Vrijednosti sinusa i kosinusa. Svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

U ovom članku ćemo pokazati kako definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notaciji, navesti primjere zapisa, dati grafičke ilustracije. Zaključno, povlačimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u trigonometriji i geometriji.

Navigacija po stranici.

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Pratimo kako se u školskom kolegiju matematike formira pojam sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U nastavi geometrije definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutni trokut. A kasnije se proučava trigonometrija koja se odnosi na sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije i broja. Dajemo sve ove definicije, dajemo primjere i dajemo potrebne komentare.

Oštar kut u pravokutnom trokutu

Iz kolegija geometrije poznate su definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Oni su dati kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Predstavljamo njihove formulacije.

Definicija.

Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Definicija.

Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne noge i susjedne noge.

Definicija.

Kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne noge i suprotne noge.

Tu je također uvedena oznaka sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - sin, cos, tg i ctg.

Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus oštrog kuta A jednak omjeru suprotnog kraka BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.

Ove definicije vam omogućuju da izračunate vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznate vrijednosti sinus, kosinus, tangenta, kotangens i duljinu jedne od stranica da se pronađu duljine ostalih strana. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC 3, a hipotenuza AB 7, tada bismo mogli izračunati kosinus oštrog kuta A po definiciji: cos∠A=AC/AB=3/7.

Kut rotacije

U trigonometriji počinju šire gledati na kut – uvode pojam kuta rotacije. Kut rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničen na okvire od 0 do 90 stupnjeva, kut rotacije u stupnjevima (i u radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.

U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa više nisu akutni kut, već kut proizvoljne veličine – kut rotacije. Zadane su kroz x i y koordinate točke A 1 , u koju prolazi tzv. početna točka A(1, 0) nakon što se zarotira za kut α oko točke O - početka pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava i središte jedinične kružnice.

Definicija.

Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1 , odnosno sinα=y .

Definicija.

kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1 , odnosno cosα=x .

Definicija.

Tangent kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 i njezine apscise, odnosno tgα=y/x .

Definicija.

Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y .

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α , budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobiva rotacijom početne točke kroz kut α . A tangenta i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za takve kutove α u kojima početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se događa pod kutovima 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije, izraz tgα=y/x nema smisla, budući da sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za takve kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0) , a to je slučaj za kutove 180° k , k ∈Z (π k rad).

Dakle, sinus i kosinus su definirani za sve kutove rotacije, tangenta je definirana za sve kutove osim 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), a kotangens je za sve kutove osim 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Oznake koje su nam već poznate pojavljuju se u definicijama sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći zapis tan i cot koji odgovara tangenti i kotangens). Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se zapisati kao sin30°, zapisi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangentu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo da se prilikom pisanja radijanske mjere kuta često izostavlja oznaka "rad". Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3 π .

U zaključku ovog odlomka, vrijedno je napomenuti da se u govoru o sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije često izostavlja izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija". Odnosno, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa" obično se koristi izraz "sinus kuta alfa", ili još kraće - "sinus alfa". Isto vrijedi i za kosinus, i tangentu i kotangens.

Recimo i da su definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s definicijama upravo danim za sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. To ćemo potkrijepiti.

Brojevi

Definicija.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu kuta rotacije u t radijanima.

Na primjer, kosinus od 8 π je, po definiciji, broj jednak kosinusu kuta od 8 π rad. A kosinus kuta je 8 π rad jednako jednom, dakle, kosinus broja 8 π jednak je 1 .

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Sastoji se u tome da svaki pravi broj t je dodijeljen točki na jediničnoj kružnici sa središtem na ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangenta i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke. Zaustavimo se na ovome detaljnije.

Pokažimo kako se uspostavlja korespondencija između realnih brojeva i točaka kružnice:

broju 0 dodjeljuje se početna točka A(1, 0) ;
pozitivan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se krećemo oko kružnice od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prođemo put duljine t;
negativan broj t pridružuje se točki na jediničnoj kružnici, do koje ćemo doći ako se pomičemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i prođemo put duljine |t| .

Prijeđimo sada na definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki kružnice A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).

