243	0,027	0,001

4. feladat. 5000 darabot gyártottak. Annak a valószínűsége, hogy az egyik patron hibás . Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?

Döntés. Alkalmazható Poisson-eloszlás: ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy egy nagyon nagy

kísérletek száma (tömegpróbák), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: , ahol .

Itt n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Megtaláljuk, majd a kívánt valószínűséget: .

5. feladat. Amikor az első találat előtt lő a p elütés valószínűségével = 0,6 egy lövés esetén, meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a találat a harmadik lövésnél bekövetkezik.

Döntés. Alkalmazzuk a geometriai eloszlást: végezzünk független próbákat, amelyek mindegyikében az A esemény bekövetkezési valószínűsége p (és a be nem következés q = 1 - p). A kísérletek azonnal véget érnek, amint az A esemény bekövetkezik.

Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k-adik teszten, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Ezért .

6. feladat. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Keresse meg a matematikai elvárást.

Döntés. .

Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.

7. feladat. Keresse meg egy X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:

Döntés. Itt .

X négyzetének eloszlási törvénye 2 :

x 2

Kötelező szórás: .

A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.

8. feladat. Adjuk meg a valószínűségi változót az eloszlás:

			10 m

Keresse meg a numerikus jellemzőit!

Megoldás: m, m 2 ,

M 2 , m.

Egy X valószínűségi változóról azt is mondhatjuk, hogy matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy - matematikai elvárása 6,4 m, m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan világosabb.

Feladat 9. Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg:
.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel .

Döntés. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért

.

Feladat 10. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:

Keresse meg az elosztási függvényt F(x ), és készítse el a grafikonját.

Döntés. Mivel az elosztási függvény

számára , azután

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

Vonatkozó diagram:

11. feladat. Folyamatos valószínűségi változó x a differenciáleloszlási függvény adja meg: .

Keresse meg az ütés valószínűségét X az intervallumhoz

Döntés. Vegye figyelembe, hogy ez az exponenciális eloszlás törvényének egy speciális esete.

Használjuk a képletet: .

Feladat 12. Határozzuk meg egy diszkrét X valószínűségi változó numerikus jellemzőit, amelyeket az eloszlási törvény adott:

	–5
	X 2: x2 . , ahol a Laplace függvény. Ennek a függvénynek az értékeit táblázat segítségével találja meg. A mi esetünkben: . A táblázat szerint azt találjuk, hogy: tehát:

Szolgálati megbízás. Az online számológép egy X valószínűségi változó - az elvégzett kísérletek számának - eloszlásának táblázatát készíti, és kiszámítja a sorozat összes jellemzőjét: a matematikai várakozást, a szórást és a szórást. A határozatot tartalmazó jegyzőkönyv Word formátumban készül. 1. példa. Három érmét dobnak. 0,5 annak a valószínűsége, hogy egy tekercsben kiesik a címer. Készíts eloszlási törvényt egy X valószínűségi változóra - a lehullott címerek számára.
Döntés.
Annak a valószínűsége, hogy nem esett ki címer: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Annak a valószínűsége, hogy három címer esett ki: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Az X valószínűségi változó eloszlási törvénye:

x	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Ellenőrzés: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

2. példa. Annak valószínűsége, hogy egy lövő egy lövéssel eltalálja a célt, az első lövő esetében 0,8, a második lövő esetében 0,85. A lövészek egy lövést adtak le a célpontra. Feltételezve, hogy az egyes lövők célba találtak, mint független események, keresse meg az A esemény valószínűségét - pontosan egy találatot a célba.
Döntés.
Tekintsük az A eseményt – egy találatot a célpontra. Ennek az eseménynek a lehetséges előfordulásai a következők:

1. Első lövöldözős találat, második lövés kihagyott: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Az első lövő elhibázta, a második célba ért: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Az első és a második lövész egymástól függetlenül találta el a célt: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Ekkor az A esemény valószínűsége - pontosan egy találat a célponton, akkor egyenlő lesz: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Meghatározás.Diszperzió (szórás) A diszkrét valószínűségi változót a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárásának nevezzük:

Példa. A fenti példában azt találjuk

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása a következő:

A négyzetes eltérés lehetséges értékei:

; ;

A diszperzió a következő:

A gyakorlatban azonban ez a varianciaszámítási módszer kényelmetlen, mert nehézkes számításokhoz vezet egy valószínűségi változó nagyszámú értékére. Ezért egy másik módszert alkalmaznak.

Variancia számítás

Tétel. A variancia egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel:

Bizonyíték. Figyelembe véve, hogy a matematikai elvárás és a matematikai elvárás négyzete állandó érték, a következőket írhatjuk:

Alkalmazzuk ezt a képletet a fenti példára:

x
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Diszperziós tulajdonságok

1) Egy állandó érték szórása nulla:

2) Az állandó tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

.

3) Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével:

4) Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő ezen változók varianciáinak összegével:

Ennek az egyenlőségnek az érvényessége a 2. tulajdonságból következik.

Tétel. Az A esemény előfordulási számának szórása n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének valószínűsége állandó, megegyezik a kísérletek számának a bekövetkezési valószínűséggel és az esemény valószínűségével való szorzatával. nem fordul elő minden kísérletben:

Példa. Az üzem az első osztályú termékek 96%-át, a második osztályú termékek 4%-át állítja elő. 1000 tétel véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Legyen x- az első osztályú termékek száma ebben a mintában. Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, matematikai elvárását és varianciáját!

Így az eloszlási törvény binomiálisnak tekinthető.

Példa. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját x– az esemény előfordulásának száma DE két független próbában, ha ennek az eseménynek a valószínűsége minden kísérletben egyenlő, és ismert, hogy

Mert véletlenszerű érték x binomiális törvény szerint elosztva, akkor

Példa. A független teszteket az esemény bekövetkezésének azonos valószínűségével végezzük DE minden tesztben. Keresse meg egy esemény bekövetkezésének valószínűségét DE ha három független kísérletben az esemény előfordulási számának szórása 0,63.

A binomiális törvény diszperziós képlete szerint a következőket kapjuk:

;

Példa. Egy négy, egymástól függetlenül működő eszközből álló eszközt tesztelnek. Az egyes eszközök meghibásodásának valószínűsége egyenlő, ill ; ; . Határozza meg a meghibásodott eszközök számának matematikai elvárását és szórását!

Ha a meghibásodott eszközök számát valószínűségi változónak vesszük, azt látjuk, hogy ez a valószínűségi változó 0, 1, 2, 3 vagy 4 értéket vehet fel.

Ennek a valószínűségi változónak az eloszlási törvényének elkészítéséhez meg kell határozni a megfelelő valószínűségeket. Fogadjuk el.

1) Egyetlen eszköz sem hibásodott meg:

2) Az egyik eszköz meghibásodott.