Definicija.

Sinus broja t je ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno sint=y.

Definicija.

Kosinus broja t se naziva apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.

Definicija.

Tangent broja t je omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangent broja t je omjer sinusa ovog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/cost .

Definicija.

Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangent broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t : ctgt=cost/sint .

Ovdje napominjemo da se upravo navedene definicije slažu s definicijom danom na početku ovog pododjeljka. Doista, točka jedinične kružnice koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke kroz kut od t radijana.

Također je vrijedno pojasniti ovu točku. Recimo da imamo sin3 unos. Kako razumjeti je li u pitanju sinus broja 3 ili sinus kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije važno.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Prema definicijama danim u prethodnom odlomku, svakom kutu rotacije α potpuno odgovara određenu vrijednost sinα , kao i vrijednost cosα . Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) odgovaraju vrijednostima tgα, a osim 180° k, k∈Z (π k rad) su vrijednosti ctgα . Stoga su sinα, cosα, tgα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.

Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangent i kotangens numeričkog argumenta. Doista, svaki realni broj t odgovara dobro definiranoj vrijednosti sint , kao i trošku . Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima ctgt.

Funkcije sinus, kosinus, tangent i kotangens se nazivaju osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno da imamo posla s trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, nezavisnu varijablu možemo smatrati i mjerom kuta (argument kuta) i numeričkim argumentom.

No, škola uglavnom proučava numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako pričamo o funkcijama, razumno je razmotriti trigonometrijske funkcije kao funkcije brojčanih argumenata.

Povezivanje definicija iz geometrije i trigonometrije

Ako uzmemo u obzir kut rotacije α od 0 do 90 stupnjeva, tada su podaci u kontekstu trigonometrije definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa , tangenta i kotangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu, koji su dati u tečaju geometrije. Potkrijepimo ovo.

Nacrtajte jediničnu kružnicu u pravokutnom Dekartovom koordinatnom sustavu Oxy. Zabilježite početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobit ćemo točku A 1 (x, y) . Ispustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu rotacije α, duljina kraka OH koja je susjedna ovom kutu jednaka je apscisi točke A 1, odnosno |OH | |=x, duljina kraka A 1 H nasuprot kuta jednaka je ordinati točke A 1 , odnosno |A 1 H|=y , a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedan , budući da je to polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus oštrog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α za α od 0 do 90 stupnjeva.

Slično, može se pokazati da su definicije kosinusa, tangenta i kotangensa oštrog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α.

Bibliografija.

Geometrija. 7-9 razreda: studije. za opće obrazovanje institucije / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev i drugi]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V. Geometrija: Proc. za 7-9 ćelija. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Prosvjeta, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra i elementarne funkcije: Vodič za učenike 9. razreda Srednja škola/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredio doktor fizikalno-matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. Moskva: Prosveta, 1969.
Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M .: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 2 str. Poglavlje 1: vodič za obrazovne ustanove(profilna razina) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dodaj. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra i početi matematička analiza. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; izd. A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - I .: Prosvjeta, 2010. - 368 str.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Mislim da zaslužuješ više od toga. Evo mog ključa za trigonometriju:

Nacrtajte kupolu, zid i strop
Trigonometrijske funkcije nisu ništa drugo nego postoci ova tri oblika.

Metafora za sinus i kosinus: kupola

Umjesto da samo gledate same trokute, zamislite ih u akciji pronalaženjem nekih poseban primjer iz života.

Zamislite da se nalazite u sredini kupole i želite objesiti platno filmskog projektora. Uperite prst u kupolu pod nekim "x" kutom, a s te točke bi trebao biti obješen ekran.

Kut na koji pokazujete određuje:

sinus(x) = sin(x) = visina zaslona (točka montaže od poda do kupole)
kosinus(x) = cos(x) = udaljenost od vas do ekrana (po katu)
hipotenuza, udaljenost od vas do vrha ekrana, uvijek ista, jednaka polumjeru kupole

Želite li da ekran bude što veći? Objesite ga točno iznad sebe.

Želite li da ekran visi što dalje od vas? Objesite ga ravno okomito. Zaslon će imati nultu visinu na ovoj poziciji i visit će unatrag koliko ste tražili.

Visina i udaljenost od zaslona obrnuto su proporcionalni: što je zaslon bliže, to će njegova visina biti veća.

Sinus i kosinus su postoci

Nitko mi u godinama studija, nažalost, nije objasnio da trigonometrijske funkcije sinus i kosinus nisu ništa drugo nego postoci. Njihove vrijednosti kreću se od +100% do 0 do -100%, odnosno od pozitivnog maksimuma do nule do negativnog maksimuma.

Recimo da sam platio porez od 14 rubalja. Ne znaš koliko je. Ali ako kažete da sam platio 95% poreza, shvatit ćete da sam jednostavno bio oguljen kao ljepljiv.

Apsolutna visina ne znači ništa. Ali ako je vrijednost sinusa 0,95, onda razumijem da televizor visi gotovo na vrhu vaše kupole. Vrlo brzo će dosegnuti svoju maksimalnu visinu u središtu kupole, a zatim ponovno početi opadati.

Kako možemo izračunati ovaj postotak? Vrlo jednostavno: podijelite trenutnu visinu zaslona s maksimalno mogućim (polumjer kupole, koji se također naziva hipotenuza).

Zato rečeno nam je da je "kosinus = suprotni krak / hipotenuza". Ovo je sve kako bi se dobio postotak! Najbolji način za definiranje sinusa je "postotak trenutne visine od najveće moguće". (Sinus postaje negativan ako vaš kut pokazuje "pod zemljom". Kosinus postaje negativan ako kut pokazuje na točku kupole iza vas.)

Pojednostavimo izračune uz pretpostavku da smo u središtu jedinične kružnice (radijus = 1). Možemo preskočiti podjelu i samo uzeti sinus jednak visini.

Svaki krug je zapravo jedan, uvećan ili smanjen u mjerilu na željenu veličinu. Stoga odredite odnose na jediničnom krugu i primijenite rezultate na svoju određenu veličinu kruga.

Eksperimentirajte: uzmite bilo koji kut i vidite koji postotak visine i širine prikazuje:

Graf rasta vrijednosti sinusa nije samo ravna crta. Prvih 45 stupnjeva pokriva 70% visine, a zadnjih 10 stupnjeva (od 80° do 90°) pokriva samo 2%.

Time će vam biti jasno: ako idete u krug, na 0 ° dižete se gotovo okomito, ali kako se približavate vrhu kupole, visina se sve manje mijenja.

Tangenta i sekansa. zid

Jednog dana susjed je sagradio zid ravno leđa uz leđa svojoj kupoli. Plakao svoj pogled s prozora i dobra cijena za preprodaju!

Ali je li moguće u ovoj situaciji nekako pobijediti?

Naravno da. Što ako filmsko platno okačimo točno na susjedov zid? Ciljate u kut (x) i dobivate:

tan(x) = tan(x) = visina ekrana na zidu
udaljenost od vas do zida: 1 (ovo je polumjer vaše kupole, zid se ne pomiče nikuda od vas, zar ne?)
secant(x) = sec(x) = "duljina ljestava" od vas koji stojite u sredini kupole do vrha visećeg zaslona

Razjasnimo nekoliko stvari o tangenti, odnosno visini zaslona.

počinje od 0 i može ići beskonačno visoko. Možete rastegnuti zaslon sve više i više na zidu kako biste dobili samo beskonačno platno za gledanje svog omiljenog filma! (Za tako ogroman, naravno, morat ćete potrošiti puno novca).
tangenta je samo uvećana verzija sinusa! I dok se rast sinusa usporava kako se krećete prema vrhu kupole, tangenta nastavlja rasti!

Sekansu se također ima čime pohvaliti:

sekanta počinje od 1 (ljestve su na podu, dalje od vas prema zidu) i odatle počinje gore
Sekans je uvijek duži od tangente. Kose ljestve na koje objesite ekran moraju biti dulje od samog zaslona, zar ne? (Za nerealne veličine, kada je ekran jaaako dugačak, a ljestve treba postaviti gotovo okomito, njihove su veličine gotovo iste. Ali i tada će sekant biti malo duži).

Zapamtite da su vrijednosti posto. Ako odlučite objesiti ekran pod kutom od 50 stupnjeva, tan(50)=1,19. Vaš zaslon je 19% veći od udaljenosti do zida (polumjer kupole).

(Unesite x=0 i testirajte svoju intuiciju - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Kotangens i kosekans. Strop

Nevjerojatno, vaš susjed je sada odlučio sagraditi strop nad vašom kupolom. (Što mu je? On očito ne želi da mu viriš dok hoda po dvorištu gol...)

Pa, vrijeme je da napraviš izlaz na krov i porazgovaraš sa susjedom. Vi birate kut nagiba i počinjete graditi:

okomita udaljenost između krovnog izlaza i poda uvijek je 1 (radijus kupole)
kotangens(x) = cot(x) = udaljenost između vrha kupole i izlazne točke
kosekant(x) = csc(x) = duljina vašeg puta do krova

Tangenta i sekans opisuju zid, dok kotangens i kosekans opisuju pod.

Naši intuitivni zaključci ovoga puta slični su prethodnim:

Ako uzmete kut od 0°, vaš izlazak na krov će trajati zauvijek jer nikada neće doseći strop. Problem.
Najkraće "stepenište" do krova dobit će se ako ga izgradite pod kutom od 90 stupnjeva u odnosu na pod. Kotangens će biti jednak 0 (uopće se ne krećemo duž krova, izlazimo strogo okomito), a kosekans će biti jednak 1 ("duljina ljestvi" će biti minimalna).

Vizualizirajte veze

Ako su sva tri slučaja nacrtana u kombinaciji kupola-zid-pod, dobit će se sljedeće:

Pa, vau, sve je to isti trokut, uvećan do zida i stropa. Imamo okomite stranice (sinus, tangenta), horizontalne stranice (kosinus, kotangens) i "hipotenuze" (sekans, kosekans). (Iz strelica možete vidjeti koliko daleko svaki element doseže. Kosekans je ukupna udaljenost od vas do krova).

Malo magije. Svi trokuti dijele iste jednakosti:

Iz Pitagorinog teorema (a 2 + b 2 = c 2) vidimo kako su stranice svakog trokuta povezane. Osim toga, omjeri visine i širine također moraju biti isti za sve trokute. (Samo se odmaknite od najvećeg trokuta do manjeg. Da, veličina se promijenila, ali proporcije stranica će ostati iste).

Znajući koja je strana u svakom trokutu 1 (polumjer kupole), lako možemo izračunati da je "sin/cos = tan/1".

Uvijek sam pokušavao zapamtiti ove činjenice kroz jednostavnu vizualizaciju. Na slici možete jasno vidjeti ove ovisnosti i razumjeti odakle dolaze. Ova tehnika je puno bolja od pamćenja suhih formula.

Ne zaboravite druge kutove

Psst... Nema potrebe da se zaglavite na jednom grafikonu, misleći da je tangenta uvijek manja od 1. Ako povećate kut, možete doći do stropa, a da ne stignete do zida:

Pitagorine veze uvijek rade, ali relativne veličine mogu biti različite.

(Vjerojatno ste primijetili da je omjer sinusa i kosinusa uvijek najmanji jer su zatvoreni unutar kupole.)

Da rezimiramo: što trebamo zapamtiti?

Za većinu nas, rekao bih da će ovo biti dovoljno:

trigonometrija objašnjava anatomiju matematičkih objekata kao što su krugovi i intervali koji se ponavljaju
analogija kupola/zid/krov pokazuje odnos između različitih trigonometrijskih funkcija
rezultat trigonometrijskih funkcija su postoci koje primjenjujemo na naš scenarij.

Ne morate pamtiti formule poput 1 2 + dječji krevetić 2 = csc 2 . Prikladni su samo za glupe testove u kojima se poznavanje neke činjenice predstavlja kao njezino razumijevanje. Odvojite minutu da nacrtate polukrug u obliku kupole, zida i krova, potpišite elemente, a sve formule će se za vas tražiti na papiru.

Primjena: Inverzne funkcije

Bilo koja trigonometrijska funkcija uzima kut kao ulaz i vraća rezultat kao postotak. sin(30) = 0,5. To znači da kut od 30 stupnjeva zauzima 50% maksimalne visine.

Inverzna trigonometrijska funkcija zapisuje se kao sin -1 ili arcsin (“arksina”). Također se često piše asin u raznim programskim jezicima.

Ako je naša visina 25% visine kupole, koliki je naš kut?

U našoj tablici proporcija možete pronaći omjer gdje je sekant podijeljen s 1. Na primjer, sekant za 1 (hipotenuza prema horizontali) bit će jednak 1 podijeljen s kosinusom:

Recimo da nam je sekans 3,5, t.j. 350% polumjera jedinične kružnice. Kojem kutu nagiba prema zidu odgovara ova vrijednost?

Dodatak: Neki primjeri

Primjer: Pronađite sinus kuta x.

Dosadan zadatak. Zakomplicirajmo banalno “pronađi sinus” na “Kolika je visina u postotku od maksimuma (hipotenuze)?”.

Prvo, primijetite da je trokut zakrenut. U tome nema ništa loše. Trokut također ima visinu, na slici je prikazana zelenom bojom.

Čemu je jednaka hipotenuza? Po Pitagorinom teoremu znamo da:

3 2 + 4 2 = hipotenuza 2 25 = hipotenuza 2 5 = hipotenuza

Dobro! Sinus je postotak visine od najduže strane trokuta, odnosno hipotenuze. U našem primjeru, sinus je 3/5 ili 0,60.

Naravno, možemo ići na nekoliko načina. Sada znamo da je sinus 0,60 i možemo jednostavno pronaći arcsin:

Asin (0,6) = 36,9

A evo još jednog pristupa. Imajte na umu da je trokut "licem u lice sa zidom", pa možemo koristiti tangentu umjesto sinusa. Visina je 3, udaljenost do zida je 4, pa je tangenta ¾ ili 75%. Možemo koristiti tangentu luka da se vratimo od postotka natrag do kuta:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Primjer: Hoćete li doplivati do obale?

U čamcu ste i imate dovoljno goriva da preplovite 2 km. Sada ste 0,25 km od obale. Pod kojim najvećim kutom prema obali možete doplivati do nje da imate dovoljno goriva? Dodatak uvjetu zadatka: imamo samo tablicu vrijednosti ark kosinusa.

Što imamo? obala može se zamisliti kao “zid” u našem poznatom trokutu, a “duljina ljestava” pričvršćenih na zid je najveća moguća premostiva udaljenost čamcem do obale (2 km). Pojavljuje se sekanta.

Prvo se morate prebaciti na postotke. Imamo 2 / 0,25 = 8, što znači da možemo preplivati 8 puta ravnu udaljenost do obale (ili do zida).

Postavlja se pitanje "Što je sekans 8?". Ali na to ne možemo dati odgovor, jer imamo samo lučni kosinus.

Koristimo naše prethodno izvedene ovisnosti za preslikavanje sekante u kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Sekans od 8 jednak je kosinusu od ⅛. Kut čiji je kosinus ⅛ je acos(1/8) = 82,8. A to je najveći kut koji si možemo priuštiti na brodu s navedenom količinom goriva.

Nije loše, zar ne? Bez analogije kupola-zid-strop, bio bih zbunjen u hrpi formula i izračunima. Vizualizacija problema uvelike pojednostavljuje potragu za rješenjem, osim toga, zanimljivo je vidjeti koja će trigonometrijska funkcija na kraju pomoći.

Za svaki zadatak razmislite ovako: zanima li me kupola (sin/cos), zid (tan/sec) ili strop (cot/csc)?

I trigonometrija će postati mnogo ugodnija. Jednostavni izračuni za vas!

Omogućuje vam da uspostavite niz karakterističnih rezultata - svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. U ovom članku ćemo pogledati tri glavna svojstva. Prvi od njih označava predznake sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta α, ovisno o tome koja je koordinatna četvrtina kuta α. Zatim, razmatramo svojstvo periodičnosti, koje utvrđuje nepromjenjivost vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta α kada se ovaj kut promijeni za cijeli broj okretaja. Treće svojstvo izražava odnos između vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnim kutovimaα i −α .

Ako vas zanimaju svojstva funkcija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, oni se mogu proučavati u odgovarajućem odjeljku članka.

Navigacija po stranici.

Znakovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u četvrtinama

Ispod ovog paragrafa nalazi se izraz "kut I, II, III i IV koordinatne četvrti". Objasnimo koji su to kutovi.

Uzmimo jediničnu kružnicu, označimo na njoj početnu točku A(1, 0) i zarotirajmo je oko točke O za kut α, dok pretpostavimo da dolazimo do točke A 1 (x, y) .

Oni to kažu kut α je kut I , II , III , IV koordinatne četvrti ako točka A 1 leži u I, II, III, IV četvrti, redom; ako je kut α takav da točka A 1 leži na bilo kojoj od koordinatnih pravaca Ox ili Oy , tada ovaj kut ne pripada nijednoj od četiri četvrtine.

Radi jasnoće donosimo grafičku ilustraciju. Donji crteži prikazuju kutove rotacije od 30, -210, 585 i -45 stupnjeva, što su kutovi I, II, III i IV koordinatnih četvrti.

uglovima 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stupnjevi ne pripadaju niti jednoj od koordinatnih četvrti.

Sada shvatimo koji znakovi imaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α, ovisno o tome koja je četvrtina kuta α.

Za sinus i kosinus, to je lako učiniti.

Po definiciji, sinus kuta α je ordinata točke A 1 . Očito je da je u I i II koordinatnoj četvrti pozitivan, au III i IV kvartalu negativan. Dakle, sinus kuta α ima predznak plus u I i II četvrti, a znak minus u III i VI četvrti.

Zauzvrat, kosinus kuta α je apscisa točke A 1 . U I i IV kvartalu je pozitivan, a u II i III kvartalu negativan. Stoga su vrijednosti kosinusa kuta α u I i IV četvrti pozitivne, a u II i III kvartalu negativne.

Da biste odredili znakove po četvrtinama tangente i kotangensa, morate zapamtiti njihove definicije: tangenta je omjer ordinate točke A 1 prema apscisi, a kotangens je omjer apscise točke A 1 prema ordinati. Zatim od pravila dijeljenja brojeva s istim i različiti znakovi slijedi da tangenta i kotangens imaju predznak plus kada su predznak apscise i ordinate točke A 1 isti, a minus kada su predznaci apscisa i ordinate točke A 1 različiti. Prema tome, tangenta i kotangens kuta imaju predznak + u I i III koordinatnoj četvrti, a minus u II i IV četvrtini.

Doista, na primjer, u prvoj četvrtini i apscisa x i ordinata y točke A 1 su pozitivne, tada su i kvocijent x/y i kvocijent y/x pozitivni, dakle, tangenta i kotangens imaju predznake + . A u drugoj četvrtini apscisa x je negativna, a ordinata y pozitivna, stoga su i x / y i y / x negativni, odakle tangenta i kotangens imaju predznak minus.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Svojstvo periodičnosti

Sada ćemo analizirati, možda, najočitije svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta. Sastoji se u sljedećem: kada se kut promijeni za cijeli broj punih okretaja, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovog kuta se ne mijenjaju.

To je razumljivo: kada se kut promijeni za cijeli broj okretaja, uvijek ćemo doći od početne točke A do točke A 1 na jediničnom krugu, stoga vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ostaju nepromijenjene, budući da su koordinate točke A 1 nepromijenjene.

Koristeći formule, razmatrano svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa može se zapisati na sljedeći način: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , gdje je α kut rotacije u radijanima, z je bilo koji , čija apsolutna vrijednost označava broj punih okretaja za koji se kut α mijenja i predznak broj z označava smjer skretanja.

Ako je kut rotacije α dan u stupnjevima, tada će se ove formule prepisati kao sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360° z)=cosα, tg(α+360° z)=tgα, ctg(α+360° z)=ctgα .

Navedimo primjere korištenja ovog svojstva. Na primjer, , jer , ali . Evo još jednog primjera: ili .

Ovo svojstvo, zajedno s formulama redukcije, vrlo se često koristi pri izračunavanju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa "velikih" kutova.

Razmatrano svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ponekad se naziva svojstvom periodičnosti.

Svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih kutova

Neka je A 1 točka dobivena kao rezultat rotacije početne točke A(1, 0) oko točke O za kut α , a točka A 2 rezultat je rotacije točke A za kut −α suprotno kutu α .

Svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih kutova temelji se na dovoljno očita činjenica: gore spomenute točke A 1 i A 2 ili se podudaraju (na ) ili se nalaze simetrično oko osi Ox. To jest, ako točka A 1 ima koordinate (x, y), tada će točka A 2 imati koordinate (x, −y). Odavde, prema definicijama sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, zapisujemo jednakosti i.
Uspoređujući ih, dolazimo do odnosa između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih kutova α i −α oblika .
Ovo je razmatrano svojstvo u obliku formula.

Navedimo primjere korištenja ovog svojstva. Na primjer, jednakosti i .

Ostaje samo napomenuti da se svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih kutova, poput prethodnog svojstva, često koristi pri izračunavanju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa i omogućuje vam da se potpuno izvučete iz negativnih kutova.

Bibliografija.

Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosječno škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 stanica. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M .: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Zbornik. za 10-11 stanica. prosječno škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Predavanje: Sinus, kosinus, tangent, kotangens proizvoljnog kuta

Sinus, kosinus proizvoljnog kuta

Da bismo razumjeli što su trigonometrijske funkcije, okrenimo se kružnici s jediničnim polumjerom. Ova kružnica je centrirana u ishodištu na koordinatnoj ravnini. Za određivanje zadanih funkcija koristit ćemo se radijus vektorom ILI, koji počinje u središtu kruga, i točka R je točka na kružnici. Ovaj radijus vektor tvori kut alfa s osi OH. Budući da kružnica ima polumjer, jednako jednom, onda ILI = R = 1.

Ako iz točke R ispusti okomicu na os OH, tada dobivamo pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom jedan.

Ako se radijus vektor kreće u smjeru kazaljke na satu, tada se taj smjer naziva negativan, ali ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivan.

Sinus kuta ILI, je ordinata točke R vektori na kružnici.

To jest, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu Na na površini.

Kako zadanu vrijednost Primljeno je? Budući da znamo da je sinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne katete i hipotenuze, dobivamo da je

I od R=1, onda sin(α) = y 0 .

U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Sinus je pozitivan u prvoj i drugoj četvrtini jediničnog kruga, a negativan u trećoj i četvrtoj.

Kosinus kuta zadani krug formiran radijus vektorom ILI, je apscisa točke R vektori na kružnici.

Odnosno, da bi se dobila vrijednost kosinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu x na površini.

Kosinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze, dobivamo da

I od R=1, onda cos(α) = x 0 .

U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 i veća od 1, što znači da

Kosinus je pozitivan u prvom i četvrtom kvadrantu jedinične kružnice, a negativan u drugom i trećem.

tangensproizvoljan kut izračunava se omjer sinusa i kosinusa.

Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne noge i susjedne. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.

Sudeći po tim odnosima, može se razumjeti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod kutom od 90 stupnjeva. Tangenta može poprimiti sve druge vrijednosti.

Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj je članak posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove definicije dane su za oštar kut pravokutnog trokuta!

Dajemo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) kuta rotacije

Tangenta kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za sve kutove α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednaka sinusu kut rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

Bilo koji pravi broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangent i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu s definicijom danom na početku ovog odjeljka i ne proturječe. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje prolazi početna točka nakon okretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno koji argument trigonometrijska funkcija(angularni argument ili numerički argument) s kojim imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijske definicije, dano omjerima stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i povucimo iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) okomito na os x. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kateta nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

U skladu s definicijom iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangens i kotangens, podudarnost definicija.